淺談菲波納契數(shù)列的內(nèi)涵和應(yīng)用價值

1、淺談菲波納契數(shù)列的內(nèi)涵和應(yīng)用價值99數(shù)學(xué)本四班 莫少勇 指導(dǎo)教師 孫麗英摘 要 本文從菲波那契數(shù)列出發(fā)，通過探究其數(shù)學(xué)內(nèi)涵和它在實際生活中的應(yīng)用，提高學(xué)生對數(shù)學(xué)的欣賞能力，初步建立數(shù)學(xué)建模的思想，從而提高用數(shù)學(xué)知識分析實際問題的能力。 關(guān)鍵詞 Fibonacci數(shù)列 黃金數(shù) 優(yōu)選法數(shù)學(xué)美不僅有形式的和諧美，而且有內(nèi)容的嚴(yán)謹(jǐn)美；不僅有語言的簡明、精巧美，而且有公式、定理的結(jié)構(gòu)整體美；不僅有邏輯、抽象美，而且有創(chuàng)造應(yīng)用美。古希臘的畢達(dá)哥拉斯學(xué)派，首先從數(shù)的比例中求出美的形式，發(fā)現(xiàn)了黃金數(shù)。神奇的菲波納契數(shù)列正是黃金數(shù)之后的一大發(fā)現(xiàn)，它又被譽(yù)為“黃金數(shù)列”。一 Fibonacci數(shù)列的由來Fibon

2、acci數(shù)列的提出，當(dāng)時是和兔子的繁殖問題有關(guān)的，它是一個很重要的數(shù)學(xué)模型。這個問題是：有小兔一對，若第二個月它們成年，第三個月生下小兔一對，以后每月生產(chǎn)一對小兔，而所生小兔亦在第二個月成年，第三個月生產(chǎn)另一對小兔，以后亦每月生產(chǎn)小兔一對，假定每產(chǎn)一對小兔必為一雌一雄，且均無死亡，試問一年后共有小兔幾對？對于n=1，2，令Fn表示第n個月開始時兔子的總對數(shù)，Bn、An分別是未成年和成年的兔子（簡稱小兔和大兔）的對數(shù),則Fn= An+Bn根據(jù)題設(shè)，有月份n123456An112358Bn111235Fn11235813顯然，F(xiàn)1=1，F(xiàn)2=1，而且從第三個月開始，每月的兔子總數(shù)恰好等于它前面兩個

3、月的兔子總數(shù)之和，于是按此規(guī)律我們得到一個帶有初值的遞推關(guān)系式：若我們規(guī)定F0=1，則上式可變?yōu)檫@就是Fibonacci數(shù)列的通常定義，也就是數(shù)列1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，這串?dāng)?shù)列的特點是：其中任一個數(shù)都是前兩數(shù)之和。這個兔子問題是意大利數(shù)學(xué)家梁拿多（Leomardo）在他所著的算盤全集中提出的，而梁拿多又名菲波納契（Fibonacci），所以這個數(shù)列稱作菲波納契數(shù)列，其中每一項稱作Fibonacci數(shù)。它的通項是Fn=()n+1-()n+1，由法國數(shù)學(xué)家比內(nèi)（Binet）求出的。二Fibonacci數(shù)列的內(nèi)涵（1）Fibonacci數(shù)列的通項的證明我們可以通過求解

4、常系數(shù)線性齊次遞推關(guān)系或者利用生成函數(shù)法來實現(xiàn)。證法一： 菲波納契數(shù)列是一個2階的線性齊次遞推關(guān)系，它的遞推方程是x2-x-1=0，特征根是通解是Fn=C1()n+C2()n代入初值來確定C1、C2，得方程組解這個方程組得 C1=, C2=原遞推關(guān)系的解是 Fn=()n+1-()n+1證法二：設(shè)Fn的生成函數(shù)為 F(x) ，則有 F(x)=F0+F1x+F2x2+Fnxn+x(F(x)-F0)= F1x2+F2x3+Fn-1xn+x2F(x)= F0x2+F1x3+把以上式子的兩邊由上而下作差得F(x)(1-x-x2)+x=F0+F1x+(F2-F1-F0)x2+(F3-F2-F1)x3+ =

