高中數(shù)學(xué)--函數(shù)定義域,值域解題方法納

1、 函數(shù)的三要素： 對應(yīng)法則、定義域、值域只有當(dāng)這三要素完全相同時(shí)，兩個(gè)函數(shù)才能稱為同一函數(shù)。例：判斷下列各組中的兩個(gè)函數(shù)是否是同一函數(shù)？為什么？ 1 解：不是同一函數(shù)，定義域不同 2。 解：不是同一函數(shù)，定義域不同 3。 解：不是同一函數(shù)，值域不同 4 解：是同一函數(shù) 5 解：不是同一函數(shù)，定義域、值域都不同關(guān)于復(fù)合函數(shù)設(shè) f(x)=2x-3 g(x)=x2+2 則稱 fg(x)（或gf(x)）為復(fù)合函數(shù)。 fg(x)=2(x2+2)-3=2x2+1 gf(x)=(2x-3)2+2=4x2-12x+11 例：已知：f(x)=x2-x+3 求：f() f(x+1) 解：f()=()2-+3 f(

2、x+1)=(x+1)2-(x+1)+3=x2+x+31. 函數(shù)定義域的求法l 分式中的分母不為零；l 偶次方根下的數(shù)（或式）大于或等于零；l 指數(shù)式的底數(shù)大于零且不等于一；l 對數(shù)式的底數(shù)大于零且不等于一，真數(shù)大于零。l 正切函數(shù) l 余切函數(shù) l 反三角函數(shù)的定義域(有些地方不考反三角,可以不理)函數(shù)yarcsinx的定義域是 1, 1 ，值域是，函數(shù)yarccosx的定義域是 1, 1 ，值域是 0, ，函數(shù)yarctgx的定義域是 R ，值域是，函數(shù)yarcctgx的定義域是 R ，值域是 (0, ) .注意，1. 復(fù)合函數(shù)的定義域。如：已知函數(shù)的定義域?yàn)椋?，3），則函數(shù)的定義域。2.

3、 函數(shù)的定義域?yàn)?函數(shù)的定義域?yàn)?則函數(shù)的定義域?yàn)?，解不等式，最后結(jié)果才是3.這里最容易犯錯(cuò)的地方在這里： 已知函數(shù)的定義域?yàn)?1,3),求函數(shù)的定義域；或者說，已知函數(shù)的定義域?yàn)?3,4),則函數(shù)的定義域?yàn)開?一、復(fù)合函數(shù)的構(gòu)成設(shè)是到的函數(shù)，是到上的函數(shù)，且，當(dāng)取遍中的元素時(shí)，取遍，那么就是到上的函數(shù)。此函數(shù)稱為由外函數(shù)和內(nèi)函數(shù)復(fù)合而成的復(fù)合函數(shù)。 說明：復(fù)合函數(shù)的定義域，就是復(fù)合函數(shù)中的取值范圍。稱為直接變量，稱為中間變量，的取值范圍即為的值域。與表示不同的復(fù)合函數(shù)。例2：若函數(shù)的定義域是0，1，求的定義域；若的定義域是-1，1，求函數(shù)的定義域；已知定義域是，求定義域要點(diǎn)1：解決復(fù)合函數(shù)問

4、題，一般先將復(fù)合函數(shù)分解，即它是哪個(gè)內(nèi)函數(shù)和哪個(gè)外函數(shù)復(fù)合而成的 解答：函數(shù)是由A到B上的函數(shù)與B到C上的函數(shù)復(fù)合而成的函數(shù)函數(shù)的定義域是0，1， B=0,1，即函數(shù)的值域?yàn)?，1，即， 函數(shù)的定義域0，函數(shù)是由A到B上的函數(shù)與B到C上的函數(shù)復(fù)合而成的函數(shù)的定義域是-1，1， A=-1,1，即-1，,即的值域是-3，1， 的定義域是-3，1要點(diǎn)2：若已知的定義域?yàn)?，則的定義域就是不等式的的集合；若已知的定義域?yàn)?，則的定義域就是函數(shù) 的值域。函數(shù)是由A到B上的函數(shù)與B到C上的函數(shù)復(fù)合而成的函數(shù)的定義域是-4，5), A=-4,5)即，即的值域B=-1，8）又是由到上的函數(shù)與B到C上的函數(shù)復(fù)合而成

5、的函數(shù)，而,從而的值域 的定義域是1，）例4：已知函數(shù),求的值域。分析：令，； 則有，復(fù)合函數(shù)是由與復(fù)合而成，而，的值域即的值域，但的本身定義域?yàn)?其值域則不等于復(fù)合函數(shù)的值域了。2求有關(guān)復(fù)合函數(shù)的解析式，例6已知 求；已知 ，求例7已知 ，求； 已知，求要點(diǎn)3：已知求復(fù)合函數(shù)的解析式，直接把中的換成即可。已知求的常用方法有：配湊法和換元法。配湊法就是在中把關(guān)于變量的表達(dá)式先湊成整體的表達(dá)式，再直接把換成而得。換元法就是先設(shè)，從中解出（即用表示），再把（關(guān)于的式子）直接代入中消去得到，最后把中的直接換成即得，這種代換遵循了同一函數(shù)的原則。例8已知是一次函數(shù)，滿足，求；已知，求要點(diǎn)4： 當(dāng)已知函

