信息學(xué)科立體化教材

1、2022-2-12信息學(xué)科立體化教材1第4章 離散傅里葉變換 4.1 傅里葉變換的幾種形式4.2 周期序列的離散傅里葉級(jí)數(shù)及性質(zhì)4.3 離散傅里葉變換及性質(zhì)4.4 頻率抽樣理論X2022-2-12信息學(xué)科立體化教材24.1 傅里葉變換的幾種形式 傅里葉變換就是建立以時(shí)間為自變量的“信號(hào)”與以頻率為自變量的“頻率函數(shù)(頻譜)”之間的某種變換關(guān)系。所以，當(dāng)自變量“時(shí)間”或“頻率”取連續(xù)值還是離散值，就形成各種不同形式的傅里葉變換對(duì)。在深入討論離散傅里葉變換DFT之前，先概述四種不同形式的傅里葉變換對(duì)。 時(shí)間時(shí)間 頻率頻率連續(xù)連續(xù) FT 連續(xù)連續(xù) DTFT FS離散離散 DFS(DFT) 離散離散X

2、2022-2-12信息學(xué)科立體化教材34.1 傅里葉變換的幾種形式1.連續(xù)時(shí)間、連續(xù)頻率連續(xù)時(shí)間、連續(xù)頻率傅里葉變換傅里葉變換(FT) 一個(gè)非周期實(shí)連續(xù)時(shí)間信號(hào)xa(t)的傅里葉變換，即頻譜Xa(j)是一個(gè)連續(xù)的非周期函數(shù)。在“信號(hào)與系統(tǒng)”課程的內(nèi)容中，已知這一變換對(duì)為 可以看出，時(shí)域連續(xù)函數(shù)造成非周期的頻譜，而時(shí)域的非周期造成頻域是連續(xù)的譜密度函數(shù)。 dejXtxdtetxjXtjaatjaa)(21)()()(X2022-2-12信息學(xué)科立體化教材44.1 傅里葉變換的幾種形式2.連續(xù)時(shí)間、離散頻率傅里葉級(jí)數(shù)(FS) 一個(gè)周期性連續(xù)時(shí)間信號(hào)xp(t)，其周期為T(mén)p，該信號(hào)可展成傅里葉級(jí)數(shù)，

3、其傅里葉級(jí)數(shù)的系數(shù)為X p(jk)，即x p(t)的傅里葉變換或頻譜Xp (jk)是由各次諧波分量組成的，并且是非周期離散頻率函數(shù)。這一變換對(duì)為 式中，=2F=2/Tp，為離散頻譜相鄰兩譜線之間的角頻率間隔，k為譜諧波序號(hào)?？梢?jiàn)，時(shí)域連續(xù)函數(shù)造成頻域非周期的頻譜函數(shù)，而頻域的離散頻譜就與時(shí)域的周期時(shí)間函數(shù)相對(duì)應(yīng)。ktjkpTTtikpPpejkXtxdtetxTjkX)()()(1)(2200X2022-2-12信息學(xué)科立體化教材54.1 傅里葉變換的幾種形式3.離散時(shí)間、連續(xù)頻率離散時(shí)間、連續(xù)頻率序列的傅里葉變換序列的傅里葉變換(DTFT) 在第3章里討論了一個(gè)非周期連續(xù)時(shí)間信號(hào)xa (t)

4、經(jīng)過(guò)等間隔抽樣的信號(hào)（x(nT)），即離散時(shí)間信號(hào)序列x(n)，其傅里葉變換是以2為周期的連續(xù)函數(shù)。它們的變換關(guān)系為 這里的是數(shù)字頻率，它和模擬角頻率的關(guān)系為=T。若振幅特性的頻率軸用表示，則周期為s=2/T。同樣可以看出，時(shí)域的離散化造成頻域的周期延拓，而時(shí)域的非周期對(duì)應(yīng)于頻域的連續(xù)，這在第3章中討論過(guò)。deeXnxenxeXnjjnnjj)(21)()()(X2022-2-12信息學(xué)科立體化教材64.1 傅里葉變換的幾種形式4.離散時(shí)間、離散頻率離散時(shí)間、離散頻率 離散傅里葉變換離散傅里葉變換(級(jí)數(shù)）級(jí)數(shù)）(DFT orDFS) 從以上討論可發(fā)現(xiàn)：如果信號(hào)頻域是離散的，表現(xiàn)為周期性的時(shí)間函

5、數(shù)。相反，在時(shí)域上是離散的， 則該信號(hào)在頻域必然表現(xiàn)為周期性的頻率函數(shù)。這三種傅里葉變換至少在一個(gè)域（時(shí)域或頻域）中函數(shù)是連續(xù)的，因而都不適合在計(jì)算機(jī)上運(yùn)算。同時(shí)，不難設(shè)想，一個(gè)離散周期序列，它一定具有既是周期又是離散的頻譜，這正是我們所期望的時(shí)域及頻域都是離散的情況，適合于進(jìn)行數(shù)字計(jì)算，便于計(jì)算機(jī)處理，也就是即將要研究的離散傅里葉變換。對(duì)它的全面討論將在后面內(nèi)容進(jìn)行。X2022-2-12信息學(xué)科立體化教材74.1 傅里葉變換的幾種形式 從以上簡(jiǎn)單討論，可以總結(jié)得出一般的規(guī)律：一個(gè)域的離散對(duì)應(yīng)另一個(gè)域的周期延拓， 一個(gè)域的連續(xù)必定對(duì)應(yīng)另一個(gè)域的非周期。表4-1對(duì)這四種傅里葉變換形式的特點(diǎn)作了簡(jiǎn)

6、要?dú)w納。表4-1 四種傅里葉變換形式的歸納時(shí)間函數(shù)頻率函數(shù)連續(xù)和非周期非周期和連續(xù)連續(xù)和周期非周期和離散離散和非周期周期和連續(xù)離散和周期周期和離散X2022-2-12信息學(xué)科立體化教材8圖 4-1 各種形式的傅里葉變換 xa(t)txp(t)ootTpx(nT)oN點(diǎn)xp(n)oN點(diǎn)nTn(a)(b)(c)(d)|Xa( j)|10o0|Xp( jk)|ok|X( ej)|1/T|X( ejk)|sooN點(diǎn)sT4.1 傅里葉變換的幾種形式X2022-2-12信息學(xué)科立體化教材94.2 周期序列的離散傅里葉級(jí)數(shù)及性質(zhì) 4.2.1 周期序列的離散傅里葉級(jí)數(shù)(DFS) 4.2.2 離散傅里葉級(jí)數(shù)（D

