晶格振動(dòng)與晶體的熱學(xué)性質(zhì)-習(xí)題

1、第三章 晶格振動(dòng)與晶體的熱學(xué)性質(zhì)1.什么是簡諧近似？解：當(dāng)原子在平衡位置附近作微小振動(dòng)時(shí)，原子間的相互作用可以視為與位移成正比的虎克力，由此得出原子在其平衡位置附近做簡諧振動(dòng)。這個(gè)近似即稱為簡諧近似。2.試定性給出一維單原子鏈中振動(dòng)格波的相速度和群速度對波矢的關(guān)系曲線，并簡要說明其意義。解：由一維單原子鏈的色散關(guān)系 ，可求得一維單原子鏈中振動(dòng)格波的相速度為 （1）而其群速度為 （2）由（1）式和（2）式可做出一維單原子鏈中振動(dòng)格波的相速度和群速度對波矢的關(guān)系曲線如下圖3.1所示：圖3.1上圖中，。曲線1代表，曲線2代表。由（1）式及結(jié)合上圖3.1中可以看出，由于原子的不連續(xù)性，相速度不再是常數(shù)

2、。但當(dāng)時(shí)，為一常數(shù)。這是因?yàn)楫?dāng)波長很長時(shí)，一個(gè)波長范圍含有若干個(gè)原子，相鄰原子的位相差很小，原子的不連續(xù)效應(yīng)很小，格波接近與連續(xù)媒質(zhì)中的彈性波。由（2）式及結(jié)合上圖3.1中可以看出，格波的群速度也不等于相速度。但當(dāng)，體現(xiàn)出彈性波的特征，當(dāng)處于第一布區(qū)邊界上，即時(shí)，而，這表明波矢位于第一布里淵區(qū)邊界上的格波不能在晶體中傳播，實(shí)際上它是一種駐波。3.周期性邊界條件的物理含義是什么？引入這個(gè)條件后導(dǎo)致什么結(jié)果？如果晶體是無限大，的取值將會(huì)怎樣？解：由于實(shí)際晶體的大小總是有限的，總存在邊界，而顯然邊界上原子所處的環(huán)境與體內(nèi)原子的不同，從而造成邊界處原子的振動(dòng)狀態(tài)應(yīng)該和內(nèi)部原子有所差別。考慮到邊界對內(nèi)部

3、原子振動(dòng)狀態(tài)的影響，波恩和卡門引入了周期性邊界條件。其具體含義是設(shè)想在一長為的有限晶體邊界之外，仍然有無窮多個(gè)相同的晶體，并且各塊晶體內(nèi)相對應(yīng)的原子的運(yùn)動(dòng)情況一樣，即第個(gè)原子和第個(gè)原子的運(yùn)動(dòng)情況一樣，其中1，2，3。引入這個(gè)條件后，導(dǎo)致描寫晶格振動(dòng)狀態(tài)的波矢只能取一些分立的不同值。如果晶體是無限大，波矢的取值將趨于連續(xù)。4.什么叫聲子？對于一給定的晶體，它是否擁有一定種類和一定數(shù)目的聲子？解：聲子就是晶格振動(dòng)中的簡諧振子的能量量子，它是一種玻色子，服從玻色愛因斯坦統(tǒng)計(jì)，即具有能量為的聲子平均數(shù)為對于一給定的晶體，它所對應(yīng)的聲子種類和數(shù)目不是固定不變的，而是在一定的條件下發(fā)生變化。5.試比較格波

4、的量子聲子與黑體輻射的量子光子；“聲子氣體”與真實(shí)理想氣體有何相同之處和不同之處？解：格波的量子聲子與黑體輻射的量子光子都是能量量子，都具有一定的能量和動(dòng)量，但是聲子在與其它粒子相互作用時(shí)，總能量守恒，但總動(dòng)量卻不一定守恒；而光子與其它粒子相互作用時(shí)，總能量和總動(dòng)量卻都是守恒的。“聲子氣體”與真實(shí)理想氣體的相同之處是粒子之間都無相互作用，而不同之處是“聲子氣體”的粒子數(shù)目不守恒，但真實(shí)理想氣體的粒子數(shù)目卻是守恒的。6.晶格比熱容的愛因斯坦模型和德拜模型采用了什么簡化假設(shè)？各取得了什么成就？各有什么局限性？為什么德拜模型在極低溫度下能給出精確結(jié)果？解：我們知道晶體比熱容的一般公式為由上式可以看出

