小波變換與應(yīng)用(第六章)

1、2022-2-10小波分析與應(yīng)用第六章第六章 小波變換與應(yīng)用小波變換與應(yīng)用6.1 6.1 短時(shí)傅立葉變換與小波分析短時(shí)傅立葉變換與小波分析6.2 6.2 小波變換的特點(diǎn)及其基本性質(zhì)小波變換的特點(diǎn)及其基本性質(zhì)6.3 6.3 多分辨力小波分析的基本框架多分辨力小波分析的基本框架6.4 6.4 雙正交濾波器組的設(shè)計(jì)雙正交濾波器組的設(shè)計(jì)6.5 6.5 時(shí)時(shí)- -頻信號(hào)分析的頻信號(hào)分析的MatlabMatlab仿真仿真 本章小結(jié)本章小結(jié)2022-2-10小波分析與應(yīng)用 前面主要討論統(tǒng)計(jì)量前面主要討論統(tǒng)計(jì)量不隨時(shí)間變化不隨時(shí)間變化的的平穩(wěn)信號(hào)平穩(wěn)信號(hào)的數(shù)學(xué)處的數(shù)學(xué)處理方法。但實(shí)際信號(hào)卻往往有某個(gè)統(tǒng)計(jì)量是時(shí)

2、間的函數(shù)，這理方法。但實(shí)際信號(hào)卻往往有某個(gè)統(tǒng)計(jì)量是時(shí)間的函數(shù)，這類信號(hào)統(tǒng)稱為類信號(hào)統(tǒng)稱為非平穩(wěn)信號(hào)非平穩(wěn)信號(hào)。例如，絕大多數(shù)機(jī)電系統(tǒng)的早期例如，絕大多數(shù)機(jī)電系統(tǒng)的早期故障信號(hào)、目標(biāo)運(yùn)動(dòng)時(shí)雷達(dá)和聲納信號(hào)均為非平穩(wěn)信號(hào)。故障信號(hào)、目標(biāo)運(yùn)動(dòng)時(shí)雷達(dá)和聲納信號(hào)均為非平穩(wěn)信號(hào)。 雖然雖然卡爾曼濾波卡爾曼濾波、遞推最小二乘法遞推最小二乘法和和LMSLMS自適應(yīng)濾波自適應(yīng)濾波等等也適用于處理非平穩(wěn)信號(hào)，但這些算法僅限于也適用于處理非平穩(wěn)信號(hào)，但這些算法僅限于慢時(shí)變信號(hào)慢時(shí)變信號(hào)的的跟蹤。當(dāng)信號(hào)的統(tǒng)計(jì)特性隨時(shí)間流逝而發(fā)生顯著變化時(shí)，只跟蹤。當(dāng)信號(hào)的統(tǒng)計(jì)特性隨時(shí)間流逝而發(fā)生顯著變化時(shí)，只能用信號(hào)的能用信號(hào)的瞬時(shí)統(tǒng)

3、計(jì)特性（局部性能）來表征描述非平穩(wěn)信瞬時(shí)統(tǒng)計(jì)特性（局部性能）來表征描述非平穩(wěn)信號(hào)號(hào)，對(duì)此，對(duì)此經(jīng)典經(jīng)典的的傅立葉變換傅立葉變換不再是有效的數(shù)學(xué)工具了。因?yàn)椴辉偈怯行У臄?shù)學(xué)工具了。因?yàn)楦盗⑷~變換是針對(duì)傅立葉變換是針對(duì)全局信號(hào)全局信號(hào)進(jìn)行的變換，反映信號(hào)統(tǒng)計(jì)特性進(jìn)行的變換，反映信號(hào)統(tǒng)計(jì)特性的傅立葉譜，完全不具備的傅立葉譜，完全不具備某一頻率分量發(fā)生時(shí)刻某一頻率分量發(fā)生時(shí)刻的信息。這的信息。這就促使去尋找一種就促使去尋找一種聯(lián)合時(shí)域聯(lián)合時(shí)域和和頻域頻域的的二維分析方法二維分析方法，來研究，來研究信號(hào)的瞬時(shí)統(tǒng)計(jì)性能，這就是所謂的信號(hào)的瞬時(shí)統(tǒng)計(jì)性能，這就是所謂的時(shí)時(shí)- -頻分析頻分析方法。方法。2022

4、-2-10小波分析與應(yīng)用 非平穩(wěn)信號(hào)的時(shí)頻分析方法同樣可以分為非平穩(wěn)信號(hào)的時(shí)頻分析方法同樣可以分為線性線性和和非線性非線性變換兩大類，本章主要是從工程實(shí)現(xiàn)的角度出發(fā)，介紹目前變換兩大類，本章主要是從工程實(shí)現(xiàn)的角度出發(fā)，介紹目前分析非平穩(wěn)信號(hào)最常用的分析非平穩(wěn)信號(hào)最常用的線性變換方法線性變換方法小波變換小波變換。6.1 6.1 短時(shí)傅立葉變換與小波分析短時(shí)傅立葉變換與小波分析 先考察聲納進(jìn)行譜線檢測與跟蹤時(shí)的一種典型工作情先考察聲納進(jìn)行譜線檢測與跟蹤時(shí)的一種典型工作情況。在圖況。在圖6-1(a)中，中，A是是目標(biāo)艦艇目標(biāo)艦艇，它以，它以恒定速度恒定速度 v 運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)，B是是一一靜止靜止的的聲納

5、浮標(biāo)聲納浮標(biāo)（水聲傳感器水聲傳感器）。）。A 與與 B 之間的之間的距離距離 rk是是隨時(shí)間隨時(shí)間 k 而變化的而變化的。 令水聲傳感器的位置在目標(biāo)艦線上的令水聲傳感器的位置在目標(biāo)艦線上的投影點(diǎn)為投影點(diǎn)為0，并，并以以目標(biāo)艦到達(dá)目標(biāo)艦到達(dá)0點(diǎn)點(diǎn)的的時(shí)刻時(shí)刻作為作為時(shí)間原點(diǎn)時(shí)間原點(diǎn)k= 0，則，則距離線距離線與與目標(biāo)目標(biāo)線線的的夾角余弦夾角余弦可表示為可表示為2022-2-10小波分析與應(yīng)用1001005050-100-100 -50-50 0 0(c)(c)時(shí)間時(shí)間secs-4-4-3-3-2-2-1-12 21 13 34 45 50 0頻率頻率 HzHz600600500500400400

6、f0( (1-v/c) )f0( (1+v/c) )f0fkk secsk=0rkkBvA(a)(a)(b)(b)圖圖6-1 (a) 6-1 (a) 目標(biāo)艦?zāi)繕?biāo)艦A A相對(duì)于水聽器相對(duì)于水聽器B B的運(yùn)動(dòng)的運(yùn)動(dòng) (b) (b) 接收信號(hào)瞬時(shí)頻率的變化情況接收信號(hào)瞬時(shí)頻率的變化情況 (c) (c) 時(shí)時(shí)- -頻圖頻圖kkrkvcos2022-2-10小波分析與應(yīng)用 記記 f0為目標(biāo)艦輻射譜線頻率，則由于為目標(biāo)艦輻射譜線頻率，則由于多普勒效應(yīng)多普勒效應(yīng)，水聲，水聲傳感器檢測到的信號(hào)瞬時(shí)頻率為傳感器檢測到的信號(hào)瞬時(shí)頻率為 fk 隨時(shí)間隨時(shí)間 k 變化的情況以及相應(yīng)的時(shí)變化的情況以及相應(yīng)的時(shí)-頻圖分別

