競(jìng)賽專題講座

1、.袂螆莁節(jié)薁羂芇芁蚄螄膃芁螆羀聿莀蒅螃羅荿薈羈芄莈螀螁芀莇袂肆膆莆薂衿肂蒞蚄肅羈蒞螇?mèng)缕O莄蒆肅膂蒃蕿袆肈蒂蟻肁羄蒁袃襖莃蒀薃蚇艿葿蚅羂膅葿螈螅肁蒈蕆羈羇蕆蕿螄芅薆螞罿膁薅螄螂肇薄蒄羇肅薃蚆袀莂薃螈肆羋薂袁袈膄薁薀肄肀膇蚃袇羆芇螅肂芅芆蒅裊膁芅薇肀膇芄蝿羃肂芃袂螆莁節(jié)薁羂芇芁蚄螄膃芁螆羀聿莀蒅螃羅荿薈羈芄莈螀螁芀莇袂肆膆莆薂衿肂蒞蚄肅羈蒞螇?mèng)缕O莄蒆肅膂蒃蕿袆肈蒂蟻肁羄蒁袃襖莃蒀薃蚇艿葿蚅羂膅葿螈螅肁蒈蕆羈羇蕆蕿螄芅薆螞罿膁薅螄螂肇薄蒄羇肅薃蚆袀莂薃螈肆羋薂袁袈膄薁薀肄肀膇蚃袇羆芇螅肂芅芆蒅裊膁芅薇肀膇芄蝿羃肂芃袂螆莁節(jié)薁羂芇芁蚄螄膃芁螆羀聿莀蒅螃羅荿薈羈芄莈螀螁芀莇袂肆膆莆薂衿肂蒞蚄肅羈蒞螇?mèng)缕O

2、莄蒆肅膂蒃蕿袆肈蒂蟻肁羄蒁袃襖莃蒀薃蚇艿葿蚅羂膅葿螈螅肁蒈蕆羈羇蕆蕿螄芅薆螞罿膁薅螄螂肇薄蒄羇肅薃蚆袀莂薃螈肆羋薂袁袈膄薁薀肄肀膇蚃袇羆芇螅肂芅芆蒅裊膁芅薇肀膇芄蝿羃肂芃袂螆莁節(jié)薁羂芇芁蚄螄膃芁螆羀聿莀蒅螃羅荿薈羈芄莈螀螁芀莇袂肆膆莆薂衿肂 競(jìng)賽專題講座04平面幾何證明競(jìng)賽知識(shí)點(diǎn)撥1 線段或角相等的證明（1） 利用全等或相似多邊形；（2） 利用等腰；（3） 利用平行四邊形；（4） 利用等量代換；（5） 利用平行線的性質(zhì)或利用比例關(guān)系（6） 利用圓中的等量關(guān)系等。2 線段或角的和差倍分的證明（1） 轉(zhuǎn)化為相等問(wèn)題。如要證明a=b±c，可以先作出線段p=b±c，再去證明a=p，

3、即所謂“截長(zhǎng)補(bǔ)短”，角的問(wèn)題仿此進(jìn)行。（2） 直接用已知的定理。例如：中位線定理，Rt斜邊上的中線等于斜邊的一半；的外角等于不相鄰的內(nèi)角之和；圓周角等于同弧所對(duì)圓心角的一半等等。3 兩線平行與垂直的證明（1） 利用兩線平行與垂直的判定定理。（2） 利用平行四邊形的性質(zhì)可證明平行；利用等腰的“三線合一”可證明垂直。（3） 利用比例關(guān)系可證明平行；利用勾股定理的逆定理可證明垂直等?！靖?jìng)賽例題剖析】【例1】從O外一點(diǎn)P向圓引兩條切線PA、PB和割線PCD。從A點(diǎn)作弦AE平行于CD，連結(jié)BE交CD于F。求證：BE平分CD?！痉治?】構(gòu)造兩個(gè)全等。連結(jié)ED、AC、AF。CF=DFACFEDFPAB=AE

4、B=PFB【分析2】利用圓中的等量關(guān)系。連結(jié)OF、OP、OB。PFB=POB注：連結(jié)OP、OA、OF，證明A、O、F、P四點(diǎn)共圓亦可?！纠?】ABC內(nèi)接于O，P是弧 AB上的一點(diǎn)，過(guò)P作OA、OB的垂線，與AC、BC分別交于S、T，AB交于M、N。求證：PM=MS充要條件是PN=NT。【分析】只需證， PM·PN=MS·NT。（1=2，3=4）APMPBNPM·PN=AM·BN（BNT=AMS，BTN=MAS）BNTSMAMS·NT=AM·BN【例3】已知A為平面上兩半徑不等的圓O1和O2的一個(gè)交點(diǎn)，兩外公切線P1P2、Q1Q2分別切

5、兩圓于P1、P2、Q1、Q2，M1、M2分別為P1Q1、P2Q2的中點(diǎn)。求證：O1AO2=M1AM2。【分析】設(shè)B為兩圓的另一交點(diǎn)，連結(jié)并延長(zhǎng)BA交P1P2于C，交O1O2于M，則C為P1P2的中點(diǎn)，且P1M1CMP2M2，故CM為M1M2的中垂線。在O1M上截取MO3=MO2，則M1AO3=M2AO2。故只需證O1AM1=O3AM1，即證。由P1O1M1P2O2M2，M1O3=M2O2，O1P1=O1A，O2P2=O2A可得?！纠?】在ABC中，AB>AC，A的外角平分線交ABC的外接圓于D，DEAB于E，求證：AE=?！痉治觥糠椒?、2AE=AB-AC 在BE上截取EF=AE，只需證