5、，在用量子理論求晶體比熱容時(shí)，問題的關(guān)鍵在于如何求角頻率的分布函數(shù)。但是對于具體的晶體來講，的計(jì)算非常復(fù)雜。為此，在愛因斯坦模型中，假設(shè)晶體中所有的原子都以相同的頻率振動(dòng)，而在德拜模型中，則以連續(xù)介質(zhì)的彈性波來代表格波以求出的表達(dá)式。愛因斯坦模型取得的最大成就在于給出了當(dāng)溫度趨近于零時(shí)，比熱容亦趨近于零的結(jié)果，這是經(jīng)典理論所不能得到的結(jié)果。其局限性在于模型給出的是比熱容以指數(shù)形式趨近于零，快于實(shí)驗(yàn)給出的以趨近于零的結(jié)果。德拜模型取得的最大成就在于它給出了在極低溫度下，比熱和溫度成比例，與實(shí)驗(yàn)結(jié)果相吻合。其局限性在于模型給出的德拜溫度應(yīng)視為恒定值，適用于全部溫度區(qū)間，但實(shí)際上在不同溫度下，德拜溫

6、度是不同的。在極低溫度下，并不是所有的格波都能被激發(fā)，而只有長聲學(xué)波被激發(fā)，對比熱容產(chǎn)生影響。而對于長聲學(xué)波，晶格可以視為連續(xù)介質(zhì)，長聲學(xué)波具有彈性波的性質(zhì)，因而德拜的模型的假設(shè)基本符合事實(shí)，所以能得出精確結(jié)果。7.聲子碰撞時(shí)的準(zhǔn)動(dòng)量守恒為什么不同于普通粒子碰撞時(shí)的動(dòng)量守恒？U過程物理圖像是什么？它違背了普遍的動(dòng)量守恒定律嗎？解：聲子碰撞時(shí)，其前后的總動(dòng)量不一定守恒，而是滿足以下的關(guān)系式其中上式中的表示一倒格子矢量。對于的情況，即有，在碰撞過程中聲子的動(dòng)量沒有發(fā)生變化，這種情況稱為正規(guī)過程，或N過程，N過程只是改變了動(dòng)量的分布，而不影響熱流的方向，它對熱阻是沒有貢獻(xiàn)的。對于的情況，稱為翻轉(zhuǎn)過程

7、或U過程，其物理圖像可由下圖3.2來描述：圖3.2 U過程物理示意圖在上圖3.2中，是向“右”的，碰撞后是向“左”的，從而破壞了熱流的方向，所以U過程對熱阻是有貢獻(xiàn)的。U過程沒有違背普遍的動(dòng)量守恒定律，因?yàn)槁曌硬皇菍?shí)物量子，所以其滿足的是準(zhǔn)動(dòng)量守恒關(guān)系。8.簡要說明簡諧近似下晶體不會(huì)發(fā)生熱膨脹的物理原因；勢能的非簡諧項(xiàng)起了哪些作用？解：由于在簡諧近似下，原子間相互作用能在平衡位置附近是對稱的，隨著溫度升高，原子的總能量增高，但原子間的距離的平均值不會(huì)增大，因此，簡諧近似不能解釋熱膨脹現(xiàn)象。勢能的非簡諧項(xiàng)在晶體的熱傳導(dǎo)和熱膨脹中起了至關(guān)重要的作用。9.已知由個(gè)相同原子組成的一維單原子晶格格波的態(tài)

