四點共圓例題及答案

1、1證明四點共圓的基本方法證明四點共圓有下述一些基本方法：方法1從被證共圓的四點中先選出三點作一圓，然后證另一點也在這個圓上， 若能證明這一點，即可肯定這四點共圓.方法2把被證共圓的四個點連成共底邊的兩個三角形，且兩三角形都在這底 邊的同側(cè)，若能證明其頂角相等，從而即可肯定這四點共圓.（若能證明其兩頂角為直角，即可肯定這四個點共圓， 且斜邊上兩點連線為該圓直徑。）方法3把被證共圓的四點連成四邊形，若能證明其對角互補或能證明其一個 外角等于其鄰補角的內(nèi)對角時，即可肯定這四點共圓.方法4把被證共圓的四點兩兩連成相交的兩條線段，若能證明它們各自被交 點分成的兩線段之積相等，即可肯定這四點共圓；或把被證

2、共圓的四點兩 兩連結(jié)并延長相交的兩線段，若能證明自交點至一線段兩個端點所成的兩 線段之積等于自交點至另一線段兩端點所成的兩線段之積，即可肯定這四 點也共圓.（根據(jù)托勒密定理 的逆定理）方法5證被證共圓的點到某一定點的距離都相等，從而確定它們共圓.上述五種基本方法中的每一種的根據(jù)，就是產(chǎn)生四點共圓的一種原因， 因此當(dāng)要求證四點共圓的問題時，首先就要根據(jù)命題的條件，并結(jié)合圖形 的特點，在這五種基本方法中選擇一種證法，給予證明.例1如圖，E、F、G H分別是菱形ABCD各邊的中點.求證：E、F、G H四點共圓.證明菱形ABCD勺對角線AC和BD相交于點0,連接0E OF OG OH AC和BD互相垂

3、直，在RtAOBRtBOCRtCODRtDOA中,E、F、G H,分別是AB BC CD DA的中點，2.0E = - AB, OF = -BC, OG二丄CD, OH = -DA2 2 2 2VAB = BC = CD =DA,OE = OF = OG = OH.即E、F、G H四點共圓.若四邊形的兩個對角互補(或一個外角等于它的內(nèi)對角)，則四點 共圓.例2如圖，在ABC中，AD丄BC,DEL AB, DF丄AC.求證：B E、F、C四點共圓.；證明TDEI AB DFLAC,/ /AEDbZ AFD=180 ,即A、E、D F四點共圓,/AEF=/ ADF又ADLBC, /AD阡/CDF=

4、90,/CD阡/FCD=90,/ADF/FCD/ AEF/FCD/BEFZFCB=180,即B、E、F、C四點共圓.(3)若兩個三角形有一條公共邊，這條邊所對的角相等，并且在公共 邊的同側(cè)，那么這兩個三角形有公共的外接圓.【例1】 在圓內(nèi)接四邊形ABCD中 /A-/C=12,且/A：/B=2：3.求 /A、/B、/C、/D的度數(shù).解四邊形ABCD內(nèi)接于圓，3/A+ZC=180A-ZC=12,ZA=96, ZC=84.vZA：ZB=2：3, 2ZB = 96QX - = 144c3ZD=180 -144=36.禾U用圓內(nèi)接四邊形對角互補可以解決圓中有關(guān)角的計算問題.本例利用圓內(nèi)接四邊形的一個外角

5、等于內(nèi)對角及平行線的同位角、圓中同弧所對的圓周角得到兩個相似三角形的條件，進(jìn)而得到結(jié)論.關(guān)于圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)，還有一個重要定理.現(xiàn)在中學(xué)課本一般都 不列入，現(xiàn)介紹如下：命題“菱形都內(nèi)接于圓”對嗎?命題“菱形都內(nèi)接于圓”是不正確的.所以是假命題.理由是：根據(jù) 圓的內(nèi)接四邊形的判定方法之一，如果一個四邊形的一組對角互補，那么 這個四邊形內(nèi)接于圓.這個判定的前提是一組對角互補，而菱形的性質(zhì)是 一組對角相等.而一組相等的角，它們的內(nèi)角和不一定是180.如果內(nèi)角和是180，而且又相等，那么只可能是每個內(nèi)角等于90，既具有菱 形的性質(zhì)，且每個內(nèi)角等于90，那末這個四邊形一定是正方形.而正 方形顯然是菱形

