彈性力學(xué)第2章2ppt課件

1、彈性力學(xué)第2章 彈性力學(xué)平面問(wèn)題的基本理論（第二講） 邊界條件與圣維南原理 平面問(wèn)題的求解方法 常體力問(wèn)題的應(yīng)力函數(shù)解法 彈性力學(xué)平面問(wèn)題的基本方程第2章 平面問(wèn)題的基本理論 力平衡微分方程： 幾何方程： 物理方程： 構(gòu)成定解問(wèn)題 邊界條件00yxyyxyxxfxyfyxyuxvyvxuxyyx,xyxyxyyyxxGEE1),(1),(1第2章 平面問(wèn)題的基本理論2.2 邊界條件 2.2 邊界條件？外力作用物體的形變相對(duì)物理量，導(dǎo)出量應(yīng)力邊界位移邊界應(yīng)變邊界2.2 .1位移邊界條件 平面問(wèn)題中應(yīng)有關(guān)于x方向和y方向的位移邊界條件第2章 平面問(wèn)題的基本理論2.2 邊界條件 vvuu,其中， 和

2、 為指定的沿x方向和y方向位移(平面問(wèn)題)，Su為給定的位移邊界。 （在Su上）uv2.2.2 應(yīng)力邊界條件 在力邊界上取微小體元dxdy1(平面問(wèn)題)并考察它的平衡問(wèn)題, 如下圖。第2章 平面問(wèn)題的基本理論2.2 邊界條件 由微小體元的x方向合力平衡，有 第2章 平面問(wèn)題的基本理論2.2 邊界條件 這里，ds為邊界上斜邊的長(zhǎng)度，邊界外法線n的方向余弦為l = dy/ds，m = dx/ds，則上式簡(jiǎn)化為 01d1d1dspxyxxyxxxyxpml（在Sp上）第2章 平面問(wèn)題的基本理論2.2 邊界條件 同樣，可建立微元體在y方向上合力和力矩的平衡方程，將微小體元的三個(gè)平衡方程匯總后，有 其中

3、，Sp為給定的力邊界，由于 ，則重寫(xiě)上式，有 yxxyyyxyxxyxplmpmlyxxyyxyyxxyxplmpml（在Sp上）如圖所示彈性體，試寫(xiě)出其上、下、左、右四個(gè)邊界上的應(yīng)力邊界條件。例第2章 平面問(wèn)題的基本理論2.2 邊界條件 【解】在上邊界y = -h/2上，不存在任何面力，即可以看出，上邊界的外法線方向?yàn)樽鴺?biāo)軸y軸的負(fù)方向，因而，它的方向余弦為l = 0，m = -1。0|2/2/hyyhyxpp可以得到，在上邊界上應(yīng)有第2章 平面問(wèn)題的基本理論2.2 邊界條件 應(yīng)用應(yīng)力邊界方程 于是，上邊界的應(yīng)力邊界條件為 yxyyxxyxplmpml,0|, 0|2/2/hyyhyxy注：

4、千萬(wàn)不要想當(dāng)然地認(rèn)為是x和y為0，在不確定的情況下，一定要應(yīng)用邊界方程推寫(xiě)應(yīng)力邊界條件！0|0|) 1(|0|) 1(|0|2/2/2/2/2/2/hyyhyxyhyyhyxhyxyhyxpp左邊界x = 0上外法線的方向余弦為l = -1，m = 0的應(yīng)力邊界條件為第2章 平面問(wèn)題的基本理論2.2 邊界條件 同理，可給出下邊界y = h/2上外法線的方向余弦為l = 0，m = 1 ）的應(yīng)力邊界條件為 右邊界x = a上外法線的方向余弦為l = 1，m = 0 ）的應(yīng)力邊界條件為 0|, 0|2/2/hyxyhyy0|, 0|axxyaxx0|, 0|00 xxyxx如圖所示薄板條，在y方向

