優(yōu)秀20042018年終d題“華為杯”第十五屆中

1、“杯”第十五屆研究生數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽基于高度計(jì)海面高度異常資料題 目獲取潮汐調(diào)和常數(shù)及應(yīng)用摘 本文主要通過(guò)對(duì) TOPEX/POSEION要：高度計(jì)在若干位置點(diǎn)觀測(cè)得到的高度，在相關(guān)理論和經(jīng)驗(yàn)公式的基礎(chǔ)上，通過(guò)最小二乘法提取分潮調(diào)和常數(shù)。進(jìn)一步，在相關(guān)數(shù)學(xué)模型基礎(chǔ)上，沿軌道方向?qū)Ω鞣殖钡某毕{(diào)和常數(shù)進(jìn)行正壓潮和內(nèi)潮的分離，并作出各主要分潮的同潮圖。所有模型均以驗(yàn)潮站數(shù)據(jù)作為參，以期獲得觀測(cè)點(diǎn)數(shù)量閾值、擬合函數(shù)階數(shù)等與模型精度之間的獲得最優(yōu)調(diào)和常數(shù)相關(guān)模型。具體工作詳述如下：，最終問(wèn)題一，通過(guò)對(duì)該調(diào)和常數(shù)模型分析可看出，各分潮的調(diào)和常數(shù)與潮高觀測(cè)值線性，該模型的求解需采用調(diào)和常數(shù)線性最小二乘法模型。另

2、一方面，資料中給出的部分沿軌道觀測(cè)點(diǎn)所對(duì)應(yīng)的觀測(cè)次數(shù)較少，其若引入調(diào)和常數(shù)計(jì)算將嚴(yán)重影響結(jié)果精度，故使用觀測(cè)數(shù)閾值模型評(píng)估能有效提取分潮的觀測(cè)次數(shù)最小值。此外，沿軌道觀測(cè)點(diǎn)與潮汐驗(yàn)潮點(diǎn)的地理位置全一致，地理位置的差距對(duì)潮汐調(diào)和常數(shù)的影響較大，因此提出了誤差模型，其能匹配離驗(yàn)潮點(diǎn)位置最近的觀測(cè)點(diǎn)來(lái)檢驗(yàn)?zāi)M得到的潮汐調(diào)和常數(shù)。參數(shù)估計(jì)過(guò)，假定除了四個(gè)分潮（𝑀2、𝑆2、𝐾1、𝑂1）外，其他分潮對(duì)實(shí)際水位的忽略不計(jì)。將調(diào)和常數(shù)最小二乘模型、閾值模型及誤差反饋模型有機(jī)結(jié)合起來(lái)，了問(wèn)題一最終需要的調(diào)和常數(shù)估計(jì)模型H、g-閾值-誤差模型。經(jīng)分析

3、，當(dāng)觀測(cè)位置觀測(cè)數(shù)閾值為 75 時(shí)（即某位置觀測(cè)數(shù)據(jù)大于 75 則計(jì)入模型計(jì)算），計(jì)算得到的各主要分潮的調(diào)和常數(shù)較為理想。依據(jù)為，模型結(jié)果與所有實(shí)際觀測(cè)值cm。四個(gè)分潮中 K1 分潮振振幅最大誤差基本在±10 cm 以內(nèi)，平均誤差小于 5幅誤差最小，M2 分潮振幅誤差最大。對(duì)于，大部分觀測(cè)站誤差均小于 10 度，少數(shù)觀測(cè)站絕對(duì)誤差出現(xiàn)超過(guò) 50 度的現(xiàn)象，主要模型中參數(shù)設(shè)置有一定的誤差。因此本文的解題過(guò)可能是原始調(diào)和常數(shù)計(jì)算，均選取觀測(cè)次數(shù)大于 75的沿軌道觀測(cè)點(diǎn)數(shù)據(jù)。將各分潮調(diào)和常數(shù)與驗(yàn)潮站進(jìn)行比較，得到 M2 分潮的振幅差的均方根為 5.8328 cm，差的均方根為 9.9258

4、°。S2 分潮的振幅差的均方根為 4.7543 cm，差的均方根為 10.7530°。K1 分潮的振幅差的均方根為7.6919 cm，18.9871°。O1 分潮的振幅差的均方根為10.1969差的均方根為1cm，差的均方根為 7.8207°。說(shuō)明本文的結(jié)果具有較高計(jì)算精度，為問(wèn)題 2內(nèi)潮信號(hào)與正壓潮信號(hào)的分離奠定了扎實(shí)基礎(chǔ)。問(wèn)題二，需要對(duì)沿軌道各分潮潮汐調(diào)和常數(shù)進(jìn)行正壓潮和內(nèi)潮的分離， 本文為此建立了沿軌分離模型。首先對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行分段預(yù)處理。對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行初步分析可知，給出的數(shù)據(jù)總共可分為 20 條軌道，將這 20 段軌道逐一標(biāo)號(hào)，并分段提取觀測(cè)數(shù)據(jù)。在正壓

5、潮和內(nèi)潮的分離問(wèn)題上，參考相關(guān)文獻(xiàn)，采用了多項(xiàng)式擬合的對(duì)問(wèn)題 1 中求出的調(diào)和常數(shù)進(jìn)行展開。首先將幅度 H 和g 轉(zhuǎn)化為極坐標(biāo)形式 Hcos g 和 Hsin g，并分別進(jìn)行擬合，然后通過(guò)構(gòu)造代價(jià)函數(shù)，將擬合過(guò)程轉(zhuǎn)換為求解n 個(gè)方程的線性方，最后采用最小二乘法求解該類方程分離得到該分潮的正壓潮屬性。在擬合過(guò)，選取擬合次數(shù)為 315 次，經(jīng)過(guò)誤差比較、分系，可得到 11 次多項(xiàng)式擬合結(jié)果與海表面分潮振幅的符合程度最高， 能準(zhǔn)確地表示正壓潮值，從而保證內(nèi)潮提取結(jié)果的準(zhǔn)確性，其幅度誤差均在 2 cm 以內(nèi)， 誤差則不超過(guò) 2o。正文中給出了四個(gè)主要分潮的內(nèi)潮和正壓潮的振幅與分布圖。問(wèn)題三，由于沿軌道

