數(shù)理統(tǒng)計(jì)復(fù)習(xí)總結(jié)

1、1統(tǒng)計(jì)量與抽樣分布基本概念：統(tǒng)計(jì)量、樣本矩、經(jīng)驗(yàn)分布函數(shù)總體X的樣本X1,T(Xi,X，X)即為統(tǒng)計(jì)量樣本均值樣本方差s2修正樣本方差樣本k階原點(diǎn)矩Ak樣本k階中心矩Bk(Xi2X)n(Xi1Xik,(k2X)1,2,.)(XiX)k,(k1,2,.)x出現(xiàn)的次數(shù)F(x)經(jīng)驗(yàn)分布函數(shù)Fn(x)vn空,(x)其中Vn(x)表示隨機(jī)事件Xn,，-1顯然Vn(x)B(n,F(x)，則有EFn(x)F(x)DFn(x)-F(x)1n補(bǔ)充：_2n1*222ESnDXESnDXEXDX(EX)n21n2-2Sn-XiXni1項(xiàng)分布 B(n,p): PXkC：pk(1p)nk,(k0,1,.,n)EX=np

2、DX=np(1-p)k泊松分布P():PXke,(k0,1,.)k!EXDX1，、均勻分布U(a,b):f(x),(axb)baEXabDX(ba)2212指數(shù)分布：f(x)ex,(x0)F(x)1ex,(x0)11EX-DX正態(tài)分布N(2、1.)：f(x) exp,2(x)212 2EXDX 2nS2ET) n 12 n 1 2nS：ESn DT 2(n 1) nDS22(n 1) 42n0時，EX0EX22EX434EXJ-DX(1-)2統(tǒng)計(jì)量：充分統(tǒng)計(jì)量、因子分解定理、完備統(tǒng)計(jì)量、指數(shù)型分布族T是。的充分統(tǒng)計(jì)量f(x),x2，,xnTt)與。無關(guān)T是。的完備統(tǒng)計(jì)量要使Eg(T)=0,必有

3、g(T)=0nL()f(xi；)h(x1,x2,.,xn)g(T(x1,x2,.,xn)；Mh非負(fù)T是9的充分統(tǒng)計(jì)量i1nf(x;)C()expb()T(Xi,x2,.,xn)h(x1，x2,.,xn)T是。的充分完備統(tǒng)計(jì)量i1nf(Xi;)C()expbl()T1(X1,X2,.,Xn)b?()T2(Xi,X2,.,Xn)h(。X2,.,Xn)i1(Ti,T2)是(1,2)的充分完備統(tǒng)計(jì)量抽樣分布：2分布，t分布，F(xiàn)分布,分位數(shù)，正態(tài)總體樣本均值和方差的分布，非正態(tài)總體樣本均值的分布2分布:2 X12 X2X2212(n) f(x) 2"x n .一 一 1e 2x2 (x 0)9

4、T分布:F分布:D 2 2nb X "、 T i t(n)當(dāng) n>2 時, . Y/nnET=0 DT n 2L MR L. 、1 L,、F y F(n1，n2) F(n2,n1)補(bǔ)充:Z=X+Y的概率密度fz(z)f(x, z x)dxf (zy,y)dy f(x,y)是X和Y的聯(lián)合概率密度Y -、，、Z的概率密度fz(z)Xf (x, xz) xdxy g (x)的概率密度fy(y)fx(g 1(y)g1(y)函數(shù)：()1)(n) (n 1)!,B函數(shù)：B(,111)0 x (1 x) dxB()4次序統(tǒng)計(jì)量及其分布:次序統(tǒng)計(jì)量、樣本中位數(shù)° X、樣本極差Xk)的

