曲線與方程圓的方程

1、曲線與方程'圓的方程1 .曲線C的方程為:f(x,y)=0曲線c上任意一點(diǎn)P (Xo.yo)W坐標(biāo)滿足方程f(x,y)=O，即f(xo,yo)=0 ；且以f(x,y) =0的任意一組解(x°,y。)為坐標(biāo)的點(diǎn)P (x°,y。)在曲線C上。依據(jù)該定義：已知 點(diǎn)在曲線上即知點(diǎn)的坐標(biāo)滿足曲線方程；求證點(diǎn)在曲線上也只需證點(diǎn)的坐標(biāo)滿足曲線方程。求動(dòng)點(diǎn)P(x,y)的軌跡方程即求點(diǎn)P的坐標(biāo)(x,y)滿足的方程(等式)。求動(dòng)點(diǎn)軌跡方程的步驟：建系，寫(設(shè))出相尖點(diǎn)的坐標(biāo)、線的方程，動(dòng)點(diǎn)坐標(biāo)一般設(shè)為(x,y)，分析動(dòng)點(diǎn)滿足的條件，并用等式描述這些條件， 化簡(jiǎn)，驗(yàn)證：滿足條件的點(diǎn)的坐標(biāo)

2、都 是方程的解，且以方程的解為坐標(biāo)的點(diǎn)都滿足條件。舉例1方程(x y 1).x2y2 4 0所表示的曲線是：()ABCD解析：原方程等價(jià)于:x y 102222'，或 xy4 ;x v 4其中當(dāng)xy1。需；x2 y24有意義，等式才成立，即x2 y2 4，此時(shí)它表示直0上不在圓x2y? 4內(nèi)的部分，這是極易出錯(cuò)的一個(gè)環(huán)節(jié)。選舉例2已知點(diǎn)A(1 , 0), B(2, 0),動(dòng)點(diǎn)M滿足2/ MAB2 MBA求點(diǎn)M的軌跡方程。解析：如何體現(xiàn)動(dòng)點(diǎn)M滿足的條件2/ MABM MBA是解決本題的矢鍵。用動(dòng)點(diǎn)M的坐標(biāo)體現(xiàn)2 / MABM MBA的 最佳載體是直線MA MB的斜率。設(shè)M(x, y),

3、/ MAB=，則/ MBA=2，它們是直線MA MB的傾角還是傾角的補(bǔ)角，與點(diǎn) M在x軸的上方還是下方有尖；以下討論：若點(diǎn)M在x軸的上方，(0°,90°), y 0 ,此時(shí)'直線MA的傾角為，MB的傾角為-2 ,A OB2 ?ytan(2yTP得：1 J MA MB,當(dāng)點(diǎn)M在線段AB上時(shí)，也滿足2/ MAB2 MBA此時(shí)y=0(-1綜上所求點(diǎn)的軌跡方程為乙X231(x1)或 y 0( 1 x鞏固1右圖的曲線是以原點(diǎn)為圓1為半徑的圓的一部分,心，則它的方程是(X=0(x 廠 y2).1 X2)=0c. (x廠行)1 X2 )=0(X .1 y2)1 X2)=0VxV

4、2)2).鞏固2已知點(diǎn)R(-3,fy0),點(diǎn)P在y軸上，點(diǎn)Q在x軸的正半軸上，點(diǎn)M在直線PQ上,當(dāng)290。時(shí)，=45 ,° MAB為等腰直角三角形，此時(shí)點(diǎn)M的坐標(biāo)為(2,3)，它滿足上述方程.2當(dāng)點(diǎn)2M右:X鈾的下肯時(shí).v VO同理BUS占 M的釧諭肯超為X1(x1)且滿足RPPM =0 , 2 PM +3MQ =0，當(dāng)點(diǎn)P移動(dòng)時(shí)，求M點(diǎn)的軌跡方程。遷移正方ABCD-A1B1C1D1的棱長(zhǎng)為1,點(diǎn)M是棱AB的中點(diǎn)，點(diǎn)P是平面ABCD上的 體一動(dòng)點(diǎn)，P到直線A1D1的距離兩倍的平方比到點(diǎn)M的距離的平方大4,則點(diǎn)P的軌跡A圓 且點(diǎn)為：B 橢圓C雙曲線D 拋物線2.圓的標(biāo)準(zhǔn)方程刻畫了圓的位