6、觀測(cè)點(diǎn)數(shù)據(jù)有限，只能得到一定數(shù)量的數(shù)據(jù)?，F(xiàn)需要繪制出的各主要分潮的同潮圖，則需要得到研究區(qū)域內(nèi)的任意點(diǎn)的調(diào)和常數(shù)。本文建立了兩種數(shù)學(xué)模型，分別是基于多項(xiàng)式擬合的求解任意點(diǎn)調(diào)和常數(shù)的數(shù)學(xué)模型和二屬性插值模型。第一種模型，我們需要對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行預(yù)處理，得到軌道交點(diǎn)坐標(biāo)，在研究區(qū)域內(nèi)任選一點(diǎn)，得到該點(diǎn)到其最近兩條上（下）行軌的距離比,在這兩條上（下）行軌間的下（上）行軌上可以找到與該點(diǎn)具有相同距離比的一系列點(diǎn),對(duì)這些點(diǎn)的調(diào)和常數(shù)進(jìn)行多項(xiàng)式擬合。第二種模型，本文主要選取反距離加權(quán)插值算法和基于 B 樣條函數(shù)插值算法進(jìn)行研究， 進(jìn)行分別求解。正文中給出了兩種模型所求解出的同潮圖。問(wèn)題四，是對(duì)問(wèn)題二和問(wèn)題三中

7、擬合或插值次數(shù)的探討。問(wèn)題二中已經(jīng)對(duì)擬合次數(shù)對(duì)模型結(jié)果的影響作了初步的探討，結(jié)合問(wèn)題二中各個(gè)分潮不同擬合次數(shù)下潮汐調(diào)和常數(shù)的結(jié)果，得到擬合次數(shù)越高擬合結(jié)果的絕均差不一定越小。其中，擬合次數(shù)分別為 7、8、9、10、11、12 及 14 時(shí)，多項(xiàng)式擬合的振幅絕均差相當(dāng)，明顯好于其他次數(shù)的擬合結(jié)果；多項(xiàng)式擬合次數(shù)為 11 時(shí)，多項(xiàng)式擬合絕均差最小。因此本文選取多項(xiàng)式擬合次數(shù)為 11，并將該結(jié)論運(yùn)用得到的至問(wèn)題三。通過(guò)調(diào)整問(wèn)題三模型的擬合次數(shù)，得到的同潮圖與相關(guān)文獻(xiàn)更相近。：潮汐調(diào)和常數(shù)、最小二乘法、同潮圖、多項(xiàng)式擬合21、問(wèn)題重述1.1 問(wèn)題背景海洋潮汐是在天體引潮力作用下形成的長(zhǎng)周期波動(dòng)現(xiàn)象，在

8、水平方向上表現(xiàn)為潮流的漲落，在鉛直方向上則表現(xiàn)為潮位的升降。潮汐潮流是海洋中的基本之一，它是動(dòng)力海洋學(xué)研究的重要組成部分，對(duì)它的研究直接影響著波浪、風(fēng)暴潮、環(huán)流、水團(tuán)等其他海洋現(xiàn)象的研究，在大陸架淺海海洋中，對(duì)潮汐潮流的研究更具重要性。海岸附近和河口區(qū)域是人類進(jìn)行生產(chǎn)活動(dòng)十分頻繁的地帶， 而這個(gè)地帶的潮汐現(xiàn)象非常顯著，它直接或間接地影響著人們的生產(chǎn)和生活。潮汐潮流工作的開展和研究，可為國(guó)防建設(shè)、交通航運(yùn)、海洋資源開發(fā)、能源利用、環(huán)境保護(hù)、海港建設(shè)和海岸防護(hù)提供資料。例如，沿海地區(qū)的海灘圍墾、農(nóng)田排灌，水產(chǎn)的捕撈和養(yǎng)殖，制鹽，海港的選址及建設(shè)，以至于潮能發(fā)電等活動(dòng)，無(wú)不與潮汐潮流現(xiàn)象有著密切的。

9、從區(qū)域海洋潮汐的數(shù)值模擬的現(xiàn)狀來(lái)講，四個(gè)主要分潮（M2、S2、K1、O1） 的單一分潮的數(shù)值模擬與同化可以得到令人滿意的結(jié)果，但其它分潮（N2、K2、P1、Q1 等）的單一分潮的數(shù)值模擬與同化，結(jié)果卻差強(qiáng)人意；這意味著其它分潮的數(shù)值模擬，只有與四個(gè)主要分潮同時(shí)進(jìn)行數(shù)值模擬，才能得到可以接受的結(jié)果。從具體操作來(lái)講，其它分潮由于相對(duì)較弱，導(dǎo)致模擬結(jié)果的精度難以提高。從各分潮的調(diào)和常數(shù)獲取的發(fā)展史來(lái)說(shuō)，通過(guò)對(duì)已有觀測(cè)結(jié)果進(jìn)行插值曾經(jīng)是首選，但發(fā)展過(guò)分學(xué)者開展了插值逐漸被數(shù)值模擬所取代。高度計(jì)資料的出現(xiàn)，部的研究，并取得了一些值得一提的結(jié)果，盡管被所謂的主流方式淹沒，但也難掩其光芒所在。鑒于目前已有高

10、度計(jì)資料作為支持，其它分潮及長(zhǎng)周期分潮的調(diào)和常數(shù)獲取的插值研究大有可為。1.2 問(wèn)題描述本題主要任務(wù)是根據(jù)高度計(jì)海面高度異常資料，建立獲取潮汐調(diào)和常數(shù)并進(jìn)行評(píng)價(jià)分析的數(shù)學(xué)模型，主要：正確提取各主要分潮的潮汐調(diào)和常數(shù)，對(duì)各分潮進(jìn)行正壓潮和內(nèi)潮的分離，正確繪出各主要分潮的同潮圖。根據(jù)題目和附件所提供的相關(guān)問(wèn)題 1：根據(jù)沿軌道的及數(shù)據(jù)，主要要求 我們解決以下問(wèn)題：觀測(cè)點(diǎn)的海面高度異常值，建立數(shù)學(xué)模型提取所有觀測(cè)點(diǎn)各主要分潮（𝑀2、𝑆2、𝐾1、𝑂1）的潮汐調(diào)和常數(shù)，是否有效提取那些分潮的潮汐調(diào)和常數(shù)取決于相應(yīng)的資料長(zhǎng)度；對(duì)提取的潮汐調(diào)和常

