矩陣?yán)碚摰诙嬲n后答案(蘇育才姜翠波張躍輝著)科學(xué)出版社

1、(1)因cos空 sin nxcosx sin x-sin ns cos/nsin x cos.r習(xí)題一cos(”+l)Y sin(/7+l).r-sin(zz+l)x cos(/7+l).r故由歸納法知cos 空 sin ns A1 =.-sin ns cos Tiv(2)直接計(jì)算得才=-尻 故設(shè)刀=4/+%=0丄2,3),則# = /*/ = (一即只需算出才，才即叭(3)記丿=/ 停嚴(yán)U 于卄錚才=(滋+ jy=x 5尸=7-04 = 1時(shí),F q_b a0晉廠& = 1.0),則由才=夕得不可能。A 1 0 A o彈 0_A2 o _0 Z,Jo0可而由0 = 0時(shí),知人二&#

2、177;1所以所求矩陣為PBF',其中P為任意滿秩矩陣，而Ml1 0、B,=1 o'、B、= -1 00 10 -10 -1注：才=_E無(wú)實(shí)解，才=£的討論雷同。3設(shè)A為己給灰陣市條件XlfFn階方陣X冇AX=XA即把X存作才個(gè)未知數(shù)時(shí)線性方程AX-XA=0有滬個(gè)線性無(wú)關(guān)的解由線性方程組的理論知其系數(shù)矩陣為零矩陣,通過(guò)直接檢驗(yàn)即發(fā)現(xiàn)A為純屋矩陣。4”+4円+4 = 04.分別對(duì)（AB）和作行（列）初等變換即町。5先證A或B是初等到陣時(shí)有（加= 即從而當(dāng)A或B為可逆陣時(shí)有（力方= FA o考慮到初等變換A對(duì)B的刀-1階子行列式的影響及才=即町得前面提到的結(jié)果。卜設(shè)尿0

3、=，（這里P, Q滿秩人則由前討論只需證下式成立即可:（1）iynl時(shí)，因秩小于nl的n階方陣的ml階子式全為0,結(jié)論顯然:(2) E1 時(shí),000 14占24加2022紜412 £ 力2022紜6. 由廠（力）=A（力丄）及冊(cè) =0 0（冊(cè)）丄冊(cè)=0,即&才=0與力丄冊(cè)=0同解，此即所求證。7. 設(shè)其逆為（勺），則當(dāng)I固定時(shí)由可逆陣的定義得J個(gè)方程% + %（ /）" + 色3（ /+%（ /廠譏,_/ = 1,2,刀， 其中為Kronecker符號(hào)。對(duì)這里的第/個(gè)方程乘以“円"門(mén)然后全加起來(lái)得 加叫”=討TE）,即得勺=丄。注：同一方程式的全部本原根之

4、和為0,且加也是本原根（町能其滿足的方程次數(shù)小于n）。習(xí)題二1. 因Xl =才，所以V中零元素為1, X的負(fù)元素為丄，再證結(jié)合律、交換律和X分配律。2. 歸納法：設(shè)U%U則下面三者之一必成立：(1) 坷u冬uU/t U/；(2) 虧U磅U11%4二網(wǎng)(3) 存在 aw 坷u/u及 0E/ (坷 U冬 U U/t)。如果是(1) (2)則歸納成立，如果是(3)則選s個(gè)不同的數(shù)右,勺,，勺，則必有菜 一個(gè)畑 + 0旳1|%|>7/。3. U是滿足方程tr(A)=O解向量空間，其維數(shù)為才-1,故其補(bǔ)空間為i維的，可由任一跡 非0的矩陣生成。4. 易證線性封閉。又設(shè)V中元素為/= 4”.#&qu

5、ot;+4”十廠2+ +§,則U是滿足方程 務(wù)+ t +勺=0的子空間。故U的維數(shù)為n-1,其補(bǔ)空間為一維的，故任取一系 數(shù)非0且不滿足此方程式的元即可生成此補(bǔ)空間.5.iETT=（/zp/2>/Z3）爐=(嗎， ) 把IT,W放亦一起成4行5列的矩陣.M Hermit.標(biāo)259306.x+丿 + 二 + 妙=0x-y+二一 w= 0準(zhǔn)形為14 5 10 113OOO10 0 0 0故的基為-3wj+馬的基為-3嗎+ wr的基為-3聽(tīng)+u U+W的基為一3w| + w2» z/j > wj o故 dim （"pl 爐）=2, dim 0+"）

6、= dim U+ dim 爐一 dim （7p| 爐）=4 ：刃1爐的基為方程組的解向5(0,1,1,1)和(1,1,-1,-1)«/-I7. (1)由H =丿-工如廠知#可表示為(才-1)'線性組合，由基定義知其為一組基。7=0(2)由工水=工4("-1)'及” =(x-l + iy工0(兀-盯得% =工兮務(wù)。iQi=Or=Oi=O注：當(dāng)kvj時(shí)，羅=8ft!勺為傷,02廠-,0的線性組合知存在矩陣A使得(內(nèi)宀,耳)=(01，爲(wèi)，,Q)N， 由a,線性無(wú)關(guān)可知/()=$故$<八把A的Hermite標(biāo)準(zhǔn)形非0行的第一個(gè)非0元所在列 對(duì)應(yīng)的心全替代為4即

