七年級(jí)上冊規(guī)律題專題訓(xùn)練1【有理數(shù)訓(xùn)練題庫】

1、七年級(jí)上冊規(guī)律題專題訓(xùn)練1一、計(jì)算題（共28題；共232分）1.觀察 + =（1 ）+（ ）=1 = （1）計(jì)算： + + + =             （2）計(jì)算： 2.閱讀下面文字： 對于( )( )17 ( )，可以按如下方法計(jì)算：原式(-5)+( )(9)( )( )(-3)+( )(5)(9)17(3)( )( ) ( )0( )1 .上面這種方法叫拆項(xiàng)法.仿照上面的方法，請你計(jì)算：(2018 )(2017 )(1 )4036.3.計(jì)算題： （1）（2）4.閱讀下

2、列內(nèi)容，然后解答問題： 因?yàn)椋?所以： 問題：計(jì)算：（1）（2）（3）5.已知1- = , - = , - = , - = 根據(jù)這些等式求值。請你仔細(xì)觀察，并找出其奧妙，再計(jì)算： 6.在求1+2+22+23+24+25+26的值時(shí)，小明發(fā)現(xiàn)：從第二個(gè)加數(shù)起每一個(gè)加數(shù)都是前一個(gè)加數(shù)的2倍，于是他設(shè)：S=1+2+22+23+24+25+26然后在式的兩邊都乘以2，得：2S=2+22+23+24+25+26+27 ；得2SS=271，S=271，即1+2+22+23+24+25+26=271. （1）求1+3+32+33+34+35+36的值； （2）求1+a+a2+a3+a2013（a0且a1）的

3、值. 7.請先閱讀下列一組內(nèi)容，然后解答問題： 因?yàn)椋?所以： 計(jì)算： ; 8.觀察下列計(jì)算 =1 ,  = ， = -   ， = （1）第5個(gè)式子是_；第n個(gè)式子是_. （2）從計(jì)算結(jié)果中找規(guī)律，利用規(guī)律計(jì)算. + + （3）計(jì)算 + （4）計(jì)算 + + 9.用簡單方法計(jì)算下列各題。                 10.已知：實(shí)數(shù)a、b滿足條件 +（ab2）20.試求 + + + 的值. 11.閱讀下面的文字,回答后面的

4、問題：求 的值.解：令 將等式兩邊同時(shí)乘以5得到: -得: 即 問題:（1）求 的值； （2）求 的值； 12.觀察下列各式： -1× =-1+ - × =- + - × =- + （1）你能探索出什么規(guī)律？（用文字或表達(dá)式） （2）試運(yùn)用你發(fā)現(xiàn)的規(guī)律計(jì)算： （-1× ）+（- × ）+（- × ）+（- × ）+（- × ）13.觀察下列等式 =1- ， = - ， = - ，將以上三個(gè)等式兩邊分別相加得： + + =1- + - + - =1- = （1）猜想并寫出： 的結(jié)果 （2）直接寫出下列各式的計(jì)算結(jié)果：

5、 + + + + + + （3）探究并計(jì)算： + + + 14.計(jì)算 15.閱讀下面材料：（1+ ）×（1 ）= × =1，（1+ ）×（1+ ）×（1 ）×（1 ）= × × ×  = × × × =1×1=1根據(jù)以上信息，求出下式的結(jié)果（1+ ）×（1+ ）×（1+ ）××（1+ ）×（1 ）×（1 ）×（1 ）×（1 ）××（1 ） 16.已知實(shí)數(shù) ， 滿足：