7、FS）的性質(zhì)X2022-2-12信息學(xué)科立體化教材104.2.1 周期序列的離散傅里葉級(jí)數(shù)(DFS) 設(shè) 是一個(gè)周期為N的周期序列，即 ， r為任意整數(shù)。正如連續(xù)時(shí)間周期信號(hào)可以用傅里葉級(jí)數(shù)表示一樣， 周期序列也可以用離散傅里葉級(jí)數(shù)來(lái)表示，該級(jí)數(shù)相當(dāng)于成諧波關(guān)系的復(fù)指數(shù)序列（正弦型序列）之和。也就是說(shuō)，復(fù)指數(shù)序列的頻率是周期序列的基頻（2/N）的整數(shù)倍。這些復(fù)指數(shù)序ek(n)的形式為 )()(rNnxnx)(nx)()(2neenerNkknNjkktjkpTTtikpPpejkXtxdtetxTjkX)()()(1)(2200連續(xù)連續(xù)FSX2022-2-12信息學(xué)科立體化教材114.2.1

8、周期序列的離散傅里葉級(jí)數(shù)(DFS) 因而可展成如下的離散傅里葉級(jí)數(shù)，即 （48） 式中，求和號(hào)前所乘的系數(shù)1/N是習(xí)慣上已經(jīng)采用的常數(shù)，是k次諧波的系數(shù)。 下面我們來(lái)求解系數(shù) ，這要利用復(fù)正弦序列的正交特性，即 將式（48）兩端同乘以 ，然后從n=0 到N1 的一個(gè)周期內(nèi)求和，則得到 102)(1)(NkknNjekXNnx)(kX01111122102rNjrNNjNnrnNjeeNeNr=mN, m為整數(shù) 其他r rnNje2X2022-2-12信息學(xué)科立體化教材124.2.1 周期序列的離散傅里葉級(jí)數(shù)周期序列的離散傅里葉級(jí)數(shù)(DFS)把r換成k可得 這就是求k=0 到N1的N個(gè)諧波系數(shù)的

9、公式。同時(shí)看出也是一個(gè)以N為周期的周期序列，即 )(1)()(1)(10)(210)(21010102rXeNkXekXNenxNnnrkNjNknrkNjNkNnNnrnNj102)()(NnknNjenxkX)()()()(21010)(2kXenxenxmNkXknNjNnNnnmNkNjX2022-2-12信息學(xué)科立體化教材134.2.1 周期序列的離散傅里葉級(jí)數(shù)周期序列的離散傅里葉級(jí)數(shù)(DFS)定義WN為 周期序列的傅里葉級(jí)數(shù)（DFS）變換對(duì)為式中，n和k都是離散變量。如果將n當(dāng)作時(shí)間變量，k當(dāng)作頻率變量，則DFS表示時(shí)域到頻域的離散傅里葉級(jí)數(shù)正變換， IDFS表示由頻域道時(shí)域的離散

10、傅里葉級(jí)數(shù)反變換。從上面看出，只要知道周期序列一個(gè)周期的內(nèi)容，其他的內(nèi)容也都知道了。 所以，這種無(wú)限長(zhǎng)周期序列實(shí)際上只有一個(gè)周期中的N個(gè)序列值有信息。 NjNeW2nkNNknkNjNknkNNnnkNjNnWkXNekXNkXIDFSnxWnxenxnxDFSkX)(1)(1)()()()()()(1021010210(4-12)(4-13)X2022-2-12信息學(xué)科立體化教材14例例4-1 設(shè) 為周期脈沖串)(nx)()(rNnnxr（4-14） 因?yàn)閷?duì)于0nN-1，, 所以利用式（4-6）求出 的DFS系數(shù)為 )()(nnx)(nx1)()()(1010nkNNnnkNNnWnWnxk

11、X（4-15） 在這種情況下，對(duì)于所有的k值 均相同。于是，將式（4-15）代入式（4-13）可以得出表示式 )(kX1021011)()(NknkNjnkNNkreNWNrNnnx（4-16） 4.2.1 周期序列的離散傅里葉級(jí)數(shù)周期序列的離散傅里葉級(jí)數(shù)(DFS)X2022-2-12信息學(xué)科立體化教材15 例例4-2 已知周期序列 如圖4-2所示，其周期N=10, 試求解它的傅里葉級(jí)數(shù)系數(shù) 。 )(kX)(kX圖4-2 例4-2的周期序列 （周期N=10） )(nx100 1 2 3 4 5 6 7 8 910n)(nx4.2.1 周期序列的離散傅里葉級(jí)數(shù)周期序列的離散傅里葉級(jí)數(shù)(DFS)X

12、2022-2-12信息學(xué)科立體化教材16由式（4-12） 40102101100)()(nnkjnkneWnxkX（4-17） 這一有限求和有閉合形式 40102101100)()(nnkjnkneWnxkX（4-18） 圖 4-3 圖4-2所示序列的傅里葉級(jí)數(shù)系數(shù) 的幅值 )(kX10 1 2 3 4 5 6 7 8 9101520k| )(|kx54.2.1 周期序列的離散傅里葉級(jí)數(shù)周期序列的離散傅里葉級(jí)數(shù)(DFS)X2022-2-12信息學(xué)科立體化教材17 式（4-12）中的周期序列 可看成是對(duì) 的第一個(gè)周期x(n)作Z變換，然后將Z變換在Z平面單位圓上按等間隔角2/N采樣而得到的。令

13、)(kX)(nx0)()()()(nxnRnxnxN0nN-1 其他n 通常稱(chēng)x(n)為 的主值區(qū)序列，則x(n)的Z變換為 )(nx10)()()(NnnnnznxznxzX（4-19） 4.2.1 周期序列的離散傅里葉級(jí)數(shù)周期序列的離散傅里葉級(jí)數(shù)(DFS)X2022-2-12信息學(xué)科立體化教材18把式（4-19）與式（4-12）比較可知 kKGNjkNeWzzXkX4*2)()(（4-20） 可以看出，當(dāng)0kN-1 時(shí)， 是對(duì)X(z)在Z平面單位圓上的N點(diǎn)等間隔采樣，在此區(qū)間之外隨著k的變化， 的值呈周期變化。 圖4-4畫(huà)出了這些特點(diǎn)。 )(kX)(kX4.2.1 周期序列的離散傅里葉級(jí)數(shù)

14、周期序列的離散傅里葉級(jí)數(shù)(DFS)X2022-2-12信息學(xué)科立體化教材19jImz 234567(=N-1)k =02 / NRez o|z |=114.2.1 周期序列的離散傅里葉級(jí)數(shù)周期序列的離散傅里葉級(jí)數(shù)(DFS)圖44 )(kX圖44 是對(duì)X(z)在Z平面單位圓上的N點(diǎn)等間隔角點(diǎn)抽樣示意圖)(kXX2022-2-12信息學(xué)科立體化教材20 由于單位圓上的Z變換即為序列的傅里葉變換，所以周期序列 也可以解釋為的一個(gè)周期x(n)的傅里葉變換的等間隔采樣。 因?yàn)?)(kX)(nx1010)()()(NnnjNnnjjenxenxeX（4-21） 比較式（4-21）和式（4-12），可以看出