5、1+x+0+0+F(x)=+由 解得A=，B=F(x)= -取x=1,k=n，則Fn=()n+1-()n+1（2）在Fibonacci數(shù)列中，前后兩項的比值是以黃金數(shù)0.618為極限的。記bn=，則有b0=1 b1=b2= b3=b4= b5= bn=在求數(shù)列的極限之前我們首先來證明以下兩個命題：（i）引理：Fibonacci數(shù)列的任意相鄰四項滿足 Fn-2Fn+1-FnFn-1=(-1)n ， n3證明：根據(jù)行列式與線性方程組的關(guān)系，方程組 的解是 x=()n-()n=Fn-1y=()n+1-()n+1=Fn Fn-1、Fn滿足原方程組，于是有把以上方程組的兩邊對應(yīng)相乘，得=整理得， Fn-

6、12+FnFn-1-Fn2=(-1)n+1 (Fn-Fn-1)(Fn+Fn+1)-FnFn-1=(-1)n Fn-2Fn+1-FnFn-1=(-1)n 證畢。（ii）數(shù)列存在極限。證明：由引理可知，當(dāng)n=2k+1，F(xiàn)k-2Fk+1-FkFk-1=-10：當(dāng)n=2k，F(xiàn)k-2Fk+1-FkFk-1=10因此分別有， 即數(shù)列遞增，數(shù)列遞減。 顯然， 數(shù)列有界。根據(jù)“單調(diào)有界數(shù)列必有極限”可知、存在極限。設(shè)=A, =B， 分別對b2n=及b2n+1=兩邊取極限有A=, 與 B=即有與，則必有A=B0數(shù)列極限的存在性可證。 于是由（ii）我們可求。根據(jù)Fibonacci數(shù)列的通項以及1得, =0.61

7、8三Fibonacci數(shù)列的應(yīng)用價值科學(xué)家發(fā)現(xiàn)無論在數(shù)學(xué)領(lǐng)域還是在自然界中都有很多有趣的現(xiàn)象與Fibonacci數(shù)列有關(guān)，現(xiàn)在舉例如下：例1 楊輝三角對角線上各數(shù)之和構(gòu)成Fibonacci數(shù)列，即Fn=例2 多米諾牌（可以看作一個2×1大小的方格）完全覆蓋一個n×2的棋盤，覆蓋的方案數(shù)等于Fibonacci數(shù)。例3 從蜜蜂的繁殖來看，雄峰只有母親，沒有父親，因為蜂后產(chǎn)的卵，受精的孵化為雌蜂，未受精的孵化為雄峰。人們在追溯雄峰的祖先時，發(fā)現(xiàn)一只雄峰的第n代祖先的數(shù)目剛好就是Fibonacci數(shù)列的第n項Fn。 例4 鋼琴的13個半音階的排列完全與雄峰第六代的排列情況類似，說明

8、音調(diào)也與Fibonacci數(shù)列有關(guān)。例5 自然界中一些花朵的花瓣數(shù)目符合于Fibonacci數(shù)列，也就是說在大多數(shù)情況下，一朵花花瓣的數(shù)目都是3，5，8，13，21，34，。例6 如果一根樹枝每年長出一根新枝，而長出的新枝兩年以后，每年也長出一根新枝，那么歷年的樹枝數(shù)，也構(gòu)成一個Fibonacci數(shù)列。 Fibonacci數(shù)列的重要價值還在于它能作為一些實際問題的數(shù)學(xué)模型，從而使復(fù)雜的實際問題轉(zhuǎn)化到我們熟悉的數(shù)學(xué)問題的解決上。問題一：有一條n級樓梯，如果每步只能跨上一級或兩級，問欲登上去，共有幾種走法？分析：由于登上n級臺階可以從第n-2直接上來，也可以通過第n-1級分步上來，這樣登上n級臺階

9、的走法不僅與登上n-1級走法有關(guān)，且也與登上n-2級臺階的走法有關(guān)，故這里可以考慮通過二階遞推式來進(jìn)行求解。解：登上第一級只有一種走法，記a1=1，登上第二級，有兩種走法，記a2=2，如果要登上第n級，那么可能是第n-1級走上來，也可能是第n-2級跨上兩級上來的，故有 an=an-1+an-2顯然這是缺了F0項的Fibonacci數(shù)列，它的通項為 Fn=()n+1-()n+1所以要登上第n級樓梯，共有Fn種不同的走法。問題二：某一種產(chǎn)品的質(zhì)量取決于它的溫度，這個溫度估計在1000C1500C之間，怎樣試驗才能找到最好的溫度？ 有人從1001C開始做試驗，一直做到1499C，共做499次試驗，找

