橢圓的簡單幾何性質(zhì)1

1、復(fù)習(xí)：復(fù)習(xí)：1.橢圓的定義:到兩定點(diǎn)到兩定點(diǎn)F1、F2的距離之和為常數(shù)（大于的距離之和為常數(shù)（大于|F1F2 |）的）的動(dòng)點(diǎn)的軌跡叫做橢圓。動(dòng)點(diǎn)的軌跡叫做橢圓。2.橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是：3.橢圓中a,b,c的關(guān)系是:|)|2(2|2121FFaaPFPF當(dāng)焦點(diǎn)在當(dāng)焦點(diǎn)在X軸上時(shí)軸上時(shí)當(dāng)焦點(diǎn)在當(dāng)焦點(diǎn)在Y軸上時(shí)軸上時(shí))0( 12222babyax)0( 12222babxay222cab二、二、橢圓橢圓 簡單的幾何性質(zhì)簡單的幾何性質(zhì)12222byax -axa, -byb 知知 橢圓落在橢圓落在x=a,y= b組成的矩形中組成的矩形中, 122 ax得：得：122 by oyB2B1A1A2F1F2c

2、ab1、范圍：、范圍：橢圓的對稱性橢圓的對稱性YXOP（x，y）P1（-x，y）P2（-x，-y）2、對稱性、對稱性： oyB2B1A1A2F1F2cab從圖形上看，從圖形上看，橢圓關(guān)于橢圓關(guān)于x軸、軸、y軸、原點(diǎn)對稱。軸、原點(diǎn)對稱。從方程上看：從方程上看：（1）把）把x換成換成-x方程不變，圖象關(guān)于方程不變，圖象關(guān)于y軸對稱；軸對稱；（2）把）把y換成換成-y方程不變，圖象關(guān)于方程不變，圖象關(guān)于x軸對稱；軸對稱；（3）把）把x換成換成-x，同時(shí)把，同時(shí)把y換成換成-y方程不變，圖象關(guān)于原點(diǎn)成中方程不變，圖象關(guān)于原點(diǎn)成中心對稱。心對稱。3、橢圓的頂點(diǎn)、橢圓的頂點(diǎn))0(12222babyax令令

3、 x=0，得，得 y=？，說明橢圓與？，說明橢圓與 y軸的交點(diǎn)？軸的交點(diǎn)？令令 y=0，得，得 x=？說明橢圓與？說明橢圓與 x軸的交點(diǎn)？軸的交點(diǎn)？*頂點(diǎn)：橢圓與它的對稱軸頂點(diǎn)：橢圓與它的對稱軸的四個(gè)交點(diǎn)，叫做橢圓的的四個(gè)交點(diǎn)，叫做橢圓的頂點(diǎn)。頂點(diǎn)。*長軸、短軸：線段長軸、短軸：線段A1A2、B1B2分別叫做橢圓的長軸分別叫做橢圓的長軸和短軸。和短軸。a、b分別叫做橢圓的長半分別叫做橢圓的長半軸長和短半軸長。軸長和短半軸長。 oyB2B1A1A2F1F2cab(0,b)(a，0)(0,-b)(-a，0)123-1-2-3-44y123-1-2-3-44y1 2 3 4 5-1-5-2-3-4x

4、1 2 3 4 5-1-5-2-3-4x根據(jù)前面所學(xué)有關(guān)知識畫出下列圖形根據(jù)前面所學(xué)有關(guān)知識畫出下列圖形1162522yx142522yx（1）（2）A1 B1 A2 B2 B2 A2 B1 A1 4、橢圓的離心率橢圓的離心率e(刻畫橢圓扁平程度的量刻畫橢圓扁平程度的量)ace 離心率：橢圓的焦距與長軸長的比：離心率：橢圓的焦距與長軸長的比：叫做橢圓的離心率。叫做橢圓的離心率。1離心率的取值范圍：離心率的取值范圍：2離心率對橢圓形狀的影響：離心率對橢圓形狀的影響：0ebabcea222cab標(biāo)準(zhǔn)方程標(biāo)準(zhǔn)方程范圍范圍對稱性對稱性 頂點(diǎn)坐標(biāo)頂點(diǎn)坐標(biāo)焦點(diǎn)坐標(biāo)焦點(diǎn)坐標(biāo)半軸長半軸長離心率離心率a a、b