5、置特點(diǎn)(圓心與半徑)，圓的一般方程反映了圓的代數(shù)特點(diǎn)(元二次方程 Ax2+By 2+Cxy+Dx+Ey+F=0A=B 工 0 , C=0但 D2+E2-4AF>0 )。判斷點(diǎn) P(Xo,yo)與O M : (x-a)2+(y-b) 2= r2的位置矢系，用|PM|與r的大小，即:|PM|> r (Xo-a)2+(yo-b)2> r2 P 在 O M 夕卜；|PM|< r (xo- a)2+(yo- b)2< 產(chǎn) P 在 O M 內(nèi)；|PM|=r (Xo- a)2+(yo-b)2= r2 P在OM上。過兩個(gè)定點(diǎn) A、B的圓，圓心在線段AB的中垂線上。2,則圓舉例1

6、一圓經(jīng)過A(4, 2), B(-1 , 3)兩點(diǎn)，且在兩坐標(biāo)軸上的四個(gè)截距之和為的方程為。解析：研究圓在坐標(biāo)軸上的截距，宜用一般方程(因?yàn)榕c圓心、半徑?jīng)]有直接聯(lián)系)，設(shè)圓22的方程為 x+y+Dx+Ey+F=O,T 圓過點(diǎn) A B,. 4D+2E+F+20=0 ，D+3E+F+10=0，圓在x軸上的截距即圓與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，當(dāng)y=0時(shí)，x2+Dx+F=0, x計(jì)X2=-D圓在y軸上的截距即圓與y軸交點(diǎn)的縱坐標(biāo)，當(dāng)x=0時(shí)，y2+Ey+F=0, yi+y2=-E由題意知：-D-E=2，解得D=2, E=0, F=-12o舉例2若存在實(shí)數(shù)k使得直線I : kx-y-k+2=0與圓c：x2+2ax

7、+產(chǎn)a+2=0無公共點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是：。解析：本題看似直線遠(yuǎn)的位置矢系問題，其實(shí)不然。注意到直線I對(duì)任意的實(shí)數(shù)k恒過定點(diǎn)M ( 1,2)，要存在實(shí)數(shù)k使得直線丨與O C相離，當(dāng)且僅當(dāng)M點(diǎn)在圓外；方程x J2ax+產(chǎn)a+2=0變形為:(x+a) 2+y2= a2+a- 2, M 點(diǎn)在 O C 夕卜 (1+a) 2+4>a2+a-2>0,解得:-7<a<-2 或 a>1.注：本題中a2+a- 2>0是極易疏漏的一個(gè)潛在要求。鞏固1過點(diǎn)A (3,2 ) , B (2, 1)且圓心在直線x-2y-3=0 ±的圓的方程是。鞏固2已知定點(diǎn)M (xc,y

8、o)在第一象限，過M點(diǎn)的兩圓與坐標(biāo)軸相切，它們的半徑分別為n,貝 Hr ir 2= °遷移矢于曲線C:x4y21給出下列說法：尖于直線y 0對(duì)稱；矢于直線x 0對(duì)稱；矢于點(diǎn)(0,0)對(duì)稱；尖于直線y x對(duì)稱；是封閉圖形，面積小于：是封閉圖形，面積大于 ；則其中正確說法的序號(hào)是 3涉及直線與圓的位置尖系的問題宜用圓心到直線的距離d來研究。d = r ( r為圓的半徑)直線與圓相切；過圓x2+y2/上一點(diǎn)M (Xo,yo)的切線方程為Xox+yoy=r2;過圓x2+y2=r2y2 Dx Ey外一點(diǎn)M (Xo.y o )作圓的兩條切線，則兩切點(diǎn)A、B連線的直線方程為XoX+y7=r2。過O

