01初三數(shù)學(xué)自主招生二次方程的整數(shù)根(1)(教師)

1、次方程的整數(shù)根(1)【因式分解】1.已知k為整數(shù)，且關(guān)于 x的方程(k2 1)x2 2(5k 1)x 24 0有兩個(gè)不相等的正 整數(shù)根，求k的值。解：易知k 1 ,原方程可化為 k 1 x 4 k 1 x 6046x1, x2k 1 k 1兩根為正整數(shù)， k 1取4、2、1, k值為5、3、2;k 1 取 6、3、2、1 , k 值為 5、2、1、0 ； . k值為5或2 ,當(dāng)k 5時(shí)，方程兩根為等根，舍去； 當(dāng)k 2時(shí)，方程有兩個(gè)不相等的正整數(shù)根x1 4 , x2 2。. k 2。2.當(dāng)k取何整數(shù)時(shí)，方程 4 k 8 k x280 12kx 320的解都是整數(shù)？解：當(dāng)k 當(dāng)k當(dāng)k解得4時(shí)，原

2、方程為32x 32 0,解得x 1 ,符合題意；8時(shí)，原方程為16x 32 0,解得x 2,符合題意； 4且k 8時(shí)，原方程可化為4kx 88 kx 4084<1, x2 。4 k 8 k.k為整數(shù)，且x1、x2均為整數(shù)根， 4 k1, 2, 4, 8,得 k 3,5,2,6,0,12, 4,4(舍)8 k1, 2, 4,得 k 7,9,6,10,12,8(舍)。綜上所述，當(dāng)k值為4、6、8、12時(shí)，原方程的根都為整數(shù)。3.已知方程a2x 2 (3a2 8a)x 2a2 13a 15 0 ( a為非負(fù)整數(shù))至少有一個(gè)整數(shù) 根，求a的值。解：當(dāng)a 0時(shí)，方程變?yōu)?5 0,無(wú)解。：當(dāng)a 0時(shí)

3、，方程可化為a2x2 (3a2 8a)x (2a 3)(a 5) 0 即ax (2a 3) ax (a 5) 0。2a 3 c 3 a 5/5x1 2 - ,x2 1 ,a a a a當(dāng)x1為整數(shù)時(shí)，非負(fù)整數(shù) a 1,3當(dāng)x2為整數(shù)時(shí)，非負(fù)整數(shù) a 1,5 當(dāng)a 1,3,5時(shí)，方程至少有一個(gè)整數(shù)根。【韋達(dá)定理】4.已知方程x2 (a 6)x a0(a 0)的兩根都是整數(shù)，試求 a的值。解：設(shè)兩整數(shù)根為，且 ，則有1 1117 ,則或1 7a 0 (舍)或 a 16。,所以有6 ,a1708,解得 或,116215.已知方程x2 mx m 1 0(m是整數(shù))有兩個(gè)不等正整數(shù)根，求 m的值。解：設(shè)

4、兩整數(shù)根為，且 。則有m ,所以有m 11 ,即(1)(1) 2。1 1 2, 1, 2 ,解得：1 2, 1故 m()5。6.已知方程2m 1 x2 (2m 解：設(shè)兩整數(shù)根為，且2 ,1 人或(舍去)3 02)x 2 0的兩根都是整數(shù)，試求 m的值。 ,則有2m 1所以有22,2 1 -貝U或2 6一 1 一解得或4代入方程得，m【判別式】2m 211 2m 12,22 2T ,或2 30舍或11一，m4132m 126 ,26T2或2128T5或3411O207.已知方程x2 6x 4n2 32n0的根都是整數(shù)，求整數(shù)n的值。解：因二次方程的根都是整數(shù)，故4 (4n2 32n 9)應(yīng)為完全

5、平方數(shù)。設(shè)2 _24n2 32n 9 k2_ _ 22k 0,k 為整數(shù))，即(2n 8)2 k255 ,所以(2n8 k)(2n 8 k)55。因2n 8 k 2n 8 k ,故可得如下4個(gè)方程組:2n 8 k 552n 8 k 12n 8 k12n 8 k552n 8 k 112n 8 k 52n 8 k 52n 8 k 11分別解得n 10 , n 0 , n18, n 8。8.關(guān)于x的方程kx 2k 1 x 10有有理根，求整數(shù) k的值。7 -解：當(dāng)k 0時(shí)，x 1,方程有有理根；當(dāng)k 0時(shí)，.方程有有理根，k 1 2 4k k2 6k 1為完全平方數(shù)，設(shè)k2 6k 1 m2, k為整

6、數(shù)，m為整數(shù)， 2222k 6k 9 m 8, k 3 m 8,即k 3 m k 3 m 8,這里k 3 m大于k 3 m ,且奇偶相同k解得k3 m 4k或3 m 2 k6或k 0 (舍)綜合以上，方程有有理根時(shí)9. (2013年交大附中自主招生)已知0 或 k 6。p、q為整數(shù),PX2 3x q 0有兩個(gè)同號(hào)有理根，求所有滿足條件的解：- pX2 3x qp、q的值與所有的根。0有兩個(gè)根，所以 p 0,設(shè)兩根分別為 Xi,X2由韋達(dá)定理，得:qX1 X2 ,X1 , X2 同號(hào),所以X1 X20。P、p qq同號(hào)。一0, pqp.次方程的兩根為有理根,9 4 Pq為完全平方數(shù)。解出根為X1