11、數(shù)，利用潮汐驗(yàn)潮點(diǎn)的調(diào)和常數(shù)給予評(píng)價(jià)或檢驗(yàn)，并給出評(píng)價(jià)結(jié)果的分析或評(píng)價(jià)。問(wèn)題 2：得到所有觀測(cè)點(diǎn)各主要分潮（𝑀2、𝑆2、𝐾1、𝑂1）的潮汐調(diào)和常數(shù)，沿軌道作圖后，可發(fā)現(xiàn)潮汐調(diào)和常數(shù)在沿軌道方向，在空間有細(xì)結(jié)構(gòu)，而此細(xì)結(jié)構(gòu)是內(nèi)潮對(duì)正壓潮的調(diào)制；請(qǐng)?jiān)O(shè)法對(duì)沿軌道的各分潮的潮汐調(diào)和常數(shù)進(jìn)行正壓潮和內(nèi)潮的分離。問(wèn)題 3：設(shè)計(jì)數(shù)據(jù)插值或擬合給出的各主要分潮的同潮圖，并利用潮汐驗(yàn)潮點(diǎn)的調(diào)和常數(shù)給予評(píng)價(jià)或檢驗(yàn)，并給出評(píng)價(jià)結(jié)果的分析或評(píng)價(jià)。問(wèn)題 4：如果在對(duì)沿軌道的潮汐調(diào)和常數(shù)分離、插值或擬合的過(guò)了特定的函數(shù)進(jìn)行擬合，是否能夠確定出需利用的特定函數(shù)

12、的最佳（ 上述結(jié)論是否對(duì)第 3 問(wèn)有啟示或幫助。，利用數(shù)，32、問(wèn)題分析問(wèn)題 1，附件中給出了海面高度異常數(shù)據(jù)，并且詳細(xì)了 f、u 潮汐模型的相關(guān)數(shù)學(xué)表及相應(yīng)參數(shù)含義。通過(guò)對(duì)此模型分析可以看出，實(shí)際水位 h 與調(diào)和常數(shù)（hj, gj）呈非線性，分別使 xj 對(duì)應(yīng) Hj cos gj，yj 對(duì)應(yīng) Hj sin gj，再根據(jù)相應(yīng)結(jié)果提取參數(shù)。為減小噪聲 r可以建立 n 個(gè)方程的線性方對(duì)分析結(jié)果的影響，提取了大量觀測(cè)數(shù)據(jù)，因此方程的數(shù)量n 遠(yuǎn)大于未知數(shù)的數(shù)量m +1 。該模型的特點(diǎn)，為實(shí)現(xiàn)對(duì)不等時(shí)距潮汐資料的分析，本文采用最小二乘法進(jìn)行各主要分潮調(diào)和常數(shù)的提取。在提取 4520 個(gè)觀測(cè)點(diǎn)的四個(gè)主要分

13、潮的調(diào)和常數(shù)時(shí)，假設(shè)當(dāng)觀測(cè)時(shí)間序列小于某個(gè)閾值時(shí)，等于沒有此數(shù)據(jù)。通過(guò)附件中給出的驗(yàn)潮站四個(gè)主要分潮的調(diào)和常數(shù)，對(duì)該模型進(jìn)行了檢驗(yàn)，繪制了模型求解值與驗(yàn)潮站實(shí)測(cè)值之間誤差分布圖，并列出模型求解值與驗(yàn)潮站實(shí)測(cè)值的H 及 G，對(duì)該檢驗(yàn)進(jìn)行分析。問(wèn)題 2，問(wèn)題 1 中我們已經(jīng)求得所有觀測(cè)點(diǎn)各主要分潮（𝑀2、𝑆2、g。對(duì)潮汐調(diào)和常數(shù)沿軌道作圖，𝐾1、𝑂1）的潮汐調(diào)和常數(shù),振幅 H 和便是根據(jù)位置（經(jīng)緯度），將某條軌道上某個(gè)分潮的調(diào)和常數(shù) H 和 g 用圖像表示。因此，首先要對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行分段處理，分離出相應(yīng)數(shù)量的軌道。對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行初步分析可知，

14、給出的數(shù)據(jù)總共可以分為 20 條軌道。問(wèn)題中指出，沿軌道作圖后，發(fā)現(xiàn)潮汐調(diào)和常數(shù)在沿軌道方向的空間上有細(xì)結(jié)構(gòu)，而該細(xì)結(jié)構(gòu)是內(nèi)潮對(duì)正壓潮的調(diào)制。在正壓潮和內(nèi)潮的分離問(wèn)題上，參考相關(guān)文獻(xiàn)，本文采用多項(xiàng)式擬合的方法展開問(wèn)題 1 中求出的調(diào)和常數(shù)。首先將 H 和 g 轉(zhuǎn)化為極坐標(biāo)形式 Hcos g 和Hsin g，并分別進(jìn)行擬合，然后通過(guò)構(gòu)造代價(jià)函數(shù)，將擬合過(guò)程轉(zhuǎn)換為求解n 個(gè)方程的線性方，最后采用最小二乘法求解該類方程并確保擬合的精確度。得到的擬合結(jié)果代表正壓潮值，通過(guò)與該點(diǎn)原數(shù)據(jù)間的運(yùn)算以及坐標(biāo)轉(zhuǎn)換便可得內(nèi)潮值。問(wèn)題 3，建立了兩種數(shù)學(xué)模型，分別是基于多項(xiàng)式擬合的求解任意點(diǎn)調(diào)和常數(shù)的數(shù)學(xué)模型和二屬

15、性插值模型。第一種模型，我們需要對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行預(yù)處理，得到軌道交點(diǎn)坐標(biāo)，在研究區(qū)域內(nèi)任選一點(diǎn)，得到該點(diǎn)到其最近兩條上（下）行軌的距離比,在這兩條上（下）行軌間的下（上）行軌上可以找到與該點(diǎn)具有相同距離比的一系列點(diǎn),對(duì)這些點(diǎn)的調(diào)和常數(shù)進(jìn)行多項(xiàng)式擬合。第二種模型，本文主要選取反距離加權(quán)插值算法和基于 B 樣條函數(shù)插值算法進(jìn)行研究，進(jìn)行分別求解。對(duì)于兩種模型所求解出的結(jié)果繪制等潮圖。問(wèn)題 4，此題是對(duì)問(wèn)題 2 和問(wèn)題 3 的總結(jié)。在建立數(shù)學(xué)模型進(jìn)行求解的過(guò)程，所使用的數(shù)學(xué)模型中一些改變可以明顯結(jié)果的正確性。在擬合的過(guò)程，不同擬合次數(shù)可以得出不同的結(jié)果，當(dāng)擬合次數(shù)為一定的值時(shí)，擬合效果最好， 不能過(guò)大或過(guò)