7、為所求。9.易證為子空間:媯0在空間Z=xe±.的核空間，故dimZ7= dimz=匕|才 w 尸 一 “M)=廠(/)一。習(xí)題 三1. 略（*,丿）=（西,七）故內(nèi)積定義的(1) (3)顯然；而(a小“(2)成立O為正定矩陣0。0,加一力 >0。1/ c丿3. (1) (3)顯然(2)(Z力n0且等號(hào)成立當(dāng)且僅當(dāng)(力力=00產(chǎn)（0）+/ =0 o/*（o） =彳?。?0o仏壬如。0"“00八0。2 2| h(f) |= (3cos7 + 4sin9)2 + (4cos9-3sin7)? = 5習(xí)題四1設(shè)AB的特征值及其對(duì)應(yīng)的特征向量為人,尤，即ABXXt.如超 =0

8、, 則人=0 （注意到只能有一個(gè)特征值為0）。故由宓家=人劉;知BA與AB 特征值勤全相同，所以它們都相似于戀（人，人，血）02. （T對(duì)應(yīng)的矩陣為pT0 -2 -2-23 -1,-2 -13即（7（勺,勺,色）=（勺，色，勻）力，作 基變換（勺,勺,勺） = （W，£,&）用 則 b（N，W，&）=（勺，勺，勺）尿h.故使為對(duì)角形的基（勺0,勺）h即可。3V的一組基為點(diǎn)ojO 0，分別記為弘勺勾則<7弓=色勺,（7弓=色_勺,CT勺=馬_色，故 0 0 0_b（馬，勺，勺）=（弓，勺，勺）11 -1 =（勺，勺，勺）力,-1 -1 1求出使尿?yàn)閷?duì)角形陣的P,基

9、取為（勺灼，勺）1 2 t4令乙2 -1 '則Zr() = 1,1 1=0,= 尸=05. -尿)知除0外AB與BA的特征值全相同(包抵代數(shù)重?cái)?shù)),而跡為矩陣特征值之和。6. (1)特征多項(xiàng)式”-8才+7為最小參項(xiàng)式，可能角化(2) |Z-|=(A-l)(A-2)(A-3)為最小多項(xiàng)式,可對(duì)角化(3)特征多項(xiàng)式為(A-l)3(2 + 2),經(jīng)驗(yàn)證(力-£)(力+2$),故敲小多項(xiàng)式為 (2-l)(A+2),可對(duì)角化。(4) 同(3),但(蟲(chóng)-£)(力+2夕)工0,故瑕小多項(xiàng)式為(2-l)2(A + 2),不能對(duì)角化。7. （1）則刀=乙=(才_(tái)4)1加/=(彳_4)

10、工(才_(tái)4)2 =伽；a 1 0 0'a 1 0 O'0 a 0 00 a 0 0.B =0 0 a 00 0 b 00 0 0 bMi0 0 0 b （2）A力=（才-a）3（x_6）H（才一a）"才一= E %=（才一 “）2（才_(tái)5）=（才_(tái)4），（才_(tái)5） = mB8. 由特征多項(xiàng)式的表達(dá)式特和題設(shè)有£a=o，xh=o,故0£訂=£厝吃估£卞，又人為實(shí)數(shù)故人均為0?，F(xiàn)由Shur定理存在P使0 *0 P、AP= 直接計(jì)算得羅=0、故才=P£p = 0 onn 9. 由£人=刀且凋石二可飛上即得。10.1

11、1. 略12. 蓋爾圓分離HA為實(shí)陣，故A有n個(gè)不同實(shí)根。(命題441及其推論)13. 略習(xí)題五1. 略2. 略3. 略4. 略1 005. (1) KE 4> 0 6 2A A" A- + 4A 10 >0 -3Z+54Z-710010000A2 + 4A-4>0000A-2-100(A-2)3OB即初等因子為(A-2)3,故Jordan標(biāo)準(zhǔn)形為卩1 0-0 2 1,0 0 2tv由AX=2X解出占，再由AX-2X= -禺求出禺及由AX-1X-X2解出禺，則尸=才;，占，占即為所求。6. 略由于幕0陣的特征值全為0,故若其不為0陣則其Jordan標(biāo)準(zhǔn)形必含階人于1