5、受均勻拉力作用，試證明在板中間突出部分的尖端A處各應(yīng)力分量為零。 例第2章 平面問(wèn)題的基本理論2.2 邊界條件 【證】設(shè)AC和AB的方向余弦分別為(l1, m1)和(l2, m2)，可以給出邊界條件 由于A點(diǎn)是兩個(gè)邊界的交點(diǎn)，因此上述四個(gè)方程同時(shí)成立。然而，l1 l2 0，m1 m2 0，且取值具有任意性，因而，必有x = y = xy = 0，即板中間突出部分的尖端A處各應(yīng)力分量為零。 在AC上：在AB上：0, 01111mlmlyxyxyx0, 02222mlmlyxyxyx在上面這個(gè)例題中，彈性體右端面上受到集中力P的作用，應(yīng)如何給出其邊界條件？問(wèn)題第2章 平面問(wèn)題的基本理論2.2 邊界

6、條件 【簡(jiǎn)短的分析】 屬于分布力；外力P是集中力。因而，無(wú)法直接應(yīng)用上面所建立的應(yīng)力邊界方程。為了解決這個(gè)問(wèn)題，就必須把集中力等效地轉(zhuǎn)化為分布力，或者把分布應(yīng)力轉(zhuǎn)化為集中力進(jìn)行處理。這種處理方法的正確與否就是圣維南原理所要論證的要點(diǎn)。yxpp 、2.2.3 圣維南原理第2章 平面問(wèn)題的基本理論2.2 邊界條件 圣維南原理表明，如果物體一小部分邊界上的面力變換為分布不同，但靜力等效的面力主矢量相同，對(duì)于同一點(diǎn)的主矩也相同），那么，近處的應(yīng)力分布將有顯著的改變，但是遠(yuǎn)處所受的影響可以忽略不計(jì)。圣維南于1855年提出了局部效應(yīng)原理，以后稱(chēng)為圣維南原理。 圣維南原理并沒(méi)有嚴(yán)格的理論證明。第2章 平面問(wèn)

7、題的基本理論2.2 邊界條件思考題：為什么圣維南原理所提到的是“物體一小部分邊界上的面力而非“集中力”？什么是靜力等效？主矢量和主矩所指的是什么？ 圣維南原理解決了什么問(wèn)題？ 重新回到前面所提出的問(wèn)題上來(lái)。 彈性體右端面上的集中力P可以轉(zhuǎn)化為與其靜力等效的力系，如下圖。第2章 平面問(wèn)題的基本理論2.2 邊界條件 顯然，轉(zhuǎn)化為分布力的靜力等效力系，可以應(yīng)用應(yīng)力邊界條件方程表示為axxyaxxyaxyyaxxaxxyaxxxlmpmlp|,|LPMyypMPyppPyppxxPhhxxpyhhyyxhhxx)(d)(,d,d2/2/2/2/2/2/考慮靜力等效條件，應(yīng)有 代入彈性體右端面的彈性體右

8、端面的力邊界條件力邊界條件2.2.4 力積分的應(yīng)力邊界條件這樣一來(lái)，就給出了應(yīng)用應(yīng)力邊界方程來(lái)處理集中力邊界的基本方法。第2章 平面問(wèn)題的基本理論2.2 邊界條件 圣維南原理給出了答案。問(wèn)題是：這種處理方法是否正 確？可以看出，這里的邊界條件不同于前面所提到的應(yīng)力邊界條件，它與合力相關(guān)，因此稱(chēng)之為力邊界條件。它也被稱(chēng)之為積分的應(yīng)力邊界條件。 【p32習(xí)題28(2)】試列出圖214所示問(wèn)題的全部邊界條件。在其端部邊界上，應(yīng)用圣維南原理列出三個(gè)積分的應(yīng)力邊界條件。 例第2章 平面問(wèn)題的基本理論2.2 邊界條件 它的外法線方向余弦為0, -1，由此可得，其應(yīng)力邊界條件為 【解】在上邊界y = -h/