6、BF=AC，連結(jié)DC、DB、DF，從而只需證DBFDCA DF=DA，DBF=DCA，DFB=DAC DFA=DAF=DAG。方法2、延長(zhǎng)CA至G，使AG=AE，則只需證BE=CG 連結(jié)DG、DC、DB，則只需證DBEDCG DE=DG，DBE=DCG，DEB=DGC=Rt。【例5】ABC的頂點(diǎn)B在O外，BA、BC均與O相交，過(guò)BA與圓的交點(diǎn)K引ABC平分線的垂線，交O于P，交BC于M。求證：線段PM為圓心到ABC平分線距離的2倍。【分析】若角平分線過(guò)O，則P、M重合，PM=0，結(jié)論顯然成立。若角平分線不過(guò)O，則延長(zhǎng)DO至D，使OD=OD，則只需證DD=PM。連結(jié)DP、DM，則只需證DMPD為

7、平行四邊形。過(guò)O作mPK，則DD,KP，DPK=DKPBL平分ABC，MKBLBL為MK的中垂線DKB=DMKDPK=DMK，DPDM。而D DPM，DMPD為平行四邊形?！纠?】在ABC中，AP為A的平分線，AM為BC邊上的中線，過(guò)B作BHAP于H，AM的延長(zhǎng)線交BH于Q，求證：PQAB。【分析】方法1、結(jié)合中線和角平分線的性質(zhì)，考慮用比例證明平行。倍長(zhǎng)中線：延長(zhǎng)AM至M，使AM=MA，連結(jié)BA，如圖6-1。PQABABQ=180°-(HBA+BAH+CAP)= 180°-90°-CAP=90°-BAP=ABQ方法2、結(jié)合角平分線和BHAH聯(lián)想對(duì)稱知識(shí)

8、。延長(zhǎng)BH交AC的延長(zhǎng)線于B，如圖6-2。則H為BB的中點(diǎn)，因?yàn)镸為BC的中點(diǎn)，連結(jié)HM，則HMB/C。延長(zhǎng)HM交AB于O，則O為AB的中點(diǎn)。延長(zhǎng)MO至M，使OM=OM，連結(jié)MA、MB，則AMBM是平行四邊形，MPAM，QMBM。于是，所以PQAB?！纠?】菱形ABCD的內(nèi)切圓O與各邊分別切于E、F、G、H，在EF與GH上分別作O的切線交AB于M，交BC于N，交CD于P，交DA于Q。求證：MQNP。（95年全國(guó)聯(lián)賽二試3）【分析】由ABCD知：要證MQNP，只需證AMQ=CPN，結(jié)合A=C知，只需證AMQCPN，AM·CN=AQ·CP。連結(jié)AC、BD，其交點(diǎn)為內(nèi)切圓心O。設(shè)

9、MN與O切于K，連結(jié)OE、OM、OK、ON、OF。記ABO=，MOK=，KON=，則EOM=，F(xiàn)ON=，EOF=2+2=180°-2。BON=90°-NOF-COF=90°-=CNO=NBO+NOB=+=AOE+MOE=AOM又OCN=MAO，OCNMAO，于是，AM·CN=AO·CO同理，AQ·CP=AO·CO。【例8】ABCD是圓內(nèi)接四邊形，其對(duì)角線交于P，M、N分別是AD、BC的中點(diǎn)，過(guò)M、N分別作BD、AC的垂線交于K。求證：KPAB?！痉治觥垦娱L(zhǎng)KP交AB于L，則只需證PAL+APL=90°，即只需證PD

10、C+KPC=90°，只需證PDC=PKF，因?yàn)镻、F、K、E四點(diǎn)共圓，故只需證PDC=PEF，即EFDC。DMECNF【例9】以ABC的邊BC為直徑作半圓，與AB、AC分別交于點(diǎn)D、E。過(guò)D、E作BC的垂線，垂足分別是F、G，線段DG、EF交于點(diǎn)M。求證：AMBC?！痉治觥窟B結(jié)BE、CD交于H，則H為垂心，故AHBC。（同一法）設(shè)AHBC于O，DG、AH交于M1，EF、AH交于M2。下面證M1、M2重合。OM1DFOM1=。OM2EGOM2=。只需證OG·DF=EG·OF，即RtOEGRtODFDOF=DHB=EHC=EOG。 螈肇蕆莀螇腿芀蠆袆衿蒆薅袆羈艿蒁裊肄蒄莇襖芆芇螅袃羆膀蟻袂肈蒞薇袁膀膈蒃袀袀莃荿羀羂膆蚈罿肄莂薄羈膇膅蒀羇羆莀蒆羆聿芃螅羅膁蒈蟻羄芃芁薇羄羃蕆蒃薀肅艿荿蠆膈蒅蚇蚈袇羋蚃蚇肀蒃蕿蚇膂莆蒅蚆芄腿螄蚅羄莄蝕蚄肆膇薆螃膈莃蒂螂袈膅莈螂羀莁螆螁膃膄螞螀芅葿薈蝿羅節(jié)蒄螈肇蕆莀螇腿芀蠆袆衿蒆薅袆羈艿蒁裊肄蒄莇襖芆芇螅袃羆膀蟻袂肈蒞薇袁膀膈蒃袀袀莃荿羀羂膆蚈罿肄莂薄羈膇膅蒀羇羆莀蒆羆聿芃螅羅膁蒈蟻羄芃芁薇羄羃蕆蒃薀肅艿荿蠆膈蒅蚇蚈袇羋蚃蚇肀蒃蕿蚇膂莆蒅蚆芄腿螄蚅羄莄蝕蚄肆膇薆螃膈莃蒂螂袈膅莈螂羀莁螆螁膃膄螞螀芅葿