9、 A外系方程：X2y2 Dx Ey F +(A x+B y +C )直線與圓相離，圓周上的點(diǎn)到直線距離的最小值為d- r ,最大值為d +r 0舉例1 從直線x-y+3=0上的點(diǎn)向圓(x 2)2 (y2) 21引切線，則切線長(zhǎng)的最小值是3.2143.23、. 2A.B.c<D.-12 242長(zhǎng)|AB| =2 r2 d2;過直線 A x+B y +C = 0 與圓:x2解析：圓(X 2)2 (y 2)21的圓心A (2,2),直線xy+3=0上任一點(diǎn)P,過引圓的一點(diǎn)P作圓的切線PQ (Q為切點(diǎn))，則|PQ匸JPA|切線PQ (Q為切點(diǎn))，則|PQ|= J PAf1,當(dāng)且僅當(dāng)|PA|最小時(shí)|

10、PQ|最小，易見|PA|的最小值即A到直線x- y+3=0的距離，為聚J14B。2222舉例2能夠使得圓xy 2x4y 10上恰有兩個(gè)點(diǎn)到直線2Xy c 0距禺等于1的C的一個(gè)值為：A . 2B. ,5C. 3D.35解析：本題如果設(shè)圓上一點(diǎn)的坐標(biāo)，用點(diǎn)到直線的距禺公式得到一個(gè)方程，進(jìn)而研究方程解的個(gè)數(shù)'將是非常麻煩的。注意到圓心M (1,2),半徑r =2,結(jié)合圖形容易知道，當(dāng)且僅當(dāng)M到直線I ： 2x y c 0的距離d ( 1, 3)時(shí)，0 M上恰有兩個(gè)點(diǎn)到直線I的距離等于 1,由 1=孕 ( 1, 3)得：C ( 3聽75) (V5,3、； ； 5)，選 CoV5鞏固們 若直線

11、(1+a)x+y+仁0與圓x2+y2-2x=0相切，則a的值為()(A ) 1,- 1( B) 2,- 2(C) 1(D)- 1對(duì)稱貝y CA CB=。遷移實(shí)數(shù)x,y滿足x2 y2 2x 2y 1鞏固2直線h: y=kx +1與圓C： x2+y2+2kx+2my=0的兩個(gè)交點(diǎn)A、B矢于直線12 : x+y=Ov 40,則的取值范圍為()X/ O4AH,Q)4B 0,；Q4 .判斷兩圓的位置矢系用圓心距與它們半徑 和、|MN|> n +外 禽一|MN| =A+DO M :22xyDixEiyFl 0,ON ：x2的方程為：2X2yDix E” F1 +外切4D【3卩差的大小。O M、O N

12、的半徑分別為ri、2 ,寸2 |<|MN|< ri + D 相交，此時(shí)，若y D2 X E2Y F20,過兩圓交點(diǎn)的圓(系)2(x2 y D2X E2 y F2)= 0(0 N 除外)。特別地：當(dāng)=-1時(shí)該方程表示兩圓的公共弦。連心線垂直平分公共弦。|MN| =|n-r2|內(nèi)切，|MN| <|n- r2| 內(nèi)含。舉例1 已知兩圓Oi : x2+y2=16 , O2 : (x-1)2+(y+2)2=9，兩圓公共弦交直線09?于M點(diǎn)，則 Oi分有向線段MO2所成的比入二()6565A.B.C.D一5A5A),有定比分點(diǎn)5解析：直線。1 02 ： y=2x，兩圓公共弦：x-2y=6

