第講平面向量的基本定理和向量的坐標(biāo)運(yùn)算

1、【基礎(chǔ)檢測(cè)】1.若向量a的起點(diǎn)坐標(biāo)為(3,1),終點(diǎn)坐標(biāo) 為(-1,- 3),則向量a的坐標(biāo)為()A. (3,1)B. (-1,-3)C. (-4,-4)D. (4,4)5.已知=1,2)b=x1),若a+乃與2a-b共線，則實(shí)數(shù)x的值 .若a+2b與2ab垂直，則實(shí)數(shù) .2.已知點(diǎn) M(3, 2), N(-5, -1)，點(diǎn) P1滿足MP = 2MN，則點(diǎn)P的坐標(biāo)是()33A. (-1,-2 B. (1, 2)33C. (2, 1)d. (-2, -1)3.已知a=(4,5, b=(8, y),且 all b, 則y等于()32A. 5 B. 10 C. D. 1554.若a卩是一組基底，向量

2、=xy$x, y R),則稱X y)為向量Y在基底a卩下的坐標(biāo), 現(xiàn)已知向量a在基底p=(1,-1), q=(2,1下的 坐標(biāo)為一2,2,貝歸在另一組基底n=(-1,1) n =(1,2下的坐標(biāo).第28講平面向量的基本定理和向量的坐標(biāo)運(yùn)算【學(xué)習(xí)目標(biāo)】(1) 了解平面向量的基本定理及其意義，掌握平面向量的正交分解及其坐標(biāo)表示；(2) 會(huì)用坐標(biāo)表示平面向量的加法、減法與數(shù)乘運(yùn)算，理解用坐標(biāo)表示平面向量共線和垂直的條件.【知識(shí)要點(diǎn)】1. 平面向量的基本定理.(1) 如果e1和Q是- -個(gè)平面內(nèi)的兩個(gè)不平行的向量，那么對(duì)于該平面內(nèi)的任一向量，存 的一對(duì)實(shí)數(shù)恥爲(wèi)使a= Zie1 +決2.我們把不共線向量

3、1、Q叫做向量a關(guān)于基底的分解.平面向量基本定量是向量正交分解的依據(jù)，是向量坐標(biāo)運(yùn) 算的基礎(chǔ)，理解了該定理就能很好地掌握平面向量的各種知識(shí).(2) 向量的正交分解.如果基底的兩個(gè)基向量e,、e,互相垂直，則稱這個(gè)基底為，在正交基底下分解向量，叫做正交分解事實(shí)上向量的正交分解就是把一個(gè)向量分解為兩個(gè)互相垂直的向量.2. 向量的坐標(biāo)表示如圖所示，在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)，分別取與(軸，y 軸方向相同的兩個(gè)單位向量、j作為基底，對(duì)于平面上任 一向量a,由平面向量基本定理可知有且只有一對(duì)實(shí)數(shù)<、 y,使得a=xi+yj.這樣，平面內(nèi)的任一向量i都可由x、y 惟一確定，我們把有序數(shù)對(duì)x, y)叫做向量a

4、的(直角)坐標(biāo)， 記作a=(x, y),把a(bǔ)=(x, y)叫做向量的坐標(biāo)表示，在平面 直角坐標(biāo)系內(nèi)，每一個(gè)平面向量都可以用一有序?qū)崝?shù)對(duì)惟 一表示，同時(shí)a|= «+y2 向量的坐標(biāo)運(yùn)算(1若a=(X1, y”，b=(x2,對(duì),則 a+b=即兩個(gè)向量的和的坐標(biāo)等于這兩個(gè)向量相應(yīng)坐標(biāo)的和.(2若 a=(x1, y1), b=(x2, y2).貝 H ab=即兩個(gè)向量的差的坐標(biāo)等于這兩個(gè)向量相應(yīng)坐標(biāo)的差.(3) 若A(X1, y1), B(x2, y，則即一個(gè)向量的坐標(biāo)，等于表示此向量的有向線段的終點(diǎn)坐標(biāo)減去始點(diǎn)坐標(biāo).(4若a=(x1, y1), R，則也=_即向量數(shù)乘積的坐標(biāo)，等于數(shù)乘以向

