數(shù)模體能測(cè)試數(shù)學(xué)模型論文

1、體能測(cè)試時(shí)間安排優(yōu)化模型摘要本文討論了一類(lèi)時(shí)間表優(yōu)化問(wèn)題。首先，我們根據(jù)機(jī)器測(cè)試時(shí)間和臺(tái)數(shù)求得所需總時(shí)間段數(shù)的下屆為4。在同一個(gè)班級(jí)人數(shù)不進(jìn)行分組的前提下，將56個(gè)班級(jí)分成19個(gè)小組，計(jì)算出每個(gè)小組測(cè)試完所有項(xiàng)目所需的時(shí)間。然后建立了0-1規(guī)劃模型，將這19個(gè)小組的時(shí)間段放入每天的兩個(gè)測(cè)試時(shí)間段內(nèi)，使得全部放完這19個(gè)小組的時(shí)段所需要的總測(cè)試時(shí)間段數(shù)最少，并求得最少測(cè)試時(shí)間段數(shù)恰好為下屆4段。其次，為了節(jié)省學(xué)生等待時(shí)間，我們將每個(gè)班級(jí)人數(shù)進(jìn)行分組，每組為20人，共分成103組。由于這20人最多來(lái)自?xún)蓚€(gè)不同的班級(jí)，我們求得完成20人的時(shí)間只可能為425秒、430秒、435秒這三種情況。這樣將原來(lái)

2、問(wèn)題轉(zhuǎn)化為怎樣用最少時(shí)間段數(shù)放入102個(gè)435秒。通過(guò)求解得到的時(shí)間段數(shù)為4段，等待時(shí)間最長(zhǎng)的同學(xué)僅需等待2.6分鐘，從而說(shuō)明了分組的必要。最后，通過(guò)給出了每項(xiàng)測(cè)試的人均時(shí)間應(yīng)該相等的結(jié)論，用來(lái)配置機(jī)器臺(tái)數(shù)，并討論了場(chǎng)地容量對(duì)所需時(shí)段和等待時(shí)間的影響。關(guān)鍵詞：等待時(shí)間時(shí)間段數(shù)時(shí)間等級(jí)分組一、問(wèn)題重述某校按照教學(xué)計(jì)劃安排各班學(xué)生進(jìn)行體能測(cè)試，以了解學(xué)生的身體狀況。測(cè)試包括身高與體重、立定跳遠(yuǎn)、肺活量、握力和臺(tái)階試驗(yàn)共5個(gè)項(xiàng)目，均由電子儀器自動(dòng)測(cè)量、記錄并保存信息。該校引進(jìn)身高與體重測(cè)量?jī)x器3臺(tái)，立定跳遠(yuǎn)、肺活量測(cè)量?jī)x器各1臺(tái)，握力和臺(tái)階試驗(yàn)測(cè)量?jī)x器各2臺(tái)。身高與體重、立定跳遠(yuǎn)、肺活量、握力4個(gè)項(xiàng)

3、目每臺(tái)儀器每個(gè)學(xué)生的平均測(cè)試（包括學(xué)生的轉(zhuǎn)換）時(shí)間分別為10秒、20秒、20秒、15秒，臺(tái)階試驗(yàn)每臺(tái)儀器一次測(cè)試5個(gè)學(xué)生，需要3分30秒。每個(gè)學(xué)生測(cè)試每個(gè)項(xiàng)目前要錄入個(gè)人信息，即學(xué)號(hào)，平均需時(shí)5秒。儀器在每個(gè)學(xué)生測(cè)量完畢后學(xué)號(hào)將自動(dòng)后移一位，于是如果前后測(cè)試的學(xué)生學(xué)號(hào)相連，就可以省去錄入時(shí)間，而同一班學(xué)生的學(xué)號(hào)是相連的。學(xué)校安排每天的測(cè)試時(shí)間為8：0012：10與13：3016：45兩個(gè)時(shí)間段。5項(xiàng)測(cè)試都在最多容納150個(gè)學(xué)生的小型場(chǎng)所進(jìn)行，測(cè)試項(xiàng)目沒(méi)有固定的先后順序。參加體能測(cè)試的各班人數(shù)見(jiàn)附表。學(xué)校要求同一班的所有學(xué)生在同一時(shí)間段內(nèi)完成所有項(xiàng)目的測(cè)試，并且在整個(gè)測(cè)試所需時(shí)間段數(shù)最少的條件下

