雙曲線知識(shí)點(diǎn)及題型總結(jié)(共10頁(yè))

1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上雙曲線知識(shí)點(diǎn)及題型總結(jié)1 雙曲線定義：到兩個(gè)定點(diǎn)F1與F2的距離之差的絕對(duì)值等于定長(zhǎng)（|F1F2|）的點(diǎn)的軌跡（為常數(shù)）這兩個(gè)定點(diǎn)叫雙曲線的焦點(diǎn)要注意兩點(diǎn)：（1）距離之差的絕對(duì)值.（2）2a|F1F2|，這兩點(diǎn)與橢圓的定義有本質(zhì)的不同.當(dāng)|MF1|MF2|=2a時(shí)，曲線僅表示焦點(diǎn)F2所對(duì)應(yīng)的一支；當(dāng)|MF1|MF2|=2a時(shí)，曲線僅表示焦點(diǎn)F1所對(duì)應(yīng)的一支；當(dāng)2a=|F1F2|時(shí)，軌跡是一直線上以F1、F2為端點(diǎn)向外的兩條射線；當(dāng)2a|F1F2|時(shí)，動(dòng)點(diǎn)軌跡不存在.動(dòng)點(diǎn)到一定點(diǎn)F的距離與它到一條定直線l的距離之比是常數(shù)e(e1)時(shí)，這個(gè)動(dòng)點(diǎn)的軌跡是雙曲線這定點(diǎn)叫做雙曲

2、線的焦點(diǎn)，定直線l叫做雙曲線的準(zhǔn)線2. 雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程：和（a0，b0）.這里，其中|=2c.要注意這里的a、b、c及它們之間的關(guān)系與橢圓中的異同.3.雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程判別方法是：如果項(xiàng)的系數(shù)是正數(shù)，則焦點(diǎn)在x軸上；如果項(xiàng)的系數(shù)是正數(shù)，則焦點(diǎn)在y軸上.對(duì)于雙曲線，a不一定大于b，因此不能像橢圓那樣，通過(guò)比較分母的大小來(lái)判斷焦點(diǎn)在哪一條坐標(biāo)軸上.4.求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程，應(yīng)注意兩個(gè)問(wèn)題： 正確判斷焦點(diǎn)的位置； 設(shè)出標(biāo)準(zhǔn)方程后，運(yùn)用待定系數(shù)法求解.5.曲線的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)=1（a0，b0）范圍：|x|a，yR對(duì)稱性：關(guān)于x、y軸均對(duì)稱，關(guān)于原點(diǎn)中心對(duì)稱頂點(diǎn)：軸端點(diǎn)A1（a，0），A2（a，0）漸近線

3、：若雙曲線方程為漸近線方程若漸近線方程為雙曲線可設(shè)為若雙曲線與有公共漸近線，可設(shè)為（，焦點(diǎn)在x軸上，焦點(diǎn)在y軸上）特別地當(dāng)離心率兩漸近線互相垂直，分別為y=，此時(shí)雙曲線為等軸雙曲線，可設(shè)為；y=x，y=x準(zhǔn)線：l1：x=，l2：x=，兩準(zhǔn)線之距為焦半徑：，（點(diǎn)P在雙曲線的右支上）；，（點(diǎn)P在雙曲線的右支上）；當(dāng)焦點(diǎn)在y軸上時(shí)，標(biāo)準(zhǔn)方程及相應(yīng)性質(zhì)（略）與雙曲線共漸近線的雙曲線系方程是與雙曲線共焦點(diǎn)的雙曲線系方程是6曲線的內(nèi)外部(1)點(diǎn)在雙曲線的內(nèi)部.(2)點(diǎn)在雙曲線的外部.7曲線的方程與漸近線方程的關(guān)系(1）若雙曲線方程為漸近線方程：.(2)若漸近線方程為雙曲線可設(shè)為.(3)若雙曲線與有公共漸近