6、，且 ，求 的值 17.在進(jìn)行二次根式化簡時(shí)，我們有時(shí)會(huì)碰上如 一樣的式子,其實(shí)我們還可以將其進(jìn)一步化簡: , , .以上這種化簡的步驟叫做分母有理化. 還可以用以下方法化簡: .（1）請用上面介紹的兩種不同方法化簡 . （2）試用上述方法化簡: . 18.先閱讀，再解題： 因?yàn)?， ， ，所以 參照上述解法計(jì)算： 19.閱讀材料，求值： 解：設(shè) ，將等式兩邊同時(shí)乘以2得：將下式減去上式得 即 （1）請你仿照此法計(jì)算： （其中 為正整數(shù)）（2）求 的值. 20.閱讀下列材料,然后回答問題: 在進(jìn)行類似于二次根式 的運(yùn)算時(shí),通常有如下兩種方法將其進(jìn)一步化簡:方法一: 方法二: （1）請用兩種不同

7、的方法化簡: ; （2）化簡: . 21.閱讀下面計(jì)算過程： 請解決下列問題：（1）根據(jù)上面的規(guī)律，請直接寫出 =_； （2）利用上面的解法，請化簡： ；（3）你能根據(jù)上面的知識(shí)化簡 嗎？若能，請寫出化簡過程. 22.觀察下列式子變形過程，完成下列任務(wù)： （1）類比上述變形過程的基本思路，猜想 的結(jié)果并驗(yàn)證； （2）算： . 23.計(jì)算下列各式 （1）_； （2）_； （3）_； （4）根據(jù)所學(xué)知識(shí)找到計(jì)算上面算式的簡便方法，請你利用你找到的簡便方法計(jì)算下式： 24.觀察下列有規(guī)律的數(shù)： ， ， ， ， ， 根據(jù)規(guī)律可知 （1）第 個(gè)數(shù)是_，第 個(gè)數(shù)是_（ 為正整數(shù)）； （2）是第_個(gè)數(shù)； （

8、3）計(jì)算 25.設(shè) ， ， ， 若 ，求S（用含n的代數(shù)式表示，其中n為正整數(shù)） 26.如果有理數(shù) 、 滿足 ，試求 的值 27.如果有理數(shù)a,b滿足 ，試求 的值。 28.    計(jì)算下列各式： （1）1 =_; （2）=_； （3）=_； （4）你能根據(jù)所學(xué)知識(shí)找到計(jì)算上面的算式的簡便方法嗎？請你利用你找到的簡便方法計(jì)算下式：二、解答題（共3題；共28分）29.觀察下列解題過程： 計(jì)算： 的值.解：設(shè) ，則 ，-，得 ，通過閱讀，你一定學(xué)會(huì)了一種解決問題的方法，請用你學(xué)到的方法計(jì)算：.30.閱讀理解，回答下列問題： （1）試猜想：1+3+5+7+9+2015+

9、2017+2019的和是多少？ （2）推廣：1+3+5+7+9+（2n-1）+（2n+1）的和是多少？ （3）計(jì)算：103+105+107+2017+2019. 31.觀察下列等式： =1 ， = ， = ，將以上三個(gè)等式兩邊分別相加得： + + =1 + + =1 = （1）猜想并寫出： =_ （2）直接寫出下列各式的計(jì)算結(jié)果： + + + =_； + + + =_（3）探究并計(jì)算： + + + 三、綜合題（共19題；共146分）32.閱讀下面的材料并解答后面所給出的問題： ； 兩個(gè)含二次根式的代數(shù)式相乘，若它們的積不含有二次根式，我們就說這兩個(gè)代數(shù)式互為有理化因式，例如： 與 ， 與 數(shù)學(xué)

10、上將上述把分母變成有理數(shù)（式）的過程稱為分母有理化，因此，化簡一個(gè)分母含有二次根式的式子時(shí)采用分母、分子同時(shí)乘以分母的有理化因式的方法就行了（1）的有理化因式是_， 的有理化因式是_ （2）求 的值； （3）求 的值 33.觀察下列等式： ， ， ，將以上三個(gè)等式兩邊分別相加得：.（1）猜想并寫出： _. （2）直接寫出下列各式的計(jì)算結(jié)果： _； _ .（3）探究并解決問題： 如果有理數(shù)a，b滿足ab21b0，試求：的值.34.觀察下列等式: =1- ， = - ， = - ； 將以上三個(gè)等式兩邊分別相加得: + + =1- + - + - .（1）計(jì)算: + + =_； （2）計(jì)算

