09-13全國大學(xué)生高等數(shù)學(xué)競賽真題及答案非數(shù)學(xué)類-無答案

1、2009年第一屆全國大學(xué)生數(shù)學(xué)競賽預(yù)賽試卷一、填空題(每小題 5分，共20分),其中區(qū)域D由直線x y1與兩(x y)ln(1 -)1.計算x-dxdyD .1 x y坐標(biāo)軸所圍成三角形區(qū)域.22.設(shè)f(x)是連續(xù)函數(shù)，且滿足 f(x) 3x2q f (x)dx 2,則f(x)2x 23 .曲面z 一 y 2平行平面2x 2y z 0的切平面方程是 24 .設(shè)函數(shù)y y(x)由方程xef(y) eyln29確定，其中f具有二階導(dǎo)數(shù)，且 fd2y .2.dxe二、(5分)求極限螞(-x 2xnx e)x ,其中n是給定的正整數(shù).f (xt)dt,且 limx 0f(x)xA , A為常數(shù)，求g

2、(x)并討論g (x)在x 0處的連續(xù)性L為D的正向邊界，試證:四、(15分)已知平面區(qū)域 D ( x, y) | 0 x , 0 y ,sin ysin xsin ysin x .(1) xe dy ye dx xe dy ye dx;LL：xesinydyLsin yye dx五、(10分)已知y1x 2xxxe e , y2 xex xee2xe x是某二階常系數(shù)線性非齊次微分方程的三個解，試求此微分方程六、(10分)設(shè)拋物線y ax2 bx 2lnc過原點.當(dāng)0 x 1時，y 0 ,又已知該拋物線1與x軸及直線x 1所圍圖形的面積為 1.試確定a,b,c,使此圖形繞x軸旋轉(zhuǎn)一周而成的旋

3、3轉(zhuǎn)體的體積最小.七、(15 分)已知 Un(x)滿足 Un(x) Un(x) xn1ex(n 1,2,),且 un -,求函數(shù)項 n級數(shù)Un(x)之和.n 12八、(10分)求x 1時，與xn等價的無窮大量n 02010年 第二屆全國大學(xué)生數(shù)學(xué)競賽預(yù)賽試卷一、(25分，每小題5分)(1)設(shè) xn (1 a)(1 a2)L (1 a2n),其中 |a| 1,求 lim4. n2x71求 lim e x 1 。 xx(3)設(shè) s 0,求 I ° e sxxndx(n 1,2,L )。 222(4)設(shè)函數(shù)f(t)有二階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，r Jx2 y2,g(x,y) f 1 ，求三 g rxy(

4、5)求直線l1: x y 0與直線l2:?上上U的距離。z 0- 421、(15分)設(shè)函數(shù)f(x)在()上具有二階導(dǎo)數(shù)，并且f (x) 0, lim f (x)0, lim f (x)0,且存在一點飛，使得f (x0) 0。x 2t t三、(15分)設(shè)函數(shù)y f(x)由參數(shù)方程(ty (t)1)所確定，其中(t)具有二階導(dǎo)數(shù)，曲線y,t23 ,與y e u du "在t 1出相切，求函數(shù)(t)。12en四、(15分)設(shè)an 0,Snak,證明:k 1a .(1)當(dāng) 1時，級數(shù) ,收斂；n 1 Sna.當(dāng)1且Sn(n )時，級數(shù) 二發(fā)散。n 1Sn五、(15分)設(shè)l是過原點、方向為(，

5、)，(其中2 1)的直線，均勻橢球222xyz2 -2" -2" 1 ,其中(0 c b a,留度為1)繞l旋轉(zhuǎn)。abc(1)求其轉(zhuǎn)動慣量；(2)求其轉(zhuǎn)動慣量關(guān)于方向 (，)的最大值和最小值。六、（15分）設(shè)函數(shù) （x）具有連續(xù)的導(dǎo)數(shù)， 在圍繞原點的任意光滑的簡單閉曲線C上，曲線積分?2xyd: (2x)dy的值為常數(shù)。 c x y(1)22設(shè)L為正向閉曲線（x 2）2 y 1,證明？c2xydx(x)dy 0420;x y(2)求函數(shù) （x）;(3)設(shè)C是圍繞原點的光滑簡單正向閉曲線，求、2xydx (x)dy?42°c x y2011年 第三屆全國大學(xué)生數(shù)學(xué)競

