圓的性質(zhì)及與圓有關(guān)的位置關(guān)系

1、組長(zhǎng)簽字： 日期： 學(xué)員編號(hào)： XCAST 年 級(jí)：九年級(jí) 課時(shí)數(shù)：3KS 學(xué)員姓名： 輔導(dǎo)科目：數(shù)學(xué) 學(xué)科教師： 授課日期及時(shí)段2016-12 -3117:00-19:00 九年級(jí) 圓的性質(zhì)及與圓有關(guān)的位置關(guān)系教學(xué)目標(biāo)一圓的有關(guān)概念及性質(zhì)1. 弦、直徑及垂徑定理 2.弧、弦、圓心角之間的關(guān)系 3.圓周角與圓心角的關(guān)系二與圓有關(guān)的位置關(guān)系1.直線(xiàn)與圓的位置關(guān)系、切線(xiàn)的性質(zhì)和判定 2.點(diǎn)與圓的位置關(guān)系學(xué)習(xí)內(nèi)容知識(shí)梳理 一、圓的有關(guān)概念及性質(zhì)（1）圓的有關(guān)概念1. 圓心角和圓周角（1） 圓心角：頂點(diǎn)在圓心的角叫做圓周角，它的度數(shù)等于它所對(duì)的弧的度數(shù)（2） 圓周角：頂點(diǎn)在圓上并且兩邊都和圓相交的角叫

2、做圓周角其性質(zhì)有：一條弧所對(duì)的圓周角等于它所對(duì)的圓心角的一半推論1：同弧或等弧所對(duì)的圓周角相等；同圓或等圓中，相等的圓周角所對(duì)的弧相等推論2：半圓(或直徑)所對(duì)的圓周角是直角，的圓周角所對(duì)的弦是直徑推論3：如果三角形一邊上的中線(xiàn)等于這邊的一半，那么這個(gè)三角形是直角三角形 （3）圓心角、弧、弦、弦心距之間的關(guān)系 定理：在同圓或等圓中，相等的圓心角所對(duì)的弧相等，所對(duì)的弦相等， 所對(duì)的弦的弦心距相等 推論：在同圓或等圓中，如果兩個(gè)圓心角、兩條弧、兩條弦或兩條弦 的弦心距中有一組量相等，那么它們所對(duì)應(yīng)的其余各組量分別相等所對(duì)的兩圓心角相等所對(duì)的兩條弦相等所對(duì)的兩條弧相等所對(duì)的兩條弦的弦心距相等注意：前

3、提條件是在同圓或等圓中；在由等弦推出等弧時(shí)應(yīng)注意：優(yōu)弧與優(yōu)弧相等；劣弧與劣弧相等1. 垂徑定理（1） 定理：垂直于弦的直徑平分這條弦，并且平分弦所對(duì)的兩條?。?） 推論1：平分弦（非直徑）的直徑，垂直于弦，并且平分弦所對(duì)的兩條弧弦的垂直平分線(xiàn)經(jīng)過(guò)圓心，并且平分弦所對(duì)的兩條弧平分弦所對(duì)的一條弧的直徑，垂直平分弦，并且平分弦所對(duì)的另一條?。?） 推論2：圓的兩條平行線(xiàn)所夾的弧相等注意：若“過(guò)圓心的直線(xiàn)”、“垂直于弦”、“平分弦（非直徑）”、“平分弦所對(duì)的優(yōu)弧”、“平分弦所對(duì)的劣弧”中的任意兩個(gè)成立，則另外三個(gè)都成立注意：應(yīng)用垂徑定理與推論進(jìn)行計(jì)算時(shí)，往往要構(gòu)造如右圖所示的直角三角形，根據(jù)垂徑定理與

4、勾股定理有：，根據(jù)此公式，在，三個(gè)量中知道任何兩個(gè)量就可以求出第三個(gè)量 二、點(diǎn)與圓的位置關(guān)系1.點(diǎn)與圓的位置關(guān)系（1） 點(diǎn)與圓的位置關(guān)系有：點(diǎn)在圓上、點(diǎn)在圓內(nèi)、點(diǎn)在圓外三種，這三種關(guān)系由這個(gè)點(diǎn)到圓心的距離與半徑的大小關(guān)系決定（2） 設(shè)的半徑為，點(diǎn)到圓心的距離為，則有：點(diǎn)在圓外；點(diǎn)在圓上；點(diǎn)在圓內(nèi).如下表所示：位置關(guān)系圖形定義性質(zhì)及判定點(diǎn)在圓外點(diǎn)在圓的外部點(diǎn)在的外部.點(diǎn)在圓上點(diǎn)在圓上點(diǎn)在上.點(diǎn)在圓內(nèi)點(diǎn)在圓的內(nèi)部點(diǎn)在的內(nèi)部.2.過(guò)已知點(diǎn)的圓1. 過(guò)已知點(diǎn)的圓（1） 經(jīng)過(guò)點(diǎn)的圓：以點(diǎn)以外的任意一點(diǎn)為圓心，以的長(zhǎng)為半徑，即可作出過(guò)點(diǎn)的圓，這樣的圓有無(wú)數(shù)個(gè)（2） 經(jīng)過(guò)兩點(diǎn)的圓：以線(xiàn)段中垂線(xiàn)上任意一點(diǎn)作為