6、中的特例，不能說明一般情形.判定四邊形內(nèi)接于圓的方法之二，是圓心到四邊形四個頂點的距離相 等.圓既是中心對稱圖形，又是軸對稱圖形，它的對稱中心是圓心.菱形 同樣既是中心對稱圖形，又是軸對稱圖形，它的對稱中心是兩條對角線的 交點.但菱形的對稱中心到菱形各個頂點的距離不一定相等.所以，也無法確定菱形一定內(nèi)接于圓；如果菱形的對稱中心到菱形各邊頂點的距離相 等，再加上菱形的對角線互相垂直平分這些性質(zhì)，那么這個四邊形又必是正方形.綜上所述，“菱形都內(nèi)接于圓”這個命題是錯誤的.5圓的內(nèi)接四邊形4例1已知：如圖7-90,ABCD是對角線互相垂直的圓內(nèi)接四邊形，通過對 角線的交點E與AB垂直于點H的直線交CD

7、于點M.求證：CM=MD證明/ME(與/HEB互 余，/ABE與/HEB互 余，所以/MECMABE又/ABEWECM所以/MECMECM從而CM=EM同理MD=EM所以CM=MD點評 本例的逆命題也成立(即圖中若M平分CD則MHL AB.這兩個命 題在某些問題中有時有用.本例叫做婆羅摩笈多定理.例2已知：如圖7-91,ABCD是OO的內(nèi)接四邊形，ACLBD,OE丄AB于點E.求證：OE二;CD.厶E TT1分析一 如圖7-91(a),由于E是AB的中點，從A引OO的直徑丸G, 0是AG的中點，由三角形中位線定理可知OEJGB,因此只予2需證明GB=CD但這在第七章E1.4圓周角中的例3已經(jīng)證

8、明了.證明讀者自己完成.*分析二 如圖7-91(b)，設(shè)AC, BD垂直于點F.取CD的D圖7-905中點皿則MF所以應(yīng)該有OE = MF,并且由例啲點評知道還6有OE/ MF從而四邊形OEFM應(yīng)該是平行四邊形證明了四邊形OEFM是平 行四邊形，問題也就解決了而證明四邊形OEFM是平行四邊形已經(jīng)沒有什么困 難了.*分析三 如圖79(b),通過ACBD的交點F作AB的垂線交CD于點M連 結(jié)線段EF, MO由于OELAB, FML AB,所以O(shè)E/ FM又由于EF丄CD(見例1的點評)，MOL CD所以EF/ MO所以四邊形OEF麗平行四邊形從而OE=MJF而由例1知MF二 R 所以0E二CD例4

9、已抓 如團(tuán)7-93 , P為等邊三角形ABC的外接劇的BC上任意一點.求證：PA=PB+P.C分析一本例是線段和差問題，因此可用截取或延長的方法證明.如圖7-93(a),在PA上取點M,使PM=PB剩下的問題是證明MA=PC這只要證明 ABMACBP就 可以了.證明讀者自己完成.分析二 如圖7-93(a),在PA上取點M使MA=PC剩下的問題是證明PM=PB這只要證明BPM是等邊三角形就可以了.證明讀者自己完成.團(tuán)793分析三 如圖7-93 (b),延長CP到M使PM=PB剩下的問題是證明PA=MC這只要證明PABACMBt可以了.證明讀者自己完成.讀者可仿以上的方法擬出本例的其他證明.7*本