4、，盡量節(jié)省學(xué)生的等待時(shí)間。請(qǐng)你用數(shù)學(xué)符號(hào)和語(yǔ)言表述各班測(cè)試時(shí)間安排問(wèn)題，給出該數(shù)學(xué)問(wèn)題的算法，盡量用清晰、直觀(guān)的圖表形式為學(xué)校工作人員及各班學(xué)生表示出測(cè)試時(shí)間的安排計(jì)劃，并且說(shuō)明該計(jì)劃怎樣滿(mǎn)足學(xué)校的上述要求和條件。最后，請(qǐng)對(duì)學(xué)校以后的體能測(cè)試就以下方面提出建議，并說(shuō)明理由：如引進(jìn)各項(xiàng)測(cè)量?jī)x器的數(shù)量；測(cè)試場(chǎng)所的人員容量；一個(gè)班的學(xué)生是否需要分成幾個(gè)組進(jìn)行測(cè)試等。附表參加體能測(cè)試的各班人數(shù)班號(hào)123456789101112131415人數(shù)414544442644422020383725454545班號(hào)161718192021222324252627282930人數(shù)44203039353838282

5、5303620243233班號(hào)313233343536373839404142434445人數(shù)413351392020443738394240375050班號(hào)4647484950515253545556人數(shù)4243414245421939751717二、問(wèn)題分析首先，我們?cè)诓豢紤]將一個(gè)班級(jí)的學(xué)生分成幾個(gè)小組的情況下，求解最小的時(shí)間段數(shù)和學(xué)生等待時(shí)間。通過(guò)對(duì)機(jī)器臺(tái)數(shù)、每個(gè)項(xiàng)目測(cè)試時(shí)間和場(chǎng)地容量等因素的分析計(jì)算，我們將所有的56個(gè)班級(jí)人數(shù)劃分成19個(gè)小組，其中最后一個(gè)小組只有2個(gè)班級(jí)，其余小組的班級(jí)數(shù)量均為3。并且，每個(gè)小組內(nèi)的班級(jí)人數(shù)比較接近，這樣可以減少等待時(shí)間。我們算出每個(gè)小組測(cè)試所需要的最

6、少時(shí)間，然后將19個(gè)小組的時(shí)間段進(jìn)行合理組合，以便得到最少的時(shí)間段數(shù)能包含這所有的19個(gè)時(shí)間段。其次，在保證時(shí)間段數(shù)最少的情況下，若我們將同一班級(jí)人數(shù)進(jìn)行合理的分組，按照我們定義的等待時(shí)間，沒(méi)有進(jìn)入測(cè)試場(chǎng)所的同學(xué)不算是等待，這樣可較大程度上節(jié)約學(xué)生的等待時(shí)間，從而說(shuō)明分組是必要的。3、 模型假設(shè)和符號(hào)約定（ 1） 忽略人員進(jìn)入和離開(kāi)測(cè)試場(chǎng)地所用時(shí)間；（ 2） 假設(shè)學(xué)生等待時(shí)間指該生進(jìn)入測(cè)試場(chǎng)地后開(kāi)始的等待時(shí)間，不考慮其在未進(jìn)入測(cè)試場(chǎng)地之前的時(shí)間；（ 3） 把身高與體重、立定跳遠(yuǎn)、肺活量、握力、臺(tái)階實(shí)驗(yàn)測(cè)試分別稱(chēng)為第一、二、三、四、五項(xiàng)測(cè)試；（ 4） 五個(gè)測(cè)試項(xiàng)目沒(méi)有先后順序；（ 5） 任何班級(jí)

7、的學(xué)生做完所有測(cè)試即可離開(kāi)場(chǎng)地；（ 6） Ti第i輪測(cè)試所花費(fèi)的時(shí)間；（ 7） ni第i個(gè)班級(jí)的人數(shù)。4、 模型的建立與求解由于56個(gè)班級(jí)的總?cè)藬?shù)為2036，假設(shè)每臺(tái)機(jī)器不停止工作，所有人完成第一項(xiàng)測(cè)試至少需要2036X10+3+56X5=7066.67（s）。同理可得所有人完成第二、三、四、五項(xiàng)測(cè)試至少需要的時(shí)間分別為41000、41000、15550、43036秒。那么，至少需要43036秒才能讓所有人完成全部的測(cè)試項(xiàng)目。由于時(shí)間段長(zhǎng)一次為15000秒、11700秒，因此至少需要4個(gè)時(shí)間段才能完成所有人的測(cè)試項(xiàng)目，即時(shí)間段的下屆為4段。在不對(duì)單個(gè)班級(jí)進(jìn)行分組的前提下，由于第五項(xiàng)每次可以測(cè)5