4、線，可設(shè)為（，焦點(diǎn)在x軸上，焦點(diǎn)在y軸上）.8雙曲線的切線方程(1)雙曲線上一點(diǎn)處的切線方程是.（2）過(guò)雙曲線外一點(diǎn)所引兩條切線的切點(diǎn)弦方程是.（3）雙曲線與直線相切的條件是.9線與橢圓相交的弦長(zhǎng)公式 若斜率為k的直線被圓錐曲線所截得的弦為AB， A、B兩點(diǎn)分別為A(x1，y1)、B(x2,y2)，則弦長(zhǎng) ,這里體現(xiàn)了解析幾何“設(shè)而不求”的解題思想；高考題型解析題型一：雙曲線定義問(wèn)題1.“ab<0”是“曲線ax2+by2=1為雙曲線”的( )A.充分不必要條件 B.必要不充分條件 C.充分必要條件 D.既不充分又不必要條件2.若，則“”是“方程表示雙曲線”的( )A.充分不必要條件. B

5、.必要不充分條件. C.充要條件. D.既不充分也不必要條件.3.給出問(wèn)題：F1、F2是雙曲線=1的焦點(diǎn)，點(diǎn)P在雙曲線上.若點(diǎn)P到焦點(diǎn)F1的距離等于9，求點(diǎn)P到焦點(diǎn)F2的距離.某學(xué)生的解答如下：雙曲線的實(shí)軸長(zhǎng)為8，由|PF1|PF2|=8，即|9|PF2|=8，得|PF2|=1或17.該學(xué)生的解答是否正確？若正確，請(qǐng)將他的解題依據(jù)填在下面橫線上；若不正確，將正確結(jié)果填在下面橫線上. _.4.過(guò)雙曲線x2-y2=8的左焦點(diǎn)F1有一條弦PQ在左支上，若|PQ|=7，F(xiàn)2是雙曲線的右焦點(diǎn)，則PF2Q的周長(zhǎng)是 .題型二：雙曲線的漸近線問(wèn)題1.雙曲線=1的漸近線方程是( )A. y=±x B.

6、y=±x C.y=±x D.y=±x2.過(guò)點(diǎn)（2，2）且與雙曲線y2=1有公共漸近線的雙曲線方程是( )A.=1 B.=1 C.=1 D.=1題型三：雙曲線的離心率問(wèn)題1已知雙曲線 (a0,b0)的左右焦點(diǎn)分別為F1、F2，點(diǎn)P在雙曲線的右支上，且PF1=4PF2,則此雙曲線的離心率e的最大值為 （ ）ABCD2.已知是雙曲線的左、右焦點(diǎn),過(guò)且垂直于軸的直線與雙曲線的左支交于A、B兩點(diǎn),若是正三角形,那么雙曲線的離心率為 ( ) A. B. C. 2 D. 33.過(guò)雙曲線M:的左頂點(diǎn)A作斜率為1的直線,若與雙曲線M的兩條漸近線分別相交于B、C,且|AB|=|BC|

7、,則雙曲線M的離心率是 ( )A. B. C. D. 4.在給定雙曲線中，過(guò)焦點(diǎn)垂直于實(shí)軸的弦長(zhǎng)為，焦點(diǎn)到相應(yīng)準(zhǔn)線的距離為，則該雙曲線的離心率為( )A. B. 2 C . D. 25.已知雙曲線(a>0,b<0)的右焦點(diǎn)為F，若過(guò)點(diǎn)F且傾斜角為60°的直線與雙曲線的右支有且只有一個(gè)交點(diǎn)，則此雙曲線離心率的取值范圍是A.( 1,2) B. (1,2) C.2,+) D.(2,+)題型四：雙曲線的距離問(wèn)題1.設(shè)P是雙曲線=1上一點(diǎn)，雙曲線的一條漸近線方程為3x2y=0，F(xiàn)1、F2分別是雙曲線的左、右焦點(diǎn).若|PF1|=3，則|PF2|等于( )A.1或5 B.6 C.7 D