9、2上，有 qpphyyhyx2/2/)(, 0)(0)(,)(2/2/hyxyhyyq在下邊界y = h/2上，有 第2章 平面問(wèn)題的基本理論2.2 邊界條件 在左端面x = 0，分別作用有沿水平方向和垂直方向的集中力FN與FS，以及彎曲力矩M，無(wú)法直接利用應(yīng)力邊界方程給出應(yīng)力邊界條件，只能利用圣維南原理建立力積分的應(yīng)力邊界條件。該端面的外法線方向余弦為-1, 0，由x方向上的力平衡條件，有 它的外法線方向余弦為0, 1，由此可得，其應(yīng)力邊界條件為 12/2/)(, 0)(qhyxyhyy0)(,)(2/12/hyyhyxpqp第2章 平面問(wèn)題的基本理論2.2 邊界條件 從上述關(guān)系可得，端部邊

10、界上的三個(gè)力積分應(yīng)力邊界條件為 由y方向上的力平衡條件，有 N2/2/002/2/00d0)() 1()(d)()(FyymlhhxxyxxhhxxyxxS2/2/002/2/00d)1()(0)(d)()(Fyylmhhxxyxyhhxxyxy由力矩平衡條件，有 Myyyymlhhxxyxxhhxxyxx2/2/002/2/00d0)() 1()(d)()(MyyFyFyhhxxhhxxyhhxx2/2 . /0S2/2/0N2/2/0d)(,d)(,d)(右端面x = l為一固定端，有位移邊界條件 第2章 平面問(wèn)題的基本理論2.2 邊界條件 利用圣維南原理，考慮到該面的外法線方向余弦為1,

11、 0，可以得到其三個(gè)積分應(yīng)力邊界條件為 根據(jù)彈性體的力平衡條件，可以得到作用在該面上的合力與合力矩分別為 0)(, 0)(lxlxvu21SS1N2121,qlhqlFMMqlFFlqFFlyx21S2/2 . /0S2/2/01N2/2/2121d)(,d)(,d)(qlhqlFMyyqlFylqFyhhxxhhxxyhhlxx第2章 平面問(wèn)題的基本理論2.3 平面問(wèn)題的求解方法 2.3 平面問(wèn)題的求解方法迄今，已經(jīng)建立了求解彈性力學(xué)平面問(wèn)題的基本方程?？梢钥闯?，它一共涉及到8個(gè)變量，是8個(gè)變量組成的一個(gè)偏微分方程組。從理論上講，聯(lián)合所給問(wèn)題的邊界條件，就能對(duì)問(wèn)題進(jìn)行求解。為了便于求解，需對(duì)

12、方程作適當(dāng)簡(jiǎn)化。由此提出了平面問(wèn)題的求解方法。)e()(,)d()(,)c(1),(1),(1)b(,)a(0,0上在上在邊界條件：物理方程：幾何方程：力平衡方程：基本方程pyxyyxxyxuxyxyxyyyxxxyyxyyxyxxyxSplmpmlSvvuuGEExvyuyvxufyxfyx問(wèn)題的實(shí)質(zhì)和核心就是減少變量的個(gè)數(shù)！問(wèn)題的實(shí)質(zhì)和核心就是減少變量的個(gè)數(shù)！通常采用類(lèi)似于代數(shù)方程中的消元法進(jìn)行求解通常采用類(lèi)似于代數(shù)方程中的消元法進(jìn)行求解第2章 平面問(wèn)題的基本理論2.3 平面問(wèn)題的求解方法 位移法是按位移求解方法的簡(jiǎn)稱(chēng)。它是以位移分量位移法是按位移求解方法的簡(jiǎn)稱(chēng)。它是以位移分量為基本未知函

13、數(shù)，從基本方程和邊界條件中消去應(yīng)為基本未知函數(shù)，從基本方程和邊界條件中消去應(yīng)力和形變分量，導(dǎo)出只含位移分量的方程和邊界條力和形變分量，導(dǎo)出只含位移分量的方程和邊界條件。并由此解出位移分量，再求出形變分量和應(yīng)力件。并由此解出位移分量，再求出形變分量和應(yīng)力分量。分量。應(yīng)力法是按應(yīng)力求解方法的簡(jiǎn)稱(chēng)。它是取應(yīng)力分量應(yīng)力法是按應(yīng)力求解方法的簡(jiǎn)稱(chēng)。它是取應(yīng)力分量為基本未知函數(shù)，從方程和邊界條件中消去位移和為基本未知函數(shù)，從方程和邊界條件中消去位移和形變分量，導(dǎo)出只含應(yīng)力分量的方程和邊界條件。形變分量，導(dǎo)出只含應(yīng)力分量的方程和邊界條件。并由此解出應(yīng)力分量，再求出形變分量和位移分量。并由此解出應(yīng)力分量，再求出

