信號的頻域測試

1、信號的頻域測試 信號的時域描述，能夠提供諸如信號的強弱大小，變化快慢，不同信號波形相似程度，相互間的相位關系等。兩個時域信號的統(tǒng)計特征參數可能相同，但實際作用效果都不相同。例如，同樣通過25W收錄機輸出的方差或均值都差不多的聲信號，但因頻率的高低和節(jié)奏的不同，給人的感受并不一樣；同均方差、同均值的兩個振動信號，如果頻率高低懸殊，則它們對構件的損傷程度也不相同。這就是說，時域信號并不能明顯表示出信號的頻率構成，提示研究者必須注意信號中蘊含著頻率結構(頻率分量)。描述和分析信號的頻結構主要方法之一是傅里葉分析法，相應的描述和分析稱為信號頻率描述或頻率分析。 本節(jié)將從周期信號的頻率描述開始，運用數學

2、手段(公式)，逐一介紹不同信號的描述方法、物理意義及其應用。 一、周期信號的頻域描述 1、傅里葉級數和離散頻譜圖 周期函數x(t)，其周期為T，且函數滿足下列狄里希利條件，即信號在定義周期0,T內單調連續(xù)或只有有限個第一類間斷點；在此定義周期內只有有限個極限點。 函數就可展開成傅里葉級數，記作： (1-16)式中，n=1,2,3, 0=T,周期信號的角頻率(又稱“基頻”) x taa Cosntb Sinntnnn( )()00012 (1-17) (1-18) (1-19)aTx t dtTT0222( )aTCosntdtnTT2022/bTx t SinntdtnTT2022( ) a0

3、，an，bn，統(tǒng)稱為傅里葉系數，它們與t 無關。傅里葉系數取值大小，就確定了x(t)的波形。確切地說，任何周期信號 可以認為由兩種基本信號所組成。一類是以a0/2描述的直流分量，一類是由許多正交的、幅值分別以an和bn描述的、頻率各為基頻及其整倍數的余弦和正弦(純波動)分量(即諧波)的迭加組成。因此傅里葉級數表達了組成周期信號的各分量的“頻率結構”。 若期信號x(t)為奇函數時， an=0, a0=0 此時 (1-20) 若周期信號x(t)即不是偶函數又不是奇函數時，可以把式(1-16)改寫為： x(t)= (1-22)x tb Sinntnn( ) 01aa Cosntb Sinntnnn0

4、0012()aabaabCosntbabSinntaA CosCosntSinSinntaA Cos ntnnnnnnnnnnnnnnnn02212202200100001222() 式中 : 為諧波分量的幅值。 當n=1時，稱為一次諧波即基波，相應的頻率即為基頻0；n=2,3,時，依次稱為二次、三次諧波，相應的頻率稱為二次、三次諧波。 (1-23) 式中n稱為各次諧波的相位。Aabnnn22nnnnnnnnnnCosaabSinbabtgba 1221221 式(1-22)實際描述了周期信號x(t)的頻率結構。我們以幅值AN為縱座標，以為橫座標畫出的AN-圖稱為幅值頻譜圖，間稱頻譜圖；以n為

5、縱座標，為橫座標畫出的n -圖稱為相位頻譜圖，簡稱相位圖。 由式(1-22)可看出，周期信號的頻譜是離散的，即各次諧波頻率都是基頻0的整數倍 n0。通過以下幾個例子，讀者不難看出，周期信號的譜圖必以n0為間隔作離散狀排列。 例7：求如圖1-23(a)所示的周期方波x(t)的頻譜，該方波表達式為： A 0tT/2 x(t)= 0 t=0及 t=T/2 -A T/2tT 解：由圖可知，該信號為奇函數，因此a0=0, an=0，0T 據式(1-19)有： /20/2/200/2002( )420n=2,4,6,.4n1,3,5,.TTTTbnx tSinntdtTASinntdtTACosntnAn

6、 該周期方波可寫成: 畫出其頻譜圖如圖1-23(b)所示。 00001411( )(35)3541(21)21niAx tSintSintSintASinntn例8：求圖1-24(a)所示周期三角波的頻率，其表達式為： x(t)= A+(2A/T)t -TtT1 時，x(t)=0。從這個非周期信號出發(fā)，我們可以構成一個周期信號 ,使x(t)是的一個周期，如圖1-28(b)所示。當T0比較大時， 就在一個較長時間隔內與x(t)相一致，當T0，對任意有限時間t， 就等于x(t)。 x t( )x t( )x t( )對周期信號 ，在(-T0/2,T0/2)區(qū)間內其傅里葉級數展開為： (1-36)式