13、，于是有:內(nèi)含；有兩圓圓心分別為原點(diǎn)0, 2),半徑分別為坐標(biāo)公式不難得到入的值，選Co舉例 2若 A(x, y)| x2y2 16, B (x, y)|x2(y2尸a1且ABB,則a的取值范圍是()A. a 1 B . a 5C 1 a 5D .a5解析：集合A、B分別表示兩個(gè)圓面(a=1時(shí)集B表示一個(gè)點(diǎn))，AH B=BB A,即兩圓解得：1 a 5，選Co鞏固1圓心存育線xy4 0上，且經(jīng)過兩圓2X2y4x 30,x2y2 4y 30的交點(diǎn)的圓的方程為()A. x2 y2 6x 2y3 0B.2X2y6x 2y 30223 02C. x y 6x 2yD.2Xy6x 2y 30鞏固2若圓(

14、x a)2+(y- b)J6始終平分圓/+y2+2x+2y- 3=0的周長(zhǎng)，則動(dòng)點(diǎn)M(a,b)的軌跡 方程是A. a2+ b2 2a 2b+1=0B. a2+b2+2a+2 b+1=0C.a2+b2 2a+2b+仁 0D.a2+b2+2a 2b+1=0遷移與圓x24- y2 2x=o外切且與y軸相切的動(dòng)圓圓心的軌跡方程為 5.圓的參數(shù)方程的本質(zhì)是sin2 + cos2 =1。參數(shù)方程的重要用途是設(shè)圓上一點(diǎn)的坐標(biāo)時(shí),而無需再借助圓的方可以減少一個(gè)變量，或者說坐標(biāo)本身就已經(jīng)體現(xiàn)出點(diǎn)在圓上的特點(diǎn)了，程來體現(xiàn)橫縱坐標(biāo)之間的矢系。舉例已知圓x2 (y 1 )21上任意一點(diǎn)P(x、y)都使不等式x+y+m

15、0成立，則m的取1,)B,oc(、2,)D 12)(解析：不等式x+y+m0恒成立m - (x+y)恒成立'以下求(x+y)的最大值:記 x= cos y=1 + sin,-(x+y) = -( cos +1 + sin )= -1- 2 sin( + ) w-1 + . 2 ,選 A。4鞏固1 f()sin的最大值為、2 coscosb a,c=10,P是”ABC的內(nèi)切圓上一點(diǎn)，貝U PA2+PB2鞏固2在“ABC中，已知一一cosA b+PC?的最大值為遷移動(dòng)點(diǎn)P, Q坐標(biāo)分別為p cos , sin，Q 3 sin，1 cos ,(是參數(shù))，則|PQ|的最大值與最小值的和為答案1

16、 鞏固1D,鞏固2 y2=4x (x>0),遷移在平面ABCD上建立平面直角坐標(biāo)系，選C。2、鞏固1 (x1)t(y+1)J5，鞏固2 T點(diǎn)M在第一象限，二過點(diǎn)M與兩坐標(biāo)軸相切的圓的方程可設(shè)為:(x- r)2+(y- r)2= r2,圓過 M(x°,y。)點(diǎn)，二(Xo-r)2+(yo-r)2= r2,整理得:22222r2(x o+y°)r+x o+y°=0,由題意知“為該方程的兩根，故訂2= Xo +yoo 遷移在曲線C上任取 _點(diǎn) M(xo,y o) ,Xo4+yo2 = 1, / |x°|< 1,/. xo4W xo2,xo2+yo2 > Xo4+yo2=1,gp 點(diǎn) M 在圓x2+y2=1夕卜，選®；3、鞏固1 D ,鞏固2 -1 ,遷移A； 4、鞏固1 A ,鞏固2圓x2+y2+2x+2y- 3=0的圓心A(1 ,1),半徑為,5 , OM始終平分O A的周長(zhǎng)即兩圓的公共弦是O A的直徑，A在直線:2(a+1