7、X210. ( 2013 年華2X解:22 Px p5P由于這個(gè)整系數(shù)的4 p2數(shù)，令5P 14( p2,2T或1X1X2自主12或1招生X1X2X1X2P為121質(zhì)數(shù)，使p的值。次方程1元二次方程有整數(shù)根，2)5p 1) 4(5 p 1)是完全平方數(shù)，從而 5p 1是完全平方0的兩根都是整數(shù)，求出所有可能的2. 一n , n是正整數(shù)，則5P (n 1)(n 1), p是質(zhì)數(shù)，5 P的因數(shù)有1,5, p,5p。. (n1)1(n1)n解得p 綜上所述，所求的質(zhì)數(shù)【備用】22_ 1 .求滿足條件的正整數(shù) m ,使得關(guān)于X的萬(wàn)程4x 4mx m m 10 0有兩整數(shù)解：由方程有整數(shù)解16m2 4

8、4 m2 m 1016 10 m 為完全平方數(shù)，又二 m為正整數(shù)，10 m可取0、1、4、9,.滿足條件的 m值為10、9、6、1。 22 .已知p q 16,且二次萬(wàn)程 x px q 0的根是整數(shù)，求最大根。解：設(shè)方程兩整數(shù)根為 X1、x2,則x1 x2 p, X1x2 q- pq 16 , x1x2 x1 x2p q 16x11 x2117 ,顯然，當(dāng) x1117或*2117 時(shí)，最大*K為18。3 . m是什么整數(shù)時(shí)，方程 m2 1 x2 6 3m 1 x 72 0有兩個(gè)不相等的正整數(shù)根?L原方程可分解為i (加-因?yàn)閙#±l,的以，如二因?yàn)楣，力為正整數(shù)，所以騎-I =11

9、2Gl6,m - 1 m + I且m +1 = 1 ,2,3.4,6,12.解得m = 2或m = 3.但m = 3時(shí)，/二句，故告去，從而為所求24 . k為什么整數(shù)時(shí)，萬(wàn)程 6 k 9 k x 117 15kx 540的解都是整數(shù)？解 若4=6,則工二2；若心。用式=3.若5且W9.你方程可化為L(zhǎng)N-6) - 95,-9) - 6 -96故方程的二根為修、二用1 口為使柢和也都是整般,則應(yīng)有A赭一電 fi! -V-« 二 七1, ±3,堂9浦=-3，,7.% 15：還應(yīng)有上-9= 土 1, ±2, 土3.七6=3A7.8.H)l2,15.所以心3,7/5時(shí)出和

10、專都是整救.綜上所述,當(dāng)A值為3 ,37目J 5時(shí)/程的蒯都是植數(shù).25.試確定一切有理數(shù) r,使得關(guān)于x的方程rx (r 2)x 3r 20有且只有整數(shù)根。解：當(dāng)r 0時(shí)，方程化為2x 2 0,方程有整數(shù)根 x 1,：當(dāng)r 0時(shí)，設(shè)兩整數(shù)根為，且 。則r 2/ 214 ,即(1)(1) 5rr,兩式相減得3r 2 q 23 rr1 1 52.，,解得：或1 5, 162 、2 - r 或 r 93c 22 、一 2(m 6)x m 3 0有兩個(gè)不同的奇數(shù)根,6.綜上所述：r 0,-, -o設(shè)方程x3 9求整數(shù)m的值。設(shè)才程的福個(gè)手班根為。，月.不甘今因用I 胃+0 一 陋 - E. o=m-

11、3.兩式柳加,得哦卜。+?=-9 .即 蟠8.二 Q+n%十】)-一吼又 v 4R.fa+1 l *.o+l£*“口+】8,A C1),(2)<3)£4)I升1 = 一心1葉1N一4112+1一卻 lg+l-L413(4)的解不符會(huì)展求(a*l»(<r-=3*(幻妁解是|。)的解量1 伊-Sj 3.二 « -3=5j5,jw3=-9.址e-一.2或m - 6.7.已知 a、b、c都是整數(shù)(b c), 且對(duì)一切實(shí)數(shù) x ,都有(x a)(x 2014) 2 (x b)(x c) 成立，求所有這樣的有序數(shù)組(a,b,c) 。解：(x a)(x 2

12、014)2 (x b)(x c)對(duì)一切實(shí)數(shù)x都成立,x2 (2014 a)x2014a 2 x2 (b c)x bc 為恒等式,b c 2014 abc 2014a 2消去 a得：bc 2014(b c) 2 20142bc 2014(b c) 201422(b 2014)(c 2104)2. b c, . . b 2014 c 2104。b 2014c 20141,22,b 2015 或c 20122016，分別求出a 2013或 a 20152013.有序數(shù)組(a,b,c)有：(2013,2015,2012)或(2015,2016,2013)。8 當(dāng) k 取何整數(shù)時(shí)，關(guān)于 x 的二次方程x 2 x解：原方程可化為：x 2 x 10 k k 210kk1 有整數(shù)根？并求方程的根。方程有整數(shù)根，設(shè) 2k 1 2明顯， 2k401 410 k2m (