動量-含彈簧的碰撞模型

1、ABC水平彈簧1、如圖所示,光滑的水平面上有m A =2kg ,m B = m C =1kg 的三個物體,用輕彈簧將A 與B 連接.在A 、C 兩邊用力使三個物體靠近,A 、B 間的彈簧被壓縮,此過程外力做功72 J ,然后從靜止開始釋放,求:(1當物體B 與C 分離時,B 對C 做的功有多少?(2當彈簧再次恢復(fù)到原長時,A 、B 的速度各是多大?(1當彈簧恢復(fù)原長時,B 與C 分離,0=m A v A -(m B +m c v C ,E P =221A A v m +2(21C C B v m m +,對C 由動能定理得W =221C C v m -0,由得W =18J ,v A =v C

2、=6m/s . (2取A 、B 為研究系統(tǒng),m A v A -m B v C = m A v A +m B v C , 221A A v m +221C B v m =21 m A v A2+21m B v C 2,當彈簧恢復(fù)到原長時A 、B 的速度分別為:,v A =v B =6m/s 或v A =-2m/s , v B =10m/s .2、(2如圖所示,光滑水平面軌道上有三個木塊,A 、B 、C ,質(zhì)量分別為m B =m c =2m ,m A =m ,A 、B 用細繩連接,中間有一壓縮的彈簧 (彈簧與滑塊不栓接。開始時A 、B 以共同速度v 0運動,C 靜止。某時刻細繩突然斷開,A 、B

3、被彈開,然后B 又與C 發(fā)生碰撞并粘在一起,最終三滑塊速度恰好相同。求B 與C 碰撞前B 的速度。解析:(2設(shè)共同速度為v ,球A 和B 分開后,B 的速度為B v ,由動量守恒定律有0(A B A B B m m v m v m v +=+,(B B B C m v m m v =+,聯(lián)立這兩式得B 和C 碰撞前B 的速度為095B v v =?？键c:動量守恒定律 3、兩物塊A 、B 用輕彈簧相連,質(zhì)量均為2 kg ,初始時彈簧處于原長,A 、B 兩物塊都以v =6 m /s 的速度在光滑的水平地面上運動,質(zhì)量4 kg 的物塊C 靜止在前方,如圖所示。B 與C 碰撞后二者會粘在一起運動。求在

4、以后的運動中:(1當彈簧的彈性勢能最大時,物塊A 的速度為多大? (2系統(tǒng)中彈性勢能的最大值是多少?解析:(1當A 、B 、C 三者的速度相等時彈簧的彈性勢能最大. 由A 、B 、C 三者組成的系統(tǒng)動量守恒,(A B A B C ABC m m v m m m v +=+ (2分解得 (226/3/224ABC v m s m s +=+(2分(2B 、C 碰撞時B 、C 組成的系統(tǒng)動量守恒,設(shè)碰后瞬間B 、C 兩者速度為BC v ,則 m B v =(m B +m C BC v BC v =4262+=2 m/s (2分 v設(shè)物ABC 速度相同時彈簧的彈性勢能最大為E p ,根據(jù)能量守恒E

5、p =21(m B +m C 2BC v +21m A v 2-21(m A +m B +m C 2ABC v =21×(2+4×22+21×2×62-21×(2+2+4×32=12 J (4分4、兩物塊A 、B 用輕彈簧相連,質(zhì)量均為2 kg ,初始時彈簧處于原長,A 、B 兩物塊都以v =6 m/s的速度在光滑的水平地面上運動,質(zhì)量4 kg 的物塊C 靜止在前方,如圖所示.B 與C 碰撞后二者會粘在一起運動.求在以后的運動中:(1當彈簧的彈性勢能最大時,物塊A 的速度為多大?(2系統(tǒng)中彈性勢能的最大值是多少? (3A 物塊的速度有

6、可能向左嗎?簡略說明理由. 答案 (13 m/s(212 J(3A 不可能向左運動5、 用輕彈簧相連的質(zhì)量均為2 kg 的A 、B 兩物塊都以v = 6 m /s 的速度在光滑的水平地面上運動,彈簧處于原長,質(zhì)量4 kg 的物塊C 靜止在前方,如圖所示.B 與C 碰撞后二者粘在一起運動.求:在以后的運動中: (1當彈簧的彈性勢能最大時,物體A 的速度多大? (2彈性勢能的最大值是多大? (3A 的速度有可能向左嗎?為什么?解析:(1當A 、B 、C 三者的速度相等時彈簧的彈性勢能最大.由于A 、B 、C 三者組成的系統(tǒng)動量守恒,(m A +m B v =(m A +m B +m C v A 解