12、的Jordan 塊0 10 1J= 但J的最小多項(xiàng)式為r （r>l）根不能對(duì)角化，故幕0陣的Jordan標(biāo)準(zhǔn)形不能對(duì)角化，那它自己當(dāng)然也不能對(duì)角化。8.設(shè)PAP、=乙為A的Jordan標(biāo)準(zhǔn)形及乙二施仏,人）+易算出（廠】必而A=卩兒卩=嚴(yán)】施（人）尸+ F'MP= D+Nq9特征值為1,/,-z,可對(duì)角化后計(jì)算。10.記V的基為華二勺=xee =,父色=0則1 1 07（勺嗎，勺，色）=（勺嗎，勺，色）000 0 00o =（勺，勺，勺,色）力，21 00 1XE-A可初等變換為° °0 02400 (2-1)3>故初等因子為A-2p-l）3；以下略。1

13、1設(shè)A的標(biāo)準(zhǔn)形的Jordan塊為兀人、Jr、則%（才）=勺，勺，蝕，刀（打=口刀,而®（x） = /；（x）,故刀=%時(shí)對(duì)應(yīng)于每個(gè)特征值的Jordan塊僅有一個(gè)。習(xí)題六1. （1） （2）略（3 ）直接計(jì)算有，（XT-九T） = （a - Jeer,才- JUb由內(nèi)積的性質(zhì)得4r- a才二0 O 才-九孑才二0。2. 設(shè)/血（入，人，"”）"，（U 為西矩陣），故/ = £/血（右石，舟）<7,所以如、乩如（|人匕|婦2,|人門(mén)力3. （1）由蟲(chóng)=/迦仏厶，人 0及才二/血（石込，無(wú)0即得,（2）由第2題得：（3）力"=/施（厝,宵廠、盤(pán)

14、”）7,故由&"'=人知人必為1或04. （1） （2）略/Z如（皆，益，稈）=7/血（晉，盂，怎）.由刖=器尤=人故/ =力（4 ） $=/ = /血（廿，船，,瞪）7 ,又&為實(shí)數(shù)，故人為±1 ,所以£ = if digQ 丄心 U=E5. ；1為AB的特征值，對(duì)應(yīng)特征向量為X,則AX' BAX = （-T）* Z-T= AXx由A, B正定及才正定和XTO （A滿秩）知幾=血2旦竺l>0AXMathType 5. 06.由紹爾定理存在酉陣U使得 EquationA A2 A3“23紜 2IA I2 *內(nèi)? + l儘*I

15、無(wú)MathType 5. 07. 設(shè)Equation 力=（人,，；”）"，u為正交陣，令則nI XtAX X 人丿；lniax | 2Z| YTY = CXTX,其中 <7= max | 如7=1q.設(shè)A=i/pyh酉陣），則型/ = ”而AB正規(guī)O UAB卩正規(guī)O PUB卩正規(guī)并且AB=BAU> PUB卩=VB卩P.故不妨設(shè)人召Al Al " ArA =、B =% Bq Br鄉(xiāng)2鄉(xiāng)其中人互不相同，則rh AB=BA知坊=0 （當(dāng)I豐J時(shí)），即方=血（外，列，彳）：易證為正規(guī)陣，故存在西陣U、U“、ur使得dig認(rèn)u、BdigU、U“、U、為對(duì)角陣，令 U=d

16、igU、U“rU 則UABU為對(duì)角陣，故AB為止規(guī)陣。9.略10.舲=0 B“0 Q.=E、故2= EM P= 0、尸$= 0,方方+ Q= $由此即可算出。11. 特征參項(xiàng)式相同O特征值及其垂數(shù)都相同O兩個(gè)矩陣與同一對(duì)角陣相似。12. 計(jì)算出刀=(H)(T + q+5),特征值為2 = 1,人，石,故1所對(duì)應(yīng)的特征向量為旋轉(zhuǎn)軸,旋轉(zhuǎn)角由cos。= ReAsinO = Im入決定。13特征值為±1,求出特征向量即可。14. 對(duì)才W兒（zr,zr）=（ zt）7（zk） = （a-2”町（x-iyytx -ixyytx-iyytx=XTX- 1XtYYtX- 1XtYYtX xtyyt

17、yytx = XTX注意到上式己用到Y(jié)Yt =|2= 1 °15.兩者均為正規(guī)陣，故求出特征向量并標(biāo)準(zhǔn)化即可。習(xí)題七1.略：2o略3. (1)由 p(Z7)=p()得(2)由p(加Z4)=p(力廿)得4見(jiàn)習(xí)題六第6題的證明，注意被西陣乘后不改變這兩種范數(shù)。5.略:6. 不一定，反例略:7 由 lim C = lim An lim A1 得: 78/>->co8可簡(jiǎn)單計(jì)算出最小多項(xiàng)式為(A-1)2,且函數(shù)刃才)=£ 二=丄在A的譜上的數(shù) z 22 - x值為/(1)=2,/1=2,故/(")與多項(xiàng)式2x在A的譜上的數(shù)值相同，所以f(A)=2A9易計(jì)算出其特征值為6 02,故力"TO。10A2 + 2A + 1,后略:11.= (Z 1)(A 2)(Z+2),后略;12. 特征多項(xiàng)式為(A-)(A-)(A-)或仏-入)'或(2-)2(a-A