助力中考一線三等角模型中考考試題歸類(lèi)賞析及啟示

1、.助力中考：“一線三等角”模型中考考試題歸類(lèi)賞析及啟示XX：_指導(dǎo)：_日期：_01、模型呈現(xiàn)如圖1和圖2，在ABC和CDE中，點(diǎn)C是直線BD上的點(diǎn)若ACE=ABD=EDF，則ABCCDE特別地，當(dāng)AC=CE時(shí)，ABC CDE上述兩個(gè)圖呈現(xiàn)的是兩種最典型的“一線三等角”模型，即同側(cè)型和異側(cè)型，兩者所求證的結(jié)論均可通過(guò)導(dǎo)角證明該模型最本質(zhì)的特點(diǎn)為: 有3個(gè)等角的頂點(diǎn)在同一條直線上，且這個(gè)角可以是銳角、直角或鈍角而隨著角頂點(diǎn)位置的適當(dāng)改變或角繞頂點(diǎn)旋轉(zhuǎn)一定角度，常會(huì)產(chǎn)生許多和諧美觀的圖形，且結(jié)論仍然成立正因如此，近年來(lái)各地命題專家們命制了許多可用“一線三等角”模型求解的中考試題，這些試題大都突出對(duì)學(xué)

2、生能力與思維的考查，重視數(shù)學(xué)經(jīng)驗(yàn)與思想方法的獲得，常常具有較高的區(qū)分度02、試題賞析類(lèi)型1：三角齊見(jiàn)，模型自現(xiàn)例1：如圖3，將一X矩形紙片ABCD的邊BC斜著向AD邊對(duì)折，使 點(diǎn)B落在AD上，記為B，折痕為CE;再將CD邊斜向下對(duì)折，使點(diǎn) D落在BC上，記為D，折痕為CG，若BD=2，BE=1/3BC，則矩形紙片ABCD的面積為_(kāi)圖3分析：因?yàn)锳=EBC=D=90°，且點(diǎn)A，B，D在同一直線上，由“一線三等角”模型，得AEBDBC，則類(lèi)型1：三角齊見(jiàn)，模型自現(xiàn)例2：將形狀、大小完全相同的兩個(gè)等腰三角形如圖4所示放置，點(diǎn)D在AB邊上，DEF繞點(diǎn)D旋轉(zhuǎn)，腰DF和底邊DE分別交CAB 的兩

3、腰CA，CB于點(diǎn)M，N若CA=5，AB=6，ADAB=13，則MD+12/MA·DN的最小值為_(kāi)圖4分析：由于A=MDN=B，且點(diǎn)A，D，B在同一直線上，因此根據(jù)“一線三等角”模型可得MADDBN，則評(píng)注以上兩例都是典型的“一線三等角”試題，由于模型的框架已搭建，因此降低了試題的起點(diǎn)兩道題雖涉及不同的圖形變換，但解法本質(zhì)一致，均為利用模型構(gòu)建比例式解決問(wèn)題兩道題都著重考查學(xué)生在圖形變換過(guò)程中的觀察理解、直觀感知、推理轉(zhuǎn)化等數(shù)學(xué)能力和思想類(lèi)型2：隱藏局部，小修小補(bǔ)例3：如圖5，在正方形ABCD中，M為BC上一點(diǎn)，MEAM，ME 交AD延長(zhǎng)線于點(diǎn)E若AB=12，BM=5，則DE長(zhǎng)為_(kāi)圖5

