2009年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)文（湖南卷含答案）

1、2009年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)文（湖南卷，含答案）一、選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.的值為 【 D 】A- B. C. D. 2. 拋物線=-8x的焦點(diǎn)坐標(biāo)是 【 B 】A（2，0） B. （- 2，0） C. （4，0） D. （- 4，0）3設(shè)是等差數(shù)列的前n項(xiàng)和，已知=3，=11，則等于 【 C 】A13 B. 35 C. 49 D. 634如圖1 D，E，F(xiàn)分別是ABC的邊AB，BC，CA的中點(diǎn)，則 【 A 】A+ + =0B=0C=0D=0 圖15某地政府召集5家企業(yè)的負(fù)責(zé)人開(kāi)會(huì)，其中甲企業(yè)有2人到會(huì)

2、，其余4家企業(yè)各有1人到會(huì)，會(huì)上有3人發(fā)言，則這3人來(lái)自3家不同企業(yè)的可能情況的種數(shù)為【 B 】A14 B. 16 C. 20 D. 486平面六面體- 中，既與共面也與共面的棱的條數(shù)為【 C 】A3 B. 4 C.5 D. 67若函數(shù)y=f(x)導(dǎo)函數(shù)在區(qū)間a,b是增函數(shù)，則函數(shù)y=f(x)在區(qū)間a,b上的圖象可能是（A） 8. 設(shè)函數(shù)在內(nèi)有定義，對(duì)于給定的正數(shù)K，定義函數(shù)取函數(shù)。當(dāng)=時(shí)，函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為 【C】A B C D 二 填空題：本大題共七小題，沒(méi)小題5分，共35分，把答案填在答題卡中對(duì)應(yīng)題號(hào)后的橫線上。 9 . 某班共30人，其中15人喜愛(ài)籃球運(yùn)動(dòng)，10人喜愛(ài)乒乓球運(yùn)動(dòng)，8人

3、對(duì)這兩項(xiàng)運(yùn)都不喜愛(ài)，則喜愛(ài)籃球運(yùn)動(dòng)但不喜愛(ài)乒乓球運(yùn)動(dòng)的人數(shù)為 12 . 10. 若，則的最小值為. 11. 在的展開(kāi)式中，的系數(shù)為 6 (用數(shù)字作答)。 12 . 一個(gè)總體分為A.B兩層，用分層抽樣方法從總體中抽取一個(gè)容量為10的樣本。已知B層中每個(gè)個(gè)體被抽到的概率都為，則總體中的個(gè)體數(shù)為 120 13. 過(guò)雙曲線C：的一個(gè)焦點(diǎn)作圓的兩條切線， 切點(diǎn)分別為A.B，若（O是坐標(biāo)原點(diǎn)），則雙曲線線C的離心率為 2 。 14. 在銳角中，則的值等于 2 ，的取值范圍 為 。15. 如圖2，兩塊斜邊長(zhǎng)相等的直角三角板在一起，若，則 , . 圖2三 解答題：每小題共6小題，共75分，解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明.

4、證明過(guò)程或演算步驟。16 （每小題滿分12分） 以知向量。（）若/，求的值；（）若求的值。解（） 因?yàn)椋?，于?，故 tan=（）由 =知，+（cos -2sin=5，所以1-2sin2+4=5.從而-2sin2+2（1-cos2=4，即sin2+cos2 = -1，于是Sin（2+）= - 又由0<<知， <2+<，所以2 +=，或2-=因此 =，或=17.（本小題滿分12分）為拉動(dòng)經(jīng)濟(jì)增長(zhǎng)，某市決定新建一批重點(diǎn)工程，分別為基礎(chǔ)設(shè)施工程、民生工程和產(chǎn)業(yè)建設(shè)工程三類(lèi)，這三類(lèi)工程所含項(xiàng)目的個(gè)數(shù)分別占總數(shù)的.、，現(xiàn)在3名工人獨(dú)立地從中任意一個(gè)項(xiàng)目參與建設(shè)要求：（I）他們

5、選擇的項(xiàng)目所屬類(lèi)別互不相同的概率；（II）至少有1人選擇的項(xiàng)目屬于民生工程的概率。解:記第1名工人選擇的項(xiàng)目屬于基礎(chǔ)設(shè)施工程、民生工程和產(chǎn)業(yè)建設(shè)工程分別為事件 ,，i=1，2，3.由題意知相互獨(dú)立，相互獨(dú)立，相互獨(dú)立，,（i，j，k=1，2，3，且i，j，k互不相同）相互獨(dú)立，且P（）=，p（）=，p（）=（1）他們選擇的項(xiàng)目所屬類(lèi)別互不相同的概率P=3！p（）=6p（）p（）p（） =6x xx =（1I）至少有1人選擇的項(xiàng)目屬于民生工程的概率 P=1-p（）=1-p（）p（）p（） =1-（1-=18.（本小題滿分12分） 如圖3，在正三棱柱ABC-中，AB=4, A=,點(diǎn)D是BC的中點(diǎn)，

