線性代數(shù)與空間解析幾何1-2ppt課件

1、1.2 n 1.2 n 階行列式階行列式,1, 2,nn為為了了定定義義階階行行列列式式 我我們們需需要要數(shù)數(shù)字字的的全全排排列列及及它它們們的的一一個(gè)個(gè)重重要要屬屬性性- - -奇奇偶偶性性. .1, 2,.nnnAn由由數(shù)數(shù)字字組組成成的的一一個(gè)個(gè)有有序序數(shù)數(shù)組組稱(chēng)稱(chēng)為為一一個(gè)個(gè)我我們們表表示示一一切切【定定元元排排義義1 1列列元元】排排列列的的集集合合. .3123, 132, 213, 312, 321, 231,A !.nAn有有個(gè)個(gè)元元素素121212,., ().)nnijnnijp ppApppipppjpppp 設(shè)設(shè)若若則則稱(chēng)稱(chēng)數(shù)數(shù)對(duì)對(duì)為為一一個(gè)個(gè)排排列列中中所所有有逆逆序

2、序?qū)?duì)的的【個(gè)個(gè)數(shù)數(shù)稱(chēng)稱(chēng)為為此此排排列列的的記記定定義義逆逆序序?qū)?duì)逆逆序序數(shù)數(shù)為為2 2】此此排排列列中中的的,2431:例例如如 排排列列中中的的所所有有逆逆序序?qū)?duì)有有31,41,21,43;(2431)4. 【逆逆序序數(shù)數(shù)的的計(jì)計(jì)算算】12,nip ppiti在在中中 若若數(shù)數(shù)字字的的前前面面( (左左邊邊) )有有個(gè)個(gè)數(shù)數(shù)字字大大于于則則121(0).nnnttttt ,例例如如.(12)0000;n .(21)(1)(2)1nnn (1).2n n 12.()np pp 121212. . (),. ();,nnnp ppp ppp pp 若若為為偶偶數(shù)數(shù) 則則稱(chēng)稱(chēng)排排列列偶偶【定

3、定為為奇奇數(shù)數(shù) 則則稱(chēng)稱(chēng)此此排排列列義義3 3為為排排列列】 奇奇排排列列. .(2431)4, ,例例如如2431;為為偶偶排排列列(45321)9, 45321為為奇奇排排列列. .【評(píng)評(píng)注注】,對(duì)對(duì)任任意意幾幾不不同同自自然然數(shù)數(shù)構(gòu)構(gòu)成成的的排排列列 我我們們同同可可以以定定義義其其逆逆序序數(shù)數(shù)和和奇奇偶偶性性. .234678(768423)tttttt 443100 12 , 768423:例例如如為為偶偶排排列列對(duì)對(duì)換換改改變變排排列列的的【定定理理1 1】奇奇偶偶性性. .652413654213:654213652413:645132625134 (相隔相隔 3 個(gè)數(shù)個(gè)數(shù))64

4、5132654132 651432 651342 651324 651234652134 625134 我們僅用實(shí)例闡明證明的原理我們僅用實(shí)例闡明證明的原理:【證證明明】(1)(2)(3)逆序數(shù)加逆序數(shù)加1;逆序數(shù)減逆序數(shù)減1;(分解為下面兩步分解為下面兩步):(3 + 1次相鄰對(duì)換次相鄰對(duì)換);(3次相鄰對(duì)換次相鄰對(duì)換) (共用共用 23 +1 次次)【證證明明】(1)11,t用用次次相相鄰鄰對(duì)對(duì)換換可可將將 調(diào)調(diào)到到首首位位 這這不不改改變變(2, 3,);itin (2)這這也也不不改改變變(3, 4,);itin 22,t用用次次相相鄰鄰對(duì)對(duì)換換可可將將調(diào)調(diào)到到第第2 2位位12,()

5、12n.ntttt 依依次次類(lèi)類(lèi)推推 最最終終此此排排列列經(jīng)經(jīng)過(guò)過(guò)次次相相鄰鄰對(duì)對(duì)換換調(diào)調(diào)成成排排列列【思思考考題題】1221. . (2)(),()?.nnp pppp pt 若若問(wèn)問(wèn)(1)nA說(shuō)說(shuō)明明中中奇奇偶偶排排列列各各占占一一半半. .111213212223313233aaaaaaaaa123231312123123131231231231233322121 a a aa a aa a aa a aa a aa a a :我我們們先先觀觀察察三三階階行行列列式式的的特特點(diǎn)點(diǎn)(1)123123!,;pppaaa 行行列列式式為為個(gè)個(gè)單單項(xiàng)項(xiàng)式式的的和和( (每每一一個(gè)個(gè)3 3元元排排

