信號與系統(tǒng)王明泉第二章習(xí)題解答

1、第2章 線性時(shí)不變連續(xù)系統(tǒng)的時(shí)域分析2.1 學(xué)習(xí)要求（1）會建立描述系統(tǒng)激勵與響應(yīng)關(guān)系的微分方程；（2）深刻理解系統(tǒng)的完全響應(yīng)可分解為：零輸入響應(yīng)與零狀態(tài)響應(yīng)，自由響應(yīng)與強(qiáng)迫響應(yīng)，瞬態(tài)響應(yīng)與穩(wěn)態(tài)響應(yīng)；（3）深刻理解系統(tǒng)的零輸入線性與零狀態(tài)線性，并根據(jù)關(guān)系求解相關(guān)的響應(yīng)；（4）會根據(jù)系統(tǒng)微分方程和初始條件求解上述幾種響應(yīng)；（5）深刻理解單位沖激響應(yīng)的意義，并會求解；（6）深刻理解系統(tǒng)起始狀態(tài)與初始狀態(tài)的區(qū)別，會根據(jù)系統(tǒng)微分方程和輸入判斷0時(shí)刻的跳變情況；（7）理解卷積運(yùn)算在信號與系統(tǒng)中的物理意義和運(yùn)算規(guī)律，會計(jì)算信號的卷積。；2.2 本章重點(diǎn)（1）系統(tǒng)（電子、機(jī)械）數(shù)學(xué)模型（微分方程）的建立；（

2、2）用時(shí)域經(jīng)典法求系統(tǒng)的響應(yīng)；（3）系統(tǒng)的單位沖激響應(yīng)及其求解；（4）卷積的定義、性質(zhì)及運(yùn)算，特別是函數(shù)形式與其它信號的卷積；（5）利用零輸入線性與零狀態(tài)線性，求解系統(tǒng)的響應(yīng)。2.3 本章的知識結(jié)構(gòu)2.4 本章的內(nèi)容摘要2.4.1系統(tǒng)微分方程的建立電阻： 電感： 電容： 2.4.2 系統(tǒng)微分方程的求解齊次解和特解。齊次解為滿足齊次方程 當(dāng)特征根有重根時(shí)，如有重根，則響應(yīng)于的重根部分將有項(xiàng)，形如 當(dāng)特征根有一對單復(fù)根，即，則微分方程的齊次解 當(dāng)特征根有一對重復(fù)根，即共有重的復(fù)根，則微分方程的齊次解 特解的函數(shù)形式與激勵函數(shù)的形式有關(guān)。激勵函數(shù)響應(yīng)函數(shù)的特解(常數(shù))注:(1)表中、是待定系數(shù)。 (

3、2)若由幾種激勵組合而成，則特解也為其相應(yīng)的組合。 (3)若表中所列特解與齊次解重復(fù)，則應(yīng)在特解中增加一項(xiàng)：倍乘表中特解。假如這種重復(fù)形式有次（特征為次），則依次增加倍乘，諸項(xiàng)。2.4.3起始點(diǎn)的跳變-從到狀態(tài)的轉(zhuǎn)換在系統(tǒng)分析中，定義響應(yīng)區(qū)間為確定激勵信號加入后系統(tǒng)的狀態(tài)變化區(qū)間。一般激勵都是從時(shí)刻加入，此時(shí)系統(tǒng)的響應(yīng)區(qū)間定義為。當(dāng)系統(tǒng)用微分方程表示時(shí)，系統(tǒng)從到狀態(tài)有沒有跳變?nèi)Q于微分方程右端自由項(xiàng)是否包含及其各階導(dǎo)數(shù)項(xiàng)。如果包含有及其各階導(dǎo)數(shù)項(xiàng)，說明相應(yīng)的到狀態(tài)發(fā)生了跳變，即或等等。這時(shí)為確定、等狀態(tài)，可以用沖激函數(shù)匹配法。2.4.4系統(tǒng)的零輸入響應(yīng)與零狀態(tài)響應(yīng)（1）零輸入響應(yīng)系統(tǒng)的零輸入響