7、中 , (1-37)x t( )x tC enjntn( ) 0002TCTx tedtnjntTT1022000/( ) 在積分區(qū)間 , 有TTT0022/,t tT0/2T0/2 x t( )x(t)= , 0其余t (1-38) 所以，式(1-37)可以重新寫成： CTX tedtTf t edtnjntTTjnt1102200000( )( )/ 現定義T0Cn的包絡X()為 (1-39)Xx t edtjnt( )( )0 此時，系數Cn可以寫成 (1-40)CTF nn100() 將式(1-36)和式(1-40)比較一下， 就可以用X()表示為 (1-41)(txX tTX nen

8、jnt( )()1000 利用0T0的關系，上式又可表示為 (1-42)X tX nenjnt( )()1200隨著T0， 趨于x(t)，上式就變成x(t)的表示式。又當T0時，有00 ，于是式(1-42)的右邊就過渡為一個積分，即： (1-43) 稱式(1-39)和式(1-43)為傅里葉變換對，即：x t( )deXtxtj)(21)( x(t)= (1-44) X()= (1-45)12Xedjt()Xedj t( ) 式中x(t)在有限區(qū)間上滿足狄里希利條件和在(-,+)內絕對可積。式(1-44)和式(1-45)建立了x(t)和X()之間的對應關系。我們稱式(1-45)為x(t)的傅里葉

9、變換，式(1-44)為傅里葉逆變換。兩者統(tǒng)稱傅里葉變換對。表示為： 簡寫 。記。x txIFTFT( )( )x tx( )( )L X tXLXx t( )( ),( )( )1 一般X()為復函數，可以寫成： X() (1-46)式中: X()= (1-47)X( )ej()RXIXem22( )( ) (1-48)以X()或()為縱座標，為橫座標繪出的譜圖稱為幅值譜和相位譜。 由式(1-44)可看出，x(t)這一瞬變信號可表示為無數角頻率正余弦分量與單位旋轉矢量 迭加而成。在譜圖中，在(-,+)連續(xù)變化，每一分量幅值大小或相位大小都表示為X()d，因此，X()=X()d/ d就具有譜密度

10、的含義。 ()()()tgIXRXme1eCos tjSin tj t 例1：求脈沖方波 A tT1 于縱軸對稱如圖1-29(a)所示。解：由式(1-45)得: X()= (1-49)x t edtAedtAjeej tj tTTj Tj t( )11112211111ATSin TTAT STa() X()示于圖1-29(b)。其中 稱為抽函數(或插值函數)，它具有下述性質：SxSinxxa( ) 是兩個奇函數相乘，其結果為偶函數； 當x=(2n+1)2(n為自然數)時，Sa(x)之值可查表得出；1xS in x 當x等于的整數倍時，Sa(x)=0 ，但在x0處 Sa(x)曲線下的總面積等于

11、，即 Sa xSinxxxx( )001Sn x dxSinxxdx( ) 由式(1-45)可寫出： Xx tedtj t()( )x t Cos tdtx t Sin tdtRjRxCos txSin t( )( )( )( )00式中: (1-50) Rx tCos tdtxCos t0( ) (1-51)Rx t Sin tdtxSin t( )( )0 式(1-50)和式(1-51)說明，用單位正交正余弦密度信號去作能量信號條件下的時的相關，可得出瞬變信號的頻率分量。所以，建立信號時頻轉換關系的傅里葉級數展開或傅里葉積分變換，本質上都是作頻率分量的相關。根據同頻才相關的原理來“取出”同

12、頻分量(包括“零頻”的值流分量)。 2.傅里葉變換的性質及應用 信號的時域、頻域分析，以不同的角度揭示了信號的物理特征，傅里葉變換建立起它們之間的聯系。作信號分析時，當在時域分析變得很困難時，可通過傅里葉變換變換到頻域來分析，使之變得簡單明了。因此，了解和掌握傅里葉變換的性質，有助于我們對信號分析、變換有更深刻的理解。下面我們討論傅里葉變換的一些重要性質及其相應的物理意義。 線性疊加性 若 則 (1-52)x tXy tY( )( ), ( )( )ax tby taXbY( )( )( )( ) 其中a和b均為常數。它表明兩個信號線性組合的傅里葉變換是單個信號傅里葉變換的線性組合。這個性質可