6、點(diǎn)E在AC上，且DEE（）證明：平面平面;（）求直線AD和平面所成角的正弦值。解 （）如圖所示，由正三棱柱ABC-的性質(zhì)知平面又DE平面ABC，所以DEA.而DEA，,所以DE平面又DE 平面，故平面平面 （）解法 1過(guò)點(diǎn)A作AF垂直于點(diǎn)連接DF.由（）知，平面平面，所以AF平面,故直線AD和平面所成的角。因?yàn)镈E所以DEAC而ABC是邊長(zhǎng)為4的正三角形，于是AD=2 AE=4-CE=4- =3又因?yàn)? 所以E= = 4 , 即直線AD和平面所成的角的正弦值為解法2 如圖所示，設(shè)O是AC的中點(diǎn)，以O(shè)為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，則相關(guān)各點(diǎn)的坐標(biāo)分別是A(2,0,0,), .(2,0, ), D(-

7、1, ), E(-1,0.0)易知=（-3，-），=（0，-，0），=（-3，0）設(shè)n=（x，y，z）是平面DE的一個(gè)法向量，則解得故可取n=（,0,-3，）于是=由此即知，直線AD和平面DE所成的角是正弦為19（本小題滿分13分）已知函數(shù)=+的導(dǎo)函數(shù)中圖象關(guān)于直線x=2對(duì)稱。（1） 求b的值；（2） 若在x=1處取得最小值，記此極小值為g(1)，求g(1)的定義域和值域。解（1）=3+2bx+c；因?yàn)楹瘮?shù)（x）的圖象關(guān)于直線x=2對(duì)稱，所以=2，于是（）由（）知，=-6+cx；（x）=3-12x+c=3+c-12.（）當(dāng)c 12時(shí)，（x）0，此時(shí)無(wú)極值。（ii）當(dāng)c12時(shí)，（x）=0有兩個(gè)互

8、異實(shí)根·，不妨設(shè)，則2當(dāng)x時(shí)，（）>0， 在區(qū)間（，）內(nèi)為增函數(shù)；當(dāng)x時(shí)，（）0，在區(qū)間（，）內(nèi)為減肥函數(shù)當(dāng)時(shí)，（）>0，在區(qū)間（+，）內(nèi)為增函數(shù)所以在 =處取極大值，在=處取極小值因此，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，函數(shù)在處存在唯一極小值，所以于是的定義域?yàn)橛?得 于是當(dāng)時(shí)，所以函數(shù)在區(qū)間內(nèi)是減函數(shù)，故的值域?yàn)?0 （本小題滿分13分） 已知橢圓C的中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在軸上，以兩個(gè)焦點(diǎn)和短軸的兩個(gè)端點(diǎn)為頂點(diǎn)的圓邊形是一個(gè)面積為8的正方形（記為Q）（1） 求橢圓C的方程：（2） 設(shè)點(diǎn)P是橢圓C的左準(zhǔn)線與軸的交點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P的直線L與橢圓C相交于M.N兩點(diǎn)，當(dāng)線段MN的中點(diǎn)落在正方形Q內(nèi)（包括邊界

9、）時(shí)，求直線L的斜率的取值范圍。解 （1） 依題意，設(shè)橢圓C的方程為焦距為，由題設(shè)條件知， 所以 故橢圓C的方程式為（3） 橢圓C的左準(zhǔn)線方程為所以點(diǎn)P的坐標(biāo)，顯然直線的斜率存在，所以直線的方程為。 如圖，設(shè)點(diǎn)M，N的左邊分別為線段MN的中點(diǎn)G， 由得 由解得 因?yàn)槭欠匠痰膬筛?，所以，于?=，因?yàn)?，所以點(diǎn)G不可能在軸的右邊，有直線,方程分別為所以點(diǎn)在正方形內(nèi)（包括邊界）的充要條件為既 亦即解得，此時(shí)也成立故直線斜率的取值范圍是,)21.（本小題滿分13分）對(duì)于數(shù)列若存在常數(shù)M0,對(duì)任意的，恒有 則稱數(shù)列為數(shù)列(I) 首項(xiàng)為1，公比為的等比數(shù)列是否為B-數(shù)列？請(qǐng)說(shuō)明理由;(II) 設(shè)S是數(shù)列的前n項(xiàng)和。給出下列兩組判斷：A組：數(shù)列是B-數(shù)列。 數(shù)列不是B-數(shù)列。數(shù)列是B-數(shù)列。 數(shù)列不是B-數(shù)列請(qǐng)以其中一組的一個(gè)論斷條件，另一組中的一個(gè)論斷為結(jié)論組成一個(gè)命題判斷所給命題的真假，并證明你的結(jié)論；()若數(shù)列a是B數(shù)列，證明：數(shù)列a也是B數(shù)列。,則，于是- +-+-=3×<3所以首項(xiàng)為1，公比為的等比數(shù)列是B-數(shù)列（）命題1：若數(shù)列是B-數(shù)列，則數(shù)列是B-數(shù)列此命題為假命題事實(shí)上設(shè)=1，nN，易知數(shù)列是B-數(shù)列，但=n，- +-+-=n由n有的任意