10、例最簡單的證明是利用托勒玫定理（例3）.證明由托勒玫定理得PA- BC=PB AC+PC AB,由于BC=AC=AB所以有PA=PB+PC例2如圖7116,0O和。O都經(jīng)過A、B兩點，經(jīng)過點A的直線CD與OO交于點C,與OO交于點D.經(jīng)過點B的直線EF與OO交于點E,與OC2交于點F.求證：CE/ DF.分析：要證明CE/ DF.考慮證明同位角（或內(nèi)錯角）相等或同旁內(nèi)角 互補.由于CE DF分別在兩個圓中，不易找到角的關(guān)系，若連結(jié)AB則 可構(gòu)成圓內(nèi)接四邊形，利用圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)定理可溝通兩圓中有關(guān)角 的關(guān)系.證明：連結(jié)AB. ABEC是圓內(nèi)接四邊形，/ BADE. ADFB是圓內(nèi)接四邊形，/

11、 BADbZ F=180,/E+ZF=180. CE/ CF.說明：（1）本題也可以利用同位角相等或內(nèi)錯角相等，兩直線平行證明.如延長EF至G,因為ZDFGZBAD而ZBADZE,所以ZDFGZE.應(yīng)強調(diào)本題的輔助線是為了構(gòu)成圓內(nèi)接四邊形，以利用它的性質(zhì),導(dǎo)出角之間的關(guān)系.8(3)對于程度較好的學(xué)生，還可讓他們進(jìn)一步思考，若本題不變，但 不給出圖形，是否還有其他情況？問題提出后可讓學(xué)生自己畫圖思考， 通過討論明確本題還應(yīng)有如圖7117的情況并給予證明.例3如圖7118，已知在厶ABC中,AB=AC BD平分/B,AABD的外接 圓和BC交于E.求證 ：AD=EC分析：要證AD=EC不能直接建立

12、它們的聯(lián)系，考慮已知條件可知/ABD=/DBE容易看出AD=DE.若連結(jié)DE則有AD=DE因此只要證DE=EC由于DE和DEC的兩邊，所以只要證/EDChC.由已知條 件可知/C=ZABC因此只要證/EDCMABC因為EDC是圓內(nèi)接四邊形ABED勺一個外角，所以可證/EDChABC問題可解決.證明：連結(jié)DETBD平分/ABCTABED是圓內(nèi)接四邊形，/ EDChABCTAB=AC/ ABCM C,AZEDC=ZC.于是有DE=EC因此AD=EC四、作業(yè)1.如圖7120，在圓內(nèi)接四邊形ABC沖，AC平分BD并且ACL BD/BAD=7018,求四邊形其余各角.AD=DE，AD=DE囲7-L1&a

13、mp;92.圓內(nèi)接四邊形ABCD中,ZA、/B、/C的度數(shù)的比為2:3:6, 求四邊形各內(nèi)角的度數(shù).3.如圖7121,人。是厶ABC外角ZEAC的平分線，AD與三角形的外 接圓交于點D.求證：DB=DC作業(yè)答案或提示:1.ZABCZADC=90, ZBCD=109 42.2.ZA=45,ZB=67.5,ZC=135, ZD=112.5.3.提示：因為ZDBCZDACZEADZDCBZEADZDAC所以ZDBC=ZDCB因此DB=DC判定四點共圓的方法引導(dǎo)學(xué)生歸納判定四點共圓的方法：(1)如果四個點與一定點距離相等，那么這四個點共圓.(2)如果一個四邊形的一組對角互補，那么這個四邊形的四個頂點共

14、 圓.(3)如果一個四邊形的一個外角等于它的內(nèi)對角，那么這個四邊形的 四個頂點共圓.(4)如果兩個直角三角形有公共的斜邊， 那么這兩個三角形的四個頂 點共圓(因為四個頂點與斜邊中點距離相等).3.如圖7124,已知ABC助平行四邊形,過點A和B的圓與AD、BC分別交于E、F.求證：C D E、F四點共圓.圖7-121A圉7-12010提示連結(jié) EF.由/ B+ / AEF=180 ，/ B +ZC=180 ，可得/ AEF= / C .四點共圓的應(yīng)用四點共圓在平面幾何證明中應(yīng)用廣泛，熟悉這種應(yīng)用對于開闊證題思 路，提高解題能力都是十分有益的.一用于證明兩角相等例1如圖1,已知P為外一點，PA切