13、推廣到任意多個信號的組合。 對稱性若 則 (1-53)或f tF( )( )F tf( )()2F tff( )() 式(1-53)說明，信號的時域波形與信號頻譜函數波形有著互相置換的關系。圖1-30示出了對稱性的例子。奇偶虛實性 函數x(t)的傅里葉變換為 X() (1-54)x tedtj t( )Rm XjX( )Im( )式中：實部- 虛部-Rm Xx tCos tdt( )( )tdtSintxX)()(Im 由式(1-54)可知：若x(t)是實函數，則X()一般為具有實部和虛部的復函數； 若x(t)是實偶數，則X()=RmX()，即為實偶數； 若x(t)是實奇數，則 X()=ImX

14、()，即為虛奇函數； 若x(t)是虛函數，則式(1-54)中的虛實位置對稱。 時間尺度改變特性 若 則對于常數a，有 (1-55)f tF( )( )f ataFa()()1 若a1時，時域波形被壓縮a倍，頻域波形被擴展a倍；a1時，時域波形被擴展a倍，頻域波形被壓縮a倍。 尺度改變特性說明了時間和頻率之間的反比關系 。它說明了在時域中壓縮信號的持續(xù)時間，則對應于在頻域中擴展了它的頻率范圍，反之亦然。時移特性 若 則 (1-56)x tX( )( )x ttXej t()( )00 式(1-56)說明，時域信號時移t0，則對應于其頻譜在頻域中產生附加相移-t0，而幅度則保持不變。 頻移特性 若

15、 則 (1-57)x tX( )( )x t eXjt( )() 00 上式說明，F()在頻域中沿軸向右移動0，對應于x(t)在時域中乘以。也就是，函數f(t)乘以可使整個頻譜F()搬移到0。在通信技術中，經常需要搬移頻譜，通常是將信號x(t)乘以 正弦或余弦信號來完成頻譜搬移,這個過程稱為幅度調制。ejt0ejt0 微分和積分特性 若 則 (1-58)x tX( )( )dx tdtjX( )()( )上式可推廣到時域求n階導數的情況，則有： (1-59)d x tdtjXnnn( )()( )又若，則有 (1-60)x tX( )( )x t dtjXt( )( )1 以上表明，可以將微分

16、、積分特性應用于當記錄是另一記錄的微分或積分的情況。例如，在振動的測試中，若能測得振動系統(tǒng)的位移、速度或加速度中任一參數，利用微分或積分特性就可以獲得其它參數的頻譜。 頻域卷積特性(又稱調制特性) 兩個函數x1(t)，x2(t)，定義 為x1(t),x2(t)的卷積，記為 。x t xtd12( )()x txt12( )( ) 若 則 (1-61)x tXxtX1122( )( ),( )( )x txtXX121212( )( )( )( ) 式(1-61)表明，在時域中兩個函數的乘積對應于頻域中它們頻譜的卷積(再除以2)。頻域卷積特性又稱為調制特性。 能量積分(巴什瓦爾等式) 若 則 (

17、1-62)x tX a( )( )X tdtXd( )( )2212 式(1-62)稱為巴什瓦爾等式，也叫能量等式。它表明在時域中計算的信號的總能量等于在頻率中計算的信號總能量。 由于 反映了信號的能量，所以 稱為X(t)的能量譜密度，它決定信號沿頻率軸能量密度的分布。xt dt2( )X( )2 三、典型信號的頻譜 1.單位脈沖信號 , t=0 單位脈沖信號表達式為 (t)= 0, t0 函數(單位脈沖信號)的頻譜由式(1-45)求出。 (1-63) 上式表明，單位脈沖信號具有無限寬廣的頻譜，幅值譜密度在所有頻段上都是等強度的。人們把具有這樣頻譜的信號類比于白色光是具有各種波長(頻率)色光的

18、全光譜，稱這種信號為理想的“白噪聲”。( )( )tedtej t01 由傅里葉變換性質，可得到如下傅里葉變換對： 時域 頻域 (1-64)( )()tttejt10012200 ( )()ej t 2.單位周期脈沖序列的頻譜單位周期脈沖序列的數學表達式為: (1-65)Tnttnts( )()式中Ts-等間隔周期，n=0，1，2，其圖象見圖1-31(a)所示。由式(1-30)可得出該周期函數的傅里葉級數的表達式為: (1-66)TnjntntC edt( ) 0式中： 0=2Ts CTteTtedtTnSTTTjntsjntTTsSSss111222200/( )( ) 所以代入式(1-66