5、 b、c c的關(guān)系的關(guān)系22221(0)xyabab|x| a,|y| b關(guān)于關(guān)于x x軸、軸、y y軸成軸對稱；軸成軸對稱；關(guān)于原點(diǎn)成中心對稱關(guān)于原點(diǎn)成中心對稱(a,0)、(-a,0)、(0,b)、(0,-b)(c,0)、(-c,0)長半軸長為長半軸長為a a, ,短短半軸長為半軸長為b. b. ababcea22221(0)xyabba|x| b,|y| a同前同前(b,0)、(-b,0)、(0,a)、(0,-a)(0 , c)、(0, -c)同前同前同前同前同前同前222cab(0e1)(e越接近于越接近于1越扁越扁)例例1 1已知橢圓方程為已知橢圓方程為9x9x2 2+25y+25y2

6、 2=225,=225, 它的長軸長是它的長軸長是： 。短軸長是短軸長是： 。焦距是焦距是： 。 離心率等于離心率等于： 。焦點(diǎn)坐標(biāo)是焦點(diǎn)坐標(biāo)是： 。頂點(diǎn)坐標(biāo)是頂點(diǎn)坐標(biāo)是： 。 外切矩形的面積等于外切矩形的面積等于： 。 1068( 3,0)60解題的關(guān)鍵：解題的關(guān)鍵：1、將橢圓方程轉(zhuǎn)化為標(biāo)、將橢圓方程轉(zhuǎn)化為標(biāo)準(zhǔn)方程準(zhǔn)方程 明確明確a、b192522yx2、確定焦點(diǎn)的位置和長軸的位置、確定焦點(diǎn)的位置和長軸的位置54練習(xí)：已知橢圓練習(xí)：已知橢圓 的離心率的離心率 求求m的值及橢圓的長軸和短軸的長、焦點(diǎn)坐的值及橢圓的長軸和短軸的長、焦點(diǎn)坐標(biāo)、頂點(diǎn)坐標(biāo)。標(biāo)、頂點(diǎn)坐標(biāo)。22(3)(0)xmym m3,

7、2e 例例2求適合下列條件的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程求適合下列條件的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程經(jīng)過點(diǎn)經(jīng)過點(diǎn)P(3,0)、Q(0,2)；長軸長等于長軸長等于20，離心率，離心率3/5。一焦點(diǎn)將長軸分成一焦點(diǎn)將長軸分成：的兩部分，且經(jīng)過點(diǎn)的兩部分，且經(jīng)過點(diǎn)3 2,4P 22194xy解解： 方法一：設(shè)方程為方法一：設(shè)方程為mx2ny21（m0，n0，mn），），將點(diǎn)的將點(diǎn)的坐標(biāo)方程，求出坐標(biāo)方程，求出m1/9,n1/4。方法二：利用橢圓的幾何性質(zhì)，以坐標(biāo)軸為對稱軸的橢圓與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)就是方法二：利用橢圓的幾何性質(zhì)，以坐標(biāo)軸為對稱軸的橢圓與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)就是橢圓的頂點(diǎn)，于是焦點(diǎn)在橢圓的頂點(diǎn)，于是焦點(diǎn)在x軸上，且點(diǎn)軸上，且點(diǎn)

8、P、Q分別是橢圓長軸與短軸的一個(gè)端點(diǎn)分別是橢圓長軸與短軸的一個(gè)端點(diǎn)，故，故a3，b2，所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為 注注：待定系數(shù)法求橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的步驟：待定系數(shù)法求橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的步驟： 定位；定位； 定量定量2213632xy22110064xy22110064yx或或22114529049yx 或或練習(xí)：練習(xí)：1. 根據(jù)下列條件，求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程。根據(jù)下列條件，求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程。 長軸長和短軸長分別為長軸長和短軸長分別為8 8和和6 6，焦點(diǎn)在，焦點(diǎn)在x x軸上軸上 長軸和短軸分別在長軸和短軸分別在y y軸，軸，x x軸上，經(jīng)過軸上，經(jīng)過P(-2,0)P(-2,0)， Q(0