5、圓心，以的長(zhǎng)為半徑，即可作出過(guò)點(diǎn)的圓，這樣的圓也有無(wú)數(shù)個(gè)（3） 過(guò)三點(diǎn)的圓：若這三點(diǎn)共線(xiàn)時(shí)，過(guò)三點(diǎn)的圓不存在；若三點(diǎn)不共線(xiàn)時(shí)，圓心是線(xiàn)段與的中垂線(xiàn)的交點(diǎn)，而這個(gè)交點(diǎn)是唯一存在的，這樣的圓有唯一一個(gè)（4） 過(guò)個(gè)點(diǎn)的圓：只可以作個(gè)或個(gè)，當(dāng)只可作一個(gè)時(shí)，其圓心是其中不共線(xiàn)三點(diǎn)確定的圓的圓心2. 定理：不在同一直線(xiàn)上的三點(diǎn)確定一個(gè)圓（1） “不在同一直線(xiàn)上”這個(gè)條件不可忽視，換句話(huà)說(shuō)，在同一直線(xiàn)上的三點(diǎn)不能作圓；（2） “確定”一詞的含義是”有且只有”，即”唯一存在”（3） 三角形的外接圓及外心1. 三角形的外接圓（1） 經(jīng)過(guò)三角形三個(gè)頂點(diǎn)的圓叫做三角形的外接圓，外接圓的圓心是三角形三條邊垂直平分線(xiàn)的

6、交點(diǎn)，叫做三角形的外心，這個(gè)三角形叫做這個(gè)圓的內(nèi)接三角形（2） 銳角三角形外接圓的圓心在它的內(nèi)部；直角三角形外接圓的圓心在斜邊中點(diǎn)處(即直角三角形外接圓半徑等于斜邊的一半)；鈍角三角形外接圓的圓心在它的外部.2. 三角形外心的性質(zhì)（1） 三角形的外心是指外接圓的圓心，它是三角形三邊垂直平分線(xiàn)的交點(diǎn)，它到三角形各頂點(diǎn)的距離相等；（2） 三角形的外接圓有且只有一個(gè)，即對(duì)于給定的三角形，其外心是唯一的，但一個(gè)圓的內(nèi)接三角形卻有無(wú)數(shù)個(gè)，這些三角形的外心重合.三、直線(xiàn)與圓的位置關(guān)系（1）直線(xiàn)與圓的位置關(guān)系設(shè)的半徑為，圓心到直線(xiàn)的距離為，則直線(xiàn)和圓的位置關(guān)系如下表：位置關(guān)系圖形定義性質(zhì)及判定相離直線(xiàn)與圓沒(méi)

7、有公共點(diǎn)直線(xiàn)與相離相切直線(xiàn)與圓有唯一公共點(diǎn)，直線(xiàn)叫做圓的切線(xiàn)，唯一公共點(diǎn)叫做切點(diǎn)直線(xiàn)與相切相交直線(xiàn)與圓有兩個(gè)公共點(diǎn)，直線(xiàn)叫做圓的割線(xiàn)直線(xiàn)與相交（2）切線(xiàn)的性質(zhì)及判定1. 切線(xiàn)的性質(zhì)（1） 定理：圓的切線(xiàn)垂直于過(guò)切點(diǎn)的半徑推論1：經(jīng)過(guò)圓心且垂直于切線(xiàn)的直線(xiàn)必經(jīng)過(guò)切點(diǎn)推論2：經(jīng)過(guò)切點(diǎn)且垂直于切線(xiàn)的直線(xiàn)必經(jīng)過(guò)圓心（2） 注意：這個(gè)定理共有三個(gè)條件，即一條直線(xiàn)滿(mǎn)足：垂直于切線(xiàn)過(guò)切點(diǎn)過(guò)圓心過(guò)圓心，過(guò)切點(diǎn)垂直于切線(xiàn)過(guò)圓心，過(guò)切點(diǎn)，則過(guò)圓心，垂直于切線(xiàn)過(guò)切點(diǎn)過(guò)圓心，則過(guò)切點(diǎn)過(guò)切點(diǎn)，垂直于切線(xiàn)過(guò)圓心，過(guò)切點(diǎn)，則過(guò)圓心2. 切線(xiàn)的判定（1） 定義法：和圓只有一個(gè)公共點(diǎn)的直線(xiàn)是圓的切線(xiàn)；（2） 距離法：和圓心距離