5、量的相應(yīng)坐標(biāo). 兩向量平行和垂直的坐標(biāo)表示(1) 設(shè)a=(X1, y”，b=(x>, y2),貝Ua/b? *y21x2=0.(2) 設(shè)a=(X1, y1), b=(x2, y2),則a±b? X1x2+y1y2=0.二、向量平行和垂直的條件及應(yīng)用例2如圖，AB=(6,1), BtA(x, y), CD=(-2,-3).(1)若BC/DA,求x, y之間的關(guān)系；一、向量的坐標(biāo)表示及運(yùn)算_例 1 已知點(diǎn)0(0,0、A(1,2) B(4,5) OP=oA+tAB，試 問(wèn)：(1) t為何值時(shí)，點(diǎn)3在x軸？點(diǎn)P在第二象限？(2) 四邊形OABP能否成為平行四邊形？若能，求出相 應(yīng)的t值

6、；若不能，說(shuō)明理由.三、平面向量基本定理及應(yīng)用1 1例 3 在OAB中, OC=40A OD=2°B，AD與BC交于點(diǎn)M,設(shè)OA=a, OB=b.(1) 用 a、b 表示OM;(2) 已知在線段AC上取一點(diǎn)E,在線段BD上取一點(diǎn) F,使 EF 過(guò) M 點(diǎn),設(shè)OE=pOA OF=qOB四、與向量相關(guān)的創(chuàng)新綜合問(wèn)題例4若定義向量v關(guān)于向量u的函數(shù)為v=f(u),其對(duì)應(yīng) 法則是：向量u=(x, y),則向量v=(y2y-x).(1) 設(shè)a=(1,1, b=(1,0,求向量f(a)與f(b)的坐標(biāo)；(2) 求f(c)=(p, q)(p q為常數(shù))的向量c的坐標(biāo)；(3) 證明：對(duì)任意向量、b及

7、常數(shù)m、n,恒有f(ma+nb) =m(a)+nl(b)成立.求證：7p+話1.備選題例5設(shè)A1, A2, A3, A4, A5是平面坐 標(biāo)系中給定的5個(gè)不同的點(diǎn)則使叭+晦+叭+ MA+MA5=0成立的點(diǎn)M的個(gè)數(shù)為 )A. 0B. 1C. 5 D. 10(2011天津)已知直角梯形ABCD中，AD/BC,/ADC=90°AD=2, BC=1, P是腰DC上的動(dòng)點(diǎn)，則|PA3PB|的最小值為1若向量a=(1,1) b=(-1,1) e(4,2)則(:= ()A. 3a+bB. 3abC. a+3bD. a+3b2.已知向量a=(1,1) b=(2, x),若a+b與4b-2a平行，則實(shí)

8、數(shù)的值是)A.-2B. 0C. 1D. 24.已知 a=( 3,2), b=(-1,0),向量:a+b與 a-2b垂直，則實(shí)數(shù)入的值為.3.已知向量 a= (1,- m), b= (m, m)，則 向量a+ b所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的軌跡可能為()A . x軸B.第一、三象限平分線C. y軸D 第二、四象限平分線6.已知向量OA=(k,12, OB=(4,5, OC=( k,10),且A B C三點(diǎn)共線，則k=.5.已知向量a=(1,2), b=(x,1), u=a+2b, v=2a-b, 且 u / v，貝U x=.8. (1)如圖，在ABC中，點(diǎn)O是BC的中點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)O的 直線分別交直線AB, AC于不

9、同的兩點(diǎn)M, N, 若AB=mAMl, AC= nANl,求 m+n 的值；7. 平面內(nèi)給定三個(gè)向量a=(3,2), b=(-1,2), c= (4,1,回答下列問(wèn)題：(1) 求滿足a=mb+ nc的實(shí)數(shù)m, n;(2) 若(a+kc) / (2b-a)，求實(shí)數(shù)k；(3) 若 d 滿足(dc)/(a+b)，且 |dc|= 5,求 d.(2)如圖，平面內(nèi)有三個(gè)向量A OB OC其中OA與OB 的夾角為120° OA與OC的夾角為30°且|OA|= |OB|=1, |OC |=2 3,若OC=QA+QB(入 氏R)，求 卄卩的值.第28講平面向量的基本定理和向量的坐標(biāo)運(yùn)算【學(xué)習(xí)

