高考復(fù)習(xí)-函數(shù)及其性質(zhì)知識點+基礎(chǔ)方法

1、函數(shù)·知識點+基礎(chǔ)方法一、函數(shù)的概念：1. 函數(shù)的概念：設(shè)A、B是非空的數(shù)集，如果按照某個確定的對應(yīng)關(guān)系f，使對于集合A中的任意一個數(shù)x，在集合B中都有唯一確定的數(shù)f(x)和它對應(yīng)，那么就稱f：AB為從集合A到集合B的一個函數(shù)記作： y=f(x)，xA其中，x叫做自變量，x的取值范圍A叫做函數(shù)的定義域；與x的值相對應(yīng)的y值叫做函數(shù)值，函數(shù)值的集合f(x)| xA 叫做函數(shù)的值域函數(shù)的三要素：定義域、對應(yīng)關(guān)系、值域.2.函數(shù)的三種表示方法：解析法、圖象法、列表法.二、定義域的求法：能使函數(shù)式有意義的實數(shù)x的集合稱為函數(shù)的定義域。求函數(shù)的定義域時，列不等式組的主要依據(jù)是：(1)分式的分母

2、不等于零； (2)偶次方根的被開方數(shù)不小于零； (3)對數(shù)式的真數(shù)必須大于零；(4)指數(shù)、對數(shù)式的底必須大于零且不等于1；(5) 指數(shù)為零，底不可以等于零；(6) 如果函數(shù)是由一些基本函數(shù)通過四則運(yùn)算結(jié)合而成的.那么，它的定義域是使各部分都有意義的x的值組成的集合；(7)實際問題中的函數(shù)的定義域還要保證實際問題有意義.三、值域的求法: 1.函數(shù)的值域是由其對應(yīng)法則和定義域共同決定的其類型依解析式的特點分可分三類：(1)求常見函數(shù)值域；(2)求由常見函數(shù)復(fù)合而成的函數(shù)的值域；(3)求由常見函數(shù)作某些“運(yùn)算”而得函數(shù)的值域2.函數(shù)值域的常用方法：(1)觀察法：通過對函數(shù)定義域、性質(zhì)的觀察，結(jié)合函數(shù)

3、的解析式，求得函數(shù)的值域。(2)配方法：(二次或四次) 轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)，利用二次函數(shù)的特征來求值；常轉(zhuǎn)化為含有自變量的平方式與常數(shù)的和，型如：的形式，然后根據(jù)變量的取值范圍確定函數(shù)的最值。(3)換元法：代數(shù)換元法通過變量代換達(dá)到化繁為簡、化難為易的目的；三角代換法可將代數(shù)函數(shù)的最值問題轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)的最值問題，化歸思想。(4)分離常數(shù)法：對某些分式函數(shù)，可通過分離常數(shù)法，化成部分分式來求值域。 (5)判別式法：若函數(shù)y=f（x）可以化成一個系數(shù)含有y的關(guān)于x的二次方程a（y）x2+ b（y）x+c（y）=0，則在a（y）0時，由于x、y為實數(shù)，故必須有=b2（y）4a（y）·c（y）

4、0，從而確定函數(shù)的最值，檢驗這個最值在定義域內(nèi)有相應(yīng)的x值。(6)最值法：對于閉區(qū)間a,b上的連續(xù)函數(shù)y=f(x),可求出y=f(x)在區(qū)間a,b內(nèi)的極值，并與邊界值f(a)，f(b)作比較,求出函數(shù)的最值，可得到函數(shù)y的值域。四、解析式的求法：1. 待定系數(shù)法：已知函數(shù)圖象，確定函數(shù)解析式，或已知函數(shù)的類型且函數(shù)滿足的方程時，常用待定系數(shù)法。2. 函數(shù)性質(zhì)法：如果題目中給出函數(shù)的某些性質(zhì)（如奇偶性、周期性），則可利用這些性質(zhì)求出解析式。 3. 圖象變換法：若給出函數(shù)圖象的變化過程，要求確定圖象所對應(yīng)的函數(shù)解析式，則可用圖象變換法。 4. 換元法：5. 配湊法：6. 賦值（式）法：五、函數(shù)圖象

5、：1.定義：在平面直角坐標(biāo)系中，以函數(shù) y=f(x) , (xA)中的x為橫坐標(biāo)，函數(shù)值y為縱坐標(biāo)的點P(x，y)的集合C，叫做函數(shù) y=f(x),(x A)的圖象C上每一點的坐標(biāo)(x，y)均滿足函數(shù)關(guān)系y=f(x)，反過來，以滿足y=f(x)的每一組有序?qū)崝?shù)對x、y為坐標(biāo)的點(x，y)，均在C上 . 2.畫法：（1）描點法：（2）圖象變換法：常用變換方法有三種： 平移變換、伸縮變換、對稱變換3.區(qū)間的概念（1）區(qū)間的分類：開區(qū)間、閉區(qū)間、半開半閉區(qū)間（2）無窮區(qū)間（3）區(qū)間的數(shù)軸表示六、函數(shù)的單調(diào)性：1. 定義：設(shè)函數(shù)y=f(x)的定義域為I，如果對于定義域I內(nèi)的某個區(qū)間D內(nèi)的任意兩個自變量