8、等于半徑的直線(xiàn)是圓的切線(xiàn)；（3） 定理：經(jīng)過(guò)半徑的外端并且垂直于這條半徑的直線(xiàn)是圓的切線(xiàn)注意：定理的題設(shè)是“經(jīng)過(guò)半徑外端”，“垂直于半徑”，兩個(gè)條件缺一不可；定理的結(jié)論是“直線(xiàn)是圓的切線(xiàn)”因此，證明一條直線(xiàn)是圓的切線(xiàn)有兩個(gè)思路：連接半徑，證直線(xiàn)與此半徑垂直；作垂直，證垂直在圓上 3. 切線(xiàn)長(zhǎng)和切線(xiàn)長(zhǎng)定理（1） 切線(xiàn)長(zhǎng)：在經(jīng)過(guò)圓外一點(diǎn)的圓的切線(xiàn)上，這點(diǎn)和切點(diǎn)之間的線(xiàn)段的長(zhǎng)，叫做這點(diǎn)到圓的切線(xiàn)長(zhǎng)（2） 切線(xiàn)長(zhǎng)定理：從圓外一點(diǎn)引圓的兩條切線(xiàn)，它們的切線(xiàn)長(zhǎng)相等，圓心和這一點(diǎn)的連線(xiàn)平分兩條切線(xiàn)的夾角三、三角形的內(nèi)切圓1. 三角形的內(nèi)切圓：和三角形各邊都相切的圓叫做三角形的內(nèi)切圓，內(nèi)切圓的圓心叫做三角形的

9、內(nèi)心，這個(gè)三角形叫做圓的外切三角形2. 多邊形的內(nèi)切圓：和多邊形的各邊都相切的圓叫做多邊形的內(nèi)切圓，這個(gè)多邊形叫做圓的外切多邊形3. 直角三角形內(nèi)切圓的半徑與三邊的關(guān)系設(shè)、分別為中、的對(duì)邊，面積為，則內(nèi)切圓半徑為，其中若，則 例題講解考點(diǎn)一 圓的有關(guān)概念及性質(zhì)（1） 圓周角與圓心角例1.如圖，O的半徑為4，ABC是O的內(nèi)接三角形，連接OB、OC。若BAC與BOC互補(bǔ)，則弦BC的長(zhǎng)為_(kāi). 例2.如圖,經(jīng)過(guò)原點(diǎn)O的P與x,y軸分別交于A,B兩點(diǎn),點(diǎn)C是劣弧OB上一點(diǎn),則ACB=_. 例3.如圖，已知AB=AC=AD,CBD=2BDC,BAC=44o，則CAD的度數(shù)為_(kāi). 變式訓(xùn)練1.(2016南寧

10、)如圖，點(diǎn)A，B，C，P在O上，CDOA，CEOB，垂足分別為D，E，DCE=40°，則P的度數(shù)為_(kāi).  2. 如圖,O是ABC的外接圓,連接OA、OB,OBA=50O,則C的度數(shù)為(    ) 3、如圖，點(diǎn)p是四邊形ABCD外接圓O上任意一點(diǎn)，且不與四邊形頂點(diǎn)重合，若AD是O的直徑，AB=BC=CD，連接PA,PB,PC，若PA=a，則點(diǎn)A到PB和PC的距離之和AE+AF=_ 。（2） 垂徑定理例1、已知O的半徑等于5cm，弦AB=6cm,CD=8cm,且AB/CD,則AB、CD之間的距離為_(kāi). 例2、如圖，O的半徑是2，

11、直線(xiàn)與O相交于A、B兩點(diǎn)，M、N是O上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且在直線(xiàn)的異側(cè)，若AMB=45°，則四邊形MANB面積的最大值是（   ）例3、2012煙臺(tái)如圖，AB為O的直徑，弦CDAB，垂足為點(diǎn)E，CFAF，且CFCE（1）求證：CF是O的切線(xiàn)；（2）若，求的值 （3） 圓的內(nèi)接四邊形例1.如圖，四邊形ABCD內(nèi)接于O，DAB=130O，連接OC。點(diǎn)P是半徑OC上任意一點(diǎn)，連接DP、BP，則BPD可能為_(kāi)度。（寫(xiě)出一個(gè)即可）對(duì)應(yīng)訓(xùn)練1.如圖，在RTABC中，ABC=90O，點(diǎn)M是AC的中點(diǎn)，以AB為直徑作O分別交AC，BM于點(diǎn)D，E。求證：MD=ME。（4） 三角

