垂徑定理(第一課時)教學設計

1、垂徑定理（第一課時）教學設計李裕達【教學內容】§73垂徑定理（初三幾何課本P76P78）【教學目標】1知識目標：通過觀察實驗，使學生理解圓的軸對稱性； 掌握垂徑定理，理解其證明，并會用它解決有關的證明與計算問題； 掌握輔助線的作法過圓心作一條與弦垂直的線段。2能力目標：通過定理探究，培養(yǎng)學生觀察、分析、邏輯思維和歸納概括能力； 向學生滲透“由特殊到一般，再由一般到特殊”的基本思想方法。3情感目標：結合本課教學特點，向學生進行愛國主義教育和美育滲透； 激發(fā)學生探究、發(fā)現數學問題的興趣和欲望?！窘虒W重點】垂徑定理及其應用?！窘虒W難點】垂徑定理的證明?！窘虒W方法】探究發(fā)現法?！窘叹邷蕚洹孔?/p>

2、制的教具、自制課件、實物投影儀、電腦、三角板、圓規(guī)。【教學設計】一、實例導入，激疑引趣 1實例：同學們都學過中國石拱橋這篇課文（初二語文第三冊第一課·茅以升），其中介紹了我國隋代工匠李春建造的趙州橋（如圖）。因它位于現在的歷史文化名城河北省趙縣（古稱趙州）而得名，是世界上現存最早、保存最好的巨大石拱橋，距今已有1400多年歷史，被譽為“華北四寶之一”，它的結構是當時世界橋梁界的首創(chuàng)，這充分顯示了我國古代勞動人民的創(chuàng)造智慧。2導入：趙州橋的橋拱呈圓弧形的（如圖1），它的跨度（弧所對的弦長）為37.4米，拱高（弧的中點到弦AB的距離，也叫弓高）為7.2米。請問：橋拱的半徑（即AB所在圓的

3、半徑）是多少？通過本節(jié)課的學習，我們將能很容易解決這一問題。 （圖1）二、嘗試誘導，發(fā)現定理 1復習過渡： 如圖2(a)，弦AB將O分成幾部分？各部分的名稱是什么？ 如圖2(b)，將弦AB變成直徑，O被分成的兩部分各叫什么？E 在圖2(b)中，若將O沿直徑AB對折，兩部分是否重合？ (a) (b) (a) (b) (c) （圖2） （圖3）2實驗驗證：讓學生將準備好的一張圓形紙片沿任一直徑對折，觀察兩部分是否重合；教師用電腦演示重疊的過程。從而得到圓的一條基本性質圓是軸對稱圖形，過圓心的任意一條直線（或直徑所在的直線）都是它的對稱軸。3運動變換：如圖3(a)，AB、CD是O的兩條直徑，圖中有哪

4、些相等的線段和相等的??？如圖3(b)，當ABCD時，圖中又有哪些相等的線段和相等的?。咳鐖D3(c)，當AB向下平移，變成非直徑的弦時，圖中還有哪些相等的線段和相等的??？此外，還有其他的相等關系嗎？4提出猜想：根據以上的研究和圖3(c)，我們可以大膽提出這樣的猜想 （板書） 5驗證猜想：教師用電腦課件演示圖3(c)中沿直徑CD對折，這條特殊直徑兩側的圖形能夠完全重合，并給這條特殊的直徑命名為垂直于弦的直徑。三、引導探究，證明定理1引導證明：猜想是否正確，還有待于證明。引導學生從以下兩方面尋找證明思路。證明“AE=BE”，可通過連結OA、OB來實現，利用等腰三角形性質證明。 證明“弧相等”，就是要

5、證明它們“能夠完全重合”，可利用圓的對稱性證明。2歸納定理：根據上面的證明，請學生自己用文字語文進行歸納，并將其命名為“垂徑定理”。垂徑定理：垂直于弦的直徑平分弦，并且平分弦所對的兩條弧。3鞏固定理：在下列圖形（如圖4(a)(d)）中，AB是O的弦，CD是O的弦，它們是否適用于“垂徑定理”？若不適用，說明理由；若適用，能得到什么結論。(a)ABCD于E (b)E是AB中點 (c)OCAB于E (d)OEAB于E（圖4） 向學生強調：(1)定理中的兩個條件缺一不可；(2)定理的變式圖形。四、例題示范，變式練習1運用定理進行計算。例1如圖5，在O中，若弦AB的長為8cm，圓心O到AB的距離為3cm

6、，求O的半徑。 分析：因為已知“圓心O到AB的距離為3cm”，所以要作輔助線OEAB；因為要求半徑，所以還要連結OA。 解：（略）學生口述，教師板書。 （圖5）變式一在圖5中，若O的半徑為10cm，OE=6cm，則AB= 。思考一：若圓的半徑為R，一條弦長為a，圓心到弦的距離為d， 則R、a、d三者之間的關系式是 。變式二如圖6，在O中，半徑OCAB，垂足為E， 若CE=2cm，AB=8cm，則O的半徑= 。 （圖6）思考二：你能解決本課一開始提出的問題嗎？（由學生口述方法）2運用定理進行證明例2已知：如圖7，在以O為圓心的兩個同心圓中， 大圓的弦AB交小圓于C、D兩點。 求證：ACBD。 （

7、圖7）分析：證明兩條線段相等，最常用的方法是什么？用這種方法怎樣證明？ （證明OACOBD或證明OADOBC） 此外，還有更簡捷的證明方法嗎？若有，又怎樣證明？（垂徑定理） 證法一：連結OA、OB、OC、OD，用“三角形全等”證明。證法二：過點O作OEAB于E，用“垂徑定理”證明。（詳見課本P77例2）注1：通過兩種證明方法的比較，選擇最優(yōu)證法。注2：輔助線“過圓心作弦的垂線段”是第二種證法的關鍵，也是常用輔助線。思考：在圖7中，若AC=2，AB=10，則圓環(huán)的面積是 。變式一若將圖7中的大圓隱去，還需什么條件， 才能保證AC=BD？變式二若將圖7中的小圓隱去，還需什么條件， 才能保證AC=B

8、D？變式三將圖7變成圖8（三個同心圓），你可以 證明哪些線段相等？ （圖8）例3（選講）如圖9，RtABC中，ACB90°，AC3，BC，以C為圓心、CA長為半徑畫弧，交斜邊AB于D，求AD的長。（答案：2）略解：過點C作CEAB于E，先用勾股定理求得 （圖9）AB=9，再用面積法求得CE=，最后用勾股定理求得AE=1，由垂徑定理得AD=2。五、師生小結，納入系統(tǒng)1定理的三種基本圖形如圖10、11、12。2計算中三個量的關系如圖13，。3證明中常用的輔助線過圓心作弦的垂線段。（圖10） （圖11） （圖12） （圖13）六、達標檢測，反饋效果 1（課本P78練習第1題）如圖14，在O的半徑為50mm，弦AB=50mm，則點O到AB的距離為 ，AOB 度。2作圖題：經過已知O內的已知點A作弦，使它以點A為中點（如圖15）。3課本P78練習第2題。 （圖14） （圖15）課 堂 練 習 姓名 得分 1 如圖，O的半徑為50mm，弦AB=50mm，則點O到AB的距離為 ，AOB