10、目標(biāo)】【基礎(chǔ)檢測(cè)】【知識(shí)要點(diǎn)】1.平面向量的基本定理.(1) 了解平面向量的基本定理及其意義，掌握平面向量的正交分解及其坐標(biāo)表示；(2) 會(huì)用坐標(biāo)表示平面向量的加法、減法與數(shù)乘運(yùn)算，理解用坐標(biāo)表示平面向量共線和垂直的條件.1.若向量a的起點(diǎn)坐標(biāo)為(3,1),終點(diǎn)坐標(biāo) 為(-1,- 3),則向量a的坐標(biāo)為()A . (3,1)B. (- 1,- 3)C. (-4,- 4)D. (4,4)(1) 如果e1和e2是一個(gè)平面內(nèi)的兩個(gè)不平行的向量，那么對(duì)于該平面內(nèi)的任一向量a,存在的一對(duì)實(shí)數(shù)入、瓦使【解析】a= (- 1-3,-31)=(4, 4), 故選C.2已知點(diǎn) M(3, 2), N( 5,- 1

11、),點(diǎn) P 滿足MP=1MN，則點(diǎn)p的坐標(biāo)是()33A ( 1 , 2)B (1 , 2)33C. (, 1)D . ( ， 1)【解析】 設(shè)點(diǎn)P(x, y)，由MP = 2 mn得1(x 3 , y + 2) = 2( 8,1),a= 1e1 +力e2.我們把不共線向量e1、e2叫做向量a關(guān)于基底 &, e2的分解.平面向量基本定量是向量正交分解的依據(jù)，是向量坐標(biāo)運(yùn) 算的基礎(chǔ)，理解了該定理就能很好地掌握平面向量的各種知識(shí).(2) 向量的正交分解.如果基底的兩個(gè)基向量&、e2互相垂直，則稱這個(gè)基底 為，在正交基底下分解向量，叫做正交分解事實(shí)上向量的正交分解就是把一個(gè)向量分解為兩

12、個(gè)互相垂直的向 量.x 3 = 4 從而、1jy+2 = 2x = 1，求得3 ，故選A.ly= 22.向量的坐標(biāo)表示如圖所示，在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)，分別取與x軸，y軸方向相同的兩個(gè)單位向量i、j作為基底，對(duì)于平面上任一向量a,由平面向量基本定理可知，有且只有一對(duì)實(shí)數(shù) X、3. 已知 a= (4,5), b= (8, y),且 a/b, 則y等于()32A. 5 B. 10 C. D. 1554.若a卩是一組基底，向Yxa+ygx, y R),則稱x, y)為向量丫在基底a卩下的坐標(biāo), 現(xiàn)已知向量 在基底p=(1,-1), q=(2,1下的 坐標(biāo)為一2,2,則a在另一組基底=(1,1,n =(1

13、,2下的坐標(biāo).5已知a=(1,2) b=(x,1),若a+2b與2a-b共線，則實(shí)數(shù)x的值 .若a+2b與2a-b垂直，則實(shí)數(shù)=.【解析】va+2b=(1+2x,4),2ab=(2x,3), 又(a+2b)/(2ab)，貝 (1+ 2x)34(2x) = 0, 解得x=；由(a+2b)丄(2ab)，貝 (1+2x)(2x)+12=0,解得 x=7或 x=2.y,使得a= xi +yj.這樣，平面內(nèi)的任一向量a都可由x、y惟一確定，我們把有序數(shù)對(duì)(x, y)叫做向量a的(直角)坐標(biāo)， 記作a = (x, y),把a(bǔ)= (x, y)叫做向量的坐標(biāo)表示，在平面 直角坐標(biāo)系內(nèi)，每一個(gè)平面向量都可以用一

14、有序?qū)崝?shù)對(duì)惟 一表示，同時(shí)3. 向量的坐標(biāo)運(yùn)算(1) 若a=(X1,旳，b=(X2, %),貝 H a+b=.即兩個(gè)向量的和的坐標(biāo)，于這兩個(gè)向量相應(yīng)坐標(biāo)的和.(2) 若a=(X1,旳，b=(x2, y2).貝 H ab=.即兩個(gè)向量的差的坐標(biāo)，于這兩個(gè)向量相應(yīng)坐標(biāo)的差.(3) 若A(為，y1), B(x2, y，則AB二.即一個(gè)向量的坐標(biāo)，等于表示此向量的有向線段的終點(diǎn) 坐標(biāo)減去始點(diǎn)坐標(biāo).(4) 若a=(X1, yi), ?R,則;a=.即向量數(shù)乘積的坐標(biāo)，等于數(shù)乘以向量的相應(yīng)坐標(biāo).4. 兩向量平行和垂直的坐標(biāo)表示(1設(shè)a=(x1, yi), b=(x2,也)，貝Ua/b?為y2y1X2=0.