8、密度可表示為。式中是格波的最高頻率。求證它的振動(dòng)?？倲?shù)恰好等于。解：由題意可知該晶格的振動(dòng)?？倲?shù)為 10.若格波的色散關(guān)系為和，試導(dǎo)出它們的狀態(tài)密度表達(dá)式。解：根據(jù)狀態(tài)密度的定義式可知 （1）其中表示在間隔內(nèi)晶格振動(dòng)模式的數(shù)目。如果在空間中，根據(jù)作出等頻率面，那么在等頻率面和之間的振動(dòng)模式的數(shù)目就是。由于晶格振動(dòng)模在空間分布是均勻的，密度為（為晶體體積），因此有 （2）將（2）式代入（1）式可得到狀態(tài)密度的一般表達(dá)式為 （3）（3）式中表示沿法線方向頻率的改變率。當(dāng)時(shí)，將之代入（3）式可得 當(dāng)，將之代入（3）式可得 11.試求質(zhì)量為，原子間距為，力常數(shù)交錯(cuò)為，的一維原子鏈振動(dòng)的色散關(guān)系。當(dāng)時(shí)，

9、求在和處的，并粗略畫出色散關(guān)系。解：下圖3.3給出了該一維原子鏈的示意圖a2m â2â211â2 x2n-2 x2n+1 x2n x2n+1 x2n+2 x2n+3 圖3.3在最近鄰近似和簡諧近似下，第2n和第（2n+1）個(gè)原子的運(yùn)動(dòng)方程為 （1）當(dāng)時(shí)，上述方程組（1）可變?yōu)?（2）為求格波解，令 （3）將（3）式代入（2）式，可導(dǎo)出線性方程組為 （4）令，從，有非零解的系數(shù)行列式等于零的條件可得 （5）由（5）式可解出當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，其色散關(guān)系曲線如下圖3.4所示：圖3.4 原子間的力常數(shù)不相等的雙原子鏈的晶格振動(dòng)色散關(guān)系曲線 12.如有一維布喇菲格子，第個(gè)原子與第

10、個(gè)原子之間的力常數(shù)為；而第個(gè)原子與第個(gè)原子的力常數(shù)為。（1） 寫出這個(gè)格子振動(dòng)的動(dòng)力學(xué)方程；（2） 說明這種情況也有聲學(xué)波和光學(xué)波；（3） 求時(shí)，聲學(xué)波和光學(xué)波的頻率；（4） 求（為晶格常數(shù)）時(shí)，聲學(xué)波和光學(xué)波的頻率。解：（1）此題與（11）題基本相似，在最近鄰近似和簡諧近似下，同樣可以寫出第和第個(gè)原子的動(dòng)力學(xué)方程為 （1）（2）為求出方程組（1）的格波解，可令 （2）于是將（2）式代入（1）式，可導(dǎo)出線性方程組為 （3）令，從、有非零解的系數(shù)行列式等于零的條件可得 （4）由（4）式可解出 （5）由此可知，的取值也有和之分，即存在聲學(xué)波和光學(xué)波（3）由（5）式可知當(dāng)時(shí)，有聲學(xué)波頻率，光學(xué)波頻率

11、（4）同樣由（5）式可知當(dāng)時(shí)，有聲學(xué)波頻率，光學(xué)波頻率13.在一維雙原子鏈中，如，（1）求證：；。（2）畫出與的關(guān)系圖（設(shè)）。解：（1）在一維雙原子鏈中，其第個(gè)原子與第個(gè)原子的運(yùn)動(dòng)方程為 （1）為解方程組（1）可令 （2）將（2）式代入（1）式可得出 （3）從、有非零解，方程組（3）的系數(shù)行列式等于零的條件出發(fā)，可得 可解出得 （4）當(dāng)（4）式中取“”號(hào)時(shí)，有 （5），（5）式中有，那么（5）式可簡化為 當(dāng)（4）式中取“”號(hào)時(shí)，有 （6），（6）式中有，那么（6）式可簡化為 （2）當(dāng)時(shí)，則（4）式可化為O此時(shí)，與的關(guān)系圖，即色散關(guān)系圖如下圖3.5所示：圖3.5 一維雙原子鏈振動(dòng)的色散關(guān)系曲線1