16、小，由此得出最佳擬合次數(shù)。在進(jìn)行插值時(shí)，不同的插值算法效果也不相同，在問(wèn)題 3 中，根據(jù)不同的插值算法，可以繪制出對(duì)應(yīng)的同潮圖，與相關(guān)資料進(jìn)行對(duì)比，從而性能。43、符號(hào)說(shuō)明4 、問(wèn)題假設(shè)在問(wèn)題求解過(guò)假設(shè)：，考慮到實(shí)際情況與簡(jiǎn)化計(jì)算的需要，采用了以下相關(guān)的（1）測(cè)量所得數(shù)據(jù)需要考慮諸多因素并進(jìn)行各種訂正，本文數(shù)據(jù)近似等于海面高度；（2） 題目所涉及的經(jīng)緯度范圍相對(duì)較小，所以近似為平面區(qū)域；（3） 相對(duì)于其他分潮，分潮（𝑀2、𝑆2、𝐾1、𝑂1）各自單一分潮的數(shù)值模擬與同化結(jié)果較好，因此只需對(duì)這四個(gè)主要分潮進(jìn)行分析求解；（4）假設(shè)徑向軌

17、道誤差對(duì)本題計(jì)算值的以忽略不計(jì)；（5） 觀測(cè)點(diǎn)數(shù)據(jù)只與海洋潮汐有關(guān)，不其它外力導(dǎo)致水位的波動(dòng)；（6） 驗(yàn)潮站調(diào)和常數(shù)觀測(cè)數(shù)據(jù)準(zhǔn)確無(wú)誤。5、模型建立與分析5.1 問(wèn)題 1 H、g-閾值-誤差模型及分析5.1.1 H、g-閾值-誤差模型建模1、調(diào)和常數(shù)線性最小二乘法模型實(shí)際水位可以看作是很多個(gè)調(diào)和分潮迭加的結(jié)果。根據(jù)區(qū)域海洋潮汐的數(shù)值模擬的現(xiàn)狀，四個(gè)主要分潮（𝑀2、𝑆2、𝐾1、𝑂1）的單一分潮的數(shù)值模擬與同化可以得到令人滿意的結(jié)果，而其它分潮的數(shù)值模擬與同化的結(jié)果卻差強(qiáng)人意。因此本文忽略其它分潮對(duì)水位的影響，在分析中只考慮四個(gè)主要分潮

18、。則對(duì)于任一點(diǎn)5符號(hào)符號(hào)說(shuō)明hHgS 0fun0sm1 , m2 , m3 , m4 , m5 , m6JS0t D M Y海面高度值分潮調(diào)和常數(shù)的振幅分潮調(diào)和常數(shù)的余水位 交點(diǎn)因子交點(diǎn)訂正角初相位分潮的角速度Doodson 數(shù)潮數(shù) 余水位時(shí)刻 日月年的潮位表：JJh = S0 + å f j H j cos(vj + u j - g j ) = S0 + å f j H j cos(s jt + v0 j + u j - g j )（1）j =1j =1可化為如下形式：JJh = S0 + å f j cos(s jt + v0 j + u j )H j cos

19、 g j + å f j sin(s jt + v0 j + u j )H j sin g j （2）j =1j =1其中，J 為 4，其余變量均為已知或可通過(guò)簡(jiǎn)單計(jì)算得出，以下將分析需要計(jì)算的變量的獲取。v0 為分潮初相位，即 Y 年 M 月 D 日 t 時(shí)刻（實(shí)際計(jì)算中是觀測(cè)數(shù)據(jù)的起始時(shí)間）的天文初相角：v0 = m1t + m2 s + m3 h¢ + m4 p + m5 N ¢ + m6 p¢ + m0 90（3）其中，m0 , m1 , m2 , m3 , m4 , m5 , m6 為 Doodson 數(shù)，它們的系數(shù)均為 Y、i、n、t 的函數(shù)

20、，i 為 1900 年至 Y 年的閏年數(shù)，i=int (Y-1901)/4)；n 為從 Y 年 1 月 1 日開始計(jì)算的累積日期序數(shù)，1 月 1 日的日期序數(shù)為 0，t 為時(shí)間（：小時(shí)）。由于提供的高度計(jì)數(shù)據(jù)資料中觀測(cè)的時(shí)刻是以 2000 年 1 月 1 日 0 點(diǎn) 0 分 0秒時(shí)間）開始計(jì)算，考慮到時(shí)間處理的復(fù)雜程度，觀測(cè)數(shù)據(jù)的起始時(shí)刻定為 2000 年 1 月 1 日 0 點(diǎn) 0 分 0 秒（時(shí)間），而得到固定的 Y、i、n、tv0值，由此計(jì)算得到的也是固定不變的，即同一分潮的分潮初相位不隨時(shí)間改變，也與空間點(diǎn)的位置無(wú)關(guān)。fj 為交點(diǎn)因子，uj 為交點(diǎn)訂正角，各分潮的 fj、uj 的具體計(jì)

21、算公式如下：ì f cos u = å rDmMm cos(p + Dm5 N )¢mm4ïm=1（4）íMï f sin u = å r sin(Dmp + Dm N )¢mmïm45îm=1情況下（短時(shí)間，比如一年之內(nèi)）可以取資料序列的中間時(shí)刻計(jì)算，但年的資料，取中間時(shí)刻會(huì)導(dǎo)致分析結(jié)果有偏差。m、4m、5m這里是跨度 25和 Doodson 數(shù)可查表得出。在確定了所有的參數(shù)之后，由n 個(gè)時(shí)刻 t=t1, t2, t3,tn 及其對(duì)應(yīng)的潮高觀測(cè)值h=h1, h2, h3,hn，那么，就可以建立