4、應(yīng)是當(dāng)系統(tǒng)沒有外加激勵信號時(shí)的響應(yīng)。零輸入響應(yīng)是滿足及起始狀態(tài)的解,它是齊次解的一部分 由于沒有外界激勵作用，因而系統(tǒng)的狀態(tài)不會發(fā)生跳變，所以中的常數(shù)可由確定。（2）零狀態(tài)響應(yīng)所謂零狀態(tài)，是指系統(tǒng)沒有初始儲能，系統(tǒng)的起始狀態(tài)為零，即這時(shí)僅由系統(tǒng)的外加激勵所產(chǎn)生的響應(yīng)稱為零狀態(tài)響應(yīng)。零狀態(tài)響應(yīng)由起始狀態(tài)為零時(shí)的方程 所確定。系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)為 其中和分別為齊次解和特解。系統(tǒng)的線性：條件1 系統(tǒng)響應(yīng)可以分解為零輸入響應(yīng)與零狀態(tài)響應(yīng)之和。 條件2 零輸入線性，即零輸入響應(yīng)與初始狀態(tài)或之間滿足線性特性。條件3 零狀態(tài)線性，即零狀態(tài)響應(yīng)與激勵之間滿足線性特性。 2.2.5連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)的沖激響應(yīng)與階躍響應(yīng)

5、（1）沖激響應(yīng)系統(tǒng)在單位沖激信號作用下產(chǎn)生的零狀態(tài)響應(yīng)，稱為單位沖激響應(yīng)，簡稱沖激響應(yīng)，用表示。亦即，沖激響應(yīng)是激勵為單位沖激信號時(shí)系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)。在時(shí)域中，子系統(tǒng)級聯(lián)時(shí)，總的沖激響應(yīng)等于子系統(tǒng)沖激響應(yīng)的卷積。因果系統(tǒng)的沖激響應(yīng)為 （2）階躍響應(yīng)一線性時(shí)不變系統(tǒng)，當(dāng)其初始狀態(tài)為零時(shí)，輸入為單位階躍函數(shù)所引起的響應(yīng)稱為單位階躍響應(yīng)，簡稱階躍響應(yīng)，用表示。階躍響應(yīng)是激勵為單位階躍函數(shù)時(shí)，系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)階躍響應(yīng)與沖激響應(yīng)之間的關(guān)系為 或 2.2.6 卷積積分（1）卷積積分的概念一般情況下，如有兩個信號和做運(yùn)算 此運(yùn)算定義為和的卷積(Convolution)，簡記為 或 （2）卷積積分的圖解法用圖

6、解法能直觀地說明卷積積分的計(jì)算過程，而且便于理解卷積的概念。兩個信號和的卷積運(yùn)算可通過以下幾個步驟來完成：第一步，畫出和波形，將波形圖中的軸改換成軸，分別得到和的波形。第二步，將)波形以縱軸為中心軸翻轉(zhuǎn)180，得到波形。 第三步，給定一個值，將波形沿軸平移。在時(shí)，波形往左移，在時(shí)，波形往右移，這樣就得到了的波形。 第四步，將和相乘，得到卷積積分式中的被積函數(shù)。 第五步，計(jì)算乘積信號波形與軸之間包含的凈面積。第六步，令變量在范圍內(nèi)變化，重復(fù)第三、四、五步操作，最終得到卷積信號。（3）卷積運(yùn)算的性質(zhì)性質(zhì)1 乘法運(yùn)算中的交換律、結(jié)合律和結(jié)合律適應(yīng)于卷積運(yùn)算交換律 結(jié)合律 分配律性質(zhì)2 信號與奇異信號