4、分析：如圖6，由于B=AME=90°，因此延長(zhǎng)BC，過(guò)點(diǎn)E作BC 延長(zhǎng)線的垂線，兩者交于點(diǎn)N根據(jù)“一線三等角”模型，可得ABMMNE，則 而AB=EN=12，BM=5，則MN=144/5，故DE=MNMC=MN(BC-BM)=109/5圖6類(lèi)型2：隱藏局部，小修小補(bǔ)例4：如圖7，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，直線y=x+m分別交x軸、y軸于點(diǎn)A，B，已知點(diǎn)C(2，0)1)當(dāng)直線AB經(jīng)過(guò)點(diǎn)C時(shí)，點(diǎn)O到直線AB的距離是; 2)設(shè)點(diǎn)P為線段OB的中點(diǎn)，聯(lián)結(jié)PA，PC，若CPA=ABO，則m的值是_ 圖7分析：1)2; 2)如圖8，因?yàn)锳BO=APC=45°，在y軸的負(fù)半軸上找一點(diǎn)D，

5、使得CDO=45°，則ABP與PDC構(gòu)成“一線三等角”模型，所以ABPPDC，從而AB/PD=BP/DC,易知m0，AB=2m，BP=m/2，PD=m/2+2，CD=22，于是解得m=12.圖8評(píng)注上述兩道題雖分別以四邊形和一次函數(shù)為命題背景，但圖形的共性較明顯:均將原有“一線三等角”模型中的一角進(jìn)行了隱藏，而這就要求學(xué)生理性地從圖形的角度進(jìn)行思考與聯(lián)想，發(fā)現(xiàn)其中最本質(zhì)的特征，挖掘蘊(yùn)含在圖中的幾何模型兩道題均較好地體現(xiàn)了對(duì)“四基”的綜合考查，提升了學(xué)生思維的層次性和靈活性類(lèi)型3：一角獨(dú)處，兩側(cè)添補(bǔ)例5：如圖9，一塊30°，60°，90°的直角三角板，直角

6、頂點(diǎn)O位于坐標(biāo)原點(diǎn)，斜邊AB垂直于x軸，頂點(diǎn)A在函數(shù)y1=k1/x(其l例6：如圖11，在四邊形ABCD中，ADBC，BCD=90°，AB=BC+AD，DAC=45°，E為CD上一點(diǎn)，且BAE=45°若CD=4，則ABE的面積為_(kāi)圖11分析：如圖12，由于BAE=45°，因此過(guò)點(diǎn)A作AD的垂線，在該垂線上分別找點(diǎn)M，N(其中點(diǎn)N在點(diǎn)A下方)，使得BMA=ENA=45°過(guò)點(diǎn)E作MN的垂線，垂足為點(diǎn)F，延長(zhǎng)CB交MN于點(diǎn)G圖12易知四邊形ADCG為正方形，則AG=CG=CD=4；而AB=BC+AD，不難推知AB=5，BG=3，BC=1由于BAE=M

7、=N=45°，根據(jù)“一線三等角”模型可得ABMEAN，則評(píng)注上述兩道題雖呈現(xiàn)的背景不同，但都蘊(yùn)知識(shí)技能、思想方法、數(shù)學(xué)模型于圖形之中題中的“特殊角”是解題的關(guān)鍵，也是搭建模型框架的基礎(chǔ)，更是學(xué)生解題思路的與“腳手架”兩道題實(shí)質(zhì)上是考查學(xué)生利用模型進(jìn)行數(shù)學(xué)思考的能力，同時(shí)也有效地檢測(cè)了學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)本質(zhì)屬性的把握情況類(lèi)型4：線角齊藏，經(jīng)驗(yàn)來(lái)幫例7：如圖13，已知點(diǎn)A(2，3)和點(diǎn)B(0，2)，點(diǎn)A在反比例函數(shù)y=k/x的圖像上作射線AB，再將射線AB繞點(diǎn)A按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)45°，交反比例函數(shù)圖像于點(diǎn)C，則點(diǎn)C的坐標(biāo)為_(kāi)圖13分析：如圖14，過(guò)點(diǎn)C作AC的垂線，交射線AB于點(diǎn)D，過(guò)

