數(shù)模體能測試數(shù)學模型論文

1、體能測試時間安排優(yōu)化模型摘要本文討論了一類時間表優(yōu)化問題。首先，我們根據(jù)機器測試時間和臺數(shù)求得所需總時間段數(shù)的下屆為4。在同一個班級人數(shù)不進行分組的前提下，將56個班級分成19個小組，計算出每個小組測試完所有項目所需的時間。然后建立了0-1規(guī)劃模型，將這19個小組的時間段放入每天的兩個測試時間段內，使得全部放完這19個小組的時段所需要的總測試時間段數(shù)最少，并求得最少測試時間段數(shù)恰好為下屆4段。其次，為了節(jié)省學生等待時間，我們將每個班級人數(shù)進行分組，每組為20人，共分成103組。由于這20人最多來自兩個不同的班級，我們求得完成20人的時間只可能為425秒、430秒、435秒這三種情況。這樣將原來

2、問題轉化為怎樣用最少時間段數(shù)放入102個435秒。通過求解得到的時間段數(shù)為4段，等待時間最長的同學僅需等待2.6分鐘，從而說明了分組的必要。最后，通過給出了每項測試的人均時間應該相等的結論，用來配置機器臺數(shù)，并討論了場地容量對所需時段和等待時間的影響。關鍵詞：等待時間時間段數(shù)時間等級分組一、問題重述某校按照教學計劃安排各班學生進行體能測試，以了解學生的身體狀況。測試包括身高與體重、立定跳遠、肺活量、握力和臺階試驗共5個項目，均由電子儀器自動測量、記錄并保存信息。該校引進身高與體重測量儀器3臺，立定跳遠、肺活量測量儀器各1臺，握力和臺階試驗測量儀器各2臺。身高與體重、立定跳遠、肺活量、握力4個項

3、目每臺儀器每個學生的平均測試（包括學生的轉換）時間分別為10秒、20秒、20秒、15秒，臺階試驗每臺儀器一次測試5個學生，需要3分30秒。每個學生測試每個項目前要錄入個人信息，即學號，平均需時5秒。儀器在每個學生測量完畢后學號將自動后移一位，于是如果前后測試的學生學號相連，就可以省去錄入時間，而同一班學生的學號是相連的。學校安排每天的測試時間為8：0012：10與13：3016：45兩個時間段。5項測試都在最多容納150個學生的小型場所進行，測試項目沒有固定的先后順序。參加體能測試的各班人數(shù)見附表。學校要求同一班的所有學生在同一時間段內完成所有項目的測試，并且在整個測試所需時間段數(shù)最少的條件下

4、，盡量節(jié)省學生的等待時間。請你用數(shù)學符號和語言表述各班測試時間安排問題，給出該數(shù)學問題的算法，盡量用清晰、直觀的圖表形式為學校工作人員及各班學生表示出測試時間的安排計劃，并且說明該計劃怎樣滿足學校的上述要求和條件。最后，請對學校以后的體能測試就以下方面提出建議，并說明理由：如引進各項測量儀器的數(shù)量；測試場所的人員容量；一個班的學生是否需要分成幾個組進行測試等。附表參加體能測試的各班人數(shù)班號123456789101112131415人數(shù)414544442644422020383725454545班號161718192021222324252627282930人數(shù)44203039353838282

5、5303620243233班號313233343536373839404142434445人數(shù)413351392020443738394240375050班號4647484950515253545556人數(shù)4243414245421939751717二、問題分析首先，我們在不考慮將一個班級的學生分成幾個小組的情況下，求解最小的時間段數(shù)和學生等待時間。通過對機器臺數(shù)、每個項目測試時間和場地容量等因素的分析計算，我們將所有的56個班級人數(shù)劃分成19個小組，其中最后一個小組只有2個班級，其余小組的班級數(shù)量均為3。并且，每個小組內的班級人數(shù)比較接近，這樣可以減少等待時間。我們算出每個小組測試所需要的最