15、 NkjeXkX/2)()(這相當(dāng)于以2/N的頻率間隔對(duì)傅里葉變換進(jìn)行采樣。 （4-22） 4.2.1 周期序列的離散傅里葉級(jí)數(shù)周期序列的離散傅里葉級(jí)數(shù)(DFS)X2022-2-12信息學(xué)科立體化教材21 例例4-3 為了舉例說(shuō)明傅里葉級(jí)數(shù)系數(shù) 和周期信號(hào) 的一個(gè)周期的傅里葉變換之間的關(guān)系，我們?cè)俅窝芯繄D4-2所示的序列 。 在序列 的一個(gè)周期中： )(kX)(nx)(nx)(nx01)(nx0n4 其他 （4-23） 則 的一個(gè)周期的傅里葉變換是 )(nx)2/5sin()2/5sin(11)(2405jnjjnjjeeeeeX)10/sin()10/5sin()()(10410/2kkee

16、XkXkjkj（4-24） 可以證明，若將=2k/10 代入式（4-18）， 即 4.2.1 周期序列的離散傅里葉級(jí)數(shù)周期序列的離散傅里葉級(jí)數(shù)(DFS)X2022-2-12信息學(xué)科立體化教材22圖 4-5 對(duì)圖4-2所示序列的一個(gè)周期作傅里葉變換的幅值 |X(ej)|5o2344.2.1 周期序列的離散傅里葉級(jí)數(shù)周期序列的離散傅里葉級(jí)數(shù)(DFS)X2022-2-12信息學(xué)科立體化教材23圖 4-6 圖4-3和圖4-5的重疊圖(它表明一個(gè)周期序列的DFS系數(shù)等于主值區(qū)序列的傅里葉變換的采樣) |X(ej)| , |X(k)|o2341020k504.2.1 周期序列的離散傅里葉級(jí)數(shù)周期序列的離散

17、傅里葉級(jí)數(shù)(DFS)X2022-2-12信息學(xué)科立體化教材24 由于可以用采樣變換來(lái)解釋DFS，因此它的許多性質(zhì)與變換性質(zhì)非常相似。但是，由于 和 兩者都具有周期性， 這就使它與Z變換性質(zhì)還有一些重要差別。此外，DFS在時(shí)域和頻域之間具有嚴(yán)格的對(duì)偶關(guān)系，這是序列的Z變換表示所不具有的。 設(shè) 和皆是周期為N的周期序列，它們各自的DFS分別為： )(nx)(kX)(1nx)(2nx)()()()(2211nxDFSkXnxDFSkX4.2.2 離散傅里葉級(jí)數(shù)離散傅里葉級(jí)數(shù)(DFS)的性質(zhì)的性質(zhì)X2022-2-12信息學(xué)科立體化教材251. 線性線性 )()()()(2121kXbkXanxbnxa

18、DFS（4-25） 式中，a和b為任意常數(shù)，所得到的頻域序列也是周期序列，周期為N。這一性質(zhì)可由DFS定義直接證明，留給讀者自己去做。 4.2.2 離散傅里葉級(jí)數(shù)離散傅里葉級(jí)數(shù)(DFS)的性質(zhì)的性質(zhì)X2022-2-12信息學(xué)科立體化教材262. 序列的移位序列的移位 )()()()()(2lkXnxWDFSkXekXWmnxDFSnlNmkNjmkN（4-26） （4-27a） 或)()()(2nxenxWlkXIDFSnlNjnlN證 （4-27b） mkNkiNmNminkNNnWWixWmnxmnxDFS110)()()(i=n+m 4.2.2 離散傅里葉級(jí)數(shù)離散傅里葉級(jí)數(shù)(DFS)的性

19、質(zhì)的性質(zhì)X2022-2-12信息學(xué)科立體化教材27由于 都是以N為周期的周期函數(shù)， 故 kiNWix及)()()()(10kXWWixWmnxDFSmkNkiNNimkN 由于 與 的對(duì)稱(chēng)特點(diǎn)，可以用相似的方法證明式（4-27a）： )(nx)(kX)()()()()(1010lkXWnxWnxWnxWDFSnklNNnknNNinlNnlN4.2.2 離散傅里葉級(jí)數(shù)離散傅里葉級(jí)數(shù)(DFS)的性質(zhì)的性質(zhì)X2022-2-12信息學(xué)科立體化教材283. 周期卷積周期卷積 如果 )()()(21kXkXkY則 ）（mnxmxkYIDFSnyNm2101)()()(或 ）（mnxmxnyNm1102)

20、()(證證 knNNkWkXkXNkXkXIDFSny）（210121)(1)()()(代入 mkNNmWmxnX1011)()(4-28)4.2.2 離散傅里葉級(jí)數(shù)離散傅里葉級(jí)數(shù)(DFS)的性質(zhì)的性質(zhì)X2022-2-12信息學(xué)科立體化教材29得 )()(1)()(1)(2101)(210101)(210101mnxmxWkXNmxWkXmxNnyNmkmnNNkNmkmnNNkNm）（）（將變量進(jìn)行簡(jiǎn)單換元，即可得等價(jià)的表示式 ）（mnxmxnyNm1102)()(4.2.2 離散傅里葉級(jí)數(shù)離散傅里葉級(jí)數(shù)(DFS)的性質(zhì)的性質(zhì)X2022-2-12信息學(xué)科立體化教材30 式（4-28）是一個(gè)卷

21、積公式， 但是它與非周期序列的線性卷積不同。 首先， 和（或 和 都是變量m的周期序列，周期為N，故乘積也是周期為N的周期序列; 其次，求和只在一個(gè)周期上進(jìn)行，即m=0到N-1，所以稱(chēng)為周期卷積。 )(1mx)(2mnx)(2mx)(1mnx4.2.2 離散傅里葉級(jí)數(shù)離散傅里葉級(jí)數(shù)(DFS)的性質(zhì)的性質(zhì)X2022-2-12信息學(xué)科立體化教材31 周期卷積的過(guò)程可以用圖4-7來(lái)說(shuō)明，這是一個(gè)N=7的周期卷積。每一個(gè)周期里 有一個(gè)寬度為4的矩形脈沖， 有一個(gè)寬度為3的矩形脈沖，圖中畫(huà)出了對(duì)應(yīng)于n=0, 1, 2 時(shí)的 。 周期卷積過(guò)程中一個(gè)周期的某一序列值移出計(jì)算區(qū)間時(shí)，相鄰的同一位置的序列值就移

22、入計(jì)算區(qū)間。運(yùn)算在m=0到N-1區(qū)間內(nèi)進(jìn)行， 即在一個(gè)周期內(nèi)將與 逐點(diǎn)相乘后求和，先計(jì)算出n=0, 1, , N-1的結(jié)果，然后將所得結(jié)果周期延拓，就得到所求的整個(gè)周期序列 。 )(1nx)(2nx)(2mnx)(2mnx)(1mx)(ny4.2.2 離散傅里葉級(jí)數(shù)離散傅里葉級(jí)數(shù)(DFS)的性質(zhì)的性質(zhì)X2022-2-12信息學(xué)科立體化教材32圖 4-7 兩個(gè)周期序列（N=7）的周期卷積 n0n(a)(c)(1mxm)(1nx NN)(2nx10 NN0N 1(d)4.2.2 離散傅里葉級(jí)數(shù)離散傅里葉級(jí)數(shù)(DFS)的性質(zhì)的性質(zhì)X2022-2-12信息學(xué)科立體化教材33圖 4-7 兩個(gè)周期序列（N