5、分布密度:fx(k)(x)(riF(x)k11 F(x)nkf(x),(k1,2,，n)%)的分布密度:fx(x)nf(x)1 F(x)n1Xn)的分布密度:fx(x)n 1nf(x)F(x)2參數(shù)估計(jì)點(diǎn)估計(jì)與優(yōu)良性：概念、無偏估計(jì)、均方誤差準(zhǔn)則、相合估計(jì)(一致估計(jì))、漸近正態(tài)估計(jì)$的均方誤差：MSE($, ) E($)2 D$ (E$)2若$是無偏估計(jì)，則MSE($, ) D$ * *對于的任意一個無偏估計(jì)量$，有D$D相合估計(jì)(一致彳t計(jì))：limEnlimD$nnn點(diǎn)估計(jì)量的求法：矩估計(jì)法、最大似然估計(jì)法矩估計(jì)法：求出總體的k階原點(diǎn)矩：akEXk1n解方程組ak-Xik(k=1,2,.,

6、m)、則$是的最小方差無偏估計(jì)，記MVUE0xkdF(x;1,2,，m),得$k$k(X1,X2,.,Xn)即為所求最大似然估計(jì)法:寫出似然函數(shù)L( ) f(X；)求出InL及似然方程_nLi=1,2,m解似然方程得到$i(x1,x2,.,xn),即最大似然估計(jì)$i(X1,X2,.,Xn)i=1,2,m補(bǔ)充：似然方程無解時，求出的定義域中使得似然函數(shù)最大的值，即為最大似然估計(jì)和有效估計(jì)：最小方差無偏估計(jì)、有效估計(jì)*T是的充分完備統(tǒng)計(jì)量，$是的一個無偏估計(jì)$E($|T)為的惟一的MVUE最小方差無偏估計(jì)的求解步驟：求出參數(shù)的充分完備統(tǒng)計(jì)量T 求出ETg(),則$g1(T)是的一個無偏估計(jì)或求出一

7、個無偏估計(jì)，然后改寫成用T表示的函數(shù)一.11 綜合，Eg(T)Tg(T)是的MVUE'2g() nI()或者：求出的矩估計(jì)或ML估計(jì)，再求效率，為1則必為MVUET是g()的一個無偏估計(jì)，則滿足信息不等式DT(X).,、.、22.，、.、0, f(X; )為樣本的聯(lián)合分布。I()E1r1f(X;)或I()E1n?)最小方差無偏估計(jì)達(dá)到羅-克拉姆下界有效估計(jì)量效率為1無偏估計(jì)$的效率：e($)1/d$nI()$是的最大似然估計(jì)，且$是的充分統(tǒng)計(jì)量$是的有效估計(jì)區(qū)間估計(jì)：概念、正態(tài)總體區(qū)間估計(jì)(期望、方差、均值差、方差比)及單側(cè)估計(jì)、非正態(tài)總體參數(shù)和區(qū)間估計(jì)一個總體的情況：XN(,2)2.

8、已知，求的置信區(qū)間:X0-nN(0，1)0,nU,2.未知，求的置信區(qū)間:sn-nt(n1)Snt(n:/n”1)已知，求2的置信區(qū)間:n2(Xi)2i12(n)2(Xi)2i1n2(Xi)2i1未知，求2的置信區(qū)間:2(n)2(n)2n(Xii1X)2n(XiX)22(n1)兩個總體的情況:XN(12)2(n1)2YN(I)I2)22n2N(0,1)2)2,乙.未知時,2的區(qū)間估計(jì):2)(n12未知時,*2S2n21端(n21)S*n221_2,2*22Sn12F(n21,n1)非正態(tài)總體的區(qū)間估計(jì):XL時，一N(0,1)S,nn(XiX)2J2(n1)12nin2n1n2(n112)t(n