7、由圖頻圖分別由圖6-1(b)和圖和圖6-1(c)表示。由圖可見，當(dāng)目標(biāo)距離越近時(shí)，信號(hào)頻表示。由圖可見，當(dāng)目標(biāo)距離越近時(shí)，信號(hào)頻率隨時(shí)間的變化速率越快，最需要密切監(jiān)視目標(biāo)艦和采取必率隨時(shí)間的變化速率越快，最需要密切監(jiān)視目標(biāo)艦和采取必要的措施。因此，如果沒有很好的方法處理快速變化的信要的措施。因此，如果沒有很好的方法處理快速變化的信號(hào)號(hào)，圖圖6-1(c)時(shí)頻曲線時(shí)頻曲線中間過渡部分中間過渡部分將變得將變得模糊不清模糊不清。這不。這不僅無法跟蹤（鎖定）目標(biāo)，而且還喪失了檢測能力。僅無法跟蹤（鎖定）目標(biāo)，而且還喪失了檢測能力。 由于經(jīng)典的傅立葉變換僅在頻域里有局部分析（頻譜的由于經(jīng)典的傅立葉變換僅在

8、頻域里有局部分析（頻譜的分布）的能力，而在時(shí)域里不存在這種能力（時(shí)域波形完全分布）的能力，而在時(shí)域里不存在這種能力（時(shí)域波形完全)(1)cos(1200kkkrckvfcvff2022-2-10小波分析與應(yīng)用不包含任何頻域信息），因而，無法處理上述調(diào)頻信號(hào)問不包含任何頻域信息），因而，無法處理上述調(diào)頻信號(hào)問題，至于第五章介紹的自適應(yīng)譜線增強(qiáng)器，基本上可以解決題，至于第五章介紹的自適應(yīng)譜線增強(qiáng)器，基本上可以解決這一類問題，但效果不好。這一類問題，但效果不好。1946年，年，Dennis Gabor 引進(jìn)了短引進(jìn)了短時(shí)傅立葉變換時(shí)傅立葉變換（Short-time Fourier Transform

9、，STFT）以以及隨后發(fā)展起來的及隨后發(fā)展起來的時(shí)時(shí)- -頻信號(hào)處理頻信號(hào)處理方法，可以較好的解決非方法，可以較好的解決非平穩(wěn)信號(hào)的處理問題。平穩(wěn)信號(hào)的處理問題。 STFTSTFT的基本思路是：的基本思路是：把信號(hào)劃分成許多小的時(shí)間間把信號(hào)劃分成許多小的時(shí)間間隔，用傅立葉變換分析每一時(shí)間間隔，以便確定該時(shí)間間隔隔，用傅立葉變換分析每一時(shí)間間隔，以便確定該時(shí)間間隔存在的頻率。下面就介紹這一思路的數(shù)學(xué)表示方法。存在的頻率。下面就介紹這一思路的數(shù)學(xué)表示方法。6.1.1 6.1.1 短時(shí)傅立葉變換短時(shí)傅立葉變換 STFT 是對(duì)信號(hào)是對(duì)信號(hào) x(t) 施加一個(gè)實(shí)施加一個(gè)實(shí)滑動(dòng)窗滑動(dòng)窗 w(t-)（ 反映

10、反映滑動(dòng)窗的位置滑動(dòng)窗的位置）后，再作傅立葉變換，即）后，再作傅立葉變換，即2022-2-10小波分析與應(yīng)用（.1） 它也可以看作是它也可以看作是 x(t) 與調(diào)頻信號(hào)與調(diào)頻信號(hào) g(t)=w(t-)e jt 的內(nèi)積；其的內(nèi)積；其中，中， 移位因子，移位因子，角頻率。角頻率。 在這個(gè)變換中，在這個(gè)變換中，w(t) 起著起著時(shí)限作用時(shí)限作用，隨著時(shí)間，隨著時(shí)間 的變的變化，化，w(t) 所確定的所確定的 “時(shí)間窗時(shí)間窗” 在在 t 軸上移動(dòng)，軸上移動(dòng)，“逐漸逐漸”對(duì)對(duì) x(t) 進(jìn)進(jìn)行行分析分析, 故故 STFTx(，) 大致反映了信號(hào)大致反映了信號(hào)x(t) 在時(shí)刻在時(shí)刻 含有頻

11、率成分為含有頻率成分為 的相對(duì)含量的相對(duì)含量，如圖，如圖6-2所示。所示。 這樣，信這樣，信號(hào)在滑動(dòng)窗上展開就可以表示為號(hào)在滑動(dòng)窗上展開就可以表示為-t/2 ,+t/2、-/2，+/2 其中，其中，t 和和 分別稱為窗口的分別稱為窗口的 時(shí)寬時(shí)寬和和頻寬頻寬，它們表示時(shí)，它們表示時(shí)頻分析的分辨力。頻分析的分辨力。ttwtxtxde)()(),(STFTj 2022-2-10小波分析與應(yīng)用 在實(shí)際應(yīng)用中，希望在實(shí)際應(yīng)用中，希望窗函窗函 w(t) 是一個(gè)是一個(gè)“窄窄”的的時(shí)間函數(shù)時(shí)間函數(shù)，以便于以便于細(xì)致觀察細(xì)致觀察 x(t) 時(shí)寬時(shí)寬t 內(nèi)的變化狀況；基于同樣的理內(nèi)的變化狀況；基于同樣的理由，還

12、由，還希望希望 w(t) 的的頻帶頻帶 也也很窄很窄，以可以仔細(xì)觀察，以可以仔細(xì)觀察 x(t) 的在頻帶的在頻帶 區(qū)間內(nèi)的頻譜。區(qū)間內(nèi)的頻譜。 但海森伯格但海森伯格（Heienberg）的）的測不準(zhǔn)原理測不準(zhǔn)原理（UncertaintyPrinciple）5指出指出t 和和 是是相互制約相互制約的，兩者不可能都的，兩者不可能都OOx( (t) )w( (t-) )圖圖6-2 6-2 短時(shí)傅立葉變換的時(shí)頻特點(diǎn)短時(shí)傅立葉變換的時(shí)頻特點(diǎn)STFTSTFTt2022-2-10小波分析與應(yīng)用任意小，事實(shí)上，窗口的面積必須滿足：任意小，事實(shí)上，窗口的面積必須滿足：t 當(dāng)且僅當(dāng)當(dāng)且僅當(dāng)w(t) 為高斯函數(shù)時(shí)，

13、等號(hào)才成立。為高斯函數(shù)時(shí)，等號(hào)才成立。 例例6-16-1 假定假定 w(t)是高斯型的，當(dāng)是高斯型的，當(dāng)=0 時(shí)，有時(shí)，有 對(duì)于固定頻率對(duì)于固定頻率=0 0, 調(diào)頻信號(hào)調(diào)頻信號(hào)及其及其傅立葉變換傅立葉變換分別為分別為 由于由于0 只影響只影響 g(t) 中的中的復(fù)指數(shù)因子復(fù)指數(shù)因子，因此，從，因此，從時(shí)域時(shí)域上上看，當(dāng)看，當(dāng)0 變?yōu)樽優(yōu)?20 時(shí)，時(shí)，g(t) 的的包絡(luò)不變包絡(luò)不變，只是包絡(luò)線下的，只是包絡(luò)線下的諧波頻率發(fā)生變化，如圖諧波頻率發(fā)生變化，如圖 6-3（a）所示；從）所示；從頻域頻域上看，當(dāng)上看，當(dāng)(4exp)()exp(j)exp()(2002TTGtTttg)/exp()(2T