8、.92.已知雙曲線的右焦點(diǎn)為F，若過(guò)點(diǎn)F的直線與雙曲線的右支有且只有一個(gè)交點(diǎn)，則此直線斜率的取值范圍是A.(,) B. (-,) C. , D. -,3.已知圓C過(guò)雙曲線=1的一個(gè)頂點(diǎn)和一個(gè)焦點(diǎn)，且圓心在此雙曲線上，則圓心到雙曲線中心的距離是_.題型五：軌跡問(wèn)題1.已知橢圓x2+2y2 =8的兩焦點(diǎn)分別為F1、F2，A為橢圓上任一點(diǎn)。AP是AF1F2的外角平分線，且 =0.則點(diǎn)P的軌跡方程是 . 2.雙曲線x2y2 =4的兩焦點(diǎn)分別為F1、F2，A為雙曲線上任一點(diǎn)。AP是F1AF2的平分線，且 =0.則點(diǎn)P的軌跡是（）A.橢圓的一部分 B.雙曲線的一部分 C.圓的一部分 D.拋物線的一部分 3

9、求與圓及都外切的動(dòng)圓圓心的軌跡方程高考例題解析1.已知是雙曲線的左、右焦點(diǎn),P、Q為右支上的兩點(diǎn),直線PQ過(guò),且傾斜角為,則的值為 ( )A B 8 C D 隨的大小變化答案: A解析: 用雙曲線定義列方程可解2.過(guò)雙曲線的右焦點(diǎn)作直線交曲線于A、B兩點(diǎn),若則這樣的直線存在 ( )A 0條 B 1條 C 2條 D 3條答案: D解析: x軸時(shí)的焦點(diǎn)弦長(zhǎng)AB=4最短為通徑,故交右半支弦長(zhǎng)為4的直線恰有一條;過(guò)右焦點(diǎn)交左右兩支的符合要求的直線有兩條3. 直線與曲線的交點(diǎn)個(gè)數(shù)是 ( )A 0個(gè) B 1個(gè) C 2個(gè) D 3個(gè)答案: D解析: (0, 5)點(diǎn)為完整雙曲線和橢圓的極值點(diǎn),故y=5為其切線,

10、當(dāng)直線斜率不為0時(shí),直線必與每個(gè)曲線交于兩點(diǎn)4. P為雙曲線上一點(diǎn),為一個(gè)焦點(diǎn),以為直徑的圓與圓的位置關(guān)系為 ( )A 內(nèi)切 B 外切 C 內(nèi)切或外切 D 無(wú)公共點(diǎn)或相交答案: C解析: 用兩圓內(nèi)切或外切的條件判斷5. 設(shè)是雙曲線的兩個(gè)焦點(diǎn),點(diǎn)P在雙曲線上且滿足,則的面積為 ( )A 1 B C 2 D 答案: A解析: 勾股定理,雙曲線定義聯(lián)立方程組h或面積公式6. 設(shè)是雙曲線的左、右焦點(diǎn),P在雙曲線上,當(dāng)?shù)拿娣e為1時(shí),的值為( )A 0 B 1 C D 2答案: A 解析: 不妨設(shè)由, , ,7.過(guò)點(diǎn)A（0，2）可以作_條直線與雙曲線x21有且只有一個(gè)公共點(diǎn)答案：4 解析：數(shù)形結(jié)合，兩切線

11、、兩交線過(guò)點(diǎn)P(4,4)且與雙曲線1只有一個(gè)交點(diǎn)的直線有 ()A1條 B2條 C3條 D4條解析：如圖所示，滿足條件的直線共有3條答案：C8.已知A（3，2），M是雙曲線H：上的動(dòng)點(diǎn)，F(xiàn)2是H的右焦點(diǎn)，求的最小值及此時(shí)M的坐標(biāo)。解：由，則 此時(shí)M的坐標(biāo)（）9. 已知雙曲線C：，一條長(zhǎng)為8的弦AB兩端在C上運(yùn)動(dòng)，AB中點(diǎn)為M，則距軸最近的M點(diǎn)的坐標(biāo)為 。解：又，則當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，取“=”，由逆徑，故可取“=”又由即故M（）10.P為雙曲線x21右支上一點(diǎn)，M、N分別是圓(x4)2y24和(x4)2y21上的點(diǎn)，則|PM|PN|的最大值為_(kāi)解析：雙曲線的兩個(gè)焦點(diǎn)為F1(4,0)、F2(4,0)，為兩個(gè)