23、=7）的周期卷積 (d)(e)mn 1N10)1 (2mx)0(2mxN10mn 04.2.2 離散傅里葉級(jí)數(shù)離散傅里葉級(jí)數(shù)(DFS)的性質(zhì)的性質(zhì)X2022-2-12信息學(xué)科立體化教材34圖 4-7 兩個(gè)周期序列（N=7）的周期卷積 ( f )( g ) N0Nn)(ny1123 320)2(2mxmn 2N14.2.2 離散傅里葉級(jí)數(shù)離散傅里葉級(jí)數(shù)(DFS)的性質(zhì)的性質(zhì)X2022-2-12信息學(xué)科立體化教材35 由于DFS和IDFS變換的對(duì)稱(chēng)性，可以證明（請(qǐng)讀者自己證明）時(shí)域周期序列的乘積對(duì)應(yīng)著頻域周期序列的周期卷積。即，如果 )()()(21nxnxny則 )()(1)()(1)()()(

24、1102210110lkXlXNlkXlXNWnynyDFSkYNlNlNnnkN (4-29) 4.2.2 離散傅里葉級(jí)數(shù)離散傅里葉級(jí)數(shù)(DFS)的性質(zhì)的性質(zhì)X2022-2-12信息學(xué)科立體化教材364.3.1 離散傅里葉變換（DFT）的定義4.3.2 DFT與序列傅里葉變換、Z變換的關(guān)系4.3.3 離散傅里葉變換的性質(zhì) 4.3 離散傅里葉變換離散傅里葉變換(DFT)及性質(zhì)及性質(zhì)X2022-2-12信息學(xué)科立體化教材374.3.1 DFT的定義的定義 在實(shí)際應(yīng)用中，把無(wú)限長(zhǎng)的周期序列送給計(jì)算機(jī)處理是不現(xiàn)實(shí)的，也是不必要的。而在上一節(jié)討論過(guò)，周期序列實(shí)際上只有有限個(gè)序列值有意義，它和有限長(zhǎng)序列

25、有著本質(zhì)的聯(lián)系。實(shí)際上，可以把長(zhǎng)度為N有限長(zhǎng)序列x(n)看成周期為N的周期序列的一個(gè)周期，這樣利用離散傅里葉級(jí)數(shù)計(jì)算周期序列的一個(gè)周期，也就是計(jì)算了有限長(zhǎng)序列的離散傅里葉變換。本節(jié)將根據(jù)周期序列和有限長(zhǎng)序列之間的這種本質(zhì)關(guān)系， 由周期序列的離散傅里葉級(jí)數(shù)表示式推導(dǎo)得到有限長(zhǎng)序列的離散頻域表示，即離散傅里葉變換（DFT）。 設(shè)x(n)為有限長(zhǎng)序列，長(zhǎng)度為N，即x(n)只在n=0到N-1點(diǎn)上有值，其他n時(shí)，x(n)=0。即 nNnnxnx其他010)()(4.3.1 離散傅里葉變換的定義離散傅里葉變換的定義X2022-2-12信息學(xué)科立體化教材38 為了引用周期序列的概念，我們把它看成周期為N的周

26、期序列 的一個(gè)周期，而把 看成x(n)的以N為周期的周期延拓， 即表示成:)(nx)(nxnNnnxnx其他010)()(rrNnxnx)()( 這個(gè)關(guān)系可以用圖4-8來(lái)表明。通常把 的第一個(gè)周期n=0 到n=N-1 定義為“主值區(qū)間”， 故x(n)是 的“主值序列”，即主值區(qū)間上的序列。而稱(chēng) 為x(n)的周期延拓。對(duì)不同r值x(n+rN)之間彼此并不重疊，故上式可寫(xiě)成 )(nx)(nx)(nxNnxNnxnx)()mod()(4-32) (4-31) (4-30) X2022-2-12信息學(xué)科立體化教材394.3.1 離散傅里葉變換的定義離散傅里葉變換的定義N -1n-N0N -1n主值區(qū)間

27、x ( n )(nx圖4-8 有限長(zhǎng)序列及其周期延拓X2022-2-12信息學(xué)科立體化教材40 用(n)N表示（n mod N），其數(shù)學(xué)上就是表示“n對(duì)N取余數(shù)”， 或稱(chēng)“n對(duì)N取模值”。 令 mNnn10n1N-1, m為整數(shù) 則n1為n對(duì)N的余數(shù)。 例如， 是周期為N=9的序列，則有： )(nx)8()1() 1()4()22()22()4()13()13()8()8()8(9999xxxxxxxxxxxx4.3.1 離散傅里葉變換的定義離散傅里葉變換的定義X2022-2-12信息學(xué)科立體化教材41利用前面的矩形序列RN(n)，式（4-30）可寫(xiě)成 )()()(nRnxnxN(4-33)

28、同理，頻域的周期序列 也可看成是對(duì)有限長(zhǎng)序列X(k)的周期延拓，而有限長(zhǎng)序列X(k)可看成是周期序列 的主值序列，即: )(kX)(kX)()()()()(kRkXkXkXkXNN(4-34) (4-35) 我們?cè)倏幢磉_(dá)DFS與IDFS的式(4-12)和式(4-13)： 1010)(1)()()()()(NknkNNnnkNWkXNkXIDFSnxWnxnxDFSkX4.3.1 離散傅里葉變換的定義離散傅里葉變換的定義X2022-2-12信息學(xué)科立體化教材42 這兩個(gè)公式的求和都只限定在n=0到N-1和k=0 到N-1 的主值區(qū)間進(jìn)行，它們完全適用于主值序列x(n)與X(k)，因而我們可以得到

29、有限長(zhǎng)序列的離散傅里葉變換的定義： 1010)(1)()()()()(NknkNNnnkNWkXNkXIDFTnxWnxnxDFTkX0kN-1 0nN-1 （4-36） （4-37） 4.3.1 離散傅里葉變換的定義離散傅里葉變換的定義X2022-2-12信息學(xué)科立體化教材43 x(n)和X(k)是一個(gè)有限長(zhǎng)序列的離散傅里葉變換對(duì)。我們稱(chēng)式(4-36)為x(n)的N點(diǎn)離散傅里葉變換(DFT), 稱(chēng)式(4-37)為X(k)的N點(diǎn)離散傅里葉反變換(IDFT)。已知其中的一個(gè)序列，就能惟一地確定另一個(gè)序列。這是因?yàn)閤(n)與X(k)都是點(diǎn)數(shù)為N的序列，都有N個(gè)獨(dú)立值（可以是復(fù)數(shù)），所以信息當(dāng)然等量