8、點(diǎn)C作x軸的平行線，在該平行線上分別找點(diǎn)E，F(xiàn)，使得DEC=AFC= 90°圖14由“一線三等角”模型及DAC=45°，得DECCFA又點(diǎn)A，B坐標(biāo)分別為(2，3)，(0，2)，從而k=6，于是類(lèi)型4：線角齊藏，經(jīng)驗(yàn)來(lái)幫例8：如圖15，有一個(gè)邊長(zhǎng)不定的正方形ABCD，它的兩個(gè)相對(duì)的頂點(diǎn)A，C分別在邊長(zhǎng)為1的正六邊形一組平行的對(duì)邊上，另外兩個(gè)頂點(diǎn)B，D在正六邊形內(nèi)部(包括邊界)，則正方形邊長(zhǎng)a取值X圍是_圖15分析：由于點(diǎn)A，C分別在正六邊形一組平行的對(duì)邊上，從而 ACmin=3，于是正方形ABCD的邊長(zhǎng)amin=6/2根據(jù)正方形和正六邊形的中心對(duì)稱性，要使正方形邊長(zhǎng)a最長(zhǎng)，

9、則正方形的對(duì)稱中心和正六邊形的對(duì)稱中心O互相重合圖16如圖16，聯(lián)結(jié)OA，OB，過(guò)點(diǎn)A，B作GH的垂線，垂足分別為點(diǎn)E，F(xiàn)，直線BF分別交GP，GQ于點(diǎn)M，N易知BFO=AOB=AEO=90°，根據(jù)“一線三等角”模型及OA=OB，可得AOEOBF，從而AE=OF=3/2，說(shuō)明點(diǎn)B在定直線MN上運(yùn)動(dòng)，當(dāng)點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)M或N時(shí)，正方形ABCD的邊長(zhǎng)a最長(zhǎng)圖17如圖17，當(dāng)點(diǎn)B與點(diǎn)M重合時(shí)，由GF=13/2，知評(píng)注上述兩道題實(shí)質(zhì)上都以圖形的旋轉(zhuǎn)為問(wèn)題的切入點(diǎn)，能較好地激發(fā)學(xué)生探索的意愿，促使學(xué)生在模擬圖形運(yùn)動(dòng)的同時(shí)，自發(fā)地利用題中所蘊(yùn)含的特殊角，展開(kāi)適當(dāng)?shù)穆?lián)想，尋找圖形間的聯(lián)系，利用數(shù)學(xué)解題

10、經(jīng)驗(yàn)，搭建模型框架兩道題都意在尋求突破，體現(xiàn)分層考查，有著較好的考試信度與效度通過(guò)上述的例3例8，不難發(fā)現(xiàn):對(duì)于有些中考試題，“一線三等角”并非直觀、完整地呈現(xiàn)，而是在原圖中隱藏了局部或全部結(jié)構(gòu)，因此思維層次隨之提升若我們能充分利用題中所給的已知角或挖掘圖中隱藏的特殊角，通過(guò)“找角，定線，搭框架”，讓模型“現(xiàn)出原形”，則解題思路便會(huì)油然而生，豁然開(kāi)朗03、教學(xué)啟示在近幾年的各地中考試卷中，逐漸涌現(xiàn)出由同一類(lèi)基本模型延伸而來(lái)的試題，這些試題雖呈現(xiàn)的背景不盡相同，但解決問(wèn)題的方法和思想相通，這就要求教師在平時(shí)的解題教學(xué)中，充分挖掘習(xí)題的內(nèi)在價(jià)值，鼓勵(lì)學(xué)生對(duì)問(wèn)題進(jìn)行深入研究，引導(dǎo)并總結(jié)出一般化的方法，同時(shí)要讓學(xué)生嘗試?yán)迷诮忸}過(guò)程中所積累的經(jīng)驗(yàn)，對(duì)試題中所蘊(yùn)藏的基本模型進(jìn)行挖掘與提煉只有讓學(xué)生學(xué)會(huì)自主地反思、推進(jìn)、提煉，才能做到“掌握模型，舉一反三，通一類(lèi)題”，同時(shí)通過(guò)對(duì)一些基本模型