8、名學(xué)生，且有兩臺(tái)機(jī)器，則對(duì)不同班級(jí)的總?cè)藬?shù)，可得班級(jí)測(cè)試完第五項(xiàng)所需時(shí)間分布表：表1班級(jí)總?cè)藬?shù)（單位：人）測(cè)試完臺(tái)階實(shí)驗(yàn)所需時(shí)間（單位：秒）11021511204252130635314084341501055516012656170147571801685當(dāng)人數(shù)多余80時(shí)，可以依次類(lèi)推班級(jí)人數(shù)為n時(shí)測(cè)試臺(tái)階實(shí)驗(yàn)所需時(shí)間計(jì)算公式為：t=2+510定義：在只進(jìn)行第五項(xiàng)測(cè)試時(shí)，把所有人數(shù)可能不同但測(cè)試完第五項(xiàng)所需時(shí)間相同的班級(jí)稱(chēng)為一個(gè)時(shí)間等級(jí)。例如：班級(jí)人數(shù)為35和40的兩個(gè)班級(jí)分別做完第五項(xiàng)測(cè)試所用時(shí)間均為845秒，那么按照，這兩個(gè)班級(jí)為同一時(shí)間等級(jí)。命題1:假設(shè)同一班級(jí)的人數(shù)不在進(jìn)行分組，若每

9、次同時(shí)進(jìn)入測(cè)試場(chǎng)地的班級(jí)數(shù)為3,且每個(gè)班級(jí)的人數(shù)不小于17人時(shí)，那么有：同時(shí)進(jìn)入場(chǎng)地的3個(gè)班級(jí)全部完成第二項(xiàng)、第三項(xiàng)、第五項(xiàng)測(cè)試所需時(shí)間與這3個(gè)班級(jí)完成所有五項(xiàng)測(cè)試所需時(shí)間相同。證明：假設(shè)同時(shí)入場(chǎng)的班級(jí)分別為a、C2、C3,其人數(shù)分別為n明、03o(1)現(xiàn)讓這三個(gè)班級(jí)分別去做第二、三、五項(xiàng)測(cè)試，這三個(gè)班級(jí)都已經(jīng)完成各自的測(cè)試稱(chēng)為第一輪;(2)第一輪測(cè)試完成后，讓c1班去做第三項(xiàng)測(cè)試，讓c2班去做第五項(xiàng)測(cè)試，讓C3班去做第二項(xiàng)測(cè)試，這三個(gè)班級(jí)都已經(jīng)完成各自的測(cè)試稱(chēng)為第二輪；(3)第二輪結(jié)束后，依次類(lèi)推，讓a班去做第五項(xiàng)測(cè)試，讓0?班去做第二項(xiàng)測(cè)試,讓C3班去做第三項(xiàng)測(cè)試，這三個(gè)班級(jí)都已經(jīng)完成各自

10、的測(cè)試稱(chēng)為第三輪。如表2所示：表2第二項(xiàng)測(cè)試第三項(xiàng)測(cè)試第五項(xiàng)測(cè)試第一輪第二輪第二輪在第一輪中，ci班的第一個(gè)學(xué)生在做完第二項(xiàng)測(cè)試后，該同學(xué)完全可以利用等待該班第二位同學(xué)的第二項(xiàng)測(cè)試的時(shí)間去進(jìn)行第一項(xiàng)測(cè)試(共需要10+5秒)，而當(dāng)他測(cè)試完第二項(xiàng)時(shí)，Ci班第二位同學(xué)依然在進(jìn)行第二項(xiàng)測(cè)試，而此時(shí)Ci班的第一個(gè)同學(xué)再去做第四項(xiàng)測(cè)試，由于ci班的人數(shù)不小于17,因此ci班還有部分同學(xué)尚未完成第二項(xiàng)測(cè)試。Ci班的第二個(gè)同學(xué)完全按照該班第一個(gè)同學(xué)的路線(xiàn)進(jìn)行，以此類(lèi)推。那么該班級(jí)除了后兩位同學(xué)，其余均可以在ci班全部測(cè)完第二項(xiàng)之前，也完成第一、四項(xiàng)的測(cè)試。倒數(shù)后兩位可以在第二輪開(kāi)始，即C1進(jìn)行第三項(xiàng)測(cè)試時(shí)，離