11、: + + + ； （3）探究并計(jì)算: + + + ； - + - + -+ .35.“雙劍合璧，天下無敵”，其意思是指兩個(gè)人合在一起，取長補(bǔ)短，威力無比在二次根式中也常有這種相輔相成的“對子”，如： ， ，它們的積中不含根號(hào)，我們說這兩個(gè)二次根式是互為有理化因式，其中一個(gè)是另一個(gè)的有理化因式，于是，二次根式除法可以這樣解： ， 像這樣通過分子、分母同乘一個(gè)式子把分母中的根號(hào)化去的方法，叫做分母有理化解決下列問題：（1）將 分母有理化得_； 的有理化因式是_； （2）化簡： =_； （3）化簡： + 36.閱讀下列材料，完成相應(yīng)任務(wù)： 神奇的等式第1個(gè)等式： ；第2個(gè)等式： ；第3個(gè)等式： ；

12、第4個(gè)等式： ；第100個(gè)等式： ；任務(wù)：（1）第6個(gè)等式為：_； （2）猜想第n個(gè)等式（用含n的代數(shù)式表示），并證明 37.問題再現(xiàn)： 數(shù)形結(jié)合是解決數(shù)學(xué)問題的一種重要的思想方法，借助這種方法可將抽象的數(shù)學(xué)知識(shí)變得直觀起來并且具有可操作性，從而可以幫助我們快速解題初中數(shù)學(xué)里的一些代數(shù)公式，很多都可以通過表示幾何圖形面積的方法進(jìn)行直觀推導(dǎo)和解釋例如：利用圖形的幾何意義證明完全平方公式證明：將一個(gè)邊長為a的正方形的邊長增加b，形成兩個(gè)矩形和兩個(gè)正方形，如圖1：這個(gè)圖形的面積可以表示成：（a+b）2或a2+2ab+b2（a+b）2 a2+2ab+b2這就驗(yàn)證了兩數(shù)和的完全平方公式類比解決：（1）請

13、你類比上述方法，利用圖形的幾何意義證明平方差公式（要求畫出圖形并寫出推理過程） 問題提出：如何利用圖形幾何意義的方法證明：13+2332？如圖2，A表示1個(gè)1×1的正方形，即：1×1×113B表示1個(gè)2×2的正方形，C與D恰好可以拼成1個(gè)2×2的正方形，因此：B、C、D就可以表示2個(gè)2×2的正方形，即：2×2×223而A、B、C、D恰好可以拼成一個(gè)（1+2）×（1+2）的大正方形由此可得：13+23（1+2）232（2）請你類比上述推導(dǎo)過程，利用圖形的幾何意義確定：13+23+33_（要求寫出結(jié)論并構(gòu)造圖

14、形寫出推證過程） （3）問題拓廣： 請用上面的表示幾何圖形面積的方法探究：13+23+33+n3_（直接寫出結(jié)論即可，不必寫出解題過程）38.觀察下列等式： （1）寫出第 個(gè)等式：_； （2）寫出你猜想的第n個(gè)等式：_(用含n的等式表示)，并證明 39.化簡： + + 為了能找到復(fù)雜計(jì)算問題的結(jié)果，我們往往會(huì)通過將該問題分解，試圖找尋算式中每個(gè)式子是否存在某種共同規(guī)律，然后借助這個(gè)規(guī)律將問題轉(zhuǎn)化為可以解決的簡單問題下面我們嘗試著用這個(gè)思路來解決上面的問題請你按照這個(gè)思路繼續(xù)進(jìn)行下去，并把相應(yīng)橫線上的空格補(bǔ)充完整（1）（分析問題）第1個(gè)加數(shù)： ； 第2個(gè)加數(shù)： ；第3個(gè)加數(shù)： ；第4個(gè)加數(shù)：_