14、ttw 2022-2-10小波分析與應(yīng)用020 ttg(t)=exp( (-t2/T) )cos20 t 20 0 0 /210G( () )=T exp -T( (-0 ) )2/4 G( () )=T exp -T( (-20 ) )2/4 g(t)=exp( (-t2/T) )cos0 t( (a) )( (b) )圖圖6-36-3 STFTSTFT的分析特點(diǎn)的分析特點(diǎn) （a a） 頻率變化的影響；（頻率變化的影響；（b b） 基本分析單元的特點(diǎn)基本分析單元的特點(diǎn)OO2022-2-10小波分析與應(yīng)用0 變?yōu)樽優(yōu)?0 時(shí)，時(shí)，G() 的的中心頻率變成中心頻率變成 20 ，但，但帶寬帶寬仍保

15、仍保持持不變不變。由此可見，當(dāng)窗函數(shù)。由此可見，當(dāng)窗函數(shù) w(t) 選定后，時(shí)頻分辨力也就選定后，時(shí)頻分辨力也就隨之確定了隨之確定了,也就是說也就是說 STFT STFT 的的時(shí)窗寬度時(shí)窗寬度與與頻窗寬度頻窗寬度是是固定固定的，其實(shí)質(zhì)是只具有的，其實(shí)質(zhì)是只具有單一的分辨力單一的分辨力，如圖，如圖 6-3(b)6-3(b) 所示。所示。 若要改變分辨力，則必須重新選擇窗函數(shù)。而在實(shí)際應(yīng)若要改變分辨力，則必須重新選擇窗函數(shù)。而在實(shí)際應(yīng)用中，對(duì)于非平穩(wěn)信號(hào)，用中，對(duì)于非平穩(wěn)信號(hào)，當(dāng)信號(hào)波形發(fā)生劇烈變化的時(shí)刻當(dāng)信號(hào)波形發(fā)生劇烈變化的時(shí)刻，主頻是主頻是高頻高頻，因此，必須選取，因此，必須選取“窄窄”的窗

16、函數(shù)，以的窗函數(shù)，以提高時(shí)域提高時(shí)域分分辨力辨力，但與，但與“窄窄”的窗函數(shù)的窗函數(shù) g(t) 相對(duì)應(yīng)的頻譜帶寬則較寬；相對(duì)應(yīng)的頻譜帶寬則較寬；當(dāng)當(dāng)信號(hào)波形變化比較平緩的時(shí)刻信號(hào)波形變化比較平緩的時(shí)刻，主頻是，主頻是低頻低頻，故又要求的頻，故又要求的頻譜譜G()必須是必須是“窄窄”的，才能的，才能提高頻域分辨力提高頻域分辨力，但與，但與“窄窄”的的G()對(duì)應(yīng)的對(duì)應(yīng)的窗函數(shù)窗函數(shù)則則較寬較寬 。顯然，。顯然，STFT不能兼顧不能兼顧時(shí)域分時(shí)域分辨力辨力和和頻域分辨力。頻域分辨力。這就需要能夠根據(jù)信號(hào)波形主頻的變化這就需要能夠根據(jù)信號(hào)波形主頻的變化而而 “自適應(yīng)自適應(yīng)” 改變窗函數(shù)的數(shù)學(xué)變換改變窗

17、函數(shù)的數(shù)學(xué)變換小波變換。小波變換。2022-2-10小波分析與應(yīng)用6.1.2 6.1.2 連續(xù)小波分析連續(xù)小波分析 設(shè)設(shè) x( (t) ) 是平方可積函數(shù)是平方可積函數(shù) 即即 x(t)L2(R) ，(t) 是基本小是基本小波或母小波（波或母小波（mother wavelet）函數(shù)，則稱）函數(shù)，則稱（.2）為為 x(t) 的小波變換。式中的小波變換。式中 a 0, 稱為稱為尺度因子尺度因子；b反映反映時(shí)間位時(shí)間位移移，其值可正可負(fù)。符號(hào)，其值可正可負(fù)。符號(hào)表示內(nèi)積，而表示內(nèi)積，而是基本小波的是基本小波的位移位移和和尺度伸縮尺度伸縮，也稱之為，也稱之為(t)的的生成小波生成小波。

18、由于式（由于式（.2）中的）中的 t ，a 和和b 均為連續(xù)變量，因此稱均為連續(xù)變量，因此稱之為之為連續(xù)小波變換連續(xù)小波變換（CWT）。）。 )(),(d)()(1),(WT*ttxtabttxabaabx)(1)(abtatab 2022-2-10小波分析與應(yīng)用 關(guān)于式（關(guān)于式（.2），應(yīng)作如下幾點(diǎn)說明：），應(yīng)作如下幾點(diǎn)說明：（1）基本小波）基本小波(t)可以是復(fù)解析信號(hào)。例如可以是復(fù)解析信號(hào)。例如便是解析信號(hào)，它是高斯包絡(luò)下的復(fù)指數(shù)函數(shù)，其便是解析信號(hào)，它是高斯包絡(luò)下的復(fù)指數(shù)函數(shù)，其虛部虛部是是實(shí)實(shí)部部的的希爾伯特（希爾伯特（Hilbert）變換）變換（he

19、lp Hilbert / Matlab)：其中，其中，* 表示卷積。表示卷積。（2 2）尺度因子尺度因子a 愈大愈大,(t/a)愈寬愈寬，反之亦然反之亦然。對(duì)于一個(gè)。對(duì)于一個(gè)持續(xù)時(shí)間有限的小波，持續(xù)時(shí)間有限的小波，(t) 與與ab(t) 之間的關(guān)系以及不同尺之間的關(guān)系以及不同尺度度a下小波分析區(qū)間的變化可用圖下小波分析區(qū)間的變化可用圖6-46-4 表示。表示。 tTttTttTtt020202sin)/exp(jcos)/exp()exp(j)/exp()( ttTttTtt1cos)/jexp(cos)/exp()(02022022-2-10小波分析與應(yīng)用圖圖6-4 6-4 小波的位移與伸縮

20、及其不同小波的位移與伸縮及其不同 a 值下小波分析區(qū)間的變化值下小波分析區(qū)間的變化( (t-b) )，移位，移位ttb0ba02a03a04a0a(t-b)/)/a, , a=2bb( (t) )(t/a)，a=2，伸縮，伸縮tt時(shí)間分辨寬度時(shí)間分辨寬度2022-2-10小波分析與應(yīng)用 從圖中可以看出，小波的持續(xù)時(shí)間隨從圖中可以看出，小波的持續(xù)時(shí)間隨 a 的增大而加寬，的增大而加寬，幅度則與幅度則與a 成反比，但波形形狀保持不變。成反比，但波形形狀保持不變。 （3）ab(t )前加因子前加因子 1/a 的目的是使不同的的目的是使不同的 a 值下值下ab(t) 的能量保持不變。的能量保持不變。

21、（4）式（）式（.2）定義的內(nèi)積，往往被不嚴(yán)格地解釋成）定義的內(nèi)積，往往被不嚴(yán)格地解釋成卷積。這是因?yàn)榫矸e。這是因?yàn)?兩式相比，區(qū)別僅在兩式相比，區(qū)別僅在(t-b) 改成改成 (b - t) = -(t-b)，即，即(t)的首尾對(duì)調(diào)。的首尾對(duì)調(diào)。 如果如果(t) 是關(guān)于是關(guān)于 t = 0 對(duì)稱對(duì)稱的函數(shù)，則計(jì)算的函數(shù)，則計(jì)算結(jié)果結(jié)果是是一樣一樣的；如的；如非對(duì)稱非對(duì)稱，在計(jì)算方法上也，在計(jì)算方法上也沒有本質(zhì)區(qū)別沒有本質(zhì)區(qū)別。 ttbtxbbtbxttxtbttxbttxd)()(d)()()(*)(d)()()(),(*卷積：內(nèi)積：2022-2-10小波分析與應(yīng)用 下面介紹小波