9、1n2n1n22)*2%*2S2n2_(n21,n21)21萬2*2*2S2n2(n221,n11)SIlimnSSn1,故用S代替Sn-1Xmnm1mdmnN(0,1)u1：1m1mn2,nnnnnn3統(tǒng)計(jì)決策與貝葉斯估計(jì)統(tǒng)計(jì)決策的基本概念：三要素、統(tǒng)計(jì)決策函數(shù)及風(fēng)險函數(shù)三要素：樣本空間和分布族、行動空間(判決空間)、損失函數(shù)L(,d)統(tǒng)計(jì)決策函數(shù)d(X):本質(zhì)上是一個統(tǒng)計(jì)量，可用來估計(jì)未知參數(shù)風(fēng)險函數(shù)：R(,d)EL(,d(X)是關(guān)于的函數(shù)貝葉斯估計(jì)：先驗(yàn)分布與后驗(yàn)分布、貝葉斯風(fēng)險、貝葉斯估計(jì)n 求樣本X=(X1,X2，,Xn)的分布：q(x|)f(x|)i1 樣本X與的聯(lián)合概率分布：f(

10、x,)h(|x)m(x)q(x|)() 求f(x,)關(guān)于x的邊緣密度m(x)f(x,)d的后驗(yàn)密度為:h(|x)f(x,)m(x)一2取L(,d)(d)時的貝葉斯估計(jì)為：$E(|x)h(|x)dR(,d)E(d)2貝葉斯風(fēng)險為:q(d)ER(,d)E(d)2h(|x)d2取L(,d)()(d)時，貝葉斯估計(jì)為:$E()|xE()|x補(bǔ)充:C()的貝葉斯估計(jì)：取損失函數(shù)L(,d)(C()d)2,則貝葉斯估計(jì)為C()EC()|xC()h(|x)dE(|x)h(|x)d3dm(x)f(x,)df(x,)d估計(jì)對決策空間中白決策函數(shù)d1(X),d2(X),.,分別求出在上的最大風(fēng)險值maxR(,d)在

11、所有的最大風(fēng)險值中選取相對最小值，此值對應(yīng)的決策函數(shù)就是最小最大決策函數(shù)。4假設(shè)檢驗(yàn)基本概念：零假設(shè)(H0)與備選假設(shè)(Hi)、檢驗(yàn)規(guī)則、兩類錯誤、勢函數(shù)零假設(shè)通常受到保護(hù)，而備選假設(shè)是當(dāng)零假設(shè)被拒絕后才能被接受。檢驗(yàn)規(guī)則：構(gòu)造一個統(tǒng)計(jì)量T(X1,X 2,.,X3),當(dāng)H0服從某一分布，當(dāng)H0不成立時，T的偏大偏小特征。據(jù)此，構(gòu)造拒絕域W第一類錯誤(棄真錯誤):PTW|Ho為真第二類錯誤(存?zhèn)五e誤):PTW|Ho為假勢函數(shù):(X)PXW(X)1,XW.0,XW.0時,)為犯第一類錯誤的概率1時,()為犯第二類錯誤的概率正態(tài)總體均值與方差的假設(shè)檢驗(yàn)：tF檢驗(yàn)、單邊檢驗(yàn)一個總體的情況：XN(,2)

12、2已知，檢驗(yàn)Ho：Hi：0：U0-nN(0,1)Ho：Hi：0：Tt(n1)已知，檢驗(yàn)H0:Hi：n(Xi2i12)22(；).,.22未知，檢驗(yàn)Ho：oHi：2(XiX)2i1(n1)兩個總體的情況：XN(1,12)N(1)2未知時，檢驗(yàn)Ho：1H1：12：n1n2(n1n22)(ni1)Si；81)琉2未知時，檢驗(yàn)H0：22212H1：1單邊檢驗(yàn)：舉例說明,2已知，檢驗(yàn)Ho：n1n2t(nin22)*2S1n1F(n32n21,n21)H1：X構(gòu)造U1o尸N(o,1),給定顯著性水平<n，有PU1°當(dāng)件成立XXdef時U1尸言U,因此PUuono.nPU1u。故拒絕域?yàn)閃U

