激光諧振腔模場分布的平面波展開法計(jì)算_圖文

1、第8卷第12期南陽師范學(xué)院學(xué)報(bào)V o.l 8No 1122009年12月Jour nal ofN anyang Nor m a lUn i v ersity Dec .2009 收稿日期:2009-07-09基金項(xiàng)目:河南科技大學(xué)科研基金項(xiàng)目(13490030作者簡介:呂珍龍(1980-,河南南陽人,講師,碩士,主要從事激光諧振腔理論方面的研究.激光諧振腔模場分布的平面波展開法計(jì)算呂珍龍1,鄭長波2(1.河南科技大學(xué)物理與工程學(xué)院,河南洛陽471003;2.南陽師范學(xué)院物理與電子工程學(xué)院,河南南陽473061摘 要:從光波復(fù)振幅傳播的平面波展開法及激光模的自洽形成過程出發(fā),采用離散快速傅立葉變

2、換法,求得了平面平行腔和直角棱鏡腔的模式分布,表明直角棱鏡腔由于對光有反轉(zhuǎn)作用,致使其模式分布與平面平行腔有很大差別.關(guān)鍵詞:激光諧振腔;激光模式;平面平行腔;平面波展開法中圖分類號:TN 248 文獻(xiàn)標(biāo)識碼:A 文章編號:1671-6132(200912-0028-03光學(xué)諧振腔是激光技術(shù)中最重要的器件,在測量技術(shù)、光譜學(xué)、通訊和激光物理等領(lǐng)域獲得了廣泛應(yīng)用1,激光輻射的性質(zhì)主要受諧振腔的影響,因此,人們用不同方法對光學(xué)諧振腔的特性進(jìn)行了大量的研究,最早的是FOX -LI 提出的衍射方程迭代法2-3,但該方法僅適用于菲涅耳數(shù)小的諧振腔,對菲涅耳數(shù)大的腔,可采用矩陣分析法4-5,但這些或者耗費(fèi)

3、時(shí)間或者理論推導(dǎo)繁瑣,而使用平面波展開法再借助快速傅立葉算法則可大為減少計(jì)算時(shí)間.本文先介紹平面波展開法思想和激光模式形成過程,在此基礎(chǔ)上采用快速傅立葉算法計(jì)算模擬平面平行(F-P腔的模分布,并和傳統(tǒng)的FOX -LI 迭代法的計(jì)算結(jié)果進(jìn)行比較,同時(shí)計(jì)算比較了直角棱鏡腔的激光模分布.1 理論基礎(chǔ)1.1光波傳播的平面波展開法圖1 平面平行腔示意圖如圖1所示,設(shè)平面鏡M 2上任一點(diǎn)的光波復(fù)振幅的形式為u (x ,y ,z ,由傅立葉變換理論,可以將鏡面所在的X Y 平面的光波振幅用無窮多個(gè)平面波展開:u (x,y,0=Q Qp (M x,M y,0exp (i 2PM xx +i 2PM y y d

4、 M x d M y .(1p (M x ,M y ,0為各個(gè)平面波的權(quán)重,通常稱為平面上的復(fù)振幅分布u (x,y 的空間頻率,其中M x ,M y 為平面波空間頻率M 的分量.為方便討論,這里取平面鏡M 2處的z =0.易知,每個(gè)空間頻率為(M x ,M y 的指數(shù)函數(shù)exp i 2P (M x x +M y y 代表傳播方向余弦為cos A =K M x 和cos B =K M y 的平面波,由u (x,y,0的傅立葉變換得到空間頻率分布p (M x ,M y ,0的形式為:p (M x ,M y ,0=Q Qu (x,y,0exp (-i 2PM x x -i 2PM y y dx d