12、4.在一維復(fù)式格子中，如果，。求：(1) 光學(xué)波頻率的最大值、最小值及聲學(xué)波頻率的最大值；(2) 相應(yīng)的聲子能量是多少eV?(3) 這3種聲子在300K時(shí)各有多少個(gè)？(4) 如果用電磁波激發(fā)光頻振動(dòng)，要激發(fā)最大光學(xué)頻率的聲子所用的電磁波長在什么波段？解：(1)由于光學(xué)波頻率的最大值和最小值的計(jì)算公式分別為： 上式中為約化質(zhì)量所以有： 而聲學(xué)波頻率的最大值的計(jì)算公式為： 所以有： (2)相應(yīng)的聲子能量為：(3)由于聲子屬于玻色子，服從玻色愛因斯坦統(tǒng)計(jì)，則有(4)如用電磁波來激發(fā)光頻振動(dòng)，則要激發(fā)最大光學(xué)頻率的聲子所用的電磁波長應(yīng)滿足如下關(guān)系式：15.在一維雙原子晶格振動(dòng)的情況下，證明在布里淵區(qū)邊

13、界處，聲學(xué)支格波中所有輕原子靜止，而光學(xué)支格波中所有重原子靜止。畫出這時(shí)原子振動(dòng)的圖像。解：設(shè)第個(gè)原子為輕原子，其質(zhì)量為，第個(gè)原子為重原子，其質(zhì)量為，則它們的運(yùn)動(dòng)方程為 （1）為解方程組（1）可令 （2）將（2）式代入（1）式可得出 （3）從、有非零解，方程組（3）的系數(shù)行列式等于零的條件出發(fā)，可得 可解出得 （4）令，則可求得聲學(xué)支格波頻率為，光學(xué)支格波頻率為由方程組（3）可知，在聲學(xué)支中，輕原子與重原子的振幅之比為 由此可知，聲學(xué)支格波中所有輕原子靜止。而在光學(xué)支中，重原子與輕原子的振幅之比為 由此可知，光學(xué)支格波中所有重原子靜止。此時(shí)原子振動(dòng)的圖像如下圖3.6所示：圖3.6 （a）聲學(xué)支

14、格波原子振動(dòng)圖；（b）光學(xué)支格波原子振動(dòng)圖16.從一維雙原子晶格色散關(guān)系出發(fā)，當(dāng)逐漸接近和時(shí)，在第一布里淵區(qū)中，晶格振動(dòng)的色散關(guān)系如何變化？試與一維單原子鏈的色散關(guān)系比較，并對結(jié)果進(jìn)行討論。解：一維雙原子晶格的色散關(guān)系為O由此可做出如下圖3.7的一維雙原子鏈振動(dòng)的色散關(guān)系曲線圖 圖3.7一維雙原子鏈振動(dòng)的色散關(guān)系曲線由上圖可以看出，當(dāng)逐漸接近時(shí)，在第一布里淵區(qū)邊界，即處，聲學(xué)波的頻率開始增大，而光學(xué)波的頻率則開始減小，而當(dāng)時(shí)，則聲學(xué)波的頻率和光學(xué)波的頻率在處相等，都等于。而在一維單原子鏈中，其色散關(guān)系為，由此可見，在一維單原子鏈中只存在一支格波，其色散關(guān)系曲線與一維雙原子鏈中的聲學(xué)波的色散關(guān)系