13、u非參數(shù)假設(shè)檢驗(yàn)方法:22擬合優(yōu)度檢驗(yàn)、科爾莫戈羅夫檢驗(yàn)、斯米爾諾夫檢驗(yàn)2.擬合優(yōu)度檢驗(yàn)：Ho：PiPioH,：PiPioW：*叫2(mr1)其中N表示樣本中取值為i的個數(shù)，r表示分布中未知參數(shù)的個數(shù)科爾莫戈羅夫檢驗(yàn):Ho：F(x)Fo(x)H1：F(x)Fo(x)實(shí)際檢驗(yàn)的是Fn(x)Fo(x)斯米爾諾夫檢驗(yàn):似然比檢驗(yàn)WlimHo：F(x)WlimnsupFn(x)Fo(x)xDn,G(x)H1：F(x)G(x)實(shí)際檢驗(yàn)的是Fn(x)Gn(x)supFm(x)Gn2(x)Dn-x明確零假設(shè)和備選假設(shè)：Ho：構(gòu)造似然比:L1(X1，Xn)Lo(X1，Xn)SUpL(Xi，Xn；)SUpL(X

14、1，Xn；)0拒絕域：W(Xi，Xn)5方差分析單因素方差分析:數(shù)學(xué)模型、離差平方和分解、顯著性檢驗(yàn)、參數(shù)估計(jì)數(shù)學(xué)模型2N(0,)相互獨(dú)立,(i=1,2，,m;j=1,2，,ni)H0：12ni總離差平方和Qt2(XijX)2j1QtQeQa組內(nèi)離差平方和Qeni2(XijXi)j1QeE()nr組間離差平方和Qa-2ni(XiX)當(dāng)H0成立時,構(gòu)造統(tǒng)計(jì)量Qa(rQe1)(nr)itF(r1,nr),當(dāng)H)不成立時，有偏大特征XiXkN(ik,Jni-)2)且QEnk2(nr)TXiXk(i：11)Qeninkt(nr)應(yīng)用:若原始數(shù)據(jù)比較大而且集中，可減去同一數(shù)值XijXijk再解題口1輔助

15、量：P-(nmniXij)2,Q1m1niQaQP,QeRi1nij1Xj)2,RniX2ijj1Q,Qtrp兩因素方差分析：數(shù)學(xué)模型、離差平方和分解、顯著性檢驗(yàn)數(shù)學(xué)模型X八ijN(0,2),(i=1,2,r;j=1,2,s)各°相互獨(dú)立H01:H02:總離差平方和QT(Xijj12X)2QTQeQbQa組內(nèi)離差平方和qeni2(XijXi?X?jXi)2j1E(Qe(r1)(s1)因素B引起的離差平方和QBsr(X?jj1X)2QBE(B-s1因素A引起的離差平方和Qa”?X)2哈)輔助量：psX八jj1,QiXij,QiirX八iji1,RXij2QaQiP,QbQiiP,QeQ

16、iQii構(gòu)造統(tǒng)計(jì)量:FbQa(r1)Qe(r1)(s1)Qb(s1)Qe(r1)(s1)QAF(rQe1,(r1)(s1)QaYAF(sQe1,(r1)(s1)6回歸分析元線性回歸：回歸模型、未知參數(shù)的估計(jì)(3、b 2)、參數(shù)估計(jì)量的分布(3aY0(r 2(r*2)Yxii回歸模型：iN(0,2)i=1,2,n.各i相互獨(dú)立n_(xx)(YY)n (xi X)2(,)分布: 1M-N(,-)(xx)2i1"N(/n(x)_2)n(xix)2_21n_021n_2_的估計(jì)：M_(YY)M(_(xx)SnYMSnxniinii二,n22*22EREM多元線性回歸：回歸模型、參數(shù)估計(jì)、分布YXii回歸模型：iN(0,2In)i=1,2,n.各i相互獨(dú)立參數(shù)估計(jì)：XTY(XTX)小仙(XTX)1XTY7多元