22、如下由n 個(gè)方程的方：ìJJï S0 + å x j f j cos(s jt1 + V0 + u j ) + å y j f j sin(s jt1 + V0 + u j ) = h1ïj =1j =1ïJJïS0 + å x j f j cos(s jt2 + V0 + u j ) + å y j f j sin(s jt2 + V0 + u j ) = h2（5）íïïj =1j =1ïJJïS0 + å x j f j cos(s jtn

23、 + V0 + u j ) + å y j f j sin(s jtn +V0 + u j ) = hnîj =1j =1xj 對(duì)應(yīng) Hj cos gj，yj 對(duì)應(yīng) Hj sin gj，它們和 S0 共同方了方中的全部未知量。潮汐調(diào)和分析的目的正是求出 xj 與 yj，從而求出各個(gè)分潮的調(diào)和常6數(shù) H 和 g。為表示的方便，將方寫成如下形式：ì S0 + a11 x1 + a12 x2 + a1m xm = h1ïS+ a x + a x + ax = hï021 122 22m m2í（6）ïïîS0

24、+ an1 x1 + an 2 x2 + anm xm = hn其中 m=2J，即所選分潮數(shù)的兩倍，S0 與 xj 為待求解的未知數(shù)。為盡量減小噪聲r(shí) 對(duì)分析結(jié)果的影響，使調(diào)和常數(shù)盡可能接近真值，在實(shí)際潮汐分析中，總是希望使用的觀測(cè)數(shù)據(jù)。因此，方程的數(shù)量 n遠(yuǎn)大于未知數(shù)的數(shù)量 m+1。對(duì)于這樣的方，從線性代數(shù)這門學(xué)科的角度來(lái)考慮，方只是一個(gè)線性代數(shù)中的超定方，只需要直接解這個(gè)超定方即可，基于內(nèi)部函數(shù)功能求解線性方能很好地解決這一問(wèn)題，并且方所得解即為最小二乘解，從而簡(jiǎn)化了調(diào)和分析的算法。有多少樣本，就有多少個(gè)方程，更能體現(xiàn)最小二乘法的靈活性，完全不受等時(shí)或非等時(shí)取樣的限制。最小二乘法的思想是，

25、尋求一組解，使擬合值與實(shí)際值之差的平方和，即下式的值達(dá)到最?。簄D = å(a x + a x + a x + S - h )2（7）i1 1i 2 2im m0ii=1根據(jù)多元函數(shù)微分的理論，這要求D 相對(duì)于數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)均為 0，即：¶D = ¶D¶D¶Dm= 0（8）¶S0¶這樣就可得到關(guān)于分潮調(diào)和常數(shù)的線性方2、閾值模型，進(jìn)而可提取出分潮的調(diào)和常數(shù)。位置點(diǎn)的觀測(cè)數(shù)量是起決定作用的指標(biāo)，如果觀測(cè)次數(shù)過(guò)少的話，計(jì)算得到的潮汐調(diào)和常數(shù)可靠性會(huì)降低。本題數(shù)據(jù)的時(shí)間跨度長(zhǎng)達(dá) 25 年，所以觀測(cè)數(shù)目過(guò)少的點(diǎn)基本上等同于沒有觀測(cè)，其若

26、引入調(diào)和常數(shù)計(jì)算將嚴(yán)重影響結(jié)果精度， 故需要區(qū)別對(duì)待。為此，本文提出了觀測(cè)點(diǎn)數(shù)量閾值模型，即某一位置處觀測(cè)點(diǎn)數(shù)達(dá)到或超過(guò)該閾值時(shí)，則能有效提取主要分潮的潮汐調(diào)和常數(shù)。為獲得合理閾值區(qū)間，本文分別選取閾值初始值為 0、50、100、200、300、500，分別來(lái)計(jì)算各主要分潮（𝑀2、𝑆2、𝐾1、𝑂1）的潮汐調(diào)和常數(shù)，通過(guò)所得數(shù)據(jù)的連續(xù)性、誤差大小來(lái)取的合理程度。3、誤差分析模型閾值選由于高度計(jì)觀測(cè)點(diǎn)和驗(yàn)潮站對(duì)應(yīng)的經(jīng)緯度不盡相同，本文將從中選取經(jīng)緯度相同或相近的觀測(cè)點(diǎn)進(jìn)行潮汐調(diào)和常數(shù)的對(duì)比，以此來(lái)驗(yàn)證上述模型的精度。對(duì)各個(gè)主要分潮（&

27、#119872;2、𝑆2、𝐾1、𝑂1）有：7ìmine =(lon - lon )2 + (lat - lat)2ïjijijjïïDHi =Hi (loni , lati ) - H j (lon j , lat j )ïDg =g (lon , lat ) - g (lon , lat )í（9）iiiijjjïDH = åDHïiïiïDg = åDgiïîi其中：ìï99 E &l

28、t; loni , lon j < 122 Eíïî2 N < lati , lat j < 25 N這里 的求取參考了距離公式，顯然經(jīng)緯度之差并不能對(duì)應(yīng)相應(yīng)的距離，但其與距離成正比：e µ d =(x - x )2 + ( y - y)2 ，其中 xi, j、yi, j 分別對(duì)應(yīng)高度計(jì)觀測(cè)點(diǎn)ijij和驗(yàn)潮站的距離坐標(biāo)，因此e 確實(shí)能從一定程度表征兩個(gè)位置點(diǎn)的相近程度。4、H、g-閾值-誤差模型實(shí)現(xiàn)過(guò)程本文提出的調(diào)和常數(shù)計(jì)算模型主要算法流程圖如圖 5-1 所示，主要閾值設(shè)置并刷選觀測(cè)點(diǎn)數(shù)據(jù)、參數(shù)計(jì)算、最小二乘估計(jì)調(diào)和常數(shù)，模型檢驗(yàn)幾個(gè)部