9、,-3)Q(0,-3)兩點(diǎn)兩點(diǎn). .一焦點(diǎn)坐標(biāo)為（一焦點(diǎn)坐標(biāo)為（3 3，0 0）一頂點(diǎn)坐標(biāo)為（）一頂點(diǎn)坐標(biāo)為（0 0，5 5）兩頂點(diǎn)坐標(biāo)為（兩頂點(diǎn)坐標(biāo)為（0 0，6），且經(jīng)過點(diǎn)（），且經(jīng)過點(diǎn)（5，4）焦距是焦距是1212，離心率是，離心率是0.60.6，焦點(diǎn)在，焦點(diǎn)在x x軸上。軸上。2. 2. 已知橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)為已知橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)為F F（6 6，0 0）點(diǎn)）點(diǎn)B B，C C是短是短軸的兩端點(diǎn)，軸的兩端點(diǎn)，F(xiàn)BCFBC是等邊三角形，求這個(gè)橢圓的是等邊三角形，求這個(gè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程。標(biāo)準(zhǔn)方程。例例3：(1)橢圓橢圓 的左焦點(diǎn)的左焦點(diǎn) 是兩個(gè)頂點(diǎn)，如果到直線是兩個(gè)頂點(diǎn)，如果到直線AB的距的距 離

10、為離為 ，則橢圓的離心率，則橢圓的離心率e= .(3)設(shè)設(shè)M為橢圓為橢圓 上一點(diǎn)，上一點(diǎn)， 為橢圓的焦為橢圓的焦點(diǎn)，點(diǎn)， 如果如果 ，求橢圓的離心率。，求橢圓的離心率。22221(0)xyabab1(,0),Fc(,0),(0, )AaBb7b22221xyab12FF、122175 ,15MFFMF F例例5 如圖，一種電影放映燈泡的反射鏡面是旋轉(zhuǎn)橢圓面（橢圓繞如圖，一種電影放映燈泡的反射鏡面是旋轉(zhuǎn)橢圓面（橢圓繞其對稱軸旋轉(zhuǎn)一周形成的曲面）的一部分。過對稱軸的截口其對稱軸旋轉(zhuǎn)一周形成的曲面）的一部分。過對稱軸的截口BAC是橢圓的一部分，燈絲位于橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)是橢圓的一部分，燈絲位于橢圓的一個(gè)

11、焦點(diǎn)F1上，片門位于另一上，片門位于另一個(gè)焦點(diǎn)個(gè)焦點(diǎn)F2上上,由橢圓一個(gè)焦點(diǎn)由橢圓一個(gè)焦點(diǎn)F1出發(fā)的光線，經(jīng)過旋轉(zhuǎn)橢圓面反出發(fā)的光線，經(jīng)過旋轉(zhuǎn)橢圓面反射后集中到另一個(gè)焦點(diǎn)射后集中到另一個(gè)焦點(diǎn)F2.所在橢圓的方程。求截口已知BACcmFFcmBFFFBC,5 . 4,8 . 2,21121解：建立如圖所示的直角坐標(biāo)系，解：建立如圖所示的直角坐標(biāo)系，設(shè)所求橢圓方程為設(shè)所求橢圓方程為. 12222byax22221212215 . 48 . 2FFBFBFFBFRt中，在所以由橢圓的性質(zhì)知，,221aBFBF1 . 4)5 . 48 . 28 . 2(21)(212221BFBFayF2F1xoBC

12、4 . 325. 21 . 42222cab14 . 31 . 42222yx為所以，所求的橢圓方程A (4)P為橢圓為橢圓 上任意一點(diǎn)，上任意一點(diǎn)，F(xiàn)1、F2是焦點(diǎn)，是焦點(diǎn)， 則則F1PF2的最大值是的最大值是 .13422yx小結(jié)：小結(jié)：本節(jié)課我們學(xué)習(xí)了橢圓的幾個(gè)簡單幾何性質(zhì)：范圍、本節(jié)課我們學(xué)習(xí)了橢圓的幾個(gè)簡單幾何性質(zhì)：范圍、對稱性、頂點(diǎn)坐標(biāo)、離心率等概念及其幾何意義。對稱性、頂點(diǎn)坐標(biāo)、離心率等概念及其幾何意義。了解了研究橢圓的幾個(gè)了解了研究橢圓的幾個(gè)基本量基本量a a，b b，c c，e e及頂點(diǎn)、及頂點(diǎn)、焦點(diǎn)、對稱中心及其相互之間的關(guān)系焦點(diǎn)、對稱中心及其相互之間的關(guān)系，這對我們解，這對我們解決橢圓中的相關(guān)問題有很大的幫助，給我們以后學(xué)決橢圓中的相關(guān)問題有很大的幫助，給我們以后學(xué)習(xí)圓錐曲線其他的兩種曲線扎實(shí)了基礎(chǔ)。在解析幾習(xí)圓錐曲線其他的兩種曲線扎實(shí)了基礎(chǔ)。在解析幾何的學(xué)習(xí)中，我們更多的是從方程的形式這個(gè)角度何的學(xué)