5、y.(2光波從z =0的鏡面向前傳播距離z 后,復(fù)振幅的空間頻譜由p (M x ,M y ,0變?yōu)閜 (M x ,M y ,z ,此時(shí)的復(fù)振幅分布u (x,y,z 與空間頻譜p (M x ,M y ,z 的關(guān)系可以用傅立葉變換聯(lián)系起來:u (x,y ,z =Q Qp (M x,M y,z exp (i 2PM xx +i 2PM y y d M x d M y ,(3p (M x ,M y ,z =Q Qu (x ,y ,z exp (-i2PM x x -i2PM y y dx d y.(4因在所有的無源點(diǎn)上光波復(fù)振幅都必須滿足亥姆霍茲方程:(ý2+k 2u =0.(5將(3(4式

6、代入(5式,交換微分與積分的次序得:第12期呂珍龍等:激光諧振腔模場分布的平面波展開法計(jì)算Q Q d2d z2p(M x,M y,z+k21-(K M x2-(K M y2#A(M x,M y,z#exp-i2P(M x x+M y yd M x d M y=0.(6因?yàn)樵诩す庵C振腔中只需考慮前行波,則由z=0處的頻譜p(M x,M y,0,可得:p(M x,M y,z=p(M x,M y,0#H(M x,M y,z,(7式中H(M x,M y,z=expi k z1-(K M x2-(K M y2,M2x+M2y<1 K2,0,其他.(8最終可得出光波復(fù)振幅的傳播公式:u(x,y,z=

7、Q Q p(M x,M y,0H(M x,M y,z#exp(i2PM x x+i2PM y yd M x d M y.(9這里k=2P/K,K為光波波長,H(M x,M y,z又稱為系統(tǒng)光學(xué)傳遞函數(shù).1.2激光光場的自洽形成激光器中,當(dāng)光波在諧振腔內(nèi)反射鏡間往返傳播時(shí),由于反射鏡的反射損失和衍射損失的存在,雖然它的復(fù)振幅將衰減,但由于穩(wěn)定振蕩時(shí)各點(diǎn)減弱比例相同,其相應(yīng)的位相及空間分布形狀不再變化,這種穩(wěn)定存在的光波場分布稱為諧振腔的模,它包含了光強(qiáng)和相位信息.本文中首先假設(shè)在平面鏡M2上存在著一個(gè)初始的場分布u2(x2,y2,0,用(3式將其展開,后代入(9式得到z=L平面,即鏡M1上的光波

8、復(fù)振幅u1(x1,y1,L,即完成了第一次渡越,再將u1用(3式的方法展開成該面上的頻譜表示,再代入(9式又一次得到鏡M2上的光波復(fù)振幅u2c(x2,y2,0,完成了第二次渡越,即完成了一次往返傳播,這樣經(jīng)過足夠多次的往返傳播后,即可計(jì)算出鏡面穩(wěn)態(tài)光波模場分布.用(9式同樣可以求出激光傳播到遠(yuǎn)處的光強(qiáng).在具體計(jì)算時(shí)可借助于離散的快速傅立葉變換算法6.2計(jì)算結(jié)果及分析計(jì)算中采用的具體參數(shù)如下:a=1.0c m,L= 100c m且諧振腔截面為矩形.2.1平面平行腔的計(jì)算結(jié)果圖2圖4為計(jì)算所得結(jié)果.由圖可以大致看出,振幅的最大值分布在腔鏡的中央附近,最大值周圍有小的起伏波動,邊緣部分的振幅很小,這

9、顯然是由于鏡子尺寸有限而發(fā)生多次衍射的結(jié)果,相當(dāng)于平面波光波通過很多個(gè)光孔后形成的穩(wěn)態(tài)分布光場分布 ,其中截面X=0或Y=0平面的光強(qiáng)分布與文獻(xiàn)7中用FOX-LI數(shù)值迭代法算得的二維分布符合得很好.相位分布比較平坦,接近于平面波,只是在邊緣部分相位發(fā)生劇烈變化,這是因?yàn)樵谘苌渥饔孟?波陣面發(fā)生了畸變,部分光偏離了原來的傳播方向而產(chǎn)生的 .由計(jì)算可知雖然輸出鏡上各處光強(qiáng)不同,但由于輸出鏡上相位變化不大,所以其相干性較好,傳播到遠(yuǎn)場時(shí)的光強(qiáng)分布很尖銳,使得能量集中在一個(gè)很小的范圍內(nèi)而形成很高的光場強(qiáng)度.2.2直角棱鏡腔的計(jì)算結(jié)果我們應(yīng)用同樣的方法和參數(shù)計(jì)算了圖5所示的直角棱鏡腔,P表示直角棱鏡,S