6、數(shù)的類型求函數(shù)的解析式時(shí)，一般用待定系數(shù)法。 若已知抽象的函數(shù)表達(dá)式，則常用解方程組、消參的思想方法 求函數(shù)的解析式。已知滿足某個(gè)等式，這個(gè)等式除是未知量外，還出現(xiàn)其他未知量，如、等，必須根據(jù)已知等式再構(gòu)造出其他等式組成方程組，通過解方程組求出。三、總結(jié)：復(fù)合函數(shù)的構(gòu)成；設(shè)函數(shù)，則我們稱是由外函數(shù)和內(nèi)函數(shù)復(fù)合而成的復(fù)合函數(shù)。其中被稱為直接變量，被稱為中間變量。復(fù)合函數(shù)中直接變量的取值范圍叫做復(fù)合函數(shù)的定義域，中間變量的取值范圍，即是的值域，是外函數(shù)的定義域。有關(guān)復(fù)合函數(shù)的定義域求法及解析式求法：定義域求法：求復(fù)合函數(shù)的定義域只要解中間變量的不等式（由解）；求外函數(shù)的定義域只要求中間變量的值域范

7、圍（由求的值域）。已知一個(gè)復(fù)合函數(shù)求另一個(gè)復(fù)合函數(shù)的定義域，必須先求出外函數(shù)的定義域。特別強(qiáng)調(diào)，此時(shí)求出的外函數(shù)的定義域一定是前一個(gè)復(fù)合函數(shù)的內(nèi)函數(shù)的值域，例2（3）反映明顯。解析式求法：待定系數(shù)法、配湊法、換元法、解方程組消元法2. 函數(shù)值域的求法（1）、直接觀察法對于一些比較簡單的函數(shù)，如正比例,反比例,一次函數(shù),指數(shù)函數(shù),對數(shù)函數(shù),等等,其值域可通過觀察直接得到。例 求函數(shù)的值域例2. 求函數(shù)的值域。解： 故函數(shù)的值域是：（2）、配方法配方法是求二次函數(shù)值域最基本的方法之一。例3. 求函數(shù)的值域。解：將函數(shù)配方得： 由二次函數(shù)的性質(zhì)可知：當(dāng)x=1時(shí)，當(dāng)時(shí)， 故函數(shù)的值域是：4，8（3）、

8、根判別式法對二次函數(shù)或者分式函數(shù)（分子或分母中有一個(gè)是二次）都可通用，但這類題型有時(shí)也可以用其他方法進(jìn)行化簡如:例4. 求函數(shù)的值域。解：原函數(shù)化為關(guān)于x的一元二次方程 （1）當(dāng)時(shí)， 解得：（2）當(dāng)y=1時(shí)，而 故函數(shù)的值域?yàn)?、反函數(shù)法(原函數(shù)的值域是它的反函數(shù)的定義域)直接求函數(shù)的值域困難時(shí)，可以通過求其原函數(shù)的定義域來確定原函數(shù)的值域。例 求函數(shù)值域。,分母不等于0,即5、函數(shù)有界性法直接求函數(shù)的值域困難時(shí)，可以利用已學(xué)過函數(shù)的有界性，來確定函數(shù)的值域。我們所說的單調(diào)性，最常用的就是三角函數(shù)的單調(diào)性。例. 求函數(shù)的值域。解：由原函數(shù)式可得：，可化為：即 即解得： 故函數(shù)的值域?yàn)?.倒數(shù)法

9、有時(shí)，直接看不出函數(shù)的值域時(shí)，把它倒過來之后，你會(huì)發(fā)現(xiàn)另一番境況例 求函數(shù)的值域7. 函數(shù)單調(diào)性法 例. 求函數(shù)的值域。解：原函數(shù)可化為：令，顯然在上為無上界的增函數(shù)所以，在上也為無上界的增函數(shù)所以當(dāng)x=1時(shí)，有最小值，原函數(shù)有最大值顯然，故原函數(shù)的值域?yàn)?7. 換元法通過簡單的換元把一個(gè)函數(shù)變?yōu)楹唵魏瘮?shù)，其題型特征是函數(shù)解析式含有根式或三角函數(shù)公式模型， 例11. 求函數(shù)的值域。解：令， 則 又，由二次函數(shù)的性質(zhì)可知 當(dāng)時(shí)， 當(dāng)時(shí)，故函數(shù)的值域?yàn)?例14. 求函數(shù)，的值域。解：令，則 由 且可得： 當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，故所求函數(shù)的值域?yàn)椤?8. 數(shù)形結(jié)合法 例17. 求函數(shù)的值域。解：原函數(shù)可變形為：上式可看成x軸上的點(diǎn)到兩定點(diǎn)的距離之和，由圖可知當(dāng)點(diǎn)P為線段與x軸的交點(diǎn)時(shí)，故所求函數(shù)的值域?yàn)?10. 一一映射法原理：因?yàn)樵诙x域上x與y是一一對應(yīng)的。故兩個(gè)變量中，若知道一個(gè)變量范圍，就可以求另一個(gè)變量范圍。 例21. 求函數(shù)的值域。解：定義域?yàn)?由得故或 解得故函數(shù)的值域?yàn)?多種方法綜合運(yùn)用總之，在具體求某