22、變換在頻域上的特點(diǎn)。如果下面介紹小波變換在頻域上的特點(diǎn)。如果()是幅頻是幅頻特性比較集中的帶通函數(shù)，式特性比較集中的帶通函數(shù)，式（.2）在頻域上可表示為在頻域上可表示為（.3） 證明：證明：由傅立葉變換的性質(zhì)由傅立葉變換的性質(zhì) F x(-t)=X(-)，F(xiàn) x*(t)=X*(-) 和卷積定理，有和卷積定理，有 所以所以d)exp(j)()(2),(WT*baXabax )()()(*)(*FT*Xttx )()()(*)(1*FT*aXaattxa 2022-2-10小波分析與應(yīng)用于是于是由此可見，對(duì)于幅頻特性比較集中的帶通函數(shù)由此可見，對(duì)于幅頻特性比較集中的帶

23、通函數(shù)()，例，例如，如， *(a) 的幅頻特性集中于某一頻率點(diǎn)的幅頻特性集中于某一頻率點(diǎn)0 /a ，則，則小波小波變換變換就具有就具有表征表征待分析待分析信號(hào)信號(hào) X()在在頻率點(diǎn)頻率點(diǎn)0 /a附近附近的的局部局部性質(zhì)性質(zhì)的能力。的能力。 例例6-26-2 假定小波假定小波(t) 是高斯型的，即是高斯型的，即Morlet小波小波 的頻譜的頻譜()為為)()(Fd)exp(j)()(2),(WT*1*aXabaXabax)exp(j)/exp()(02tTtt )(4exp)(20TT2022-2-10小波分析與應(yīng)用 由于由于()是中心頻率在是中心頻率在0 處的高斯型函數(shù)，如圖處的高斯型函數(shù)，

24、如圖6-5(a)所所示，因此可以表征示，因此可以表征 X() 在在0 附近的局部性質(zhì)。附近的局部性質(zhì)。 如果采用不同的尺度伸縮因子如果采用不同的尺度伸縮因子a，(a) 的中心頻率和的中心頻率和帶寬將發(fā)生變化。例如當(dāng)帶寬將發(fā)生變化。例如當(dāng) a=2 時(shí)，時(shí)，(t /2) 的傅立葉變換為的傅立葉變換為( (a) ) Q = 0 / B|( ()|)|B0| ( ()|)|B= B / a0 / a( (b) ) Q=( (0 / a)/()/(B/a) )=Q圖圖6-5 6-5 尺度伸縮時(shí)小波函數(shù)的品質(zhì)因數(shù)不變尺度伸縮時(shí)小波函數(shù)的品質(zhì)因數(shù)不變)2(exp2)(22)2(F20TTt2022-2-10

25、小波分析與應(yīng)用 可見可見, ,此時(shí)中心頻率降到此時(shí)中心頻率降到0 /2，而，而( (-3 3dB) )帶寬也由帶寬也由2T-1/2 變?yōu)樽優(yōu)?T-1/2 ，如圖，如圖6-5(b)所示，故所示，故|(a)|的品質(zhì)因數(shù)不變。的品質(zhì)因數(shù)不變。 總之，從頻域上看，總之，從頻域上看，用不同的尺度作小波變換，相當(dāng)于用不同的尺度作小波變換，相當(dāng)于用一組中心頻率不同的帶通濾波器對(duì)信號(hào)進(jìn)行處理。用一組中心頻率不同的帶通濾波器對(duì)信號(hào)進(jìn)行處理。帶通濾帶通濾波器的作用是對(duì)信號(hào)進(jìn)行分解或者調(diào)諧。波器的作用是對(duì)信號(hào)進(jìn)行分解或者調(diào)諧。 圖圖6-66-6 表示小波變換在時(shí)表示小波變換在時(shí)-頻平面上的基本特點(diǎn)：頻平面上的基本特

26、點(diǎn)： 當(dāng)當(dāng) a 值小時(shí)值小時(shí)，(t/a) 很很“窄窄”，因此在時(shí)軸上的觀測范，因此在時(shí)軸上的觀測范圍圍小，可以小，可以“細(xì)致觀察細(xì)致觀察”時(shí)域波形時(shí)域波形的變化；而在的變化；而在頻域上頻域上相當(dāng)于相當(dāng)于用用較高頻率較高頻率的的小波小波，對(duì)信號(hào)的頻譜作，對(duì)信號(hào)的頻譜作分辯力較低分辯力較低的分析。的分析。 當(dāng)當(dāng) a 值較大時(shí)值較大時(shí)，(t/a) 變變“寬寬”，時(shí)軸上的觀測范圍大，時(shí)軸上的觀測范圍大，可以可以“初略觀察初略觀察”時(shí)域波形時(shí)域波形；而在頻域上相當(dāng)于用；而在頻域上相當(dāng)于用低頻小波低頻小波對(duì)對(duì)信信號(hào)作號(hào)作分辯力較高分辯力較高的分析。的分析。 分析頻率有高有低，但在各分析頻段內(nèi)的品質(zhì)因數(shù)分析

27、頻率有高有低，但在各分析頻段內(nèi)的品質(zhì)因數(shù) Q 卻卻2022-2-10小波分析與應(yīng)用保持恒定。保持恒定。帶寬帶寬時(shí)窗寬時(shí)窗寬(b b)(a)(a)( (t) )0 / 20( (2) )( () )( (t / 2) )b1b0btt20a=1/20a=10 / 2a=2a=1a=2圖圖6-6 6-6 小波函數(shù)的時(shí)頻分析特點(diǎn)：小波函數(shù)的時(shí)頻分析特點(diǎn)：（a a） 尺度變化；（尺度變化；（b b）基本單元的分辨力）基本單元的分辨力2022-2-10小波分析與應(yīng)用 這種分析特點(diǎn)是工程實(shí)際所期望的：這種分析特點(diǎn)是工程實(shí)際所期望的： 對(duì)于對(duì)于高頻信號(hào)高頻信號(hào)，希望在，希望在時(shí)域時(shí)域有較高的有較高的分辨力分

28、辨力，而在，而在頻域頻域分辨力分辨力則允許相應(yīng)地則允許相應(yīng)地降低降低，因此就要求用小尺度因子，因此就要求用小尺度因子a的的窄窄小波小波來來 “仔細(xì)觀測仔細(xì)觀測” 時(shí)域波形時(shí)域波形x(t)； 對(duì)于對(duì)于低頻信號(hào)低頻信號(hào)，希望提高，希望提高頻域頻域上的上的分辨力分辨力，而，而時(shí)域分辨時(shí)域分辨力力則可以則可以降低降低要求，此時(shí)，就應(yīng)當(dāng)用具有較大尺度因子要求，此時(shí)，就應(yīng)當(dāng)用具有較大尺度因子a窄窄帶頻譜帶頻譜的小波來的小波來“仔細(xì)觀測仔細(xì)觀測”頻譜頻譜 X()。 小波分析小波分析恰恰具有這種恰恰具有這種自動(dòng)調(diào)整時(shí)域自動(dòng)調(diào)整時(shí)域和和頻域頻域的的“視野視野”的的大小大小和和分析頻率分析頻率的的高低高低，從而保