30、。 此外，值得強(qiáng)調(diào)的是，在使用離散傅里葉變換時(shí)，必須注意所處理的有限長(zhǎng)序列都是作為周期序列的一個(gè)周期來(lái)表示的。 換句話說(shuō)，離散傅里葉變換隱含著周期性。 4.3.1 離散傅里葉變換的定義離散傅里葉變換的定義X2022-2-12信息學(xué)科立體化教材44 例例4-4 已知序列x(n)=(n)，求它的N點(diǎn)DFT。 解解 單位脈沖序列的DFT很容易由DFT的定義式（4-36）得到： 1001)()(NnNnkNWWnkX k=0, 1, , N-1 (n)的X(k)如圖4-9。這是一個(gè)很特殊的例子，它表明對(duì)序列(n)來(lái)說(shuō)，不論對(duì)它進(jìn)行多少點(diǎn)的DFT，所得結(jié)果都是一個(gè)離散矩形序列。 4.3.1 離散傅里葉變

31、換的定義離散傅里葉變換的定義X2022-2-12信息學(xué)科立體化教材45圖4-9 序列(n)及其離散傅里葉變換 10n(n)X(k)10 12N1kX2022-2-12信息學(xué)科立體化教材46 例例 4-5 已知x(n)=cos(n/6)是一個(gè)長(zhǎng)度N=12的有限長(zhǎng)序列， 求它的N點(diǎn)DFT。 解解 由DFT的定義式（4-36） 110)1(122110)1(122110122661211021216cos)(nknjnknjnnkjnjnjnkneeeeeWnkX 利用復(fù)正弦序列的正交特性（4-3）式，再考慮到k的取值區(qū)間，可得 11, 0,011, 16)(kkkkX其他4.3.1 離散傅里葉變換

32、的定義離散傅里葉變換的定義X2022-2-12信息學(xué)科立體化教材47圖 4-10 有限長(zhǎng)序列及其DFT0 1 211x(n)n01X(k)11n4.3.1 離散傅里葉變換的定義離散傅里葉變換的定義X2022-2-12信息學(xué)科立體化教材48 若x(n)是一個(gè)有限長(zhǎng)序列，長(zhǎng)度為N，對(duì)x(n)進(jìn)行Z變換 10)()(NnnznxzX比較Z變換與DFT，我們看到，當(dāng)z=W-kN時(shí) )()()(10nxDFTWnxzXNnnkNWzkN即 kNWzzXkX)()(（4-38） 4.3.2 DFT與序列傅里葉變換與序列傅里葉變換、Z變換的關(guān)系變換的關(guān)系 X2022-2-12信息學(xué)科立體化教材49 表明 是

33、Z平面單位圓上幅角為 的點(diǎn)，也即將Z平面單位圓N等分后的第k點(diǎn)，所以X(k)也就是對(duì)X(z)在Z平面單位圓上N點(diǎn)等間隔采樣值，如圖4-11所示。此外， 由于序列的傅里葉變換X(ej)即是單位圓上的Z變換，根據(jù)式（4-38）， DFT與序列傅里葉變換的關(guān)系為 kNjkNeWz2kNWkN2NeXeXkXNjkkNjN2)()()(2（4-39） （4-40） 4.3.2 DFT與序列傅里葉變換與序列傅里葉變換、Z變換的關(guān)系變換的關(guān)系 X2022-2-12信息學(xué)科立體化教材50 式（4-39）說(shuō)明X(k)也可以看作序列x(n)的傅里葉變換X(ej)在區(qū)間0, 2上的N點(diǎn)等間隔采樣，其采樣間隔為N=

34、2/N， 這就是DFT的物理意義。顯而易見(jiàn)，DFT的變換區(qū)間長(zhǎng)度N不同， 表示對(duì)X(ej)在區(qū)間0, 2上的采樣間隔和采樣點(diǎn)數(shù)不同， 所以DFT的變換結(jié)果也不同。 圖 4-11 DFT與序列傅里葉變換、Z變換的關(guān)系 jIm(z)o2NW1NW0NWk0)2( NNW)3( NNWRezoX(ej)X(k)4.3.2 DFT與序列傅里葉變換與序列傅里葉變換、Z變換的關(guān)系變換的關(guān)系 X2022-2-12信息學(xué)科立體化教材51 本節(jié)討論離散傅里葉變換（DFT）的一些性質(zhì)，它們本質(zhì)上和周期序列的離散傅立葉級(jí)數(shù)（DFS）概念有關(guān)，而且是由有限長(zhǎng)序列及其離散傅里葉變換（DFT）表示式隱含的周期性得出的。以

35、下討論的序列都是N點(diǎn)有限長(zhǎng)序列，用DFT表示N點(diǎn)DFT，且設(shè)：DFTx1(n)=X1(k)DFTx2(n)=X2(k)4.3.3 離散傅里葉變換的性質(zhì)離散傅里葉變換的性質(zhì) X2022-2-12信息學(xué)科立體化教材522.圓周移位圓周移位 （1）定義：）定義：一個(gè)長(zhǎng)度為N的有限長(zhǎng)序列x(n)的圓周移位定義為 y(n)=x(n+m)NRN(n) （4-42） 我們可以這樣來(lái)理解上式所表達(dá)的圓周移位的含義。具體計(jì)算步驟為：i）將x(n)以N為周期進(jìn)行周期延拓得到周期序列 ; ii）將 加以移位： Nnxnx)()()(nx)()(mnxmnxN1.線性線性 )()()()(2121kbXkaXnbxn

36、axDFT式中，a, b為任意常數(shù)。該式可根據(jù)DFT定義證明。 4.3.3 離散傅里葉變換的性質(zhì)離散傅里葉變換的性質(zhì) X2022-2-12信息學(xué)科立體化教材53iii）對(duì)移位的周期序列 取主值區(qū)間（n=0 到N-1）上的序列值，即x(n+m)NRN(n)。所以，一個(gè)有限長(zhǎng)序列x(n)的圓周移位序列y(n)仍是一個(gè)長(zhǎng)度為N的有限長(zhǎng)序列，這一過(guò)程用圖4-12（a）、（b）、（c）、（d）來(lái)表達(dá)。 從圖上可以看出，由于是周期序列的移位，當(dāng)我們只觀察 0nN-1 這一主值區(qū)間時(shí)，某一采樣從該區(qū)間的一端移出時(shí)， 與其相同值的采樣又從該區(qū)間的另一端循環(huán)移進(jìn)。因而，可以想象x(n)是排列在一個(gè)N等分的圓周上

37、，序列x(n)的圓周移位， 就相當(dāng)于x(n)在此圓周上旋轉(zhuǎn)，如圖4-12（e）、（f）、(g)所示， 因而稱(chēng)為圓周移位。若將x(n)向左圓周移位時(shí)，此圓是順時(shí)針旋轉(zhuǎn); 將x(n)向右圓周移位時(shí)，此圓是逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)。此外，如果圍繞圓周觀察幾圈， 那么看到的就是周期序列 。 )(mnx)(nx4.3.3 離散傅里葉變換的性質(zhì)離散傅里葉變換的性質(zhì) X2022-2-12信息學(xué)科立體化教材54圖 4-12 圓周移位過(guò)程示意圖 (e)x(n)21n 0N 1N 2on 0N 1N 221n 0N 2N 1( f )( g )210 x(n)n0n)(nxNnxnx)2()2(0n)()2(nRnxNN0N1