15、于A,PB切于B,0P交AB于E.求證：/APC=ZBPD證明連結(jié)OA OC 0D由射影定理，得AE!=PEE0又AE=BE,則AE- BE=PE- E0(1);由相交弦定理， 得AE- BE= CE- DE(2); 由、(2)得CE- ED=PE- E0二P、C 0 D四點共圓，則/1=72,/3=74,又72=74.AZ1= 73,易證7APC=ZBPD(/4=7ED0)用于證明兩條線段相籌例2如圖2,從。0外一點P引切線PA PB和割線PDC從A點作弦AE平行于DC連結(jié)BE交DC于F,求證：FC=FD.11證明連結(jié)AD AF EC AB.vPA切OO于A,則/1= Z2,vAE/CD,則

16、/2=Z4.AZ仁/4,Ap、AF、B四點共圓./5=/6,而 /5=/2=/3,A/3=/6.vAE/CD,/EC=A D且/ECF/ADF EFCAAFDFC=FD.用于證明兩直線平行例3如圖3,在厶ABC中,AB=AC ADL BC,/B的兩條三等分線交AD于E、G交AC于F、H.求證：EH/ GC證明 連結(jié)EC在厶ABE和厶ACE中,vAE=AE, AB=AC/BAE=/CAEAEBAEC/5=/1= /2, B、C、H、E四點共圓,/6=/3.在GEBGEC中 ,vGE= GE/BE/CEG EB= EC, GEBGEC/4=/2=/3, /4=/6.AEH/ GC12四 用于證明兩

17、直線垂直例4如圖ABC為等邊三角形,D、E分別為EG如池上的點， 且BD CE = |ACfAD與BE相交于P點.求證:CP1AD,證明 在厶ABDPBCE中，：AB=BCZABB/BCE BD= CE則厶ABDABCEADB/BEC二P、D C E四點共圓.設(shè)DC的中點為O連結(jié)OE DE易證/OEG60,/DE 30二/DEG 90,于是/DPC=90，二CP丄AD.五用于判定切線例5如圖5,AB為半圓直徑，P為半圓上一點，PCLAB于C,以AC為直 徑的圓交PA于D,以BC為直徑的圓交PB于E,求證：DE是這兩圓的公 切線.證明連結(jié)DC CE易知/PDG/PEG 90,二P、D、C、E四點

18、 共圓，于是/ 仁/3,而/3+/2=90,/A+/2=90，則/1= /A, DE是圓ACD的切線.同理，DE是圓BCE的切線.因而DE為兩圓的公切 線六用于證明比例式例6 AB CD為OO中兩條平行的弦，過B點的切線交CD的延長線于G,弦PA PB分別交CD于E、F.13EF FDCF FG證明 如圖6.連結(jié)BE PGTBG切OO于B,則/仁/A.vAB/ CD則/A=Z2.于是/1二/2,Ap、G B E四點共圓.由相交弦定理， 得EF- FG=PFFB.在OO中，由相交弦定理，得CF- FD=FPFB.七用于證明平方式例7 ABC助圓內(nèi)接四邊形，一組對邊AB和DC延長交于P點，另一 組對邊AD和BC延長交于Q點，從P、Q引這圓的兩條切線，切點分別是E、F，（如圖7）求證：PQ=QF+PE.證明 作厶DCC的外接圓，交PQ于M連結(jié)MCvZ仁/2=/3,貝U P、B、C、M四點共圓.由圓幕定理得PE=PC- PD=PM- PQ QF=QCQB=QMQP兩式相加得PE+QF=PM-PC+QMQP=PQ（P+QM=PQ-PQ=