6、賽預(yù)賽試卷計算下列各題（本題共 3小題，每小題各5分，共15分）（1）.求 limx 0sin x1 cosx；(2 ).求 limn(3)x已知yIn2tearctanet以。dx2（本題10分）求方程 2x y 4 dxx y 1 dy 0的通解。（本題15分）設(shè)函數(shù)f（x）在x=0的某鄰域內(nèi)具有二階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，且0 均不為0,證明：存在唯一一組實數(shù)k1,k2,k3,使得limh 0k1fhk2f 2h k3f 3hI23h20。四.（本題17分）設(shè)2x1 : a2 y_ b22 z T 1 c，其中a b c 0 ,222,1在上各點的切平面到原點2:z x y , 為1與 2的交線，求橢

7、球面距離的最大值和最小值。22x 3y 1五.（本題16分）已知S是空間曲線繞y軸旋轉(zhuǎn)形成的橢球面的上半部z 0分（z 0）取上側(cè)，是s在P x,y,z點處的切平面，x,y,z是原點到切平面 的距離，表示s的正法向的方向余弦。計算：（1）zdS； z x 3 y z dSS x, y,zS六.（本題12分）設(shè)f（x）是在內(nèi)的可微函數(shù)，且 f、x mf x ,其中0 m 1 ,任取實數(shù)a0 ,定義anln f an 1 , n 1,2,.,證明an an 1絕對收斂。七.(本題15分)是否存在區(qū)間0,2上的連續(xù)可微函數(shù)f(x),滿足f 0 f 21,21,f x dx 1 ?請說明理由。o第四屆

8、全國大學(xué)生數(shù)學(xué)競賽預(yù)賽試卷一、(本大題共5小題, 出重要步驟)每小題6分共30分)解答下列個體(要求寫出要求寫1求極限ljm(n!)蘆y 3z5y 4z3,1)。0的兩個互相垂直的平面1和2,使其中02x求通過直線l :5x一個平面過點(4,已知函數(shù)z u(x , y)eax by,且20。確定常數(shù)a和b ,使函數(shù)z z(x , y) x y2滿足方程一- x y x設(shè)函數(shù)u u(x)連續(xù)可微，u(2) 1,且(x 2y)udx (x u3)udy在右半平 面與路徑無關(guān)，求u(x,y)。(5)求極限 lim Vx"f sin t dtx x .t cost、(本題10分)計算0 e2

9、xsin x dx三、求方程x2sin 1 2xx501的近似解，精確到0.001.四、(本題12分)設(shè)函數(shù)y f(x)二階可導(dǎo)，且f (x) 0, f(0) 0, f(0) 0,3求lim x"一,其中u是曲線y f (x)上點P(x , f (x)處的切線在x軸 x 0 f (x)sin u上的截距。五、(本題12分)求最小實數(shù)C，使得滿足；f(、. x)dx Cf(x)dx 1的連續(xù)函數(shù)f(x)都有六、(本題12分)設(shè)f(x)為連續(xù)函數(shù)，t 0。區(qū)域 是由拋物面z x2 y2 和球面x2 y2 z2 t2 (z 0)所圍起來的部分。定義三重積分F (t) f (x2 y2 z2