11、開(kāi)C1班隊(duì)列去做完第一、四項(xiàng)測(cè)試，然后回到對(duì)列繼續(xù)等待第三項(xiàng)測(cè)試。由于第三項(xiàng)測(cè)試的機(jī)器為三臺(tái)，第四項(xiàng)測(cè)試的機(jī)器為二臺(tái)，完全足夠，并且在第一輪中Ci和C2班分別做第二、三項(xiàng)的時(shí)間均為20秒每人，C2班的同學(xué)白W各線(xiàn)與C1班相似。對(duì)于C3班也可以在第一、二、三輪測(cè)試的間隙完成第一、四項(xiàng)的測(cè)試。另外，第二、三項(xiàng)測(cè)試需要20秒，而第五項(xiàng)測(cè)試序言210秒，但可以同時(shí)測(cè)試5人且有2臺(tái)機(jī)器，那么人均耗時(shí)約為21秒。并有以上的命題討論我們知道若三個(gè)班級(jí)的人數(shù)相差不大，則比較節(jié)約時(shí)間，因此我講56個(gè)班級(jí)分組，每組的班級(jí)同時(shí)入場(chǎng)。組號(hào)班級(jí)編號(hào)對(duì)應(yīng)的人數(shù)第1組(525556)(191717)第2組(273536)(

12、202020)第3組(8917)(202020)第4組(122428)(252524)第5組(25235)(302826)第6組(322918)(333230)第7組(262030)(363533)第8組(113843)(373737)第9組(212239)(383838)第10組(405310)(393838)第11組(421934)(403939)第12組(13148)(414141)第13組(464951)(424242)第14組(47741)(434242)第15組(61637)(444444)第16組(4350)(444445)第17組(131415)(454545)第18組(245

13、44)(455050)第19組(5433)(7551)按照表3,可以分一下兩種情況討論：情況一：若該組中的三個(gè)班級(jí)人數(shù)為1、n2、n3均處于同一時(shí)間等級(jí)，則完成第一輪測(cè)試所需時(shí)間為：Ti=210?%+5（這里是上取整數(shù)函數(shù)）；10這是因?yàn)槿舭嗉?jí)人數(shù)小、電、n3處于同一時(shí)間等級(jí)，則顯然有：20Xmaxni210X叫；i1，210再加上第一位同學(xué)錄入學(xué)號(hào)的5秒，則完成第一輪總共所需時(shí)間為：T1=210?曳+510同理可得第二、三輪時(shí)間分別為T(mén)2=210?n2+5和T3=210?四+5；1010則完成三輪測(cè)試所需的時(shí)間為:3丁=丁+丁2+丁3=210?i 15+1510(1)有上面的分組我們可以知道

14、除了第6、19兩組，其他分組均出在同一時(shí)間等級(jí),可按照（1）式計(jì)算完成時(shí)間（結(jié)果見(jiàn)表5)情況二：若三個(gè)班級(jí)不全處于同一時(shí)間等級(jí)，則由于人數(shù)不同有多種情況出現(xiàn)，具體情況時(shí)具體計(jì)算這里不給出計(jì)算公式。表3中有兩組的班級(jí)不同一時(shí)間等級(jí)，這兩組為第6組和第19組。現(xiàn)在分別計(jì)算器完成時(shí)間:第二項(xiàng)測(cè)試第三項(xiàng)測(cè)試第五項(xiàng)測(cè)試每輪測(cè)試所需要的時(shí)間（秒）班級(jí)編號(hào)（人數(shù)）所需時(shí)間（秒）班級(jí)編號(hào)（人）所需時(shí)間（秒）班級(jí)編號(hào)（人）所需時(shí)間（秒）第一輪32(33)66529(32)64518(30)635665第二輪18(30)60532(33)66529(32)845845第二輪29(32)64518(30)60532