14、形變分量和位移分量。平面問(wèn)題有兩種求解方法：即位移法和應(yīng)力法。第2章 平面問(wèn)題的基本理論2.3 平面問(wèn)題的求解方法 兩種求解方法: 位移法、應(yīng)力法平面問(wèn)題基本方程中分別涉及到三類(lèi)變量，即應(yīng)力分量、應(yīng)變分量和位移分量。理論上，可以依據(jù)這三類(lèi)變量建立三種求解方法。思考題：為什么在彈性力學(xué)平面問(wèn)題中沒(méi)有按應(yīng)變的求解方法？取u和v為基本未知函數(shù)。為了消元，將其它未知函數(shù)用基本未知函數(shù)u和v表示。形變分量用u和v表示，可以直接采用幾何方程(b)。 第2章 平面問(wèn)題的基本理論2.3 平面問(wèn)題的求解方法 2.3.1 位移法) e ()(,)d()(,) c (1),(1),(1)b(,)a (0, 0上在上

15、在邊界條件：物理方程：幾何方程：力平衡方程：基本方程pyxyyxxyxuxyxyxyyyxxxyyxyyxyxxyxSplmpmlSvvuuGEExvyuyvxufyxfyx對(duì)物理方程(c)進(jìn)行聯(lián)合求解，得到用形變分量表示的應(yīng)力分量，再將用u和v表示形變分量的幾何方程(b)代入，可得用u和v表示的應(yīng)力分量 )()1 (2)1 (2)(1)(1)(1)(12222yuxvEExuyvEEyvxuEExyxxyyyxx(f)按位移求解的基本方程。 將所得到的應(yīng)力分量(f)代入力平衡微分方程(a)，得到用位移分量u和v表示的平衡微分方程 第2章 平面問(wèn)題的基本理論2.3 平面問(wèn)題的求解方法 (h)0

16、)2121(10)2121(1222222222222yxfyxuxvyvEfyxvyuxuE(g)用位移分量表示的邊界條件。 將式(f)代入式(e)在Su上的應(yīng)力邊界條件，得 yxpyuxvlxuyvmEpxvyumyvxulE)(21)(1)(21)(122 位移邊界條件即為式(d)。平面問(wèn)題按位移求解的方法，就是要使位移分量u，v滿(mǎn)足所求解區(qū)域內(nèi)的平衡微分方程(g)，并在邊界上滿(mǎn)足應(yīng)力邊界條件(h)和位移邊界條件(d)。求出位移分量后，可由式(b)求出形變分量，由式(f)求出應(yīng)力分量。 第2章 平面問(wèn)題的基本理論2.3 平面問(wèn)題d的求解方法 對(duì)于平面應(yīng)變問(wèn)題，只要將各方程中的E、分別作替

17、換 1,12EE取x，y和xy為基本未知變量 。為了消元，將其它未知函數(shù)用基本未知函數(shù)x，y和xy表示。第2章 平面問(wèn)題的基本理論2.3 平面問(wèn)題的求解方法 2.3.2 應(yīng)力法) e ()(,) d ()(,) c (1),(1),(1) b(,) a (0, 0上在上在邊界條件：物理方程：幾何方程：力平衡方程：基本方程pyxyyxxyxuxyxyxyyyxxxyyxyyxyxxyxSplmpmlSvvuuGEExvyuyvxufyxfyx 形變分量的應(yīng)力表示已由物理方程(c)給出。再由此形變分量去求位移分量時(shí)，需要通過(guò)積分。因而，位移分量用應(yīng)力分量表示的式子，不僅表達(dá)式較為復(fù)雜，而且還包含積