29、分。由于閾值-誤差的反饋機(jī)制，本文模型將在已有數(shù)據(jù)的質(zhì)量基礎(chǔ)上達(dá)到非常高的計(jì)算精度。開始N調(diào)和常數(shù)是否在合理范圍內(nèi)？Y驗(yàn)潮站檢驗(yàn)?zāi)Ｐ?檢驗(yàn)評(píng)價(jià)結(jié)束圖 5-1H、g-閾值-誤差模型流程圖8調(diào)和常數(shù)沿軌道作圖最小二乘法計(jì)算分潮調(diào)和常數(shù)潮位參數(shù)計(jì)算設(shè)置觀測(cè)時(shí)間序列篩選閾值5.1.2模型的求解與驗(yàn)證分析根據(jù)附件高度計(jì)中沿軌道觀測(cè)點(diǎn)的海面高度異常值，通過(guò)最小二乘法求解出所有觀測(cè)點(diǎn)各主要分潮（𝑀2、𝑆2、𝐾1、𝑂1）的潮汐調(diào)和常數(shù)。在求解過(guò)，發(fā)現(xiàn)當(dāng)時(shí)間序列過(guò)小，該點(diǎn)所計(jì)算出的各主要分潮（𝑀2、𝑆2、Ү

30、70;1、𝑂1）的潮汐調(diào)和常數(shù)誤差非常大。為此，本文選取觀測(cè)次數(shù)分別大于 0、75、100、300、500（即閾值）的觀測(cè)點(diǎn)，用以計(jì)算各主要分潮（𝑀2、𝑆2、𝐾1、𝑂1）的汐調(diào)和常數(shù)，并調(diào)用中的 m_map 函數(shù)沿軌道作圖。結(jié)果如下所示：（a）分潮 M2 振幅、分布（b）分潮S2 振幅、分布（c）分潮 K1 振幅、分布9（d）分潮O(jiān)1 振幅、分布圖 5-2閾值為 0潮振幅分布計(jì)算結(jié)果（a）分潮 M2 振幅、分布（b）分潮S2 振幅、分布（c）分潮 K1 振幅、分布10（d）分潮O(jiān)1 振幅、分布圖 5-3閾值為 75

31、潮振幅分布計(jì)算結(jié)果（a）分潮 M2 振幅、分布（b）分潮S2 振幅、分布（c）分潮 K1 振幅、分布115（d）分潮O(jiān)1 振幅、分布圖 5-4閾值為 100潮振幅分布計(jì)算結(jié)果（a）分潮 M2 振幅、分布（b）分潮S2 振幅、分布（c）分潮 K1 振幅、分布12（d）分潮O(jiān)1 振幅、分布圖 5-5閾值為 300潮振幅分布計(jì)算結(jié)果（a）分潮 M2 振幅、分布（b）分潮S2 振幅、分布（c）分潮 K1 振幅、分布13（d）分潮O(jiān)1 振幅、分布圖 5-6閾值為 500潮振幅分布計(jì)算結(jié)果從定性分析的角度來(lái)看，分析上面的多個(gè)分潮在不同閾值下的調(diào)和常數(shù)分布圖，可以發(fā)現(xiàn)，若不對(duì)觀測(cè)時(shí)間序列進(jìn)行篩選，數(shù)據(jù)極其異

32、常，誤差非常大?？梢缘贸鼋Y(jié)論，實(shí)際上觀測(cè)次數(shù)是起決定作用的指標(biāo)。如果觀測(cè)次數(shù)過(guò)少的話，不可能提取出一定數(shù)目的分潮。時(shí)間跨度為 25 年，觀測(cè)數(shù)目過(guò)少的點(diǎn)基本上等同于沒有觀測(cè)，所以我們?cè)O(shè)置閾值為 0、75、100、300、500，分別算出各主要分潮的調(diào)和常數(shù)，并沿軌道作圖進(jìn)行定性分析，可以得出當(dāng)閾值為 75 時(shí)，效果理想。同時(shí)發(fā)現(xiàn)，若閾值過(guò)大，如 500 時(shí)，軌道上數(shù)據(jù)丟失嚴(yán)重，無(wú)法進(jìn)行后面模型的檢驗(yàn)與分析。上述定性分析的結(jié)果，設(shè)閾值為 75，選取資料中給出的所有驗(yàn)潮站四個(gè)主要分潮的調(diào)和常數(shù)對(duì)高度計(jì)資料的分析結(jié)果進(jìn)行驗(yàn)證。其中驗(yàn)潮站位置如圖5-7 所示，基本分布于高度計(jì)軌道附近。各對(duì)比站點(diǎn)高度計(jì)

33、分析值與驗(yàn)潮站實(shí)測(cè)值之間誤差分布如圖 5-8 所示。主要分潮振幅值相對(duì)于近海其他海區(qū)較小，使用相對(duì)誤差衡量更為合理，但為方便與前人研究成果對(duì)比，本文仍采用平均絕對(duì)誤差。圖 5-7驗(yàn)潮站位置分布圖14（a）分潮 M2 高度計(jì)計(jì)算結(jié)果與驗(yàn)潮站實(shí)測(cè)振幅誤差值分別（b）分潮S2 高度計(jì)計(jì)算與驗(yàn)潮站實(shí)測(cè)振幅誤差值分別（c）分潮 K1 高度計(jì)計(jì)算結(jié)果與驗(yàn)潮站實(shí)測(cè)振幅誤差值分別（d）分潮O(jiān)1 高度計(jì)計(jì)算結(jié)果與驗(yàn)潮站實(shí)測(cè)振幅誤差值分別圖 5-8模型計(jì)算結(jié)果與驗(yàn)潮站調(diào)和常數(shù)比較15分析圖 5-8（a）（d）可知，高度計(jì)振幅最大誤差基本在±10 cm 以內(nèi)，平均誤差小于 5 cm，四個(gè)分潮中 K1 分潮

34、振幅誤差最小，M2 分潮振幅誤差最大。在振幅誤差分布中，M2 和S2 分潮誤差較大值主要分布于古晉達(dá)圖灣附近及海峽，該地區(qū)也是 M2 和 S2 分潮振幅較大值地區(qū)。K1 和 O1 誤差較大值主要分布于北部灣附近，與 M2 及S2 分潮類似，該地區(qū)也是 K1 與 O1 振幅較大值地區(qū)?？傮w表明四個(gè)主要分潮振幅平均絕對(duì)誤差較小，誤差較大地區(qū)同時(shí)也是振幅較大地區(qū)，誤差略有提升也是合理的。對(duì)于，少數(shù)觀測(cè)站誤差超過(guò) 100 度，主要是原始調(diào)和常數(shù)計(jì)算模型中參數(shù)設(shè)置有一定的誤差?？赡軓亩糠治龅慕嵌葋?lái)看，各閾值計(jì)算出的各主要分潮的調(diào)和常數(shù)，在計(jì)算結(jié)果中篩選出與驗(yàn)潮站經(jīng)緯度最為接近的點(diǎn)，根據(jù)前文提出的誤差模