29、證了各分析頻段內(nèi)的品質(zhì)因，從而保證了各分析頻段內(nèi)的品質(zhì)因數(shù)數(shù)Q 的不變性。而的不變性。而 STFT不具有分析頻率降低（或增大）不具有分析頻率降低（或增大）時(shí)，在時(shí)域上的視野自動(dòng)擴(kuò)大（或變?。┑奶攸c(diǎn)，也不具有時(shí)，在時(shí)域上的視野自動(dòng)擴(kuò)大（或變小）的特點(diǎn)，也不具有品質(zhì)因數(shù)品質(zhì)因數(shù) Q 恒定的特征。恒定的特征。2022-2-10小波分析與應(yīng)用6.2 6.2 小波變換的特點(diǎn)及其基本性質(zhì)小波變換的特點(diǎn)及其基本性質(zhì) 小波變換的特點(diǎn)是它沒有小波變換的特點(diǎn)是它沒有固定固定的的核函數(shù)核函數(shù)；此外，也；此外，也不是不是任何函數(shù)任何函數(shù)都可作為都可作為基本小波基本小波進(jìn)行小波變換，它們必須滿足一進(jìn)行小波變換，它們必須

30、滿足一定的條件，其反變換才存在。下面就介紹這一方面的內(nèi)容。定的條件，其反變換才存在。下面就介紹這一方面的內(nèi)容。6.2.1 6.2.1 小波變換的反演公式小波變換的反演公式 設(shè)設(shè)( (t) )L2( (R) )，( (t) )的傅立葉變換為的傅立葉變換為( () )，當(dāng)，當(dāng)( () )滿足容許條件（滿足容許條件（admissible condition）:時(shí)，才能由小波變換時(shí)，才能由小波變換WTx(a,b) 反演原函數(shù)反演原函數(shù) x(t)，此時(shí)，此時(shí)（.1） d| )(|2RC 02d)(1),(WTd1)(babtabaaaCtxx2022-2-10小波分析與應(yīng)用 證明：證明：

31、 根據(jù)根據(jù)Parseval定理的廣義形式，有定理的廣義形式，有（i）由于由于（ii）將式（將式（）代入（）代入（），就有），就有 ) exp(j) (21) (),()(1d)()(21)(),(),(WT*dttttabtaXttxbaababababx)jexp()()(F)(*baatabab d) exp(j| )(| )(2dd)() exp(j) ()()(2ddd)expj() exp(j) ()()()(2d)(1),(WT2*2taXataaXabbtaaXababtabax 2022-2-10小波分析與應(yīng)用于是于是上式兩邊同除以上式兩邊同除以C，即可得到式（，即可得到式（6

32、.）。）。 由容許條件可以推出：能用作基本小波由容許條件可以推出：能用作基本小波(t)的函數(shù)至少的函數(shù)至少必須滿足必須滿足()| =0 =0。 亦即亦即(t) 必須是必須是零均值零均值的的、正負(fù)、正負(fù)交替交替的的振蕩波形振蕩波形，這便是稱之為，這便是稱之為“小波小波”的緣由。此外，還的緣由。此外，還可可以推斷以推斷()必須具有必須具有帶通特性帶通特性，才能滿足容許條件。下面，才能滿足容許條件。下面介紹工程上常用的小波函數(shù)。介紹工程上常用的小波函數(shù)。) () (),(d) exp(j)()d(| )(|21d)(1),(WTd0202txCtttxCtXaaababtabaaax

33、 2022-2-10小波分析與應(yīng)用 （1）Haar 小波：小波：Haar函數(shù)是最簡單的小波，它定義為函數(shù)是最簡單的小波，它定義為 在在Matlab平臺(tái)上，輸入平臺(tái)上，輸入waveinfo(haar) 命令，來獲得命令，來獲得Haar函數(shù)的一些主要性質(zhì)。函數(shù)的一些主要性質(zhì)。 （2）Morlet 小波：小波：Morlet函數(shù)是高斯包絡(luò)下的單頻復(fù)正函數(shù)是高斯包絡(luò)下的單頻復(fù)正弦函數(shù)，即弦函數(shù)，即 在在Matlab中，輸入命令中，輸入命令waveinfo(morl) 可以獲得該函數(shù)可以獲得該函數(shù)的一些主要性質(zhì)。的一些主要性質(zhì)。 其它0,12/11,2/101,)(ttt)(exp2)()exp(j2)/

34、exp()(202 ttt02022-2-10小波分析與應(yīng)用 （3）Mexican Hat 小波：小波： mexh函數(shù)為函數(shù)為它是高斯函數(shù)的二階倒數(shù)，其波形像墨西哥帽。它是高斯函數(shù)的二階倒數(shù)，其波形像墨西哥帽。mexh函數(shù)函數(shù)在時(shí)域和頻域都有很好的局部化分析能力，并滿足容許條在時(shí)域和頻域都有很好的局部化分析能力，并滿足容許條件。件。 在在Matlab中中mexh 函數(shù)可能與上述定義的函數(shù)相差一個(gè)函數(shù)可能與上述定義的函數(shù)相差一個(gè)常數(shù)因子。常數(shù)因子。 （4）DOG (Difference of Gaussion) 小波：小波： DOG函數(shù)是函數(shù)是兩個(gè)不同尺度的高斯函數(shù)之差：兩個(gè)不同尺度的高斯函數(shù)之

35、差：2)/exp()(2)/exp()(1)(2222 ttt)2exp(2)/exp(2)(8)/exp(212)/exp()(2222 ttt2022-2-10小波分析與應(yīng)用它同樣滿足容許條件。該小波雖未收入它同樣滿足容許條件。該小波雖未收入Matlab工具箱中，但工具箱中，但也是一個(gè)常用的小波函數(shù)。也是一個(gè)常用的小波函數(shù)。 此外，此外，Matlab小波工具箱中，還有小波工具箱中，還有Daubechies( (dbN) )小波系、小波系、Coiflet( (coifN) ) 小波系和小波系和 SymletsA( (symN) ) 小波系小波系等，讀者可自行查閱。等，讀者可自行查閱。 在在M

36、atlab中，連續(xù)小波變換可以用中，連續(xù)小波變換可以用cwt 函數(shù)實(shí)現(xiàn)。函數(shù)實(shí)現(xiàn)。6.2.2 6.2.2 小波變換的基本性質(zhì)小波變換的基本性質(zhì) 連續(xù)小波變換具有以下重要性質(zhì)：連續(xù)小波變換具有以下重要性質(zhì)：（1 1）線性性質(zhì)：）線性性質(zhì)：如果如果 x(t) 的的 CWT 是是 WTx(a,b)，y(t) 的的CWT是是 WTy(a,b)，則有，則有),(WT),(WT)()(CWT2121bakbaktyktxkyx 2022-2-10小波分析與應(yīng)用 （2 2）平移不變性：）平移不變性：若若 x(t) 的的CWT是是 WTx(a,b)，則，則x(t-t0)的小波變換為的小波變換為這說明這說明 x

37、( (t) ) 的時(shí)移對(duì)應(yīng)于的時(shí)移對(duì)應(yīng)于 WTx( (a,b) ) 中中 b 的平移的平移。 （3 3）伸縮共變性：）伸縮共變性：若若x( (t) ) 的的CWT是是 WTx( (a,b) )，則，則 x( (kt) ) 的小波變換為的小波變換為 證明：證明：令令x(t)= x(kt)，則，則),(WT)(CWT00tbattxx 0),(WT1)(CWT kkbkakktxx),(WT1 d)(*) (11d)/ (*) (1d)(*)(1),(WTkbkaktkakbttxkaktabkttxakktttabtktxabaxx2022-2-10小波分析與應(yīng)用 該性質(zhì)表明當(dāng)信號(hào)該性質(zhì)表明當(dāng)信