15、(33)845845由表4得完成三輪測(cè)試所需的總時(shí)間T=665+845+845=2355秒。同理可得第19組完成三輪測(cè)試所需的總時(shí)間T=4695秒。綜合上面兩種情況，我們得到所有組合做完全部測(cè)試的時(shí)間如下表所示：表5組號(hào)班級(jí)編號(hào)對(duì)應(yīng)的人數(shù)測(cè)試所需時(shí)間第1組(525556)(191717)1275第2組(273536)(202020)1275第3組(8917)(202020)1275第4組(122428)(252524)1905第5組(25235)(302826)1905第6組(322918)(333230)2355第7組(262030)(363533)2535第8組(113843)(37373

16、7)2535第9組(212239)(383838)2535第10組(405310)(393838)2535第11組(421934)(403939)2535第12組(13148)(414141)3165第13組(464951)(424242)3165第14組(47741)(434242)3165第15組(61637)(444444)3165第16組(4350)(444445)3165第17組(131415)(454545)3165第18組(24544)(455050)3165第19組(5433)(7551)4695現(xiàn)在問(wèn)題轉(zhuǎn)化為：將上述19個(gè)時(shí)間按照某種組合方式全部填入每天的兩個(gè)時(shí)間段,從而使得

17、所需的總時(shí)間段數(shù)最少。設(shè)n表示所需的時(shí)間段總數(shù)，ti表示表5中第i個(gè)組合所需時(shí)間，Sj表示第j個(gè)時(shí)間段長(zhǎng)度，其中i=1,2,.19；j=1,2,.n.顯然有：15000，若這個(gè)時(shí)段為上午時(shí)段；sj=,11700,若這個(gè)時(shí)段為下午時(shí)段.進(jìn)一步假設(shè)0-1變量%：,1,若第i組被分配到第j個(gè)時(shí)間段;0,反之其中 i=1, 2, .19 ; j=1, 2,即得到0-1規(guī)劃模型一:ns.t.Ci,j=1；i=1,2,.,19;j119Ci,j?tiSj；j=1,2,.n.i1上述模型中:第一個(gè)約束表示每個(gè)組能且只能安排在某一時(shí)段；第二個(gè)約束表示安排進(jìn)任一時(shí)段的所有組的測(cè)試總時(shí)間必不大于該時(shí)段長(zhǎng)度。利用L

18、INGO編程解得結(jié)果如下：組號(hào)班級(jí)號(hào)班級(jí)人數(shù)測(cè)試時(shí)間安排第天上午第1組(525556)(191717)8:00:008:21:15第2組(273536)(202020)8:21:158:42:30第7組(262020)(363533)8:42:309:24:45第8組(113843)9373737)9:24:4510:07:00第9組(212239)(383838)10:07:0010:49:15第19組(5433)(7551)10:49:1512:07:30下午第5組(25235)(302826)13:30:0014:01:45第15組(61637)(444444)14:01:4514:54

19、:30第16組(4350)(444445)14:54:3015:47:15第17組(131415)(454545)15:47:1516:40:00第天上午第3組(8917)(202020)8:00:008:21:15第4組(122428)(252524)8:21:158:53:00第10組(405310)(393838)8:53:009:35:15第11組(421934)(403939)9:35:1510:17:30第13組(464951)(424242)10:17:3011:10:15第14組(47741)(434242)11:10:1512:03:00下午第6組(322918)(33323

20、0)13:30:0014:2109:15第12組(13148)(414141)14:009:1515:02:00第18組(24544)(455050)15:02:0015:54:45由結(jié)果可知整個(gè)測(cè)試所需時(shí)間段數(shù)最少為4段。由于已經(jīng)知道所需時(shí)段的下限也是4,故以上結(jié)果為最優(yōu)方案。對(duì)于以上的方案，基于假設(shè)（2）和（5）,每個(gè)組最后一名離開(kāi)的同學(xué)（在該組中等待時(shí)間最長(zhǎng)）等待時(shí)間完全由分組情況決定，與該組進(jìn)入次序無(wú)關(guān)。因?yàn)樽詈笠幻瑢W(xué)的等待時(shí)間即為該組所需時(shí)間減去275秒（每個(gè)同學(xué)完成五項(xiàng)測(cè)試的時(shí)間）。則由表5可得，每組等待時(shí)間最長(zhǎng)的同學(xué)的等待時(shí)間。第一組最后一名同學(xué)總等待時(shí)間為1275-275=1