35、型，對(duì)兩者的調(diào)和常數(shù)計(jì)算二范數(shù)誤差，結(jié)果如表 5-1 所示：表 5-1 各閾值的主要分潮調(diào)和常數(shù)與驗(yàn)潮站數(shù)據(jù)的二范數(shù)誤差綜合分析上表中的數(shù)據(jù)，可得出結(jié)論，當(dāng)閾值為 75 時(shí)，二范數(shù)誤差最為理想，結(jié)果與沿軌道作圖進(jìn)行定性分析的結(jié)果相同，說(shuō)明之前得出的結(jié)論正確，即實(shí)際上觀測(cè)次數(shù)是起決定作用的指標(biāo)。當(dāng)閾值為 75 時(shí)，對(duì)求解數(shù)據(jù)進(jìn)行驗(yàn)證，將各分潮調(diào)和常數(shù)與驗(yàn)潮站進(jìn)行比較，選取經(jīng)緯度最為接近的點(diǎn)作比較比較結(jié)果如表 表 表 表 所示（鑒于篇幅， 表中只列出一部分的比較結(jié)果）。表中 H、G 分別為觀測(cè)點(diǎn)與網(wǎng)格點(diǎn)處的振幅絕均差和絕均差。表 5-2M2 分潮計(jì)算結(jié)果與觀測(cè)站對(duì)比DH (cm)/ DG(o )位

36、置(oE / oN )距離振幅（cm）/（ o ）km觀測(cè)點(diǎn)驗(yàn)潮站位置調(diào)和分析值驗(yàn)潮站值42.926/177.44617.001/206.79420.713/294.82242.094/172.89337.370/257.73320.838/245.95942.094/172.8932.073/3.7460.384/12.6420.413/8.5770.094/7.9933.629/14.2666.912/9.3040.905/5.393121.320/21.957121.567/22.03326.80745/173.717.384/219.436119.868/22.463120.291/2

37、2.61046.384109.393/17.790109.533/18.21749.67120.3/303.4121.169/22.301121.483/22.66751.82142/164.9113.878/21.732114.000/22.23357.09541/27227.750/255.264115.525/22.245115.350/22.75058.961121.169/22.301121.183/22.83359.09343/167.51605075100200300500M21559.588404.8849404.8332404.353479.2393463.8387766.6

38、222S2500.5844153.5991153.1191153.1191177.9313175.1307274.2805K11307.229135.5661135.0854136.0854139.9785142.4854235.3656O11303.19154.3568148.4822146.7334131.6052114.6126242.6747. 20.838/245.95920.816/304.17314.777/292.030. 0.761/2.7400.183/7.7262.222/7.7305.83/9.92115.525/22.245115.800/22.80067.87021

39、.6/248.7115.9761/6.641115.967/6.01769.47021/311.9119.637/15.046120.283/14.81773.86717/284.3均方根表 5-3S2 分潮計(jì)算結(jié)果與觀測(cè)站對(duì)比DH (cm)/ DG(o )位置(oE / oN )距離振幅（cm）/（ o ）km觀測(cè)點(diǎn)驗(yàn)潮站位置調(diào)和分析值驗(yàn)潮站值3.91321035/232.446172218.63763204/207.466275538.50488482/210.739283914.6866922/288.55483794.01448076/261.20993466.880974492/21

40、5.968658319.6009048/204.746651719.27483798/205.697765719.54027733/204.876067914.6866922/288.55483790.7132103/8.75382781.3623679/10.4337248.7048848/0.43928381.8133078/10.4451621.9855192/5.89006530.0465294/15.2424800.6009047/8.25334827.8748379/15.0022348.5402773/9.62393202.3133078/14.4451624.754/10.75

41、120.2447/17.76120.417/17.78318.3234063.2/241.2121.32/21.9577121.567/22.03326.80722820/217.9121.8471/5.788121.833/6.1540.27164429.8/210.3113.8782/21.73114.033/22.143.91495216.5/299116.3307/20.84116.717/20.68343.9468316/267.1120.291667/22.61119.8688/22.4646.3844546.83/231.251.821040121.1698/22.30121.4

42、83/22.66719/213121.2557/22.10120.767/21.93353.89342711.4/220.7121.2343/22.15120.75/21.96754.08015911/214.5113.8782/21.73114/22.23357.09588617/303均方根表5-4K1 分潮計(jì)算結(jié)果與觀測(cè)站對(duì)比DH (cm)/ DG(o )位置(oE / oN )距離振幅（cm）/（ o ）觀測(cè)點(diǎn)驗(yàn)潮站位置km調(diào)和分析值驗(yàn)潮站值107.7422/20.6405108.2367/19.395565.850983551.6793652481.83056925/77.08326

43、18364.96266837/64.664219491.530569249/6.3167381659.468788373/6.910109507107.95/21.280.3/83.455.49388/71.574329108.616667/19.117107.7422/20.6405103.3201/10.2298.7003/20.5 419107.7422/20.6405107.7422/20.6405119.8688/22.463558.5247415946.9558310664.11395279167.777569453.1872896842.7084957881.83056925/7

44、7.0832618320.15522842/111.841264280.12349542/77.5885198581.83056925/77.0832618381.83056925/77.0832618320.58046141/100.49094635.630569249/9.9167381652.455228421/15.10.92349542/15.6114801511.67400275/18.513561179.830569249/18.616738174.080461405/20.40905373107.367/21.03376.2/87103.6/10.5517.7/96.7107.