15、；（2）（總結(jié)規(guī)律）第n個(gè)加數(shù)：_ （3）（解決問題）請你利用上面找到的規(guī)律，繼續(xù)化簡下面的問題（結(jié)果只需化簡，無需求出最后得數(shù)） + + 40.閱讀下列材料：小明為了計(jì)算 的值 ，采用以下方法： 設(shè) 則    -得   （1）= _; （2）= _; （3）求 的和（ ，n是正整數(shù)，請寫出計(jì)算過程 ）. 41.觀察下列等式： 第一個(gè)等式： ；第二個(gè)等式： ；第三個(gè)等式： ；第四個(gè)等式： ；按上述規(guī)律，回答下列問題：（1）請寫出第六個(gè)等式：a6=_=_； （2）用含n的代數(shù)式表示第n個(gè)等式：an=_=_； （3）a1+a2+a3+a4+a5+a6=_（得出最簡結(jié)果

16、）； （4）計(jì)算：a1+a2+an 42.觀察下列算式： 第1個(gè)式子： 第2個(gè)式子： 第3個(gè)式子： 第4個(gè)式子： （1）可猜想第7個(gè)等式為_ （2）探索規(guī)律，若字母 表示自然數(shù)，請寫出第 個(gè)等式_ （3）試證明你寫出的等式的正確性 43.第1個(gè)等式：1- = × 第2個(gè)等式：(1- )(1- )= × 第3個(gè)等式：(1- )(1- )(1- )= × 第4個(gè)等式：(1- )(1- )(1- )(1- )= × 第5個(gè)等式：(1- )(1- )(1- )(1- )(1- )= × ·····

17、83;（1）寫出第6個(gè)等式； （2）寫出第n個(gè)等式(用含n的等式表示),并予以證明 44.觀察下列兩個(gè)等式：2 2× +1，5 5× +1，給出定義如下：我們稱使等式abab+1的成立的一對有理數(shù)a，b為“共生有理數(shù)對”，記為（a，b），如：數(shù)對（2， ），（5， ），都是“共生有理數(shù)對” （1）數(shù)對（2，1），（3， ）中是“共生有理數(shù)對”的是_； （2）若（m，n）是“共生有理數(shù)對”，則（n，m）_“共生有理數(shù)對”（填“是”或“不是”）； （3）請?jiān)賹懗鲆粚Ψ蠗l件的“共生有理數(shù)對”為_；（注意：不能與題目中已有的“共生有理數(shù)對”重復(fù)） （4）若（a，3）是“共生有理數(shù)

18、對”，求a的值 45.閱讀材料：大數(shù)學(xué)家高斯在上學(xué)讀書時(shí)曾經(jīng)研究過這樣一個(gè)問題： ？經(jīng)過研究，這個(gè)問題的一般性結(jié)論是 ，其中 是正整數(shù)現(xiàn)在我們來研究一個(gè)類似的問題： ？觀察下面三個(gè)特殊的等式：將這三個(gè)等式的兩邊相加，可以得剛才得到 讀完這段材料，請你思考后回答：（1）_； （2）_； （3）_； （只需寫出結(jié)果，不必寫中間的過程）46.莊子·天下：“一尺之棰，日取其半，萬世不竭.”意思是說：一尺長的木棍，每天截掉一半，永遠(yuǎn)也截不完.我國智慧的古代人在兩千多年前就有了數(shù)學(xué)極限思想，今天我們運(yùn)用此數(shù)學(xué)思想研究下列問題. （規(guī)律探索）（1）如圖1所示的是邊長為1的正方形，將它剪掉一半，則S