38、號(hào) x(t) 作某一倍數(shù)伸縮時(shí)，其小波變換作某一倍數(shù)伸縮時(shí)，其小波變換將在將在 (a,b) 兩軸上作同一比例的伸縮，但不發(fā)生波形的失兩軸上作同一比例的伸縮，但不發(fā)生波形的失真。這正是小波變換具有真。這正是小波變換具有“數(shù)學(xué)顯微鏡數(shù)學(xué)顯微鏡”功能的重要依據(jù)。功能的重要依據(jù)。 （4 4）自相似性：）自相似性： 對(duì)應(yīng)于不同尺度因子對(duì)應(yīng)于不同尺度因子a 和不同平移參和不同平移參數(shù)數(shù) b 的連續(xù)小波變換之間是自相似的。的連續(xù)小波變換之間是自相似的。 證明：證明：由于小波族由于小波族ab(t) 是同一基小波是同一基小波(t) 經(jīng)過伸縮和經(jīng)過伸縮和平移獲得的，而連續(xù)小波又具有平移獲得的，而連續(xù)小波又具有平移

39、不變性平移不變性和和伸縮共變性伸縮共變性，所以在不同的所以在不同的 (a,b) 點(diǎn)的連續(xù)小波變換具有自相似性，即性點(diǎn)的連續(xù)小波變換具有自相似性，即性質(zhì)（質(zhì)（4 4）成立。）成立。 （5 5）冗余性：）冗余性：連續(xù)小波變換中存在信息表述的冗余度連續(xù)小波變換中存在信息表述的冗余度（redundancy）。連續(xù)小波變換的冗余性實(shí)際上也是自相似）。連續(xù)小波變換的冗余性實(shí)際上也是自相似性和伸縮共變性的直接反映，它表現(xiàn)在以下兩個(gè)方面：性和伸縮共變性的直接反映，它表現(xiàn)在以下兩個(gè)方面：2022-2-10小波分析與應(yīng)用 由連續(xù)小波變換恢復(fù)原信號(hào)的由連續(xù)小波變換恢復(fù)原信號(hào)的反演公式反演公式不是不是唯一唯一的，這的

40、，這與傅立葉變換是不一樣的。與傅立葉變換是不一樣的。 小波變換的核函數(shù)（即小波族小波變換的核函數(shù)（即小波族ab(t)）存在多種可能的）存在多種可能的選擇。例如，小波族選擇。例如，小波族ab(t)可以是可以是非正交小波非正交小波、正交小波正交小波或或雙正交小波雙正交小波，甚至允許是彼此，甚至允許是彼此線性相關(guān)線性相關(guān)的。的。 小波變換在不同的小波變換在不同的( (a, b) ) 點(diǎn)之間的相關(guān)性增加了分析和點(diǎn)之間的相關(guān)性增加了分析和解釋小波變換結(jié)果的困難，因此，應(yīng)盡量減小小波變換的冗解釋小波變換結(jié)果的困難，因此，應(yīng)盡量減小小波變換的冗余度，這是小波分析中主要問題之一。余度，這是小波分析中主要問題之

41、一。6.2.3 6.2.3 連續(xù)小波變換的離散化連續(xù)小波變換的離散化 在使用小波變換重構(gòu)信號(hào)時(shí)或用計(jì)算機(jī)實(shí)現(xiàn)小波變換在使用小波變換重構(gòu)信號(hào)時(shí)或用計(jì)算機(jī)實(shí)現(xiàn)小波變換時(shí)，必須對(duì)小波作離散化處理。連續(xù)小波和連續(xù)小波變換的時(shí)，必須對(duì)小波作離散化處理。連續(xù)小波和連續(xù)小波變換的離散化離散化都是針對(duì)都是針對(duì)尺度因子尺度因子 a 和和連續(xù)平移參數(shù)連續(xù)平移參數(shù) b 進(jìn)行的，而進(jìn)行的，而2022-2-10小波分析與應(yīng)用不是針對(duì)時(shí)間變量不是針對(duì)時(shí)間變量 t，這與我們習(xí)以為常的，這與我們習(xí)以為常的時(shí)間離散化時(shí)間離散化有所有所不同。不同。 通常，尺度因子通常，尺度因子 a 和和 b 的離散化公式分別取為的離散化公式分別

42、取為與之對(duì)應(yīng)的離散小波與之對(duì)應(yīng)的離散小波jk(t) 為為（.2） 而離散化小波變換而離散化小波變換 WTx(j,k) 為為（.3） 上式通常被稱為離散小波變換（上式通常被稱為離散小波變換（discrete wavelet trans -form，DWT），而將變換的結(jié)果），而將變換的結(jié)果 Cjk 稱為小波系數(shù)。稱為小波系數(shù)。1),(,0000 aZkjbkabaajj)()(002/0kbtaatjjjk ZkjtttxkjdefCjkxjk,d)()(),(WT*2022-2-10小波分析與應(yīng)用 將式（將式（.2）和（）和（.3

43、）代入反演公式（）代入反演公式（.1），），可得到數(shù)值計(jì)算時(shí)使用的信號(hào)重構(gòu)公式，即可得到數(shù)值計(jì)算時(shí)使用的信號(hào)重構(gòu)公式，即（.3）式中式中 c 是與信號(hào)無關(guān)的常數(shù)，常取是與信號(hào)無關(guān)的常數(shù)，常取 c=1。 最常見的情況是取最常見的情況是取 a0=2 和和 b0=1，每個(gè)坐標(biāo)（或網(wǎng)格，每個(gè)坐標(biāo)（或網(wǎng)格點(diǎn)）對(duì)應(yīng)的點(diǎn)）對(duì)應(yīng)的尺度因子尺度因子 a =2 j，平移參數(shù)平移參數(shù) b= 2 j k。隨著。隨著 j 增增加，采樣間隔成倍擴(kuò)大。如果采用對(duì)數(shù)坐標(biāo)，并以加，采樣間隔成倍擴(kuò)大。如果采用對(duì)數(shù)坐標(biāo)，并以 ln2 為坐為坐標(biāo)單位，則標(biāo)單位，則 (a，b) 的離散值可用圖的離散值可

44、用圖6-7表示。此時(shí)表示。此時(shí)jk(t) 變?yōu)樽優(yōu)椋?4） 稱為稱為二進(jìn)制小波二進(jìn)制小波（dyadic wavelet）。）。)()(tCctxjkjkjk )(22)(j2/kttjjk 2022-2-10小波分析與應(yīng)用 二進(jìn)制小波對(duì)信號(hào)的分析二進(jìn)制小波對(duì)信號(hào)的分析具有變焦距具有變焦距的作用。假定有一的作用。假定有一放大倍數(shù)放大倍數(shù) 2j，它對(duì)應(yīng)為觀測到信號(hào)的某部分內(nèi)容。若想進(jìn)一，它對(duì)應(yīng)為觀測到信號(hào)的某部分內(nèi)容。若想進(jìn)一步觀測信號(hào)更小的細(xì)節(jié)，則要增加放大倍數(shù)即減小步觀測信號(hào)更小的細(xì)節(jié)，則要增加放大倍數(shù)即減小 j 值；反值；反之，若只是想粗略了解信號(hào)的內(nèi)容，則可以減小放大倍數(shù)，

45、之，若只是想粗略了解信號(hào)的內(nèi)容，則可以減小放大倍數(shù)，即增大即增大 j 值。（值。（a= 2j） 在在 Matlab 中，離散小波變換可用中，離散小波變換可用 dwt 實(shí)現(xiàn)。實(shí)現(xiàn)。-8321kTs8-2-6-46420j ln2Ts=2 jTs=2 j圖圖6-76-7 a-b 平面的二進(jìn)制動(dòng)態(tài)采樣網(wǎng)格點(diǎn)平面的二進(jìn)制動(dòng)態(tài)采樣網(wǎng)格點(diǎn)平移因子平移因子尺度因子尺度因子2022-2-10小波分析與應(yīng)用 例例6-16-1 某一直升飛機(jī)齒輪箱上的早期損傷的特征是，在某一直升飛機(jī)齒輪箱上的早期損傷的特征是，在伴隨振動(dòng)信號(hào)上產(chǎn)生一個(gè)可變周期的非平穩(wěn)擾動(dòng)信號(hào)，然伴隨振動(dòng)信號(hào)上產(chǎn)生一個(gè)可變周期的非平穩(wěn)擾動(dòng)信號(hào)，然而，