10、到了最好溫度，這叫均分法。顯然這是一種很笨的方法。若我們利用Fibonacci數(shù)列的知識只須做13次實驗就可達(dá)到同樣的效果。 這里我們利用Fibonacci數(shù)列中的極限，因為它是無理數(shù)不好計算，所以取它的三位不足近似值0.618來代替它。 我們用一張有刻度的紙條上寫上1000C1500C，在1500C的點記為Fn，第一次試驗在紙條總長的0.618處即1309C處取第一個試驗點記為Fn-1，使得=0.618 第二次試驗,將紙條對折，找到與1309C（即Fn-1）相重合的點，即1191C點記為Fn-2，顯然Fn-2=Fn-Fn-1，取Fn-2作第二個試驗點，比較Fn-1和Fn-2，如果Fn-2處比

11、Fn-1處好，就將Fn-1的右邊的紙條剪去（反之，剪去Fn-2左邊的一段）。 第三次試驗，將剩下的紙條再對折，在與1191C（Fn-2）重合的點，即在1118C（Fn-3）點處做，做完后進(jìn)行比較，如仍是1191C處好，則剪去1118C左邊的一段（反之，剪去1191C右邊的一段）第四次試驗，將1118C1309C這段紙條再對折，又可找到與1191C重合的點1236C(Fn-4)，在1236C處做第四次試驗。然后再比較、剪裁，依次做下去，直至達(dá)到所要求的精度為止。試驗中依次所取的試驗點就構(gòu)成了一個Fibonacci數(shù)列。為什么這里只要做13次試驗就可抵用均分法做499次試驗?zāi)?？我們下面來探討這種試

12、驗方法的原理。一方面，在試驗中我們是通過用折紙法也就是來回調(diào)試法來縮短試驗的范圍，減少試驗次數(shù)的。它比均分法優(yōu)化得多。例如，取Fibonacci數(shù)列的F5點為第一個試驗點，則用對稱來回調(diào)試法做5次試驗。相當(dāng)于均分法做13次試驗。一般地，取Fm-1為第一個試驗點，用對稱來回調(diào)試法做m-1次試驗。相當(dāng)于均分法做Fm-1次試驗。m越大，效果越佳，由于0.618而=，因此，從0.618出發(fā)做13次試驗相當(dāng)于均分法做600多次試驗，這就是它的優(yōu)越性所在。如果我們將區(qū)間0，1均分為n+1份，做n次試驗，可以知道最優(yōu)點在長的區(qū)間內(nèi)，叫做精度，記為=。對折紙法而言，做n次試驗最優(yōu)點在長度為(0.618)n-1

13、的區(qū)間內(nèi)。題中做499次試驗，設(shè)試驗區(qū)間長度為1，則=由(0.618)n-1= 解得n13另一方面，我們在試驗中每次剪去一段后，最優(yōu)點是不會丟掉的，這是試驗有效的前提保證。設(shè)每個試驗點對應(yīng)的試驗結(jié)果是試驗點的函數(shù)，我們假定它滿足以下定義：設(shè)f(x)是區(qū)間a,b上的一個函數(shù)，如有一點m屬于a,b使f(x1)f(x2)f(m)，當(dāng)ax1x2m時；f(m)f(x1)f(x2)，當(dāng)mx1x2b時，則f(x)叫做區(qū)間a,b上的一個單峰函數(shù)，點m叫做好點，也就是我們要找的最優(yōu)點。因此我們在試驗中某段區(qū)間a,b上比較兩個點Fm和Fm-1時，如果f(Fm)f(Fm-1)，則可丟區(qū)間a,Fm；如果f(Fm)f(Fm-1)，則可丟區(qū)間Fm-1,b；如果f(Fm)=f(Fm-1)，則可丟區(qū)間a,Fm和Fm-1,b。以上這種試驗方法是今天科學(xué)領(lǐng)域上所謂的優(yōu)選法，它體現(xiàn)了Fibonacci數(shù)列在現(xiàn)代最優(yōu)化理論中重要的應(yīng)用價值?？傊?，F(xiàn)ibonac