6、x1，x2，當(dāng)x1<x2時，都有f(x1)<f(x2)，那么就說f(x)在區(qū)間D上是增函數(shù).區(qū)間D稱為y=f(x)的單調(diào)增區(qū)間.如果對于區(qū)間D上的任意兩個自變量的值x1，x2，當(dāng)x1<x2 時，都有f(x1)f(x2)，那么就說f(x)在這個區(qū)間上是減函數(shù).區(qū)間D稱為y=f(x)的單調(diào)減區(qū)間.注意：函數(shù)的單調(diào)性是函數(shù)的局部性質(zhì)2. 圖象的特點：如果函數(shù)y=f(x)在某個區(qū)間是增函數(shù)或減函數(shù)，那么說函數(shù)y=f(x)在這一區(qū)間上具有(嚴(yán)格的)單調(diào)性，在單調(diào)區(qū)間上增函數(shù)的圖象從左到右是上升的，減函數(shù)的圖象從左到右是下降的.3. 函數(shù)單調(diào)區(qū)間與單調(diào)性的判定方法：(1)定義法： 任取x

7、1，x2D，且x1<x2； 作差f(x1)f(x2)； 變形（通常是因式分解和配方）； 定號（即判斷差f(x1)f(x2)的正負(fù)）； 下結(jié)論（指出函數(shù)f(x)在給定的區(qū)間D上的單調(diào)性）(2)圖象法(從圖象上看升降)(3)導(dǎo)數(shù)法（導(dǎo)數(shù)大于0，在對應(yīng)區(qū)間遞增；導(dǎo)數(shù)小于0，在區(qū)間遞減）4.函數(shù)單調(diào)性的常用結(jié)論：（復(fù)合函數(shù)單調(diào)性）(1)若均為某區(qū)間上的增（減）函數(shù)，則在這個區(qū)間上也為增（減）函數(shù)；(2)若為增（減）函數(shù)，則為減（增）函數(shù)；(3)若與的單調(diào)性相同，則是增函數(shù)；若與的單調(diào)性不同，則是減函數(shù)；其規(guī)律：“同增異減”(4)奇函數(shù)在對稱區(qū)間上的單調(diào)性相同，偶函數(shù)在對稱區(qū)間上的單調(diào)性相反；(5

8、)常用函數(shù)的單調(diào)性解答：比較大小、求值域與最值、解不等式、證不等式、作函數(shù)圖象；(6)函數(shù)的單調(diào)區(qū)間只能是定義域的子區(qū)間 ,不能把單調(diào)性相同的區(qū)間和在一起寫成并集。七、函數(shù)的奇偶性：1. 定義：一般地，對于函數(shù)f(x)的定義域內(nèi)的任意一個x，都有f(x)=f(x)，那么f(x)就叫做偶函數(shù)一般地，對于函數(shù)f(x)的定義域內(nèi)的任意一個x，都有f(x)=f(x)，那么f(x)就叫做奇函數(shù)2. 具有奇偶性的函數(shù)的圖象的特征:偶函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對稱；奇函數(shù)的圖象關(guān)于原點對稱3. 判斷函數(shù)奇偶性的步驟：首先確定函數(shù)的定義域，并判斷其是否關(guān)于原點對稱；確定f(x)與f(x)的關(guān)系；作出相應(yīng)結(jié)論：若f(x

9、) = f(x) 或 f(x)f(x) = 0，則f(x)是偶函數(shù)；若f(x) =f(x) 或 f(x)f(x) = 0，則f(x)是奇函數(shù)八、函數(shù)的周期性：1定義：一般地，對于函數(shù)，如果存在一個非零常數(shù)T，使得當(dāng)x取定義域內(nèi)的每一個值時，都有，那么函數(shù)就叫做周期函數(shù)，非零常數(shù)T叫做函數(shù)的周期。2函數(shù)周期性的性質(zhì)：（1）對于非零常數(shù)A，若函數(shù)滿足，則函數(shù)必有一個周期為2A。（2）對于非零常數(shù)A，函數(shù)滿足，則函數(shù)的一個周期為2A。（3）對于非零常數(shù)A，函數(shù)滿足，則函數(shù)的一個周期為2A。九、二次函數(shù)：1. 一般式：2. 頂點式：3. 零點式：十、反比例函數(shù)：形如的函數(shù)十一、“對號”函數(shù)：形如的函數(shù)

