矩陣論線性變換

1、第四講主要內(nèi)容：線性變換，線性變換的矩陣表示, 同一線性變換在不同基下的表示矩陣的相 互關(guān)系矩陣的相似理論第三章線性變換3.1線性變換及其矩陣表示定義31設(shè)是數(shù)域K上的線性空間，映 射力：U T W滿足Aaa + b0) = aAa + bA/3、Va G IK, a, /3 G V(l) 則稱S是從線性空間IZ到線性空間W的線性 變換。N(A)= a G V|, Aa = 0稱貝的零空 間或核，人(人)=/? e iy|3a e V,9/3 = Aa 稱貝的值域。例 1 倉 b0? 1 T C0, 1, £: /(x) T 畑 練習(xí)N(幺)=?, R帝=?取定V的基仏他,，W的基

2、%，A:VW是一個線性變換，則貝可用一個矩陣A e Kmxz?表示。事實(shí)上，Aa-j E Wj = 1,2,., n,有坐 標(biāo)6?，2j, - - , G IK7",使得mi=l稱A =（陽）e磴必“是線性變換貝：卩t w 在選定基下的表示矩陣。記Oi27 ）=（ylcti, yt&2, ，/q 仇）（2）=（01，02, ，0m）4現(xiàn)在考察坐標(biāo)的變換，對/a eV,有坐 標(biāo)a = （%他，n）T IK"使得na的旳.7 = 1從而v4q = A （刀;=i ajaj =匸;=i ajaj 二匸;朋） =（E-=i 嘰）A即la的坐標(biāo)為b = 4ao也就是說，在選定

3、 基下，線性變換轉(zhuǎn)換為表示矩陣對坐標(biāo)的乘法運(yùn)算。例 2 求整:Rxn Rrr,幺:f(") T f(x) 在基1衛(wèi)衛(wèi)2,.,肝下的表示矩陣，問 N (£) =?, R (£) =?3.2線性變換在不同基下的表示矩陣之間的 關(guān)系為簡單計(jì)，只考慮同一個空間之間的線 性變換。設(shè)仏是線性空間卩到自身的一個線 性變換。% &2,，Oin , % 02,，0仇是卩 的兩組基。設(shè)基變換公式為(尸1，02)，0“)- 5 Q)C 貝在這兩個基下的表示矩陣分別為A.B.則 vA(ai, ； &仇)=(&1： )&冗)4-4(/3b 02,，0口)=

4、(01，02：0仇0 從而v4(01,02,0他)=v4(Qi,j Q)C=(Q, , CXjAC十仇曲C'AC所以可見力在這兩個基下的表示矩陣人£是相似 的，即滿足，記為Bo相似矩陣的性質(zhì)：(i) 反身性4s A(ii) 對稱性 A B B A；(iii) 傳遞性 A BB C A C；(iv) B => p(A) s p(E),這里 p(R)是一 個多項(xiàng)式。例3設(shè)數(shù)域1K上的線性空間V有兩組基 %如,01,02，滿足(&1衛(wèi)2)= (01,02)線性變換仏:V T V在基0詡2下的表示為 矩陣為求力在基aua2下的表示矩陣A，計(jì)算 Ak Bko3.3矩陣的相

5、似理論空間卩上的線性變換在不同的基下的表 示矩陣是相似的，反過來任何兩個相似矩陣 都是某一線性變換在不同基下的表示矩陣。 求矩陣的相似最簡形和找一個適當(dāng)?shù)幕?得某一線性變換在該基下的矩陣表不是最 簡的就是同一個問題，它是矩陣的相似理論 耍研究的問題。定義3.2設(shè)1 :卩T卩是一個線性變換，若 存在非零向量a使得Aa = ka,keK,則稱 k E K是線性變換仏的一個特征值，非零向量 a稱為相應(yīng)于特征值k的特征向量。線性變換的特征值和特征向量的求法:任取的一組基%，伽，設(shè)/在該 基下的表示矩陣為A,設(shè)特征向量a在該基下的坐標(biāo)為a,即q = （cq： a% ： 貝V v4a =a?，：aja=

6、ka = （a,，弘）肚所以= ka(5)是一個通常矩陣的特征值問題。解可得 特征值知 和矩陣4的特征向量從而可得 線性變換力的特征值k和相應(yīng)的特征向量 a = (qa?、：Q)a。練習(xí)求箱:叫班T盛創(chuàng)3肩:T 的特征值和特征向量。如果線性變換貝有一組特征向量 di,：&仇構(gòu)成空間卩的基,貝！Jv4(ai, &2, ，a”) =Aa . ., v4ce7?)= 伙1&1)鳥2匕2， ,饑&仇)/饑、=(S&2：皿).I kn) 可見線性變換力在其特征向量構(gòu)成的基下的 表示矩陣數(shù)對角陣。由線性代數(shù)知道這個結(jié) 論反過來也是對的。問題 若線性變換力沒有特真向量

7、構(gòu)成空間1/的基會岀現(xiàn)什么情況?Fun NotesJorda nMarie Ennwmond Camille Jordan (January 5, 1838 - January 22, 1922) was a French mathematician, known both for his foundational work in group theory and for his in flue ntial Cours cfan alyse. He was bor n in Lyon and educated at the Ecole polytechnique. He was an engi

8、neer by profession; later in life he taught at the Ecole polytech nique and the College de Fra nee, where he had a reputati on for ecce ntric choices of notation.He is remembered now by name in a number of foundational results:the Jordan curve theorem, a topological result required jn complex analys

9、is;the Jordan normal form and the Jordan matrix jn linear algebra;in mathematical analysis, Jordan measure (or Jordan content) is an area measure that predates measure theory;in group theory the JordanH6lder theorem on composition series is a basic result.Jorda n's work did much to bring Galois

10、theory into the main stream. He alsoinvestigated the Mathieu groups, the first examples of sporadic groups. His Traitd des substitutions, on permutation groups, was published in 1870.The asteroid 25593 Camillejordan and Institute of Camille Jordan are named in his honour.Camille Jorda n is not to be

11、 conf used with the geodesist Wilhelm Jorda n (GaussJordan elimination) or the physicist Pascual Jordan (Jordan algebras).Books by C. JordanCours cTanalyse de I*Ecole Polytechnique; 1 Calcul differentiel (Gauthier-Villars, 1909)Cours d'analyse deEcole Polytechnique ; 2 Calcul intdgral (Gauthier-Villars, 1909)Cours cTanalyse de Ecole Polytechnique;36 quations diff 6 rentielles(Gauthier-Villars, 1909)MOmoire sur le nombre des valeurs des fonctions (1861 _ 1869)Recherches sur les polyOdres (Gauthier-Villars, 1866)