7、得 v A =422622(+ m/s=3 m/s(2B 、C 碰撞時B 、C 系統(tǒng)動量守恒,設(shè)碰后瞬間B 、C 兩者速度為v ,則 m B v =(m B +m C v v =4262+=2 m/s 設(shè)物A 速度為v A 時彈簧的彈性勢能最大為E p ,根據(jù)能量守恒E p =21(m B +m C 2v ' +21m A v 2-21(m A +m B +m C 2'A v =21×(2+4×22+21×2×62-21×(2+2+4×32=12 J (3A 不可能向左運動系統(tǒng)動量守恒,m A v +m B v =m

8、A v A +(m B +m C v B設(shè) A 向左,v A <0,v B >4 m/s 則作用后A 、B 、C 動能之和E =21m A v A 2+21(m B +m C v B 2>21(m B +m C v B 2=48 J 實際上系統(tǒng)的機械能 E =E p +21(m A +m B +m C ·2'A v =12+36=48 J根據(jù)能量守恒定律,E '>E 是不可能的6、 如圖15所示,勁度系數(shù)為k 的輕彈簧,左端連著絕緣介質(zhì)小球B ,右端連在固定板上,放在光滑絕緣的水平面上。整個裝置處在場強大小為E 、方向水平向右的勻強電場中。現(xiàn)有

9、一質(zhì)量為m 、帶電荷量為+q 的小球A ,從距B 球為S 處自由釋放,并與B 球發(fā)生碰撞。碰撞中無機械能損失,且A 球的電荷量始終不變。已知B 球的質(zhì)量M=3m , B 球被碰后作周期性運動,其運動周期2T =、B 小球均可視為質(zhì)點。(1求A 球與B 球第一次碰撞后瞬間,A 球的速度V 1和B 球的速度V 2;(2要使A 球與B 球第二次仍在B 球的初始位置迎面相碰,求勁度系數(shù)k 的可能取值。 答案:(1設(shè)A 球與B 球碰撞前瞬間的速度為v 0,由動能定理得, 2012qES mv =解得: 0v = 碰撞過程中動量守恒 012mv mv Mv =+ 機械能無損失,有222012111222m

10、v mv Mv =+ 解得 1012v v =-= 負號表示方向向左 2012v v = 方向向右 (2要使m 與M 第二次迎面碰撞仍發(fā)生在原位置,則必有A 球重新回到O 處所用 的時間t 恰好等于B 球的1(2n T +Eqa m = 122v Tt nT a =+(n =0 、1 、2 、3 由題意得: 2T = 解得: 223(212Eq n k S+=(n =0 、1 、2 、3 7、下圖中,輕彈簧的一端固定,另一端與滑塊B 相連,B 靜止在水平導(dǎo)軌上,彈簧處在原長狀態(tài)。另一質(zhì)量與B 相同滑塊A ,從導(dǎo)軌上的P 點以某一初速度向B 滑行,當A 滑過距 離1l 時,與B 相碰,碰撞時間極

11、短,碰后A 、B 緊貼在一起運動,但互不粘連。已知最后A 恰好返回出發(fā)點P 并停止?；瑝KA 和B 與導(dǎo)軌的滑動摩擦因數(shù)都為,運動過程中彈簧最大形變量為2l ,求A 從P 出發(fā)時的初速度0v 。解:設(shè)A 、B 質(zhì)量皆為m ,A 剛接觸B 時速度為1v (碰前,由動能關(guān)系,有121202121m g l mv mv =- A 、B 碰撞過程中動量守恒,令碰后A 、B 共同運動的速度為.2v 有 212mv mv = 碰后A 、B 先一起向左運動,接著A 、B 一起被彈回,在彈簧恢復(fù)到原長時,設(shè)A 、B 的共同速度為3v ,在這過程中,彈簧勢能始末兩態(tài)都為零,利用動能定理,有2(2(2(212(21