21、000秒；第19組最后一名同學(xué)總等待時(shí)間為4420秒（約1.23個(gè)小時(shí)）。等待時(shí)間較長(zhǎng)，需要改進(jìn).當(dāng)班級(jí)人數(shù)較多時(shí)，若不對(duì)同一個(gè)班級(jí)的學(xué)生分組會(huì)使得學(xué)生的等待時(shí)間較長(zhǎng)。為了減少學(xué)生的等待時(shí)間，可以將同一個(gè)班級(jí)人數(shù)分組進(jìn)入場(chǎng)地進(jìn)行測(cè)試。現(xiàn)在考慮對(duì)同一班級(jí)學(xué)生進(jìn)行分組的情況。命題2:若每次同時(shí)進(jìn)入場(chǎng)地的人數(shù)為20人，且這20人學(xué)好順序相連，則完成這20人全部的5項(xiàng)測(cè)試最少需要425秒，且可以達(dá)到425秒。證明：首先證明至少425秒。因?yàn)榧词共豢紤]其他4項(xiàng)，只做完第五個(gè)項(xiàng)目，這20人就需要425秒（見(jiàn)表1）。其次證明可以達(dá)到425秒。我們假設(shè)這20人的學(xué)號(hào)次序?yàn)閺?到20,則讓學(xué)號(hào)為1到5的學(xué)生測(cè)試

22、第一臺(tái)臺(tái)階試驗(yàn)機(jī)，與此同時(shí)讓學(xué)號(hào)為6到10的學(xué)生測(cè)試立定跳遠(yuǎn)，讓學(xué)號(hào)為11到15的同學(xué)測(cè)試第二臺(tái)臺(tái)階實(shí)驗(yàn)機(jī)，讓學(xué)號(hào)為16到20的同學(xué)測(cè)試肺活量。如下圖所示：立定跳遠(yuǎn)肺活量學(xué)號(hào)616717學(xué)號(hào)1-2-臺(tái)階實(shí)驗(yàn)學(xué)號(hào)1112臺(tái)階實(shí)驗(yàn)學(xué)號(hào)10181920這樣1620號(hào)與610號(hào)同時(shí)測(cè)完時(shí)測(cè)完（都用了 105秒），這兩輪共用了131415（都用了 105秒）。兩個(gè)交換測(cè)試項(xiàng)目每次同210秒，而測(cè)試臺(tái)階的兩個(gè)組由于要用215秒，因此第二輪進(jìn)行太極實(shí)驗(yàn)測(cè)試的組還在繼續(xù)測(cè)試。過(guò)程如下圖所示:立定跳遠(yuǎn)肺活量臺(tái)階實(shí)驗(yàn)臺(tái)階實(shí)驗(yàn)學(xué)號(hào)學(xué)號(hào)學(xué)號(hào)學(xué)號(hào)16111712181319142010156101620這兩組在等待了5

23、秒后有同時(shí)去做臺(tái)階實(shí)驗(yàn)測(cè)試,由于學(xué)號(hào)剛好能銜接，不需要輸入學(xué)號(hào)時(shí)間。做完臺(tái)階實(shí)驗(yàn)測(cè)試的兩組去做剩余項(xiàng)的測(cè)試。過(guò)程如下圖所示:立定跳遠(yuǎn)肺活量臺(tái)階實(shí)驗(yàn)臺(tái)階實(shí)驗(yàn)111616-2127173138184149195151020學(xué)號(hào)學(xué)號(hào)學(xué)號(hào)學(xué)號(hào)這樣4組恰好同時(shí)離開(kāi)，總共所需時(shí)間為：215+210=425.這里指出，這4個(gè)組完成身高體重測(cè)試、握力測(cè)試均是利用間隙時(shí)間完成（討論類(lèi)似于命題1）。若進(jìn)入的20人來(lái)自?xún)蓚€(gè)不同班級(jí)，但來(lái)自同一班級(jí)的學(xué)生學(xué)號(hào)相連。對(duì)于這種情況我們給出命題3:命題3:若進(jìn)入20人來(lái)自?xún)蓚€(gè)不同班級(jí)，但來(lái)自同一班級(jí)的學(xué)生學(xué)號(hào)相連。這時(shí)測(cè)試完這20人只需要430或435秒。命題3的證明類(lèi)似于命題2,需要430還是435秒取決于兩個(gè)班學(xué)生的銜接位置。由命題2、3我們發(fā)現(xiàn)同時(shí)入場(chǎng)的20人至多來(lái)自?xún)蓚€(gè)不同的班級(jí)，時(shí)間至多需要435秒。這樣將所有班級(jí)人數(shù)以2