15、(2設(shè)a=(x1, yi), b=(x2,比)，貝Ua丄b?心2+丫1也=0.一、向量的坐標(biāo)表示及運(yùn)算_例 1 已知點(diǎn)0(0,0、A(1,2、B(4,5) OP=OA+tAB,試 問(wèn)：(1) 為何值時(shí)，點(diǎn)0在X軸？點(diǎn)P在第二象限？(2) 四邊形OABP能否成為平行四邊形？若能，求出相 應(yīng)的t值；若不能，說(shuō)明理由.二、向量平行和垂直的條件及應(yīng)用例 2如圖，AB=(6,1), BC=(x, y), CD=(-2,-3).(1)若BC/DA，求x, y之間的關(guān)系；則OA = PB，而13.【解析】.由題設(shè)OA = (1,2), AB = (3,3), OP = OA + t AB = (1 + 3t

16、,2 + 3t).2(1)若點(diǎn)P在X軸上，則2+ 3t = 0,解得t=- 3.1 + 3t V 02若點(diǎn)P在第二象限，則3t0，解得一 3V tv/ OA = (1,2) , PB = PO + OB = (3 - 3t,3-3t), 若四邊形OABP為平行四邊形，3- 3t= 1”無(wú)解.3- 3t= 2故四邊形OABP不能成為平行四邊形.三、平面向量基本定理及應(yīng)用1 1例 3 在OAB中，OC=4OA, OD=2OB ad 與BC交于點(diǎn)M，設(shè)OA=a，OB=b.(1) 用 a、b 表示OM;(2) 已知在線段AC上取一點(diǎn)E，在線段BD上 取一點(diǎn)F,使 EF過(guò)M 點(diǎn),設(shè)OE=pOA OF=q

17、OB 求證：J +_3 =1.7p 7q【解析】(1) / AB+BC+ CD + DA = 0,即(6,1) + (x, y) + (-2,- 3) = AD, AD = (4 + x, y-2),又 BC / DA , x(y- 2) - y(4 + x)= 0? x+ 2y= 0.(2)由AC = AD + DC = (6 + x, y+ 1), BD=BA + AD= (x- 2, y- 3).又AC丄BD , (x 2)(x + 6)+ (y 3)(y + 1) = 0, x + y + 4x 2y 15= 0,ffx 一 6x 2聯(lián)立解得f或=1.ly 3y=1四、與向量相關(guān)的創(chuàng)新

18、綜合問(wèn)題例4若定義向量/關(guān)于向量J的函數(shù)為/f(u),其對(duì)應(yīng) 法則是：向量I(x, 0,則向量v(y2y-x).(1) 設(shè)a(1,1) b(1,0)求向量(a)與f(b)的坐標(biāo)；(2) 求f(c) (p, q)(p、q為常數(shù)的向量c的坐標(biāo)；(3) 證明：對(duì)任意向量b及常數(shù)m n,恒有(ma+nb) m(a)+nf(b)成立.【解析】(1)設(shè)OM= ma+nb，則AM= (m 1)a + nb，1AD = - a+ qb. T 點(diǎn) A、M、D 共線， AM與AD共線， m d 1 = nm + 2n = 1.10.51 1而CM = OM-OC= (m-4)a + nb, CB = -qa+ b

19、,/ C、M、B 共線，1m-4 n CM與CB共線，1 = 1? 4m+ n=1.一 4聯(lián)立可得m= 7， n= 7，. OM = a+.13證明：EM = (7 p)a + 7b, EF = - pa+ qb, EF與EM共線，13.7- p 71313.- - p = q，7q- pq = - 7p，即 7p + 7q=【解析】(1)Ta (1,1), f(a) (1,2X1-1) (1,1), 又 Tb(1,0), f(b) (0,2X0-1) (0,- 1).設(shè) c(x, y)，則 f(c) (y,2y-x) (p, q),廠p ，求得尸即勺2y-xq則 c (2p-q, p).(3