12、圓的圓心，半徑分別為r12，r21，|PM|max|PF1|2，|PN|min|PF2|1，故|PM|PN|的最大值為(|PF1|2)(|PF2|1)|PF1|PF2|35.答案：5.直線：與雙曲線C：的右支交于不同的兩點(diǎn)A、B。（）求實(shí)數(shù)的取值范圍；（）是否存在實(shí)數(shù)，使得以線段AB為直徑的圓經(jīng)過(guò)雙曲線C的右焦點(diǎn)F？若存在，求出的值。若不存在，說(shuō)明理由。解：（）將直線依題意，直線l與雙曲線C的右支交于不同兩點(diǎn)，故 （）設(shè)A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為、，則由式得假設(shè)存在實(shí)數(shù)k，使得以線段AB為直徑的圓經(jīng)過(guò)雙曲線C的右焦點(diǎn)F（c,0）.則由FAFB得：整理得把式及代入式化簡(jiǎn)得解得可知使得以線段AB為直徑

13、的圓經(jīng)過(guò)雙曲線C的右焦點(diǎn).（四川卷）9.已知兩定點(diǎn)滿足條件的點(diǎn)P的軌跡是曲線E，直線kx1與曲線E交于A、B兩點(diǎn)。（）求的取值范圍；（）如果且曲線E上存在點(diǎn)C，使求。本小題主要考察雙曲線的定義和性質(zhì)、直線與雙曲線的關(guān)系、點(diǎn)到直線的距離等知識(shí)及解析幾何的基本思想、方法和綜合解決問(wèn)題的能力。滿分14分。解：（）由雙曲線的定義可知，曲線是以為焦點(diǎn)的雙曲線的左支，且，易知 故曲線的方程為 設(shè)，由題意建立方程組 消去，得又已知直線與雙曲線左支交于兩點(diǎn)，有 解得 依題意得 整理后得或但 故直線的方程為設(shè)，由已知，得，又，點(diǎn)將點(diǎn)的坐標(biāo)代入曲線的方程，得得，但當(dāng)時(shí)，所得的點(diǎn)在雙曲線的右支上，不合題意，點(diǎn)的坐標(biāo)

14、為到的距離為的面積練習(xí)題1.已知雙曲線中心在原點(diǎn)且一個(gè)焦點(diǎn)為F(，0)，直線y=x1與其相交于M、N兩點(diǎn)，MN中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，則此雙曲線的方程是（ ）A=1 B =1 C=1 D=12.雙曲線虛軸的一個(gè)端點(diǎn)為M，兩個(gè)焦點(diǎn)為F1、F2，F(xiàn)1MF2=120°，則雙曲線的離心率為（ ）A. B. C. D.3、已知雙曲線1（a0，b0）的右焦點(diǎn)為F，右準(zhǔn)線與一條漸近線交于點(diǎn)A，OAF的面積為（O為原點(diǎn)），則兩條漸近線的夾角為（ ）A30ºB45ºC60ºD90º4、已知雙曲線的兩個(gè)焦點(diǎn)為，P是此雙曲線上的一點(diǎn)，且，則該雙曲線的方程是A B C D5、

15、已知F1、F2是雙曲線的兩焦點(diǎn)，以線段F1F2為邊作正三角形MF1F2，若邊MF1的中點(diǎn)在雙曲線上，則雙曲線的離心率是（ ）ABCD6. 直線yx3與曲線=1的交點(diǎn)的個(gè)數(shù)是（ ） （A）0個(gè) （B）1個(gè) （C）2個(gè) （D）3個(gè)7.若雙曲線x2y2=1右支上一點(diǎn)P(a, b)到直線y=x的距離是，則ab的值為（ ）。 （A） （B） （C）或 （D）2或28.已知點(diǎn)F是雙曲線1(a>0，b>0)的左焦點(diǎn)，點(diǎn)E是該雙曲線的右頂點(diǎn)，過(guò)F且垂直于x軸的直線與雙曲線交于A、B兩點(diǎn)，若ABE是銳角三角形，則該雙曲線的離心率e的取值范圍是()A(1，) B(1,2) C(1,1) D(2,1)9.設(shè)P為雙曲線y21上一動(dòng)點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，M為線段OP的中點(diǎn)，則點(diǎn)M的軌跡方程是10.求與圓A：（x+5）