19、陰影11 _； 如圖2，在圖1的基礎(chǔ)上，將陰影部分再裁剪掉半，則S陰影21 ( )2_；同種操作，如圖3，S陰影31 ( )2( )3_；如圖4，S陰影41 ( )2( )3( )4_；若同種地操作n次，則S陰影n1 ( )2( )3( )n_.（2）（規(guī)律歸納） 直接寫出 的化簡結(jié)果：_.（3）（規(guī)律應(yīng)用） 直接寫出算式 的值：_.47.觀察下列算式，找出規(guī)律并填空。 .（1）第十個(gè)算式是_. （2）的值. （3）的值. 48.觀察下列兩個(gè)等式: , ,給出定義如下:我們稱使等式 成立的一對有理數(shù) , 為“衍生有理數(shù)對”,記為 ,如數(shù)對 , 都是衍生有理數(shù)對. （1）數(shù)對 , 中是“衍生有理

20、數(shù)對”的是_； （2）若數(shù)對 是“衍生有理數(shù)對”,則 的值為_； （3）若數(shù)對 是“衍生有理數(shù)對”,試判斷 是不是“衍生有理數(shù)對”,請說明理由. 49.閱讀下列運(yùn)算過程，并完成各小題： = = ； = =  數(shù)學(xué)上把這種將分母中的根號(hào)去掉的過程稱作“分母有理化”，模仿上例完成下列各小題：（1）=_。 （2） =_。 （3）如果分母不是一個(gè)無理數(shù)，而是兩個(gè)無理數(shù)的和或差，此時(shí)也可以進(jìn)行分母有理化，如： = = = 1 = = = = _。（4）你能根據(jù)你得到的規(guī)律計(jì)算下題嗎？ + + + (n為正整數(shù))50.我國古代數(shù)學(xué)的許多發(fā)現(xiàn)都曾位居世界前列，如楊輝三角就是一例如圖，這個(gè)三角形的構(gòu)

21、造法則：兩腰上的數(shù)都是1，其余每個(gè)數(shù)均為其上方左右兩數(shù)之和，它給出了（a+b）n（n為正整數(shù)）的展開式（按a的次數(shù)降冪排列）的系數(shù)規(guī)律例如，在三角形中第一行的三個(gè)數(shù)1，2，1，恰好對應(yīng)（a+b）2a2+2ab+b2展開式中的系數(shù)；第四行的四個(gè)數(shù)1，3，3，1，恰好對應(yīng)著（a+b）3a3+3ab+3ab2+b3展開式中的系數(shù)結(jié)合對楊輝三角的理解完成以下問題 （1）（a+b）2展開式a2+2ab+b2中每一項(xiàng)的次數(shù)都是_次； （a+b）3展開式a3+3a2b+3ab2+b3中每一項(xiàng)的次數(shù)都是_次；那么（a+b）n展開式中每一項(xiàng)的次數(shù)都是_次（2）寫出（a+1）4的展開式_ （3）拓展應(yīng)用：計(jì)算（x

22、+1）5+（x1）6+（x+1）7的結(jié)果中，x5項(xiàng)的系數(shù)為_ 答案解析部分一、計(jì)算題1.【答案】 （1）解： + + + =（1 ）+（ ）+    （ ）+（ ）=1 + +    + =1 = ；（2）解： ， = （ ）= （ ）= × = 2.【答案】 解：原式(-2018)+( )(2017)( )(1)( )4036 (2018)(2017)(1)4036( )( )( )0( )( )( )2.3.【答案】 （1）解： = =0（2）解： = = =-94.【答案】 （1）解：原式 =1 = （2）解：原式=

23、= （3）解：原式 = 5.【答案】 解： = = = 6.【答案】 （1）解：1+3+32+33+34+35+36 =（1+3+32+33+34+35+36）×3（1+3+32+33+34+35+36）÷（31）=（3+32+33+34+35+36+37）（1+3+32+33+34+35+36）÷2=（371）÷2=2187÷2=1093.5；（2）解：1+a+a2+a3+a2013（a0且a1） （1+a+a2+a3+a2013）×a（1+a+a2+a3+a2013）÷（a1）=（a+a2+a3+a2013+a2014）