18、分帶來(lái)的未定項(xiàng)。這樣使得位移邊界條件用應(yīng)力分量來(lái)表示時(shí)既復(fù)雜又難以求解。所以在按應(yīng)力求解函數(shù)式解答時(shí)，通常只需考慮全部為應(yīng)力邊界的問(wèn)題。 按應(yīng)力求解的基本方程 。 兩個(gè)平衡微分方程中，只包含應(yīng)力分量，可以作為求解應(yīng)力分量的方程。由于應(yīng)力分量有三個(gè)，因此還缺少一個(gè)方程。這個(gè)補(bǔ)充方程，可以從幾何方程和物理方程中消去位移和形變分量得出。首先從幾何方程中消去位移分量。幾何方程式(b)的第一式對(duì)變量y、第二式對(duì)變量x求二階偏導(dǎo)數(shù)相加，減去第三式對(duì)變量x和y的偏導(dǎo)數(shù)，得形變協(xié)調(diào)條件，即相容性方程 第2章 平面問(wèn)題的基本理論2.3 平面問(wèn)題的求解方法 (i)yxxyxyyx22222第2章 平面問(wèn)題的基本理

19、論2.3 平面問(wèn)題的求解方法 (j) 再將物理方程(c)代入上式，消去形變分量，便得出用應(yīng)力表示的相容性方程其中應(yīng)用平衡微分方程進(jìn)行了簡(jiǎn)化，但沒(méi)有消元為 )(1 ()(2yfxfyxyx 平衡微分方程(a)和相容性方程(j)便是在區(qū)域內(nèi)求解應(yīng)力的基本方程。應(yīng)力邊界條件 。 考慮全部邊界均為應(yīng)力邊界條件的問(wèn)題，因此式(e)給出了平面應(yīng)力問(wèn)題的應(yīng)力邊界條件。 按應(yīng)力求解平面應(yīng)力問(wèn)題時(shí)，應(yīng)力分量x，y和xy必須滿(mǎn)足下列條件： 區(qū)域內(nèi)的平衡微分方程； 區(qū)域內(nèi)的相容性方程； 在邊界上的應(yīng)力邊界條件，其中假設(shè)只求解全部為應(yīng)力邊界條件的問(wèn)題； 對(duì)于多連體，還需考慮位移的單值條件。 第2章 平面問(wèn)題的基本理論

20、2.3 平面問(wèn)題的求解方法 形變協(xié)調(diào)條件相容性方程的物理意義：變形協(xié)調(diào)條件是連續(xù)體中位移連續(xù)性的必然結(jié)果；變形協(xié)調(diào)條件是形變對(duì)應(yīng)的位移存在且連續(xù)的必要條件。第2章 平面問(wèn)題的基本理論2.3 平面問(wèn)題的求解方法 2.3.3 常體力問(wèn)題的應(yīng)力函數(shù)法 在常體積力情況下，fx和fy均為常數(shù)，按應(yīng)力進(jìn)行求解所導(dǎo)出的相容方程(j)簡(jiǎn)化為0)(2yx此時(shí)，平衡微分方程的解可以直接導(dǎo)出。其實(shí)，根據(jù)微分方程理論知，非齊次微分方程的解是非齊次微分方程的特解和齊次微分方程的通解之和。在常體力情況下，非齊次方程(b)的任一特解可以表示為 0,xyyyxxyfxf而對(duì)于的齊次微分方程 第2章 平面問(wèn)題的基本理論2.3