38、n(a)(b)(c)(d )N1N1N14.3.3 離散傅里葉變換的性質(zhì)離散傅里葉變換的性質(zhì) X2022-2-12信息學(xué)科立體化教材55（2）時(shí)域圓周移位定理）時(shí)域圓周移位定理設(shè)x(n)是長(zhǎng)度為N的有限長(zhǎng)序列，y(n)為x(n)圓周移位，即 )()()(nRmnxnyNN則圓周移位后的DFT為 )()()()()(kXWnRmnxDFTnyDFTkYmkNNN證證 利用周期序列的移位性質(zhì)加以證明。 )()()(kXWmnxDFSmnxDFSmkNN4.3.3 離散傅里葉變換的性質(zhì)離散傅里葉變換的性質(zhì) X2022-2-12信息學(xué)科立體化教材56再利用DFS和DFT關(guān)系 )()()()()()()

39、(kXWkRkXWnRmnxDFTnRmnxDFTmkNNmkNNNN這表明，有限長(zhǎng)序列的圓周移位在離散頻域中引入一個(gè)和頻率成正比的線性相移 ，而對(duì)頻譜的幅度沒(méi)有影響。 mkNjknNeW24.3.3 離散傅里葉變換的性質(zhì)離散傅里葉變換的性質(zhì) X2022-2-12信息學(xué)科立體化教材57（3） 頻域圓周移位定理頻域圓周移位定理 對(duì)于頻域有限長(zhǎng)序列X(k)，也可看成是分布在一個(gè)N等分的圓周上，所以對(duì)于X(k)的圓周移位，利用頻域與時(shí)域的對(duì)偶關(guān)系，可以證明以下性質(zhì)： 若 )()(nxDFTkX則 )()()()(2nxenxWkRlkXIDFTnlNjnlNNN這就是調(diào)制特性。它說(shuō)明，時(shí)域序列的調(diào)制

40、等效于頻域的圓周移位。 4.3.3 離散傅里葉變換的性質(zhì)離散傅里葉變換的性質(zhì) X2022-2-12信息學(xué)科立體化教材583.圓周卷積圓周卷積 （1）時(shí)域圓周卷積定理 設(shè)x1(n)和x2(n)都是點(diǎn)數(shù)為N的有限長(zhǎng)序列（0nN-1），且有：)()()()(2211kXnxDFTkXnxDFT若 )()()(21kXkXkY則 10121021)()()()()()()()(NmNNNmNNnRmnxmxnRmnxmxkYIDFTny4.3.3 離散傅里葉變換的性質(zhì)離散傅里葉變換的性質(zhì) (4-45) X2022-2-12信息學(xué)科立體化教材59 一般稱(chēng)式(4-45)所表示的運(yùn)算為x1(n)和x2(n)

41、的N點(diǎn)圓周卷積。 下面先證明式(4-45)，再說(shuō)明其計(jì)算方法。 證證 這個(gè)卷積相當(dāng)于周期序列 和 作周期卷積后再取其主值序列。 先將Y(k)周期延拓， 即 )(1nx)(2nx)()()(21kXkXkY根據(jù)DFS的周期卷積公式 NNmNNmmnxmxmnxmxny)()()()()(102121014.3.3 離散傅里葉變換的性質(zhì)離散傅里葉變換的性質(zhì) X2022-2-12信息學(xué)科立體化教材60由于0mN-1 為主值區(qū)間， ， 因此 )()(11mxmxN1021)()()()()()(NmNNNnRmnxmxnRnyny 將 式經(jīng)過(guò)簡(jiǎn)單換元，也可證明 )(ny1012)()()()(NmNN

42、nRmnxmxny4.3.3 離散傅里葉變換的性質(zhì)離散傅里葉變換的性質(zhì) X2022-2-12信息學(xué)科立體化教材61 圓周卷積過(guò)程可以用圖4-13來(lái)表示。分為5步： i）周期延拓：先作出x1(n)和x2(n)。將x2(m) 在參變量坐標(biāo)m上延拓成周期為N的周期序列x2(m)N ； ii）反轉(zhuǎn)：將x2(m)N反轉(zhuǎn)形成x2(-m)N ； iii）移位和取主值： 將x2(-m)N移n位并取主值序列得到x2(nm)NRN(n)； iv）相乘：將相同m值x2(nm)NRN(n)與x1(m)相乘； V）相加：將iv）中得到的乘積累加起來(lái)，便得到圓周卷積y(n)。 可以看出,它和周期卷積過(guò)程是一樣的，只不過(guò)這

43、里要取主值序列。特別要注意，兩個(gè)長(zhǎng)度小于等于N的序列的N點(diǎn)圓周卷積長(zhǎng)度仍為N，這與一般的線性卷積不同。圓周卷積用符號(hào) 來(lái)表示。 圓周內(nèi)的N表示所作的是N點(diǎn)圓周卷積。 4.3.3 離散傅里葉變換的性質(zhì)離散傅里葉變換的性質(zhì) NX2022-2-12信息學(xué)科立體化教材62圖圖 4-13 圓周卷積過(guò)程示意圖圓周卷積過(guò)程示意圖 x1(n)1N 1nx2(n)1N 1nx2(0m)NRN(m)1N 1mooo4.3.3 離散傅里葉變換的性質(zhì)離散傅里葉變換的性質(zhì) X2022-2-12信息學(xué)科立體化教材63圖圖 4-13 圓周卷積過(guò)程示意圖圓周卷積過(guò)程示意圖 x2(1m)NRN(m)1N 1mx2(2m)NRN

44、(m)1N 1my(n)x1(n) x2(n)233211N 1noooN4.3.3 離散傅里葉變換的性質(zhì)離散傅里葉變換的性質(zhì) X2022-2-12信息學(xué)科立體化教材64)()()()()()(210121nRmnxmxnxnxnyNNNmN或 )()()()()()(110212nRmnxmxnxnxnyNNNmN記為：4.3.3 離散傅里葉變換的性質(zhì)離散傅里葉變換的性質(zhì) X2022-2-12信息學(xué)科立體化教材65N （2）頻域圓周卷積定理 利用時(shí)域與頻域的對(duì)稱(chēng)性，可以證明頻域圓周卷積定理（請(qǐng)讀者自己證明）。 若 )()()(21nxnxny x1(n)，x2(n) 皆為N點(diǎn)有限長(zhǎng)序列，則