24、（1+a+a2+a3+a2013）÷（a1）=（a20141）÷（a1）= .7.【答案】 解：  原式=1-=；   , ,原式=. 8.【答案】 （1）；（2）解： + + =1 （3）解： + = （4）解： + + = 9.【答案】 解：原式= = ；原式= = = 10.【答案】 解： +（ab2）20， a10，ab20，解得，a1，b2， .11.【答案】 （1）解：令 將等式兩邊同時(shí)乘以2得到: -得: 即 （2）解： 令 將等式兩邊同時(shí)乘以3得到: -得: 12.【答案】 （1）解：- × =- + （2）

25、解：（-1× ）+（- × ）+（- × ）+（- × ）+（- × ）=-1+ - + - + +- + - + =-1+ =- . 13.【答案】 （1）解：由題意知 （2）解：原式 原式 （3）解：原式 14.【答案】解：根據(jù)絕對值的性質(zhì)，原式=-（-）-（-）-（-）-（-），=-+-+-+-+，=-，=. 15.【答案】解：原式= × × ×× × × × × ×× = × × × × ×

26、; ×× × =1×1×1××1=1 16.【答案】解： ， ， ， ， ， ， ， ， ， ，則 17.【答案】 （1）解： 原式=.（2）解：原式=. 18.【答案】 解：原式 19.【答案】 （1）解：設(shè) 將等式兩邊同時(shí)乘以 得： 將下式減去上式得： ，即 則 設(shè) 將等式兩邊同時(shí)乘 得： 將下式減去上式得： ，即 則 （2）解： 20.【答案】 （1）解：方法一： 方法二： （2）解：原式= 21.【答案】 （1）（2）原式= 1+ + = 1=101=9；（3）能. = = 22.【答案】 （1）解： ， 驗(yàn)證：，（

27、2）解： ， ，23.【答案】 （1）（2）（3）（4）（1-）（1-）（1-）（1-）（1-）（1-）（1-）=××××××××××××××=×=24.【答案】 （1）；（2）11（3）解： + + + + + + = = 25.【答案】解：  ，  ，  ， S1=（ ）2 ， S2=（ ）2 ， S3=（ ）2 ， ，Sn=（ ）2 ，  ，S= ，S=1+ ，S=1+1 +1+ +1+ ，S=n+1

28、 = 26.【答案】解：由ab2+（1b）2=0，得ab2=0，1b=0，則 a=2，b=1，所以 =  =  = =1-  = 27.【答案】解：由已知得到： 。所以 ，所以 ， ， ，所以原式 28.【答案】 （1）（2）（3）（4）二、解答題29.【答案】 解： 設(shè) 則 -得：30.【答案】 （1）解：由1+3=4=22 1+3+5=9=32 1+3+5+7=16=42 1+3+5+7+9=25=52 依此類推：第n個(gè)等式所代表的算式為：1+3+5+（2n-1）=n2； 1+3+5+7+9+2015+2017+2019=10102.（2）解：1+3+5+7+

29、9+（2n-1）+（2n+1） =1+3+5+7+9+（2n-1）+2（n+1）-1 =（n+1）2（3）解：103+105+107+2017+2019 =（1+3+2019）-（1+3+101） =10102-512 =1018458. 31.【答案】 （1）（2）；（3）解： 三、綜合題32.【答案】 （1）；（2）解： （3）解： 33.【答案】 （1）（2）；（3）解：ab21b0， ab2=0，1b=0，解得b=1，a=2， = = = .34.【答案】 （1）（2）解： （3）解： 35.【答案】 （1）；1（2）（3）解：原式 36.【答案】 （1）（2）猜想第n個(gè)等式（用含n的代數(shù)式表示）為： ； 證明：左邊 ，左邊右邊，等式成立故答案為 37.【答案】 （1）如圖，左圖的陰影部分的面積是a2b2 ， 右圖