7、的卷積信號與沖激信號的卷積等于信號本身，即 信號與沖激偶的卷積等于的導(dǎo)函數(shù)，即 信號與階躍信號的卷積等于信號的積分,即 性質(zhì)3 卷積的微分與積分如果，則有 如果，則。設(shè)，則有 2.2.7 用卷積積分法求系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)對于任一時(shí)刻系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)為 2.2.8 相關(guān)如果和是兩個能量有限的信號，且均為實(shí)函數(shù)，則它們之間的相關(guān)函數(shù)（又稱為互相關(guān)函數(shù)）定義為和 互相關(guān)性質(zhì)：。當(dāng)和是同一個信號時(shí)，即，則它們之間的相關(guān)函數(shù)（又稱為自相關(guān)函數(shù)）定義為自相關(guān)函數(shù)性質(zhì)：（1）（2）時(shí)，相關(guān)性最強(qiáng)，最大。如果和是功率有限信號，且均為實(shí)函數(shù)，那么互相關(guān)函數(shù)定義為 和 自相關(guān)函數(shù)定義為 2.2.9用算子符號表示微分

8、方程（1）算子符號的基本性質(zhì)如果把經(jīng)常出現(xiàn)的微分和積分用下述算子符號表示 式中，稱為微分算子，稱為微分逆算子或積分算子。這樣，可以應(yīng)用微分或積分算子簡化表示微分和積分運(yùn)算。例如 對于微分方程式(2-4)則可表示為 性質(zhì)1 以的正冪多項(xiàng)式出現(xiàn)的運(yùn)算式，在形式上可以像代數(shù)多項(xiàng)式那樣進(jìn)行展開和因式分解。性質(zhì)2 設(shè)A(p)和B(p)是的正冪多項(xiàng)式，則 性質(zhì)3 微分算子方程等號兩邊的公因式不能隨便消去。性質(zhì)4 算子的乘除順序不可以隨意顛倒。（2）用算子符號建立微分方程 對于LTI連續(xù)系統(tǒng)，其輸入輸出方程是線性、常系數(shù)微分方程，用輸入-輸出法描述系統(tǒng)時(shí)，由式(2-62)可得出輸入激勵與輸出響應(yīng)之間的關(guān)系是

9、 其中 令，代表了系統(tǒng)將輸入轉(zhuǎn)變?yōu)檩敵龅淖饔?，或系統(tǒng)對輸入的傳輸作用，故稱為響應(yīng)對激勵的傳輸算子或系統(tǒng)的傳輸算子。 2.5典型考試試題解析題1、 已知系統(tǒng)微分方程為，若，解得全響應(yīng)為，t0。全響應(yīng)中為（ ）（a）零輸入響應(yīng)分量(b)零狀態(tài)響應(yīng)分量 (c)自由響應(yīng)分量 (d)穩(wěn)態(tài)響應(yīng)分量答案：（d）分析：響應(yīng)中不含齊次解，所以答案(a)(b)(c)都不是題2、兩線性時(shí)不變系統(tǒng)分別為S1和S2，初始狀態(tài)均為零。將激勵信號先通過S1再通過S2，得到響應(yīng)；將激勵信號先通過S2再通過S1，得到響應(yīng)。則與的關(guān)系為_。答案：分析：該題是考查級聯(lián)系統(tǒng)的交換率：兩級聯(lián)系統(tǒng)交換保持不變題3、計(jì)算，其中“*”表示卷

10、積。解： 題4、已知信號和如圖4所示 圖4試計(jì)算，并畫出的波形。解： 波形如下圖：題5、 已知，可以求得（ ） (a) (b) (c) (d) 答案(c)分析：采用卷積的定義，直接積分求得題6、_。答案：分析：采用卷積的微分性質(zhì)：題7、 一起始儲能為零的系統(tǒng)，當(dāng)輸入為時(shí)，系統(tǒng)響應(yīng)為，則當(dāng)輸入為時(shí)，系統(tǒng)的響應(yīng)為 。答案：分析：線性系統(tǒng)的微分特性的題8、一線性時(shí)不變系統(tǒng)在相同的初始狀態(tài)下，當(dāng)激勵為時(shí)，其全響應(yīng)為；當(dāng)激勵為時(shí)，其全響應(yīng)為。試求在同樣初始條件下，激勵為時(shí)系統(tǒng)的全響應(yīng)。解： （1） （2），兩種輸入的初始條件一樣， （3）根據(jù)（1）（2）（3）式，可得，初始條件不變，2.6本章習(xí)題全解2