12、22322l g m v m v m =- 此后A 、B 開始分離,A 單獨向右滑到P 點停下,由動能定理有12321mgl mv = 由以上各式,解得 1610(210l l g v += 1.如圖所示,EF 為水平地面,O 點左側(cè)是粗糙的,右側(cè)是光滑的,一輕質(zhì)彈簧右端與墻壁固定,左側(cè)與靜止在O 點質(zhì)量為m 的小物塊A 連結(jié),彈簧處于原長狀態(tài). 質(zhì)量為m 的物塊B 在大小為F 的水平恒力作用下由C 處從靜止開始向右運動,已知物塊B 與地面EO 段間的滑動摩擦力大小為4F,物塊B 運動到O 點與物塊A 相碰并一起向右運動(設(shè)碰撞時間極短,運動到D 點時撤去外力F,已知CO=4S,OD=S.求撤

13、去外力后(1彈簧的最大彈性勢能(2物塊B 最終離O 點的距離 1.解:B 與A 碰撞前速度由動能定理:202144(mv S F F W =-=得mFSv 60= B 與A 碰撞,由動量守恒定律有mv=2mv 1 .得mFSv 6211=碰后到物塊A 、B 運動至速度減為0,彈簧的最大彈性勢能FS mv FS E Pm 2522121=+=EC O D(2設(shè)撤去F 后,A 、B 一起回到O 點時速度為v 2,由機械能守恒得22221mv E Pm =,mFSv 252=。返回至O 點時,A 、B 開始分離,B 在摩擦力作用下向左做勻減速運動,設(shè)物塊B 最終離O 點最大距離為x ,由動能定理:2

14、221041mv Fx -=-,x=5S6.光滑水平面上放著質(zhì)量m A =1 kg 的物塊A 與質(zhì)量m B =2 kg 的物塊B ,A 與B 均可視為質(zhì)點,A 靠在豎直墻壁上,A 、B 間夾一個被壓縮的輕彈簧(彈簧與A 、B 均不拴接,用手擋住B 不動,此時彈簧彈性勢能E P =49 J .在A 、B 間系一輕質(zhì)細繩,細繩長度大于彈簧的自然長度,如圖所示.放手后B 向右運動,繩在短暫時間內(nèi)被拉斷,之后B 沖上與水平面相切的豎直半圓光滑軌道,其半徑R =0.5 m ,B 恰能到達最高點C .取g =10 m/s 2,求 (1繩拉斷后瞬間B 的速度v B 的大小; (2繩拉斷過程繩對B 的沖量I

15、的大小; (3繩拉斷過程繩對A 所做的功W . 答案 (15 m/s(24 N ·s(38 J解析 (1設(shè)B 在繩被拉斷后瞬間的速度為v B ,到達C 時的速度為v C ,有m B g =m B R c 2v21m B v B 2=21m B v C 2+2m B gR 代入數(shù)據(jù)得v B =5 m/s(2設(shè)彈簧恢復(fù)到自然長度時B 的速度為v 1,取水平向右為正方向,有E p =21m B v 12 I =m B v B -m B v 1 代入數(shù)據(jù)得I =-4 N ·s,其大小為4 N ·s(3設(shè)繩斷后A 的速度為v A ,取水平向右為正方向,有m B v 1=m

16、B v B +m A v A W =21m A v A 2 代入數(shù)據(jù)得W =8 J13、如圖所示,坡道頂端距水平面高度為h ,質(zhì)量為m 1的小物塊A 從坡道頂端由靜止滑下,進入水平面上的滑道時無機械能損失,為使A 制 動,將輕彈簧的一端固定在水平滑道延長線M 處的墻上,另一端與質(zhì)量為m 2的檔板相連,彈簧處于原長時,B 恰好位于滑道的末端O 點。A 與B 碰撞時間極短,碰撞后結(jié)合在一起共同壓縮彈簧。已知在 OM 段 A、B 與水平面間的動摩擦因數(shù)為 ，其余各處的摩擦不計，重力加速度為 g， 求 （1）物塊 A 在檔板 B 碰撞瞬間的速度 v 的大?。?（2）彈簧最大壓縮時為 d 時的彈性勢能