46、在故障早期，不一定能觀測到明顯的故障征兆。為了確而，在故障早期，不一定能觀測到明顯的故障征兆。為了確認(rèn)故障是否已發(fā)生，可應(yīng)用小波變換對(duì)信號(hào)進(jìn)行分析。認(rèn)故障是否已發(fā)生，可應(yīng)用小波變換對(duì)信號(hào)進(jìn)行分析。 假定選取高斯型小波函數(shù)，即假定選取高斯型小波函數(shù)，即（）其頻譜其頻譜()為為（） 可見，振蕩頻率可見，振蕩頻率0 位于小波頻帶的中央。小波變換為位于小波頻帶的中央。小波變換為)jexp()exp()(022ttt )(41exp)(202 ),(WTd)(jexp)(exp)(/1d)(jexp)(exp1)(),(WT0202bstbtsbtsstxastabtabtatxbaxx 2022-2-

47、10小波分析與應(yīng)用 因?yàn)樗x擇的小波滿足因?yàn)樗x擇的小波滿足(-t)= *(t), 根據(jù)卷積定理，有根據(jù)卷積定理，有因此，有因此，有（）于是，計(jì)算小波變換可用快速傅立葉變換來實(shí)現(xiàn)。于是，計(jì)算小波變換可用快速傅立葉變換來實(shí)現(xiàn)。在式（在式（）和（）和（）中，小波的）中，小波的半功率帶寬半功率帶寬分別為：分別為：0.5888/ 0.707max0.707max(t) 和和 1.1776 0.707max0.707max() 當(dāng)尺度因子為當(dāng)尺度因子為 s 時(shí)，它們分別變?yōu)闀r(shí)，它們分別變?yōu)?(0.5888/)s 和和 1.1776s)()(1)(*)()(*)(),(WTFT*sXssttxsststx

48、bsx )()4(1exp)(FT1)()(FT1),(WT20211ssXssXsbsx 2022-2-10小波分析與應(yīng)用 隨著隨著 s 增大，小波波形變窄而頻帶變寬，如果采用固定增大，小波波形變窄而頻帶變寬，如果采用固定的的0 ，則可能加大兩相鄰尺度小波的頻率重疊，造成冗，則可能加大兩相鄰尺度小波的頻率重疊，造成冗余，如圖余，如圖 6-8（a）所示。為此，將）所示。為此，將0表示尺度因子表示尺度因子s的線性的線性函函數(shù)，即數(shù)，即0= c+ds，其中，其中 c 和和 d 為常數(shù)。圖為常數(shù)。圖6-8（b）是各?。┦歉餍〔l帶的中心頻率隨尺度因子波頻帶的中心頻率隨尺度因子s變化的情況。變化的情況

49、。024681005101520051015202505101520圖圖6-86-8 小波的頻帶寬度隨尺度小波的頻帶寬度隨尺度s s的增加而變寬的增加而變寬 ( (a a) ) 0 0 為常數(shù)為常數(shù) ( (b b) ) 0 0= c= c+ +dsds(a)(b)2022-2-10小波分析與應(yīng)用 下面討論常數(shù)下面討論常數(shù) c 和和 d 的確定方法的確定方法: : 假定振動(dòng)信號(hào)的截止頻率為假定振動(dòng)信號(hào)的截止頻率為c ，取，取 s=1, , M（M=10) ), 那么，為使那么，為使不同尺度的小波族不同尺度的小波族完全覆蓋完全覆蓋被分析被分析信號(hào)的頻帶信號(hào)的頻帶，尺度尺度 s=2 的的小波的中心頻

50、率小波的中心頻率02 和和信號(hào)截止頻率為信號(hào)截止頻率為c 必須必須分別滿足以下兩個(gè)方程（已知：分別滿足以下兩個(gè)方程（已知：0 ， c )：（） （v）當(dāng)確定了當(dāng)確定了02 就可選定參數(shù)就可選定參數(shù)；聯(lián)立式；聯(lián)立式 () 和和 () 可選出?？蛇x出常數(shù)數(shù) c 和和 d。 式（式（）的離散形式可寫成）的離散形式可寫成（）77611.2020dc77611.77611.0MdcMc.2;,2,1,),2exp(j)()(1),(10MNnxNMmsNmnmnnXmNnmWT 2022-2-10小波分析與應(yīng)用 小波變換的時(shí)間小波變換的時(shí)間-尺度分布僅對(duì)尺度分布僅對(duì) N 個(gè)采樣點(diǎn)作個(gè)采樣點(diǎn)作 M 次次

51、FFT即可，其結(jié)果可用即可，其結(jié)果可用 MN 像素的兩維等高線來表示。這個(gè)問像素的兩維等高線來表示。這個(gè)問題的其余部分留給讀者作課外練習(xí)。題的其余部分留給讀者作課外練習(xí)。6.3 6.3 多分辨力小波分析的基本框架多分辨力小波分析的基本框架 前面用數(shù)學(xué)顯微鏡的比喻來解釋小波變換的多分辨力概前面用數(shù)學(xué)顯微鏡的比喻來解釋小波變換的多分辨力概念，并介紹了它的重要特點(diǎn)：當(dāng)念，并介紹了它的重要特點(diǎn)：當(dāng)尺度尺度 a 較大較大時(shí)視野寬而分析時(shí)視野寬而分析頻率低，可以對(duì)頻率低，可以對(duì)時(shí)域時(shí)域信號(hào)作信號(hào)作粗略粗略的觀察（的觀察（頻率分辨力高頻率分辨力高）；）；當(dāng)當(dāng)尺度尺度 a 較小較小時(shí)時(shí)視野窄視野窄而而分析頻率

52、高分析頻率高，可以對(duì)，可以對(duì)時(shí)域時(shí)域信號(hào)作信號(hào)作細(xì)細(xì)致致的觀察（的觀察（頻率分辨力低頻率分辨力低） 。但不論哪種情況，不同的尺度。但不論哪種情況，不同的尺度下分析的品質(zhì)因數(shù)卻保持不變。這種由粗及細(xì)對(duì)信號(hào)進(jìn)行逐下分析的品質(zhì)因數(shù)卻保持不變。這種由粗及細(xì)對(duì)信號(hào)進(jìn)行逐級(jí)分析稱為多分辨力分析（級(jí)分析稱為多分辨力分析（multi-resolution analysis），它），它是小波分析所具有的獨(dú)特優(yōu)點(diǎn)。是小波分析所具有的獨(dú)特優(yōu)點(diǎn)。2022-2-10小波分析與應(yīng)用 19881988年年 S . Mallat 從空間的概念上形象地說明了小波的從空間的概念上形象地說明了小波的多多分辨力特性，給出了正交小波的