6、少時間，然后將19個小組的時間段進行合理組合，以便得到最少的時間段數(shù)能包含這所有的19個時間段。其次，在保證時間段數(shù)最少的情況下，若我們將同一班級人數(shù)進行合理的分組，按照我們定義的等待時間，沒有進入測試場所的同學不算是等待，這樣可較大程度上節(jié)約學生的等待時間，從而說明分組是必要的。3、 模型假設和符號約定（ 1） 忽略人員進入和離開測試場地所用時間；（ 2） 假設學生等待時間指該生進入測試場地后開始的等待時間，不考慮其在未進入測試場地之前的時間；（ 3） 把身高與體重、立定跳遠、肺活量、握力、臺階實驗測試分別稱為第一、二、三、四、五項測試；（ 4） 五個測試項目沒有先后順序；（ 5） 任何班級

7、的學生做完所有測試即可離開場地；（ 6） Ti第i輪測試所花費的時間；（ 7） ni第i個班級的人數(shù)。4、 模型的建立與求解由于56個班級的總人數(shù)為2036，假設每臺機器不停止工作，所有人完成第一項測試至少需要2036X10+3+56X5=7066.67（s）。同理可得所有人完成第二、三、四、五項測試至少需要的時間分別為41000、41000、15550、43036秒。那么，至少需要43036秒才能讓所有人完成全部的測試項目。由于時間段長一次為15000秒、11700秒，因此至少需要4個時間段才能完成所有人的測試項目，即時間段的下屆為4段。在不對單個班級進行分組的前提下，由于第五項每次可以測5

8、名學生，且有兩臺機器，則對不同班級的總人數(shù)，可得班級測試完第五項所需時間分布表：表1班級總人數(shù)（單位：人）測試完臺階實驗所需時間（單位：秒）11021511204252130635314084341501055516012656170147571801685當人數(shù)多余80時，可以依次類推班級人數(shù)為n時測試臺階實驗所需時間計算公式為：t=2+510定義：在只進行第五項測試時，把所有人數(shù)可能不同但測試完第五項所需時間相同的班級稱為一個時間等級。例如：班級人數(shù)為35和40的兩個班級分別做完第五項測試所用時間均為845秒，那么按照，這兩個班級為同一時間等級。命題1:假設同一班級的人數(shù)不在進行分組，若每

9、次同時進入測試場地的班級數(shù)為3,且每個班級的人數(shù)不小于17人時，那么有：同時進入場地的3個班級全部完成第二項、第三項、第五項測試所需時間與這3個班級完成所有五項測試所需時間相同。證明：假設同時入場的班級分別為a、C2、C3,其人數(shù)分別為n明、03o(1)現(xiàn)讓這三個班級分別去做第二、三、五項測試，這三個班級都已經完成各自的測試稱為第一輪;(2)第一輪測試完成后，讓c1班去做第三項測試，讓c2班去做第五項測試，讓C3班去做第二項測試，這三個班級都已經完成各自的測試稱為第二輪；(3)第二輪結束后，依次類推，讓a班去做第五項測試，讓0?班去做第二項測試,讓C3班去做第三項測試，這三個班級都已經完成各自

10、的測試稱為第三輪。如表2所示：表2第二項測試第三項測試第五項測試第一輪第二輪第二輪在第一輪中，ci班的第一個學生在做完第二項測試后，該同學完全可以利用等待該班第二位同學的第二項測試的時間去進行第一項測試(共需要10+5秒)，而當他測試完第二項時，Ci班第二位同學依然在進行第二項測試，而此時Ci班的第一個同學再去做第四項測試，由于ci班的人數(shù)不小于17,因此ci班還有部分同學尚未完成第二項測試。Ci班的第二個同學完全按照該班第一個同學的路線進行，以此類推。那么該班級除了后兩位同學，其余均可以在ci班全部測完第二項之前，也完成第一、四項的測試。倒數(shù)后兩位可以在第二輪開始，即C1進行第三項測試時，離

11、開C1班隊列去做完第一、四項測試，然后回到對列繼續(xù)等待第三項測試。由于第三項測試的機器為三臺，第四項測試的機器為二臺，完全足夠，并且在第一輪中Ci和C2班分別做第二、三項的時間均為20秒每人，C2班的同學白W各線與C1班相似。對于C3班也可以在第一、二、三輪測試的間隙完成第一、四項的測試。另外，第二、三項測試需要20秒，而第五項測試序言210秒，但可以同時測試5人且有2臺機器，那么人均耗時約為21秒。并有以上的命題討論我們知道若三個班級的人數(shù)相差不大，則比較節(jié)約時間，因此我講56個班級分組，每組的班級同時入場。組號班級編號對應的人數(shù)第1組(525556)(191717)第2組(273536)(