10、1. 一般地，對于函數(shù)（）當(dāng)時，函數(shù)在及上為增函數(shù)，在及上為減函數(shù)函數(shù)的值域是（）當(dāng)時，函數(shù)在及上都是增函數(shù)，值域為十二、指數(shù)函數(shù)：1. 根式的概念：如果，且，那么叫做的次方根當(dāng)是奇數(shù)時，的次方根用符號表示；當(dāng)是偶數(shù)時，正數(shù)的正的次方根用符號表示，負(fù)的次方根用符號表示；0的次方根是0；負(fù)數(shù)沒有次方根式子叫做根式，這里叫做根指數(shù)，叫做被開方數(shù)當(dāng)為奇數(shù)時，為任意實數(shù)；當(dāng)為偶數(shù)時，2. 根式的性質(zhì)：；當(dāng)為奇數(shù)時，；當(dāng)為偶數(shù)時， 3. 分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的概念：規(guī)定：1） ； 2）； n個3）正數(shù)的正分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的意義是：且0的正分?jǐn)?shù)指數(shù)冪等于0正數(shù)的負(fù)分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的意義是：且0的負(fù)分?jǐn)?shù)指數(shù)冪沒有意義 注意口訣：

11、底數(shù)取倒數(shù)，指數(shù)取相反數(shù)4. 分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)： （注）上述性質(zhì)對r、R均適用。5. 指數(shù)函數(shù)：函數(shù)名稱0101指數(shù)函數(shù)定義函數(shù)且叫做指數(shù)函數(shù)圖象 定義域值域過定點圖象過定點，即當(dāng)時，奇偶性非奇非偶單調(diào)性在上是增函數(shù)在上是減函數(shù)函數(shù)值的變化情況變化對圖象的影響在第一象限內(nèi)，越大圖象越高；在第二象限內(nèi)，越大圖象越低十三、對數(shù)函數(shù)：1. 對數(shù)：定義：如果的b次冪等于N，就是，那么數(shù)稱以為底N的對數(shù)，記作其中稱對數(shù)的底，N稱真數(shù)1）以10為底的對數(shù)稱常用對數(shù)，記作；2）以無理數(shù)為底的對數(shù)稱自然對數(shù)，記作基本性質(zhì)：1）真數(shù)N為正數(shù)（負(fù)數(shù)和零無對數(shù)）；2）對數(shù)恒等式：，3）對數(shù)式與指數(shù)式的互化：運(yùn)算

12、性質(zhì)：如果，那么1）加法：2）減法：3）數(shù)乘：4）換底公式：； 2. 對數(shù)函數(shù)：函數(shù)名稱對數(shù)函數(shù)定義函數(shù)且叫做對數(shù)函數(shù)圖象0101定義域值域過定點圖象過定點，即當(dāng)時，奇偶性非奇非偶單調(diào)性在上是增函數(shù)在上是減函數(shù)函數(shù)值的變化情況變化對圖象的影響在第一象限內(nèi)，越大圖象越靠低；在第四象限內(nèi)，越大圖象越靠高十四、冪函數(shù)：1. 冪函數(shù)的定義一般地，函數(shù)叫做冪函數(shù)，其中為自變量，是常數(shù)2. 冪函數(shù)的圖象3. 冪函數(shù)的性質(zhì)圖象分布：冪函數(shù)圖象分布在第一、二、三象限，第四象限無圖象冪函數(shù)是偶函數(shù)時，圖象分布在第一、二象限(圖象關(guān)于軸對稱)；是奇函數(shù)時，圖象分布在第一、三象限(圖象關(guān)于原點對稱)；是非奇非偶函數(shù)

13、時，圖象只分布在第一象限 過定點：所有的冪函數(shù)在都有定義，并且圖象都通過點 單調(diào)性：如果，則冪函數(shù)的圖象過原點，并且在上為增函數(shù)如果，則冪函數(shù)的圖象在上為減函數(shù)，在第一象限內(nèi)，圖象無限接近軸與軸奇偶性：當(dāng)為奇數(shù)時，冪函數(shù)為奇函數(shù)，當(dāng)為偶數(shù)時，冪函數(shù)為偶函數(shù)當(dāng)（其中互質(zhì)，和），若為奇數(shù)為奇數(shù)時，則是奇函數(shù)，若為奇數(shù)為偶數(shù)時，則是偶函數(shù)，若為偶數(shù)為奇數(shù)時，則是非奇非偶函數(shù)圖象特征：冪函數(shù)，當(dāng)時，若，其圖象在直線下方，若，其圖象在直線上方，當(dāng)時，若，其圖象在直線上方，若，其圖象在直線下方十五、反函數(shù)：1. 定義：一般地，對于函數(shù)，設(shè)它的定義域為D，值域為A。如果對于A中的任意一個值，在D中總有惟一確定的值與它對應(yīng)，使，這樣得到關(guān)于的函數(shù)叫函數(shù)的反函數(shù)。記作。習(xí)慣上，把它改寫為。2. 求