可降階高階微分方程

1、),(yxfy 可降階高階微分方程 機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 第四節(jié)一、一、 型的微分方程型的微分方程 二、二、 型的微分方程型的微分方程 )()(xfyn),(yyfy 三、三、 型的微分方程型的微分方程 第十章 一、一、)(xfy 令,yzyxz dd則因此1d)(Cxxfz即1d)(Cxxfy同理可得2d Cxy1d)(Cxxfxd xxfd)(依次通過 2 次積分, 可得含 2個(gè)任意常數(shù)的通解 ., )(xf21CxC型的微分方程型的微分方程 機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 例例1. .cos2xeyx 求解解解: 12cosCxdxeyx12sin21Cxexxey24

2、1xcos21CxC機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 ),(yxfy 型的微分方程型的微分方程 設(shè), )(xpy ,py 則原方程化為一階方程),(pxfp 設(shè)其通解為),(1Cxp則得),(1Cxy再一次積分, 得原方程的通解21d),(CxCxy二、二、機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 例例2. 求解yxyx 2)1(2,10 xy3 0 xy解解: ),(xpy 設(shè),py 則代入方程得pxpx2)1(2分離變量)1(d2d2xxxpp積分得,ln)1(lnln12Cxp)1(21xCp即,3 0 xy利用, 31C得于是有)1(32xy兩端再積分得233Cxxy利用,10 xy, 1

3、2C得133xxy因此所求特解為機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 三、三、),(yyfy 型的微分方程型的微分方程 令),(ypy xpydd 則xyypddddyppdd故方程化為),(ddpyfypp設(shè)其通解為),(1Cyp即得),(1Cyy分離變量后積分, 得原方程的通解21),(dCxCyy機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 例例3. 求解.02 yyy代入方程得,0dd2 pyppyyyppdd即兩端積分得,lnlnln1Cyp,1yCp 即yCy1(一階線性齊次方程)故所求通解為xCeCy12解解:),(ypy 設(shè)xpydd 則xyypddddyppdd機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 例例4. 解初值問題解解: 令02 yey,00 xy10 xy),(ypy ,ddyppy 則代入方程得yeppydd2積分得1221221Cepy利用初始條件, 0100 xyyp, 01C得根據(jù)yepxydd積分得,2Cxey, 00 xy再由12C得故所求特解為xey1得機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 內(nèi)容小結(jié)內(nèi)容小結(jié)可降階微分方程的解法 降階法)(. 1xfy 逐次積分),(. 2yxfy 令, )