45、)()(1)()()(1)()()(1)()(2111022101kXkXNkRlkXlXNkRlkXlXNnyDFTkYNNNlNNNl即時(shí)域序列相乘，乘積的DFT等于各個(gè)DFT的圓周卷積再乘以1/N。 4.3.3 離散傅里葉變換的性質(zhì)離散傅里葉變換的性質(zhì) X2022-2-12信息學(xué)科立體化教材664.有限長(zhǎng)序列的線性卷積與圓周卷積有限長(zhǎng)序列的線性卷積與圓周卷積 時(shí)域圓周卷積在頻域上相當(dāng)于兩序列的DFT的乘積，而計(jì)算DFT可以采用它的快速算法快速傅里葉變換（FFT）（見(jiàn)第5章）， 因此圓周卷積與線性卷積相比，計(jì)算速度可以大大加快。但是，在許多實(shí)際問(wèn)題中常需要計(jì)算線性卷積，例如一個(gè)FIR數(shù)字濾

46、波器的輸出等于輸入與濾波器的單位沖激響應(yīng)的線性卷積。如果能將線性卷積轉(zhuǎn)化為圓周卷積，就能夠用圓周卷積來(lái)計(jì)算線性卷積而加快計(jì)算速度。因此，需要討論圓周卷積與線性卷積在什么條件下相等及如何用圓周卷積運(yùn)算來(lái)代替線性卷積運(yùn)算的問(wèn)題。 設(shè)x1(n)是N1點(diǎn)的有限長(zhǎng)序列（0nN1-1），x2(n)是N2點(diǎn)的有限長(zhǎng)序列（0nN2-1）。 4.3.3 離散傅里葉變換的性質(zhì)離散傅里葉變換的性質(zhì) X2022-2-12信息學(xué)科立體化教材67它們的線性卷積 1021212111)()()()()()()(Nmmmnxmxmnxmxnxnxnyx1(m)的非零區(qū)間為0mN1-1 x2(n-m)的非零區(qū)間為0n-mN2-

47、1 (4-43)4.3.3 離散傅里葉變換的性質(zhì)離散傅里葉變換的性質(zhì) X2022-2-12信息學(xué)科立體化教材68將兩個(gè)不等式相加，得到 0nN1+N2-2 在上述區(qū)間外，不是x1(m)=0就是x2(n-m)=0，因而y1(n)=0。所以y1(n)是N1+N2-1 點(diǎn)有限長(zhǎng)序列，即線性卷積的長(zhǎng)度等于參與卷積的兩序列的長(zhǎng)度之和減1。例如，圖4-14 中，x1(n)為N1=4 的矩形序列（圖4-14（a），x2(n)為N2=5 的矩形序列（圖4-14（b），則它們的線性卷積y1(n)為N=N1+N2-1=8 點(diǎn)的有限長(zhǎng)序列（圖 4-14（c）。 4.3.3 離散傅里葉變換的性質(zhì)離散傅里葉變換的性質(zhì)

48、X2022-2-12信息學(xué)科立體化教材69再來(lái)看x1(n)與x2(n)的圓周卷積。先討論進(jìn)行L點(diǎn)的圓周卷積，再討論L取何值時(shí)，圓周卷積才能代表線性卷積。 設(shè)y(n)=x1(n) x2(n)是兩序列的L點(diǎn)圓周卷積，LmaxN1, N2，這就要將x1(n)與x2(n)都看成是L點(diǎn)的序列。在這L個(gè)序列值中，x1(n)只有前N1個(gè)是非零值，后L-N1個(gè)均為補(bǔ)充的零值。同樣， x2(n)只有前N2個(gè)是非零值，后L-N2個(gè)均為補(bǔ)充的零值。則 102121)()()()()()(LmLLnRmnxmxnxnxnyL（4-47） 4.3.3 離散傅里葉變換的性質(zhì)離散傅里葉變換的性質(zhì) L 為了分析其圓周卷積，我

49、們先將序列x1(n)與x2(n)以L為周期進(jìn)行周期延拓 X2022-2-12信息學(xué)科立體化教材70)()()()()()(222111rLnxnxnxkLnxnxnxrLkL將它們代入式（447）得其周期卷積序列為 )()()()()()()()(1210121012101rLnymrLnxmxmrLnxmxmnxmxnyrLmrrLmLLm（4-48） 4.3.3 離散傅里葉變換的性質(zhì)離散傅里葉變換的性質(zhì) X2022-2-12信息學(xué)科立體化教材71 前面已經(jīng)分析了y1(n)具有N1+N21個(gè)非零值。因此可以看到， 如果周期卷積的周期LN1+N21，那么y1(n)的周期延拓就必然有一部分非零序

50、列值要交疊起來(lái)，從而出現(xiàn)混疊現(xiàn)象。只有在L N1+N21 時(shí)，才沒(méi)有交疊現(xiàn)象。這時(shí), 在y1(n)的周期延拓 中， 每一個(gè)周期L內(nèi)，前N1+N21個(gè)序列值正好是y1(n)的全部非零序列值，而剩下的L-(N1+N21)個(gè)點(diǎn)上的序列值則是補(bǔ)充的零值。所以L點(diǎn)圓周卷積點(diǎn)圓周卷積y(n)是線性卷積是線性卷積yl(n)以以L為為周期的周期延拓序列的主值序周期的周期延拓序列的主值序列。列。)(1ny4.3.3 離散傅里葉變換的性質(zhì)離散傅里葉變換的性質(zhì) X2022-2-12信息學(xué)科立體化教材72所以要使圓周卷積等于線性卷積而不產(chǎn)生混疊的必要條件為 121NNL（4-49） 滿(mǎn)足此條件后就有 )()(1nyn

51、y即 x1(n) x2(n)=x1(n)*x2(n) L 圖4-14（d）、（e）、（f）正反映了（4-46）式的圓周卷積與線性卷積的關(guān)系。在圖4-14（d）中，L=6小于N1+N2-1=8，這時(shí)產(chǎn)生混疊現(xiàn)象，其圓周卷積不等于線性卷積；而在圖4-14（e）、（f）中, L=8和L=10，這時(shí)圓周卷積結(jié)果與線性卷積相同，所得y(n)的前8點(diǎn)序列值正好代表線性卷積結(jié)果。 所以只要LN1+N2- 1，圓周卷積結(jié)果就能完全代表線性卷積。 (4-50) 4.3.3 離散傅里葉變換的性質(zhì)離散傅里葉變換的性質(zhì) X2022-2-12信息學(xué)科立體化教材73圖4-14 線性卷積與圓周卷積x1(n)n1N1 412

52、30 x2(n)n112340N2 5y1(n)N1 N2 1 8n123405 6789 10 11234(a)(b)(c)x1(n) x2(n)L 6n12340 x1(n) x2(n)L 8n1234x1(n) x2(n)L 10n1234(d)(e)( f )12345012345670123456789LLL4.3.3 離散傅里葉變換的性質(zhì)離散傅里葉變換的性質(zhì) X2022-2-12信息學(xué)科立體化教材74例例 4-6 一個(gè)有限長(zhǎng)序列為 )5(2)()(nnnx（1） 計(jì)算序列x(n)的10點(diǎn)離散傅里葉變換。 （2） 若序列y(n)的DFT為 )()(1022kXekYkj式中，X(k)