12、202020)第3組(8917)(202020)第4組(122428)(252524)第5組(25235)(302826)第6組(322918)(333230)第7組(262030)(363533)第8組(113843)(373737)第9組(212239)(383838)第10組(405310)(393838)第11組(421934)(403939)第12組(13148)(414141)第13組(464951)(424242)第14組(47741)(434242)第15組(61637)(444444)第16組(4350)(444445)第17組(131415)(454545)第18組(245

13、44)(455050)第19組(5433)(7551)按照表3,可以分一下兩種情況討論：情況一：若該組中的三個班級人數(shù)為1、n2、n3均處于同一時間等級，則完成第一輪測試所需時間為：Ti=210?%+5（這里是上取整數(shù)函數(shù)）；10這是因為若班級人數(shù)小、電、n3處于同一時間等級，則顯然有：20Xmaxni210X叫；i1，210再加上第一位同學錄入學號的5秒，則完成第一輪總共所需時間為：T1=210?曳+510同理可得第二、三輪時間分別為T2=210?n2+5和T3=210?四+5；1010則完成三輪測試所需的時間為:3丁=丁+丁2+丁3=210?i 15+1510(1)有上面的分組我們可以知道

14、除了第6、19兩組，其他分組均出在同一時間等級,可按照（1）式計算完成時間（結果見表5)情況二：若三個班級不全處于同一時間等級，則由于人數(shù)不同有多種情況出現(xiàn)，具體情況時具體計算這里不給出計算公式。表3中有兩組的班級不同一時間等級，這兩組為第6組和第19組。現(xiàn)在分別計算器完成時間:第二項測試第三項測試第五項測試每輪測試所需要的時間（秒）班級編號（人數(shù)）所需時間（秒）班級編號（人）所需時間（秒）班級編號（人）所需時間（秒）第一輪32(33)66529(32)64518(30)635665第二輪18(30)60532(33)66529(32)845845第二輪29(32)64518(30)60532

15、(33)845845由表4得完成三輪測試所需的總時間T=665+845+845=2355秒。同理可得第19組完成三輪測試所需的總時間T=4695秒。綜合上面兩種情況，我們得到所有組合做完全部測試的時間如下表所示：表5組號班級編號對應的人數(shù)測試所需時間第1組(525556)(191717)1275第2組(273536)(202020)1275第3組(8917)(202020)1275第4組(122428)(252524)1905第5組(25235)(302826)1905第6組(322918)(333230)2355第7組(262030)(363533)2535第8組(113843)(37373

16、7)2535第9組(212239)(383838)2535第10組(405310)(393838)2535第11組(421934)(403939)2535第12組(13148)(414141)3165第13組(464951)(424242)3165第14組(47741)(434242)3165第15組(61637)(444444)3165第16組(4350)(444445)3165第17組(131415)(454545)3165第18組(24544)(455050)3165第19組(5433)(7551)4695現(xiàn)在問題轉化為：將上述19個時間按照某種組合方式全部填入每天的兩個時間段,從而使得

17、所需的總時間段數(shù)最少。設n表示所需的時間段總數(shù)，ti表示表5中第i個組合所需時間，Sj表示第j個時間段長度，其中i=1,2,.19；j=1,2,.n.顯然有：15000，若這個時段為上午時段；sj=,11700,若這個時段為下午時段.進一步假設0-1變量%：,1,若第i組被分配到第j個時間段;0,反之其中 i=1, 2, .19 ; j=1, 2,即得到0-1規(guī)劃模型一:ns.t.Ci,j=1；i=1,2,.,19;j119Ci,j?tiSj；j=1,2,.n.i1上述模型中:第一個約束表示每個組能且只能安排在某一時段；第二個約束表示安排進任一時段的所有組的測試總時間必不大于該時段長度。利用L