53、構(gòu)造方法及基于正交小波分辨力特性，給出了正交小波的構(gòu)造方法及基于正交小波變換的快速算法，即變換的快速算法，即 Mallat 算法，目前這種算法已推廣到算法，目前這種算法已推廣到基于非正交小波的快速算法?；诜钦恍〔ǖ目焖偎惴āallat 算法算法在在小波分析小波分析中的中的地地位位相當(dāng)于相當(dāng)于FFT在經(jīng)典在經(jīng)典傅立葉變換傅立葉變換的的地位地位，它使小波變換的實(shí)，它使小波變換的實(shí)時(shí)計(jì)算與分析成為現(xiàn)實(shí)。時(shí)計(jì)算與分析成為現(xiàn)實(shí)。6.3.1 6.3.1 多分辨力信號(hào)分解與重構(gòu)的基本概念多分辨力信號(hào)分解與重構(gòu)的基本概念 用用分解樹分解樹來表示多分辨力分析，如圖來表示多分辨力分析，如圖6-9 6-9 所

54、示。多分辨所示。多分辨分析首先將分析首先將原始信號(hào)空間原始信號(hào)空間V0 分解為分解為低頻低頻和和高頻高頻兩部分，然兩部分，然后，僅后，僅對(duì)低頻部分繼續(xù)進(jìn)行分解對(duì)低頻部分繼續(xù)進(jìn)行分解，而，而高頻部分則不予以考高頻部分則不予以考慮慮。這樣，隨著分解層次的增加，信號(hào)的細(xì)節(jié)將逐漸呈現(xiàn)出。這樣，隨著分解層次的增加，信號(hào)的細(xì)節(jié)將逐漸呈現(xiàn)出來。來。 對(duì)于三層分解樹，分解具有如下關(guān)系：對(duì)于三層分解樹，分解具有如下關(guān)系：2022-2-10小波分析與應(yīng)用式中，符號(hào)式中，符號(hào) 表示直和。表示直和。 這種分解可看作是函這種分解可看作是函數(shù)空間的剖分，數(shù)空間的剖分，剖分的目剖分的目的的是是力求構(gòu)造一個(gè)在頻率力求構(gòu)造一個(gè)

55、在頻率上高度逼近上高度逼近 L2( (R) ) 空間的空間的正交基小波正交基小波，這些頻率分，這些頻率分辨力不同的辨力不同的正交小波基正交小波基相當(dāng)于相當(dāng)于帶通各異的帶通各異的帶通濾波器帶通濾波器。因因此，可以從函數(shù)空間集或正交濾波器組的角度來理解多分辨此，可以從函數(shù)空間集或正交濾波器組的角度來理解多分辨力分析的基本概念和算法。下面先從正交濾波器組出發(fā)，定力分析的基本概念和算法。下面先從正交濾波器組出發(fā)，定性地解釋多分辨力概念，然后再從函數(shù)空間分解的角度進(jìn)一性地解釋多分辨力概念，然后再從函數(shù)空間分解的角度進(jìn)一步闡述這一概念。步闡述這一概念。信號(hào)信號(hào)： V0V1 (低頻低頻)V2 (低頻低頻)V

56、3 (低頻低頻)W3 (高頻高頻)W2 (高頻高頻)W1 (高頻高頻)圖圖6-9 6-9 三層多分辨力分析的分解結(jié)構(gòu)三層多分辨力分析的分解結(jié)構(gòu)12330WWWVV 2022-2-10小波分析與應(yīng)用 （1 1）正交濾波器組）正交濾波器組：當(dāng)信號(hào)當(dāng)信號(hào) x 的采樣速率滿足的采樣速率滿足Nyquist條件時(shí)，歸一化頻帶將限制在條件時(shí)，歸一化頻帶將限制在 -， 之間。如果將信號(hào)之間。如果將信號(hào)的正的正頻率部分，分別用理想頻率部分，分別用理想低通濾波器低通濾波器 H0 和理想和理想高通濾高通濾波器波器H1，分解成頻帶在，分解成頻帶在 0，/2 的低頻部分和頻帶在的低頻部分和頻帶在 /2， 的高頻部分，如

57、圖的高頻部分，如圖6-106-10所示。所示。W1V1V0| |H0()| | | |H1( ()|)| 1 /2- /21 /2 - /2- x(n)低頻部分低頻部分平滑信號(hào)平滑信號(hào)高頻部分高頻部分細(xì)節(jié)信號(hào)細(xì)節(jié)信號(hào)0 /2 /2H1 ()H0 ()2 - | |X( ()|)| 圖圖6-10 6-10 用正交濾波器組分解信號(hào)用正交濾波器組分解信號(hào)x2W2V22022-2-10小波分析與應(yīng)用 因?yàn)樘幚砗蟮膬陕沸盘?hào)的頻帶不相交，所以它們必定正因?yàn)樘幚砗蟮膬陕沸盘?hào)的頻帶不相交，所以它們必定正交（參見交（參見.1分離系統(tǒng)），故將分離系統(tǒng)），故將濾波器濾波器 H0 和和 H1 稱為稱為

58、正交正交濾波器組濾波器組（quadrature filter bank）。此外，由于濾波器。此外，由于濾波器 H0和和H1 的輸出信號(hào)的的輸出信號(hào)的帶寬均減半帶寬均減半，因此，因此采樣速率采樣速率也可以也可以減半減半而不致于引起信息的丟失。在圖而不致于引起信息的丟失。在圖6-106-10中，用下采樣符號(hào)中，用下采樣符號(hào)( (2 ) )表示表示“二抽一二抽一”環(huán)節(jié)，即在每隔一個(gè)樣本抽樣一次，環(huán)節(jié)，即在每隔一個(gè)樣本抽樣一次，組組成長度縮短一半的新樣本。成長度縮短一半的新樣本。 對(duì)對(duì)低頻部分低頻部分可按類似的過程可按類似的過程繼續(xù)分解繼續(xù)分解下去：每一級(jí)分解下去：每一級(jí)分解把該級(jí)信號(hào)分解成把該級(jí)信號(hào)

59、分解成低頻部分低頻部分和和高頻部分高頻部分，各級(jí)濾波器是一致，各級(jí)濾波器是一致的，濾波器的輸出采樣率也都可減半。這樣，就可以對(duì)原始的，濾波器的輸出采樣率也都可減半。這樣，就可以對(duì)原始信號(hào)信號(hào) x 進(jìn)行多分辨力分析。圖進(jìn)行多分辨力分析。圖6-116-11 表示各級(jí)分解的頻帶及其表示各級(jí)分解的頻帶及其中心頻率。下面解中心頻率。下面解釋這種分解過程所引伸的基本概念。釋這種分解過程所引伸的基本概念。2022-2-10小波分析與應(yīng)用 頻率空間的劃分：頻率空間的劃分： 若將原始信號(hào)若將原始信號(hào) x 的頻帶（的頻帶（0 ）定義為定義為 V0 ，那么，經(jīng)第一次分解后，那么，經(jīng)第一次分解后，V0 被被劃分劃分成

60、兩個(gè)成兩個(gè)子空子空間：間：V1（頻帶（頻帶 0 /2）和和 W1（頻帶（頻帶/2）；經(jīng)第二級(jí)；經(jīng)第二級(jí)分分解后，解后，V1 又被又被劃分劃分成兩個(gè)成兩個(gè)子空間：子空間：V2（頻帶（頻帶 0 /4）和和W2（頻帶（頻帶/4 /2）?？蓪⑦@種空間劃分記為：。可將這種空間劃分記為：圖圖6-116-11 頻帶的逐級(jí)分解及其中心頻率頻帶的逐級(jí)分解及其中心頻率W3W1W20/16 /83/16 /43/8 /23/4V0V1V2V3W4V42022-2-10小波分析與應(yīng)用其中，各其中，各 Wj 是反映是反映 Vj-1 空間細(xì)節(jié)信號(hào)的高頻子空間，空間細(xì)節(jié)信號(hào)的高頻子空間，Vj 是是反映反映 Vj-1 空間平