10、表示激光棒,M 表示平面鏡,其上半部分全反射,下半部分為半反射鏡8.所得結(jié)果如圖6圖8所示.圖5直角棱鏡腔模型#29#南陽師范學(xué)院學(xué)報(bào) 第8卷 由計(jì)算結(jié)果可以看出,因?yàn)橹苯抢忡R對光線有上下翻轉(zhuǎn)作用,使光振幅分布由u (x,y u (-x,y ,并且棱鏡的棱對光線沒有反射作用,所以它的激光模式與平面平行腔截然不同.輸出鏡上出現(xiàn)兩個(gè)對稱分布的光強(qiáng)和相位,但每一個(gè)的分布形狀接近于矩形平行平面鏡腔,遠(yuǎn)場出現(xiàn)三個(gè)峰.分析可知,兩邊的兩個(gè)峰是由輸出鏡上對應(yīng)的兩個(gè)近場光波傳播到遠(yuǎn)處形成的,中間的主峰則是由兩個(gè)近場光波相互干涉?zhèn)鞑ザ?由此推測,若要使遠(yuǎn)場光強(qiáng)分布更集中,棱鏡的棱必須做得很尖銳. 3 結(jié)論由光

11、波復(fù)振幅傳播的平面波展開法及激光模的圖8 遠(yuǎn)場光強(qiáng)分布自洽形成過程,采用離散快速傅立葉變換法,求得了平面平行腔和直角棱鏡腔的模式分布,表明該方法適用于激光諧振腔的模場計(jì)算,由計(jì)算結(jié)果知直角棱鏡腔由于棱鏡的特殊構(gòu)型,其模式分布與平面平行腔有很大差別.參 考 文 獻(xiàn)1 梅遂生.高功率激光器及其應(yīng)用的新進(jìn)展J.電子科技導(dǎo)報(bào),1998(3:24-28.2 F ox A G and L i T Y.R esonator m odes i n an optical m asterJ.Be l.l Sys .T ech .J .,1961,10:153-158.3 R enaud de Saint D en

12、is ,N ico las P assill y ,K am elAm eu r .Laser beam br i ghtness of apert ured optica l re -sonatorsJ.O ptics Communica ti ons ,2006,264:193-202.4 Chester A N.T hree -d i m ensi ona l diffracion cacu lati onsof laser resona t o r modesJ.A ppli ed O pti cs ,1973,12(10:2353-2366.5 Chao Ji ang ,L i Bo

13、 ,Cheng Y uany i ng.S i m u l a ti on of op -tical fie l d i n laser resonators cav ity by e i genvector me t hod J.Optics&Laser T echno l ogy ,2007,39:490-499.6 杜燕貽.無源虛共焦非穩(wěn)腔光束特性模擬J.強(qiáng)激光與粒子束,2000,12(2:164-168.7 呂百達(dá).激光光學(xué)M .成都:四川大學(xué)出版社,1992:207.8 呂百達(dá).高功率固體激光諧振腔研究的進(jìn)展J.激光與紅外,1997,21(1:7-10.Laser m ode

14、s calculation w ith plan wave expansion m ethodL B Zhen-l o ng 1,Z H ENG Chang -bo2(1.S chool of Phy sics and E ng ineering,H enan University o f Science and Technolo gy ,Luoyang 471003,China;2.School of Phy sics and E lectronic Engineeri n g,Nanyang N or m al Universit y ,N anyang 473061,ChinaAbst ract :Based on w ave expansion m ethod and self consistent field theory ofm odes buil d i n g process in laser re -sonator ,using fastFourier transfor m m et h od ,m odes distri b u ti o n o fF -P resonator a