45、133/20.76769.2/93.2109.083333/21.48333393.504572/95.596823107.6/21.172/95.7120.25/22,61716.5/120.9.107.7422/20.6405120.1521/24.574178.1708726783.1315375181.83056925/77.0832618327.39635735/70.676241672.769430751/26.216738175.796357346/34.476241677.6919/18.9871107.067/20.9584.6/103.3120.917/24.8521.6/

46、36.2均方根表 5-5O1 分潮計(jì)算結(jié)果與觀測(cè)站對(duì)比DH (cm)/ DG(o )位置(oE / oN )距離振幅（cm）/（ o ）觀測(cè)點(diǎn)驗(yàn)潮站位置km調(diào)和分析值驗(yàn)潮站值15.5505572/92.7891504339.0445468/115.712639415.5505572/92.7891504376.75058453/24.2034110191.79697006/35.5513051737.2316557/121.348016490.96511761/36.7484373591.79697006/35.5513051739.0445468/115.7126394.0.25055719

47、8/5.3891504297.555453205/12.227360582.849442802/5.65084957110.60514653/13.5447060110.79697006/5.6513051753.578889696/9.6677476116.46511761/0.34843735113.29697006/3.9513051757.344546795/0.627360579.46.9558310103.3201/10.22103.6/10.5515.3/87.4101.5193/12.1608101.45/12.58347.546051446.6/127.94103.3201/

48、10.22103.483/10.63348.243301918.4/98.4466.145438/10.658705108.2367/19.39108.6167/19.151.6793652107.7422/20.64107.6/21.153.187289681/29.933.652766/131.01576455.9999729100.064/11.35399.8167/11.795107.7003/20.54107.133/20.76764.113952774.5/36.4107.7422/20.64107.95/21.265.850983578.5/31.6101.5193/12.161

49、02.067/12.46768.553189931.7/116.34.1839.0445468/115.71263942.955453205/10.3273605810.1969/7.8207101.5193/12.16100.883/12.6587.942887942/126.04均方根由表 5-25-5 可知，本文調(diào)和分析的結(jié)果與模式結(jié)果的偏差不大。M2 分潮的振幅差的均方根為 5.8328 cm，差的均方根為 9.9258°。S2 分潮的振幅差的均方根為 4.7543 cm，10.7530°。K1差的均方根為分潮的振幅差的均方根為7.6919 cm，差的均方根為18.

50、9871°。O1分潮的振幅差的均方根為 10.1969cm，差的均方根為 7.8207°。說(shuō)明本文的結(jié)果很可靠，為問(wèn)題 2 內(nèi)潮信號(hào)與正壓潮信號(hào)的分離奠定了扎實(shí)的基礎(chǔ)。至此，對(duì)于問(wèn)題 1 中所有問(wèn)題都已得到解決。通過(guò)誤差分系，設(shè)定了合理觀測(cè)點(diǎn)閾值并計(jì)算出了各主要分潮的調(diào)和常數(shù)。利用驗(yàn)潮站的數(shù)據(jù)對(duì)所建立的數(shù)學(xué)模型進(jìn)行檢驗(yàn)，畫出各主要分潮的高度計(jì)計(jì)算結(jié)果與驗(yàn)潮站實(shí)測(cè)振幅/誤差值分布圖。最后，計(jì)算出驗(yàn)潮站與最為接近點(diǎn)的的振幅絕均差和前面模型檢驗(yàn)進(jìn)行評(píng)價(jià)。絕均差，對(duì)5.2 問(wèn)題 2 沿軌分離模型及分析5.2.1 數(shù)據(jù)預(yù)處理潮汐調(diào)和常數(shù)在沿軌道方向，內(nèi)潮對(duì)正壓潮的調(diào)制。為了求得對(duì)沿軌

51、道的各分潮的潮汐調(diào)和常數(shù)進(jìn)行正壓潮和內(nèi)潮的分離，必須對(duì)所有觀測(cè)點(diǎn)位置進(jìn)行軌道的分離。根據(jù)題目資料所給出的觀測(cè)點(diǎn)坐標(biāo)，我們繪制出了軌道的痕跡， 并對(duì)范圍內(nèi)的所有軌道作了如圖 5-9 所示的標(biāo)號(hào)，每段標(biāo)號(hào)對(duì)應(yīng)著一組經(jīng)緯度坐標(biāo)。圖 5-9TOPEX/POSEIDON 高度計(jì)資料的軌跡分離及標(biāo)識(shí)5.2.2 沿軌分離模型建模1、多項(xiàng)式擬合法19由參考文獻(xiàn)可知，可以利用多項(xiàng)式擬合擬合問(wèn)題一中調(diào)和分析得出的各主要分潮（𝑀2、𝑆2、𝐾1、𝑂1）的調(diào)和常數(shù)，擬合結(jié)果代表正壓潮值。通過(guò)濾掉正壓潮部分可以提取出各主要分潮內(nèi)表面信號(hào)。設(shè)擬合多項(xiàng)式為：f(

52、 y) = a + a y + a y 2 + a yn。（10）012n其中，y 為某一條軌道上任一觀測(cè)點(diǎn)的緯度， f( y) 分別為 A cos G 、Asin G ，A 為該任一觀測(cè)點(diǎn) p(x, y) 的振幅值，G 為2、非線性最小二乘法選取擬合多項(xiàng)式后，則需對(duì)多項(xiàng)式的未知系數(shù)求解。該問(wèn)題的實(shí)質(zhì)是運(yùn)用處理后的觀測(cè)數(shù)據(jù)，對(duì)系統(tǒng)參數(shù)進(jìn)行辨識(shí)。構(gòu)造代價(jià)函數(shù)：值。NJ (a ) = å(a + a y + a y2 + a yn ) - A cos G 2, k = 1, 2, 3, N （11）n01 k2 kn kkkk =1式中， yk 代表軌道任一觀測(cè)點(diǎn)的緯度。對(duì)式（11）分別

53、求a0 ，a1 ，a2 ，an 的偏導(dǎo)，并使其為 0，可得：，üïïïïNå(a + a y + ay +2+ ay ) - A cos G = 0;n01k2 kn kkkk =1Nå ky (a + a y + ay + a y ) - A cos G = 0;2n01k2knkkkk =1Nïýïïï（12）åk =1y (a + a y + ay + ay ) - A cos G = 0;22nk01k2 kn kkkïNå+ a yn ) - A cos G = 0。ïy (a + a y + a y2 +nk01 k2 kn kkkïþk =1為便于闡述，引入記號(hào)：NNi，jåå kki+ j +2i-1M=y, b=yA cos G 。（13）kikk =1k =1其中， i，j = 1, 2, n +1。式（13）表示為æ a öæöb1æçç