20、設(shè)a(ar, a), b=Q, b).貝Uma+nb=(ma+nb, ma+nb),所以f(ma+nbl(ma+na2ma+2nRmqnb), 又 m(a)+nfb)咆股3) +nfe2bbi)(mq加ama)+(nb2nbnb)(mq+門(mén)鳥(niǎo)加迫+勿鳥(niǎo)一mqnb)f(ma+nb).備選題例5設(shè)Ai, A2, A3, A4, A5是平面坐 標(biāo)系中給定的5個(gè)不同的點(diǎn)則使昭+叭+叭+ MA4+MA5=0成立的點(diǎn)M的個(gè)數(shù)為 )A. 0B. 1C. 5 D. 10【解析】建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè)A(x, y), i = 1,2,3,4,555iIiXi1yiM(x, y),則x= 5 , y= 5，故這樣

21、的點(diǎn)M 只有一個(gè).1 若向量a=(1,1) b=(-1,1) c=(4,2)則(= ()A. 3a+bB. 3abC. a+3bD. a+3b【解析】設(shè) c= ?a+ b,則(4,2=(；(J, + ),?u=4=3,從而t c，求得t .，即c=3ab,故選Hu=2l=1B.(2011天津)已知直角梯 形ABCD中 , AD/BC, ZADC=90 °AD=2 , BC=1 , P是腰DC上的動(dòng)點(diǎn)，則PA+3PB的最小值為_(kāi)【解析】解法一：以D為原點(diǎn)，分別以 DA、DC所在直線為x、y軸建立如圖所示的平 面直角坐標(biāo)系，設(shè) DC = a , DP = x. D(0,0) , A(2,

22、0) , C(0 , a),B(1 , a) , P(0 , x),PA= (2 , x) , PB = (1 , a x), PA+ 3PB= (5,3a 4x),|PA+ 3PB|2= 25+ (3a 4x)2 > 25 ,- |PA+ 3PB|的最小值為5.解法二 JP=xDC0<x<1), apC=(1-x)DC,PA= DA- DP= DA-xDC1PB=PC+CB=(1 -x)DC+；DA PA+3PB=5da+(3-4x)DC, |PA3PB2=5DA2 +2X5 X(3x) DADC+(3-4x>2 IDC? =25+(34x)2 DC 2 >25

23、,|PA+3PB的最小值為.2.已知向量=(1,1) b=(2, x),若a+b與4b-2a平行，則實(shí)數(shù)的值是)A.-2B.0B. 1D.2【解析】解法一：因?yàn)閍 =(1,1), b= (2, x),所以 a+ b = (3, x+ 1), 4b- 2a= (6,4x 2),由 于 a+ b 與 4b 2a 平行，得 6(x + 1) 3(4x 2)= 0, 解得x= 2.解法二：因?yàn)閍+ b與4b 2a平行，則存在實(shí) 數(shù) 入使 a + b= ；4b 2a)，即(2； 1)a= (4 入一1)b, 根據(jù)向量共線的條件知，向量a與b共線，故x= 2.4. 已知a=( 3,2), b=(1,0,向

24、量:a+b與a2b3.已知向量 a=(1 , m) , b=(m, m),則 向量a + b所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的軌跡可能為()A. x軸 B.第一、三象限平分線C. y軸D.第二、四象限平分線【解析】Ta + b=(m+ 1,0),可知應(yīng)選A.6. 已知向量OA=(k,12), OB=(4,5), OC=(k,10),且A B、C三點(diǎn)共線,則k=.直，則實(shí)數(shù)泊勺值為.【解析】向量：a + b= (31,2；, a2b=( 1,2),因?yàn)閮蓚€(gè)向量垂直, 故有(3 1,2； (1,2)= 0,1即 3 + 1+4=0,解得：=7.【解析】解法 一:J OA= (k,12), OB= (4,5) OC=(k,10), A(k,12, B(4,5) C(k,10).A B、C三點(diǎn)共線，.1=1,125_ 105k4 = k-4，2解之得k=-3.5. 已知向量=(1,2) b=(Xl, u=a+2b, v=2a-b,且 u/v,貝収=.【解析】u = (2x + 1,4) , v = (2 x,3), / u / v , / 3(2x + 1) 4(2 x) = 0 ,1解得x=；.解法二：OA=