12、形的外接圓及圓的內(nèi)接多邊形例1.設(shè)I為ABC的外心,若BIC=100O,則A的度數(shù)是_例2.如圖，在O的內(nèi)接五邊形ABCDE中,CAD=35O，則B+E=_. （5） 與相似的綜合例1.如圖，已知AD是ABC的角平分線(xiàn)，O經(jīng)過(guò)A、B、D三點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)B作BE/AD，交O于點(diǎn)E，連接ED。（1）求證：ED/AC;（2）若BD=2CD，設(shè)EBD的面積為S1，ADC的面積為S2，且S12-16S2+4=0,，求ABC的面積。 考點(diǎn)二 與圓有關(guān)的位置關(guān)系(1)切線(xiàn)的性質(zhì)例1.如圖, AB是O直徑,點(diǎn) C在O上, AE是O的切線(xiàn), A為切點(diǎn),連接 BC并延長(zhǎng)

13、交 AE于點(diǎn) D.若AOC=80°,則ADB的度數(shù)為( ) 例2如圖所示，AB是O的弦，AC是O的切線(xiàn)，A為切點(diǎn)，BC經(jīng)過(guò)圓心。若B=25O，則C的大小等于（  ）。對(duì)應(yīng)訓(xùn)練1.如圖，PA、RB分別切O于點(diǎn)A、B，若P70°，則C的大小為_(kāi)度. 2.如圖,AB為O的直徑,直線(xiàn)l與O相切于點(diǎn)C,垂足為D,AD交O于點(diǎn)E,連接OC、BE.若,則線(xiàn)段DC的長(zhǎng)為_(kāi).（2）切線(xiàn)長(zhǎng)定理例1如圖，在矩形ABCD中，AB=4,AD=5，AD、AB、BC分別與O相切于E、F、G三點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)D作O的切線(xiàn)交BC于點(diǎn)M，切點(diǎn)為N，則DM的長(zhǎng)為_(kāi). (

14、3)與切線(xiàn)有關(guān)的勾股定理和垂徑定理的綜合1.如圖，已知0是以坐標(biāo)原點(diǎn)0為圓心，1為半徑的圓，AOB45°，點(diǎn)P在x軸上運(yùn)動(dòng)，若過(guò)點(diǎn)P且與04平行的直線(xiàn)與0有公共點(diǎn)，設(shè)P(x，0)，則x的取值范圍是_. 2.如圖在矩形ABCD中，AB8，AD12，過(guò)A，D兩點(diǎn)的O與BC邊相切于點(diǎn)E，則O的半徑為_(kāi) （4）圓與相似三角形的綜合1.如圖7，ABC是等腰直角三角形，AC=BC= ，以斜邊AB上的點(diǎn)O為圓心的圓分別與AC，BC相切與點(diǎn)E，F(xiàn)， 與AB 分別交于點(diǎn)G，H，且 EH 的延長(zhǎng)線(xiàn)和 CB 的延長(zhǎng)線(xiàn)交于點(diǎn)D，則 CD 的長(zhǎng)為    

15、60;      . 2.如圖，AB是O的直徑，點(diǎn)D是上一點(diǎn)，且BDE=CBE,BD與AE交于點(diǎn)F。（1）求證：BC是O的切線(xiàn);（2）若BD平分ABE，求證：DE2=DFDB;（3）在（2）的條件下，延長(zhǎng)ED，BA交于點(diǎn)P，若PA=AO，DE=2，求PD的長(zhǎng)和O的半徑。綜合題庫(kù)1 （2012永州）如圖，AC是O的直徑，PA是O的切線(xiàn)，A為切點(diǎn)，連接PC交O于點(diǎn)B，連接AB，且PC=10，PA=6求：（1）O的半徑；（2）cosBAC的值2 （2012鐵嶺）如圖，O的直徑AB的長(zhǎng)為10，直線(xiàn)EF經(jīng)過(guò)點(diǎn)B且CBF=CDB連接AD（1）求證：直線(xiàn)EF是O的切線(xiàn)；（2）若點(diǎn)C是弧AB的中點(diǎn)，sinDAB= ，求CBD的面積3.（2012阜新）如圖，在ABC中，BC=3cm，BAC=6