17、EP（設(shè)彈簧處于原長時彈性勢能為零） 。 45如圖所示，一輕質(zhì)彈簧的一端固定在滑塊 B 上，另一端與滑塊 C 接觸但未連接，該整 體靜止放在離地面高為 H 的光滑水平桌面上?，F(xiàn)有一滑塊 A 從光滑曲面上離桌面 h 高 處由靜止開始下滑下，與滑塊 B 發(fā)生碰撞（時間極短）并粘在一起壓縮彈簧推動滑塊 C 向前運動，經(jīng)一段時間，滑塊 C 脫離彈簧，繼續(xù)在水平桌面上勻速運動一段時間后從 桌面邊緣飛出。已知 mA = m, mB = m, mC = 3m, 求： （1）滑塊 A 與滑塊 B 碰撞結(jié)束瞬間的速度； （2）被壓縮彈簧的最大彈性勢能； （3）滑塊 C 落地點與桌面邊緣的水平距離。 解： （1）

18、滑塊 A 從光滑曲面上 h 高處由靜止開始滑下的過程中，機械能守恒，設(shè)其滑到底 面的速度為 v1，由機械能守恒定律有 m A gh = 1 m A v12 2 解得： v1 = 2 gh 滑塊 A 與 B 碰撞的過程，A、B 系統(tǒng)的動量守恒，碰撞結(jié)束瞬間具有共同速度設(shè)為 v2， 由動量守恒定律有 mA v1 = (mA + mB v2 解得： v 2 = 1 1 v1 = 2 gh 2 2 （2）滑塊 A、B 發(fā)生碰撞后與滑塊 C 一起壓縮彈簧，壓縮的過程機械能定恒，被壓縮 彈簧的彈性勢能最大時，滑塊 A、B、C 速度相等，設(shè)為速度 v3，由動量定恒定律有： mAv1 = (mA + mB +

19、 mC v3 v3 = 1 1 v1 = 2 gh 5 5 由機械能定恒定律有： E pm = 1 1 2 2 ( m A + m B v 2 - ( m A + m B + mC v 3 2 2 （3）被壓縮彈簧再次恢復(fù)自然長度時，滑塊 C 脫離彈簧，設(shè)滑塊 A、B 速度為 v4，滑 塊 C 的速度為 v5，分別由動量定恒定律和機械能定恒定律有： (mA + mB v2 = (mA + mB v4 + mC v5 1 1 1 2 2 2 ( m A + m B v 2 = ( m A + m B v 4 + mC v 5 2 2 2 1 2 2 gh , v5 = 2 gh （另一組解舍去）

20、 解之得： v 4 = - 10 5 滑塊 C 從桌面邊緣飛出后做平拋運動： S = v5 t H = 1 2 gt 2 4 Hh 5 解得之： S = 66如圖所示，在傾角為 的光滑斜面上有兩個用輕質(zhì)彈簧相連接的物塊 A 、B 它們的質(zhì)量分別為mA、mB，彈簧的勁度系數(shù)為k , C為一固定擋板。 系統(tǒng)處于靜止狀態(tài)?，F(xiàn)開始用一恒力F沿斜面方向拉物塊A 使之向上運動， 求物塊B 剛要離開C時物塊A 的加速度a 和從開始到此時物塊A 的位移d。 重力加速度為g。 解析：令x1表示未加F時彈簧的壓縮量，由胡克定律和牛頓定律可知 mAgsin=kx1 令x2表示B 剛要離開C時彈簧的伸長量，a表示此時

21、A 的加速度，由胡克定律和牛頓定 律可知 kx2=mBgsin FmAgsinkx2=mAa F - (m A + mB g sin q mA 由 式可得a= 由題意 d=x1+x2 (m A + m B g sin q k 由式可得d= 36.如圖所示，質(zhì)量均為 m 的物塊 A 和 B 用彈簧連結(jié)起來，將它們懸于空中靜 止，彈簧處于原長狀態(tài)，A 距地面高度 H=0.90m，同時釋放兩物塊，A 與地面 碰撞后速度立即變?yōu)榱?，由?B 的反彈，A 剛好能離開地面。若 B 物塊換為質(zhì) 量為 2m 的物塊 C（圖中未畫出） ，仍將它們懸于空中靜止且彈簧為原長，從 A 距地面高度為 H處同時釋放，設(shè) A 也剛好能離開地面。已知彈簧的彈性勢能 EP 與彈簧的勁度系數(shù) k 和形 1 2 變量 x 的關(guān)系是：EP= kx 。試求： （1）B 反彈后，彈簧的最大伸長量。 （2）H的大小 2 答案： （1）A 落地時，B 的速度為 B= 2gH 設(shè)反彈后