18、INGO編程解得結果如下：組號班級號班級人數(shù)測試時間安排第天上午第1組(525556)(191717)8:00:008:21:15第2組(273536)(202020)8:21:158:42:30第7組(262020)(363533)8:42:309:24:45第8組(113843)9373737)9:24:4510:07:00第9組(212239)(383838)10:07:0010:49:15第19組(5433)(7551)10:49:1512:07:30下午第5組(25235)(302826)13:30:0014:01:45第15組(61637)(444444)14:01:4514:54

19、:30第16組(4350)(444445)14:54:3015:47:15第17組(131415)(454545)15:47:1516:40:00第天上午第3組(8917)(202020)8:00:008:21:15第4組(122428)(252524)8:21:158:53:00第10組(405310)(393838)8:53:009:35:15第11組(421934)(403939)9:35:1510:17:30第13組(464951)(424242)10:17:3011:10:15第14組(47741)(434242)11:10:1512:03:00下午第6組(322918)(33323

20、0)13:30:0014:2109:15第12組(13148)(414141)14:009:1515:02:00第18組(24544)(455050)15:02:0015:54:45由結果可知整個測試所需時間段數(shù)最少為4段。由于已經知道所需時段的下限也是4,故以上結果為最優(yōu)方案。對于以上的方案，基于假設（2）和（5）,每個組最后一名離開的同學（在該組中等待時間最長）等待時間完全由分組情況決定，與該組進入次序無關。因為最后一名同學的等待時間即為該組所需時間減去275秒（每個同學完成五項測試的時間）。則由表5可得，每組等待時間最長的同學的等待時間。第一組最后一名同學總等待時間為1275-275=1

21、000秒；第19組最后一名同學總等待時間為4420秒（約1.23個小時）。等待時間較長，需要改進.當班級人數(shù)較多時，若不對同一個班級的學生分組會使得學生的等待時間較長。為了減少學生的等待時間，可以將同一個班級人數(shù)分組進入場地進行測試?，F(xiàn)在考慮對同一班級學生進行分組的情況。命題2:若每次同時進入場地的人數(shù)為20人，且這20人學好順序相連，則完成這20人全部的5項測試最少需要425秒，且可以達到425秒。證明：首先證明至少425秒。因為即使不考慮其他4項，只做完第五個項目，這20人就需要425秒（見表1）。其次證明可以達到425秒。我們假設這20人的學號次序為從1到20,則讓學號為1到5的學生測試

22、第一臺臺階試驗機，與此同時讓學號為6到10的學生測試立定跳遠，讓學號為11到15的同學測試第二臺臺階實驗機，讓學號為16到20的同學測試肺活量。如下圖所示：立定跳遠肺活量學號616717學號1-2-臺階實驗學號1112臺階實驗學號10181920這樣1620號與610號同時測完時測完（都用了 105秒），這兩輪共用了131415（都用了 105秒）。兩個交換測試項目每次同210秒，而測試臺階的兩個組由于要用215秒，因此第二輪進行太極實驗測試的組還在繼續(xù)測試。過程如下圖所示:立定跳遠肺活量臺階實驗臺階實驗學號學號學號學號16111712181319142010156101620這兩組在等待了5

23、秒后有同時去做臺階實驗測試,由于學號剛好能銜接，不需要輸入學號時間。做完臺階實驗測試的兩組去做剩余項的測試。過程如下圖所示:立定跳遠肺活量臺階實驗臺階實驗111616-2127173138184149195151020學號學號學號學號這樣4組恰好同時離開，總共所需時間為：215+210=425.這里指出，這4個組完成身高體重測試、握力測試均是利用間隙時間完成（討論類似于命題1）。若進入的20人來自兩個不同班級，但來自同一班級的學生學號相連。對于這種情況我們給出命題3:命題3:若進入20人來自兩個不同班級，但來自同一班級的學生學號相連。這時測試完這20人只需要430或435秒。命題3的證明類似于命題2,需要430還是435秒取決于兩個班學生的銜接位置。由命題2、3我們發(fā)現(xiàn)同時入場的20人至多來自兩個不同的班級，時間至多需要435秒。這樣將所有班級人數(shù)以2