21、平面問(wèn)題的求解方法 的通解，已由艾里在1862年導(dǎo)出。艾里指出一定存在著某個(gè)函數(shù)(x, y)，使得 0, 0 xyyxxyyxyxyxxyxyyx22222,顯然，上述應(yīng)力分量表達(dá)式使得力平衡方程所對(duì)應(yīng)的齊次微分方程自動(dòng)滿(mǎn)足。 函數(shù)(x, y)稱(chēng)之為艾里應(yīng)力函數(shù)，也簡(jiǎn)稱(chēng)為應(yīng)力函數(shù)關(guān)于它的導(dǎo)出過(guò)程，將在下次課作詳細(xì)講解）。 由此可見(jiàn)，平衡微分方程的全解為 第2章 平面問(wèn)題的基本理論2.3 平面問(wèn)題的求解方法 問(wèn)題的解答就轉(zhuǎn)化為了求解一個(gè)應(yīng)力函數(shù)(x, y)的情況，這個(gè)應(yīng)力函數(shù)不僅滿(mǎn)足平衡微分方程，還使平面問(wèn)題的求解大為簡(jiǎn)化。從求解三個(gè)應(yīng)力未知函數(shù)變?yōu)榍蠼庖粋€(gè)應(yīng)力函數(shù)。 應(yīng)該強(qiáng)調(diào)的是，導(dǎo)出應(yīng)力函數(shù)

22、的過(guò)程本身就證明了它的存在性，因此我們可以用各種方法去尋求 的解答。 yxyfxxfyxyyyxx22222,應(yīng)力函數(shù) 應(yīng)當(dāng)滿(mǎn)足的條件第2章 平面問(wèn)題的基本理論2.2 平面問(wèn)題的求解方法 F相容方程 ；F 將上面所得到的應(yīng)力分量表達(dá)式代入以應(yīng)力分量表示的相容方程，可得0)(22222222yfxxfyyxyx注意到fx和fy為常量，上式可以簡(jiǎn)化為020, 0)(4422444422222222yyxxyxyx展開(kāi)式應(yīng)力函數(shù) 應(yīng)當(dāng)滿(mǎn)足的條件第2章 平面問(wèn)題的基本理論2.2 平面問(wèn)題的求解方法 F應(yīng)力邊界條件 ；yxyyxxyxplmpmlF對(duì)于多連體，還需滿(mǎn)足位移的單值條件。 什么是單連體？什么

23、是多連體？什么是單連體？什么是多連體？只有一個(gè)連續(xù)邊界的物體稱(chēng)為單只有一個(gè)連續(xù)邊界的物體稱(chēng)為單連體；具有兩個(gè)以上連續(xù)邊界的連體；具有兩個(gè)以上連續(xù)邊界的物體稱(chēng)為多連體。物體稱(chēng)為多連體。第2章 平面問(wèn)題的基本理論2.3 平面問(wèn)題的求解方法思考題：【p33習(xí)題210】檢驗(yàn)平面問(wèn)題中的位移分量是否為正確解答的條件是什么？【p33習(xí)題211】檢驗(yàn)平面問(wèn)題中的應(yīng)力分量是否為正確解答的條件是什么？【p33習(xí)題212】檢驗(yàn)平面問(wèn)題中的應(yīng)力函數(shù)是否為正確解答的條件是什么？ 【p33習(xí)題213(a)】檢驗(yàn)應(yīng)力分量x = y2q/b2，y = xy = 0是否是圖示問(wèn)題的解答。例第2章 平面問(wèn)題的基本理論2.3 平

24、面問(wèn)題的求解方法 【解】將題給應(yīng)力分量代入力平衡方程，知0 xyxxfyx0yyxyfyx同時(shí)滿(mǎn)足。 再將它們代入相容方程 )(1 ()(2yfxfyxyx得到第2章 平面問(wèn)題的基本理論2.3 平面問(wèn)題的求解方法 而因而，它們不能滿(mǎn)足相容方程。 所給應(yīng)力分量能夠滿(mǎn)足應(yīng)力邊界條件0)(1 (yfxfyx222222222)0)()(bqqbyyxyx0)(, 0)(; 0)(,)(22bxxybxyaxxyaxxqby 然而，它們無(wú)法滿(mǎn)足相容方程，因此并不是所給問(wèn)題的正確解答。 【p34習(xí)題216】設(shè)有任意形狀的等厚度薄板，體積力可以不計(jì)，在全部邊界上包括孔口邊界上受有均勻壓力q。試證x = y = -q及xy = 0能滿(mǎn)足平衡微分方程、相容方程和應(yīng)力邊界條件，也能滿(mǎn)足位移單值條件，因而就是正確的解答。例第2章 平面問(wèn)題的基本理論2.3 平面問(wèn)題的求