11、.1如題圖2-1所示機(jī)械位移系統(tǒng)，質(zhì)量為的剛體一端由彈簧牽引，彈簧的另一端固定在壁上，彈簧的剛度系數(shù)為。剛體與地面間的摩擦系數(shù)為，外加牽引力為，求外加牽引力與剛體運(yùn)動速度間的關(guān)系。題圖2-1解：由機(jī)械系統(tǒng)元件特性，拉力與位移成正比，即又所以，剛體在光滑表面滑動，摩擦力與速度成正比，即根據(jù)牛頓第二定律以及整個系統(tǒng)力平衡的達(dá)朗貝爾原理，可得整理得2.2題圖2-2所示電路，輸入激勵是電流源，試列出電流及上電壓為輸出響應(yīng)變量的方程式。題圖2-2解：由電路的基爾霍夫電流定律可得： （1）根據(jù)電容特性， （2）由電路的基爾霍夫電壓定律可得： （3）將代入（2）得（4）代入（4）得，整理得， （5）將，即代

12、入（5）得整理得，2.3某連續(xù)系統(tǒng)的輸入輸出方程為 已知，,，試計(jì)算和值。解：將輸入代入系統(tǒng)方程可得采用沖激函數(shù)匹配法求和方程右端的沖激函數(shù)項(xiàng)最高階數(shù)為，設(shè)，則有：，將其代入原系方程，得所以2.4 已知描述某線性時(shí)不變連續(xù)系統(tǒng)的微分方程如下， ，,試求其完全響應(yīng)。解：（1）求齊次解特征方程為：特征根為：所以，（2）求特解（3）全響應(yīng)將代入系統(tǒng)方程得 （1）將初始條件代入得：所以全響應(yīng)為：2.5 已知描述某線性時(shí)不變連續(xù)系統(tǒng)的微分方程為，當(dāng)激勵為時(shí)，系統(tǒng)的完全響應(yīng)為，。試求其零輸入響應(yīng)、零狀態(tài)響應(yīng)、自由響應(yīng)和強(qiáng)迫響應(yīng)。解：由全響應(yīng)得初始條件，（1）求零輸入響應(yīng)特征方程為，特征根為，所以代入初始條

13、件，解得，所以， （2）求零狀態(tài)響應(yīng)（3）2.6 已知某線性時(shí)不變系統(tǒng)的方程式為試求系統(tǒng)的沖激響應(yīng)h(t)。 解：方程右端的沖激函數(shù)項(xiàng)最高階數(shù)為，設(shè)，則有：，將其代入原系方程，得2.7若描述系統(tǒng)的微分方程為試求系統(tǒng)的階躍響應(yīng)。解：由題可知：階躍響應(yīng)：2.8已知某線性時(shí)不變(LTI)系統(tǒng)如題圖2.8所示。已知圖中，,試求該系統(tǒng)的沖激響應(yīng)。 題圖2.8解：利用系統(tǒng)串聯(lián)與系統(tǒng)并聯(lián)的沖激響應(yīng)求解2.9 設(shè)系統(tǒng)的微分方程表示為，求使完全響應(yīng)為時(shí)的系統(tǒng)起始狀態(tài)和，并確定常數(shù)。解：引入微分算子，則原微分方程可變換為：又由原微分方程知特征根為：所以：2.10 已知某連續(xù)系統(tǒng)的微分方程為 若系統(tǒng)的初始條件和，輸