10、)dv七、(本題14分)求F(t)的導(dǎo)數(shù)F (t)設(shè) an與bn為正項級數(shù)，證明:n 1n 1(1)若 lim nn1bn(2)若 lim nan 1bn1bn 1L bn 10,則級數(shù) an收斂；n 10,且級數(shù) bn發(fā)散，則級數(shù)an發(fā)散n 1n 1第五屆全國大學(xué)生數(shù)學(xué)競賽預(yù)賽試卷解答下列各題（每小題6分共24分，要求寫出重要步驟）1： n1 .求極限 lim 1 sin 44n2 . n2 .證明廣義積分2 dx不是絕對收斂的0 x3.設(shè)函數(shù)yy x由x3 3x2y 2y3 2確定，求y x的極值。4.過曲線y3/x x0上的點A作切線，使該切線與曲線及x軸所圍成的平面圖形的 3面積為一，

11、求點A的坐標(biāo)。4（滿分12）計算定積分Idxxsin x arctanex"21 cos x三、（滿分12分）設(shè)f x在x 0處存在二階導(dǎo)數(shù)f 0 ,且lim f30 x 0 x證明：級數(shù) f收斂。n 1 nb四、（滿分12分）設(shè)f x , f xx b ,證明 sin f x dx五、（滿分14分）設(shè)的曲面積分Ix3a是一個光滑封閉曲面，方向朝外。給定第二型x dydz 2y3 y dzdx 3z3 z dxdy。試確定曲面使積分I的值最小，并求該最小值。六、（滿分14分）設(shè)Ia r ?ydx xdy,其中a為常數(shù)，曲線C為橢圓22c x yx2 xy y2 r2,取正向。求極限l

12、im Ia r r五、1.2.3.4.5.（滿分14分）判斷級數(shù)一n的斂散性，若收斂，求其和。 n 2向量代數(shù)和空間解析幾何向量的概念、向量的線性運算、向量的數(shù)量積和向量積、向量的混合積 兩向量垂直、平行的條件、兩向量的夾角向量的坐標(biāo)表達(dá)式及其運算、單位向量、方向數(shù)與方向余弦曲面方程和空間曲線方程的概念、平面方程、直線方程平面與平面、平面與直線、直線與直線的夾角以及平行、垂直的條件、點到平面和點到直線的距離.6 .球面、母線平行于坐標(biāo)軸的柱面、旋轉(zhuǎn)軸為坐標(biāo)軸的旋轉(zhuǎn)曲面的方程、常用的二次曲面 方程及其圖形.7 .空間曲線的參數(shù)方程和一般方程、空間曲線在坐標(biāo)面上的投影曲線方程出、解析幾何部分一、向

13、量與坐標(biāo)1,向量的定義、表示、向量的線性運算、向量的分解、幾何運算2.坐標(biāo)系的概念、向量與點的坐標(biāo)及向量的代數(shù)運算3,向量在軸上的射影及其性質(zhì)、方向余弦、向量的夾角4,向量的數(shù)量積、向量積和混合積的定義、幾何意義、運算性質(zhì)、計算方法及應(yīng)用.5.應(yīng)用向量求解一些幾何、三角問題.二、軌跡與方程1,曲面方程的定義：普通方程、參數(shù)方程（向量式與坐標(biāo)式之間的互化 ）及其關(guān)系.2.空間曲線方程的普通形式和參數(shù)方程形式及其關(guān)系3,建立空間曲面和曲線方程的一般方法、應(yīng)用向量建立簡單曲面、曲線的方程 4.球面的標(biāo)準(zhǔn)方程和一般方程、母線平行于坐標(biāo)軸的柱面方程三、平面與空間直線1 .平面方程、直線方程的各種形式，方程中各有關(guān)字母的意義2 .從決定平面和直線的幾何條件出發(fā)，選用適當(dāng)方法建立平面、直線方程3 .根據(jù)平面和直線的方程，判定平面與平面、直線與直線、平面與直線間的位置關(guān)系.4 .根據(jù)平面和直線的方程及點的坐標(biāo)判定有關(guān)點、平面、直線之間的位置關(guān)系、計算他們之間的距離與交角等；求兩異面直線的公垂線方程四、二次曲面1.柱面、錐面、旋轉(zhuǎn)曲面的定義，求柱面、錐面、旋轉(zhuǎn)曲面的方程2,橢球面、雙曲面與拋物面的標(biāo)準(zhǔn)方程