6、列列都都對(duì)對(duì)應(yīng)應(yīng)一一項(xiàng)項(xiàng)) ) 每每個(gè)個(gè)單單項(xiàng)項(xiàng)式式為為1, 2, 3;所所有有單單項(xiàng)項(xiàng)式式的的列列指指標(biāo)標(biāo)排排列列為為的的所所有有全全排排列列(2)123123, 231, 31, 123, 231, 31221;p p p 當(dāng)當(dāng)排排列列為為時(shí)時(shí) 單單項(xiàng)項(xiàng)式式的的系系數(shù)數(shù)為為為為偶偶排排列列(3)123321, 213,13, 123, 231, 31221p p p 當(dāng)當(dāng)排排列列為為時(shí)時(shí) 單單項(xiàng)項(xiàng)式式的的系系數(shù)數(shù)為為為為奇奇排排列列. .(4)由此察看由此察看, 我們不難給出我們不難給出 n 階行列式的定義階行列式的定義:,| ,.ij nijaaijn為為簡(jiǎn)簡(jiǎn)記記為為數(shù)數(shù)稱(chēng)稱(chēng)為為階階行行

7、列列第第行行第第列列的的式式元元素素12121211121212221212()( 1)nnnnnnppnpnnnnAp ppp ppaaaaaaaaaaaa 2( ,1, 2,),ijnai jn 對(duì)對(duì)于于個(gè)個(gè)數(shù)數(shù)【定定義義4 4】我我們們稱(chēng)稱(chēng)【評(píng)評(píng)注注】(2)111213212223313233aaaaaaaaa112233122331132132132231122133112332(123)(231)(312)(321)(213)(132)( 1)( 1)( 1)+( 1)( 1)( 1)a a aa a aa a aa a aa a aa a a 1122331223311321321

8、32231122133112332a a aa a aa a aa a aa a aa a a 如今的三階行列式與以前的一如今的三階行列式與以前的一致致【例例1 1】0 0 0 10 0 2 0.0 3 0 04 0 0 0計(jì)計(jì)算算行行列列式式【解解】23411234ppppaaaa11, 2, 3, 4,4:p 在在中中0; 0; 21, 2, 3,3:p 在在中中23414342pppaaaa0; 31, 2,2:p 在在中中34314234ppa aaa41:p 最最后后僅僅有有142334120.a a a a 僅僅有有14233241(4321)0 0 0 10 0 2 0( 1)0

9、 3 0 04 0 0 0a a a a 4!24計(jì)算上三角行列式計(jì)算上三角行列式111212220.00nnnnaaaaaDa 【例例2 2】【解解】:npn 1212nppnpaaa11:npn 111,1nnppnnaaa 22:p 213321nppnaaaa,(12)331122( 10;)nnnaa aa 最最后后: : 不不同同于于的的項(xiàng)項(xiàng)必必為為1122nnDa aa ;0 0; 0; 同理同理, 下三角行列式下三角行列式特別是特別是, 對(duì)角形行列式對(duì)角形行列式112122112212000;nnnnnnaaaa aaaaa 12120000.00nnddd ddd :DD 轉(zhuǎn)

10、轉(zhuǎn)置置行行列列式式為為DD 行行列列式式與與其其轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)置置行行列列【 行行列列式式轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)置置理理式式定定 】相相等等. .111212222211nnnnnnaaaaaDaaaa 111222121122nnnnnnaaaDaaaaaa 【評(píng)評(píng)注注】此性質(zhì)闡明行列式中行和列的位置是對(duì)稱(chēng)的此性質(zhì)闡明行列式中行和列的位置是對(duì)稱(chēng)的. 在行列式的實(shí)際中在行列式的實(shí)際中, 關(guān)于行有什么結(jié)論關(guān)于行有什么結(jié)論, 對(duì)于對(duì)于列也有完全類(lèi)似的結(jié)論列也有完全類(lèi)似的結(jié)論. ( ,1, 2, 3),ijjii jba 令令則則123123111213212223313233123()( 1).pppp p pbbbbbbb

11、bbbbb 112131122232132333Daaaaaaaaa 123123123123;ppppppabbbaa :下下面面我我們們改改寫(xiě)寫(xiě)此此和和式式的的一一般般項(xiàng)項(xiàng)3,n ( (假假設(shè)設(shè)不不是是想想通通過(guò)過(guò)直直接接計(jì)計(jì)算算驗(yàn)驗(yàn)證證) )【證證明明】,3.n 為為了了簡(jiǎn)簡(jiǎn)明明 不不失失一一般般性性 假假設(shè)設(shè)123123123123: pppqqqaaaaaa現(xiàn)現(xiàn)在在等等值值改改寫(xiě)寫(xiě)為為123 123; p p p此此過(guò)過(guò)程程中中行行指指標(biāo)標(biāo)排排列列被被調(diào)調(diào)為為123 123 .q q q列列指指標(biāo)標(biāo)排排列列被被調(diào)調(diào)為為由于互換是同步的由于互換是同步的, 故可用同樣個(gè)數(shù)的相鄰對(duì)換完成故可用同樣個(gè)數(shù)的相鄰對(duì)換完成; 123123()123; p p pp p p 可可用用個(gè)個(gè)相相鄰鄰對(duì)對(duì)換換調(diào)調(diào)為為123123()().p p pq q q 123123()123; q q qq q q 可可用用個(gè)個(gè)相相鄰鄰對(duì)對(duì)換換調(diào)調(diào)為為123123123123123123()()( 1)( 1)pppqqqp p pp p pbbbaaa 1231 2 3123()( 1)qqqq q qaaa 123123123123p