14、入信號，求系統(tǒng)的零輸入響應(yīng)，零狀態(tài)響應(yīng)和完全響應(yīng)。（1）零輸入響應(yīng)滿足方程其值方程特征根，故零輸入響應(yīng)將初始值代入上式及其導(dǎo)數(shù)，得由上式解得，所以（2）零狀態(tài)響應(yīng)是初始狀態(tài)為零，且時(shí)，原微分方程的解，即滿足方程即 及初始狀態(tài)。先求和，由于上式等號右端含有，令積分(從到)得將、和代入微分方程可求得。對以上三式等號兩端從到積分，并考慮到，可求得解上式，得，。對于,微分方程可寫為不難求得其齊次解為，其特解為。于是有將初始值代入上式及其導(dǎo)數(shù)，得由上式可求得，所以系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)為（3）全響應(yīng)2.11已知一線性時(shí)不變系統(tǒng)，在相同初始條件下，當(dāng)激勵為時(shí)，其全響應(yīng)為 ；當(dāng)激勵為時(shí)，其全響應(yīng)為 求：(1)初始

15、條件不變，當(dāng)激勵為 時(shí)的全響應(yīng)，為大于零的實(shí)常數(shù)。 (2)初始條件增大1倍，當(dāng)激勵為時(shí)的全響應(yīng)。解：系統(tǒng)的全響應(yīng)是由零輸入響應(yīng)和零狀態(tài)響應(yīng)組成的，零輸入響應(yīng)與系統(tǒng)的狀態(tài)呈線性關(guān)系，零狀態(tài)響應(yīng)與系統(tǒng)的輸入呈線性時(shí)不變關(guān)系。設(shè) （1）則根據(jù)零狀態(tài)響應(yīng)線性可得 （2）聯(lián)立（1）、（2）得（1）初始條件不變，激勵為 時(shí)，則（2）初始條件增大1倍，當(dāng)激勵為時(shí)2.12 求下列各函數(shù)和的卷積（1） 和 （2） 和 （3） 和 （4） 和 （5） 和 （6）,解：（1）（2）（3）（4）（5）（6）當(dāng)即時(shí)，當(dāng)即時(shí)，故有2.13已知某線性時(shí)不變系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型為且，試用卷積積分法求當(dāng)輸入激勵為的零狀態(tài)響應(yīng)。解：沖激

16、響應(yīng)滿足不難求得其值分別為特征方程為其特征根，。故系統(tǒng)的沖激響應(yīng)將初始條件，代入上式，得，所以，由此，故不含。零狀態(tài)響應(yīng)是沖激響應(yīng)與激勵的卷積積分，即2.14某LTI連續(xù)系統(tǒng)有A、B、C三部分組成，如題圖2.14所示。已知子系統(tǒng)A的沖激響應(yīng) 子系統(tǒng)B和C的階躍響應(yīng)分別為，系統(tǒng)輸入試求系統(tǒng)的沖激響應(yīng)、階躍響應(yīng)和零狀態(tài)響應(yīng)。 題圖2.14解：根據(jù)LTI系統(tǒng)的微分特性，可得所以系統(tǒng)的單位沖激響應(yīng)根據(jù)LTI系統(tǒng)的積分特性，系統(tǒng)的階躍響應(yīng)零狀態(tài)響應(yīng)2.15已知某LTI連續(xù)系統(tǒng)的沖激響應(yīng)，輸入。 若以為初始觀察時(shí)刻，試求系統(tǒng)的零輸入響應(yīng)和零狀態(tài)響應(yīng)，并畫出波形。解：（1）由系統(tǒng)零輸入響應(yīng)的定義可知在之前的激勵為可知零輸入響應(yīng)為（2）由系統(tǒng)零輸入響應(yīng)的定義可知在開始的激勵為可知零狀態(tài)響應(yīng)為2.16已知線性時(shí)不變系統(tǒng)的一對激勵和響應(yīng)波形如題圖2.16所示，求該系統(tǒng)對激勵的零狀態(tài)響應(yīng)。題圖2.16解：對激勵和響應(yīng)分別微分一次，得當(dāng)激勵為響應(yīng)為即當(dāng)激勵為時(shí)的零狀態(tài)響應(yīng)為2.17