53、是x(n)的10點(diǎn)離散傅里葉變換，求序列y(n)。 4.3.3 離散傅里葉變換的性質(zhì)離散傅里葉變換的性質(zhì) （3）若10點(diǎn)序列y(n)的10點(diǎn)離散傅里葉變換是 )()()(kWkXkY式中, X(k)是序列x(n)的10點(diǎn)DFT，W(k)是序列w(n)的10點(diǎn)DFT 01)(nw0n6 其他 求序列y(n)。 X2022-2-12信息學(xué)科立體化教材75 解解 （1） 由式（4-36）可求得x(n)的10點(diǎn)DFT kkjknkNnnnkNeWWnnWnxkX) 1(212121)5(2)()()(510251010101100 （2）X(k)乘以一個(gè)WNkm形式的復(fù)指數(shù)相當(dāng)于是x(n)圓周移位m點(diǎn)

54、。 本題中m=-2, x(n)向左圓周移位了2點(diǎn)， 就有 y(n)=x(n+2)10R10(n)=2(n-3)+(n-8) 4.3.3 離散傅里葉變換的性質(zhì)離散傅里葉變換的性質(zhì) （3）X(k)乘以W(k)相當(dāng)于x(n)與w(n)的圓周卷積。為了進(jìn)行圓周卷積，可以先計(jì)算線性卷積再將結(jié)果周期延拓并取主值序列。 x(n)與w(n)的線性卷積為 z(n)=x(n)*w(n)=1, 1, 1, 1, 1, 3, 3, 2, 2, 2, 2, 2X2022-2-12信息學(xué)科立體化教材76圓周卷積為 )()10()(10nRrnznyr 在 0n9 求和中，僅有序列z(n)和z(n+10)有非零值，用表列出

55、z(n)和z(n+10)的值，對(duì)n=0, 1, 2, , 9求和，得到： n0 1 2 3 4 5 6 7 8 910 11Z(n)z(n+10) 1 1 1 1 1 3 3 2 2 22 2 0 0 0 0 0 0 0 02 20 0y(n)3 3 1 1 1 3 3 2 2 2_ _所以10點(diǎn)圓周卷積為 y(n)=3, 3, 1, 1， 1, 3, 3, 2, 2, 2 4.3.3 離散傅里葉變換的性質(zhì)離散傅里葉變換的性質(zhì) X2022-2-12信息學(xué)科立體化教材775 共軛對(duì)稱(chēng)性共軛對(duì)稱(chēng)性（1）復(fù)共軛序列的DFT 設(shè)x*(n)為x(n)的共軛復(fù)序列，則 DFTx*(n)=X*(-k)NRN

56、(k)=X*(N-k)NRN(k) =X*(N-k) 0kN-1 且 X(N)=X(0) （4-51） 證證 )(*)()(*)()()()(*)()()()(*)(*10)(10*10kNXkRkNXkRWnxkRkXkRWnxkRWnxnxDFTNNNNnnkNNNNNnNNnnkNNnkN0kN-1 4.3.3 離散傅里葉變換的性質(zhì)離散傅里葉變換的性質(zhì) X2022-2-12信息學(xué)科立體化教材78這里利用了 122njnNNjnNNeeW因?yàn)閄(k)的隱含周期性，故有X(N)=X(0)。 用同樣的方法可以證明 )(*)()(*)()(*kXnRnNxDFTnRnxDFTNNNN也即 )(*

57、)(*kXnNxDFT（4-52） 4.3.3 離散傅里葉變換的性質(zhì)離散傅里葉變換的性質(zhì) X2022-2-12信息學(xué)科立體化教材79（2）DFT的共軛對(duì)稱(chēng)性 在前面章節(jié)里討論了序列傅里葉變換的一些對(duì)稱(chēng)性質(zhì)，且定義了共軛對(duì)稱(chēng)序列與共軛反對(duì)稱(chēng)序列的概念。在那里，對(duì)稱(chēng)性是指關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)的縱坐標(biāo)的對(duì)稱(chēng)性。DFT也有類(lèi)似的對(duì)稱(chēng)性，但在DFT中，涉及的序列x(n)及其離散傅里葉變換X(k)均為有限長(zhǎng)序列，且定義區(qū)間為 0 到N1，所以，這里的對(duì)稱(chēng)性是指關(guān)于N/2 點(diǎn)的對(duì)稱(chēng)性。 設(shè)有限長(zhǎng)序列x(n)的長(zhǎng)度為N點(diǎn)，則它的圓周共軛對(duì)稱(chēng)分量xep(n)和圓周共軛反對(duì)稱(chēng)分量xop(n)分別定義為: )()(21)(

58、)()(21)(*nNxnxnxnNxnxnxopep（4-53） （4-54） 4.3.3 離散傅里葉變換的性質(zhì)離散傅里葉變換的性質(zhì) X2022-2-12信息學(xué)科立體化教材80則兩者滿(mǎn)足: )()()()(*nNxnxnNxnxopopepepnN-1 nN-1 （4-55） （4-56） 如同任何實(shí)函數(shù)都可以分解成偶對(duì)稱(chēng)分量和奇對(duì)稱(chēng)分量一樣， 任何有限長(zhǎng)序列x(n)都可以表示成其圓周共軛對(duì)稱(chēng)分量xep(n)和圓周共軛反對(duì)稱(chēng)分量xop(n)之和，即 x(n)=xep(n)+xop(n) 0nN-1 （4-57） 由式（4-53）及式（4-54），并利用式（4-51）及式（4-52），可得圓周

59、共軛對(duì)稱(chēng)分量及圓周共軛反對(duì)稱(chēng)分量的DFT分別為： 4.3.3 離散傅里葉變換的性質(zhì)離散傅里葉變換的性質(zhì) X2022-2-12信息學(xué)科立體化教材81DFTxep(n)=eX(k)DFTxop(n)=j Im X(k)(4-58)(4-59)證證 )(21)(21)()(21)(*nNxDFTnxDFTnNxnxDFTnxDFTep利用式（4- 52），可得 )(Re)()(21)(*kXkXkXnxDFTep則式(4-58)得證。同理可證式（4-59）。 4.3.3 離散傅里葉變換的性質(zhì)離散傅里葉變換的性質(zhì) X2022-2-12信息學(xué)科立體化教材82下面我們?cè)賮?lái)討論序列實(shí)部與虛部的DFT。 若用

60、xr(n)及xi(n)分別表示有限長(zhǎng)序列x(n)的實(shí)部及虛部，即 x(n)=xr(n)+jxi(n) (4-60) 式中： )()(21)(Im)()()(21)(Re)(*nxnxnxjnjxnxnxnxnxir則有： )()(21)()()()(21)()(*kNXkXkXnjxDFTkNXkXkXnxDFTopiepr4.3.3 離散傅里葉變換的性質(zhì)離散傅里葉變換的性質(zhì) 式中，Xep(k)為X(k)的圓周共軛對(duì)稱(chēng)分量且Xep(k)=X*ep(N-k)，Xop(k)為X(k)的圓周共軛反對(duì)稱(chēng)分量且Xop(k)=-X*op(N-k)。 (4-62) (4-61) X2022-2-12信息學(xué)科