15、曲線基本相似，在其布里淵區(qū)邊界，即處，其格波頻率為，是雙原子鏈的格波在布里淵邊界的頻率值的2倍。17.設(shè)晶體由個(gè)原子組成，試用德拜模型證明格波的狀態(tài)密度為。式中為格波的截止頻率。解：在德拜模型中，假設(shè)晶體的振動(dòng)格波是連續(xù)介質(zhì)的彈性波，即有色散關(guān)系 （1）那么格波的狀態(tài)密度為 （2）又根據(jù) （3）將（2）式代入（3）式得 （4）由（4）式可得 （5）把（5）式代入（2）式即可得 18.設(shè)晶體中每個(gè)振子的零點(diǎn)振動(dòng)能是，試用德拜模型求一維、二維和三維晶體的總零點(diǎn)振動(dòng)能。設(shè)原子總數(shù)為，一維晶格長度為，二維晶格的面積為，三維晶格的體積為。 解：(1)一維晶體的總零點(diǎn)振動(dòng)能為： 設(shè)表示角頻率在之間的格波數(shù)

16、，而且 (1) 上式中：是最大的角頻率；為晶體中的原子數(shù)。則上述的總零點(diǎn)能可以寫成： (2)考慮到一維晶體中，其狀態(tài)密度為： (3)由于德拜模型考慮的是長聲學(xué)波的影響，而長聲學(xué)波可以看成連續(xù)媒質(zhì)彈性波。對于彈性波，一個(gè)波矢對應(yīng)一個(gè)狀態(tài)，則有： 故 (4)對于彈性波，則 (5)將(4)和(5)式代入(2)式，得： (6)將(6)式代入(1)式，可得：將(6)式代入(2)式，可得一維晶體的總零點(diǎn)振動(dòng)能： (2)對于二維晶體來說，計(jì)算其總零點(diǎn)振動(dòng)能基本方法與一維晶體的方法相似，只是對于(1)式要改為： (7)而對于二維晶體，其狀態(tài)密度函數(shù)為： (8)將(8)式代入(7)式可得：將(8)式代入(2)式

17、可得二維晶體的總零點(diǎn)振動(dòng)能為：(3) 對于三維晶體來說，計(jì)算其總零點(diǎn)振動(dòng)能基本方法與一維晶體的方法也基本相似，只是對于(1)式要改為： (9)而對于三維晶體，其狀態(tài)密度函數(shù)為： (10)將(10)式代入(9)式可得：將(10)式代入(2)式可得三維晶體的總零點(diǎn)振動(dòng)能為： 19.應(yīng)用德拜模型，計(jì)算一維、二維情況下晶格振動(dòng)的狀態(tài)密度、德拜溫度、晶格比熱容。解：在德拜模型中，假設(shè)晶體的振動(dòng)格波是連續(xù)介質(zhì)的彈性波，即有色散關(guān)系 （1） （1）在一維情況下，晶格振動(dòng)的狀態(tài)密度為 （2）上式中，表示一維晶格的總長度。又由關(guān)系式 （3）將式（3）代入式（2）可得，由此求得于是德拜溫度晶體的比熱容為 （其中）

18、（2）在二維情況下，晶體振動(dòng)的格波有2支，即一支縱波和一支橫波，在德拜模型中，假設(shè)縱波和橫波的波速相等，都等于，即縱波和橫波都有如下的色散關(guān)系 先考率縱波，其狀態(tài)密度為 類似地可以寫出橫波的狀態(tài)密度為加起來總的狀態(tài)密度為 （4）又由關(guān)系式 （5）將（4）式代入（5）式得，由此可得于是得德拜溫度為而晶體的比熱容為 （其中）20.已知金剛石的彈性模量為1×1012N/m2，密度為3.5g/cm3。試計(jì)算金剛石的德拜溫度。解：假設(shè)金剛石的原子振動(dòng)的格波為一連續(xù)介質(zhì)的彈性波，其波速為 m/s而又金剛石的原子密度為 個(gè)/m3由此可知金剛石的德拜溫度為 K21.具有簡單立方布喇菲格子的晶體，原子間距為2×10-10m，由于非線性相互作用，一個(gè)沿100方向傳播，波矢大小為m-1的聲子同另一個(gè)波矢大小相等當(dāng)沿110方向傳播的聲子相互作用，合成為第3個(gè)聲子，試求合成后的聲子波矢。