19、)得 (1-67) 由式(1-31)提出上式的傅里葉變換TsjntntTe( ) 10 (1-68)TTsjnw tnLtTLe( )( )1102000 Tnnsnn()() 又因 上式又可寫成: (1-69)0022TfSTssnnfTfnTffnf( )()()100 單位周期序列脈沖信號的時域和頻域圖象(頻譜)都呈等間隔離散狀。若時域脈沖幅值為1，頻域脈沖幅值就為 1/Ts ；時域間隔為 Ts 時，頻域間就為2Ts( 以為變量 )或1Ts (以f為變量)，其頻譜如圖1-31(b)所示。3.正弦和余弦信號的頻譜 由于正弦和余弦信號不滿足絕對可積的條件，所以我們引入函數和傅里葉變換性質求出

20、其頻譜。 我們知道 利用表1-1中的“對稱性”即有 所以 (1-70)Lt ( ) 1x tX( )( )X tx( )()2L ( )()122 再據表1-1中的相移性質，有： (1-71)把上列各式 應用于(用歐拉公式表達的)正弦或余弦信號傅里葉變換中，便有： (1-72) (1-73)或 (1-74) (1-75)其頻譜圖如圖1-32所示。常見典型信號的頻譜列在表1-2中，以便讀者查閱。 L ejt() 020L CostLeeL eL ejtjtjtjt()01212120000 ()()00L SintLjeejjtjt() ()() 0001200L Costffff ()()00

21、012L Sintffff ()()00012 四、隨機信號的頻域描述 1.信號自功率譜 對確定性信號，都有確定時域波形和確定的頻譜。信號在時域上的變化，必然引起頻譜的相應變化。隨機信號因為在時域上的波形是不確定的，因而也無法直接描述其確切的頻譜。也就是說，它的頻譜具有某種程度不的確定性。但工程測試需要了解如隨機噪聲、隨機振動大致確定的譜描述。 隨機信號是不可積的，即能量是無限的，但它的功率卻是有限的，換句話說，它在不同時刻的取值雖不能確定，但在單位時間內所提供的能量-功率卻基本確定。由此，就引出功率譜這一概念。 作為功率信號的隨機信號不滿足傅里葉變換所需要的前提-絕對可積要條件，也就無法用傅

22、里葉變換求其頻譜。但隨機信號x(t)的自相關函數是隨時差的增加而衰減的，即 是收斂的，滿足可積條件。為此，取隨機信號自相關函數的傅里葉變換并記作； (1-76)對應有 (1-77) 顯然，Sx()是一種頻譜，它是隨機信號的自關函數的傅里葉變換，表征了隨機信號 的頻域特征。 由式(1-77)，取，得：又，自相關函數的定義有 比較上述兩表達式，得 (1-78) 上式說明Sx()是一種頻譜曲線，曲線下的積分(面積)與表征信號x(t)平均功率的均方值相當。因此，稱Sx()為自功率譜密度，簡稱自功率譜。 SLRRedxxxj( )( )( )1RLSSedxxxj( )()()112RSe dx( )(

23、)0120RLimTx tx tdtLimTxt dtxTTx( )( )()( )010122122Sxx() 因為Rx()是實偶函數，所以Sx()也必為實偶函數，即： (1-79) 記 Gx()= 2Sx() 0 (1-80) 0 0 我們定義Sx()為雙邊譜，且-+ ，Gx()為單邊譜，且0，兩者關系如圖1-33所示。 自功率譜密 度函數Sx()或Gx()，除了用于描述隨機信號的譜結構，同樣可用來描述確定性信號的總功率按頻率分布，即頻率結構。函數Sx()與X()的關系如下： (1-81) 時域信號x(t)的直接傅里葉變換所得的頻譜為X()，所對應的是x(t)的量綱，而Sx()或Gx()對

24、應的卻是的量綱。 Sx() SRedRedxxjxj( )( )( )2020RC o sdx() SL imTXxT()() 12和Gx()反映的是信號取值的平方，具有突出主要成份的優(yōu)點，所顯示的頻率結更為明顯。自功率譜和自相關函數一樣，都失去了原信號的相位信息。 工程上還常采用譜圖，稱為有效值譜。顯然，與一般頻譜X()是等量綱的。2.信號的互功率譜 互相關函數的傅里葉變換稱為互功率譜密度函數，簡稱互譜， 記作： (1-82)其逆變換 (1-83) Sxy()與Rxy()一樣，反映了x(t)、y(t)兩信號的同頻分量。SLRRedxyXYxyj( )( )( )1RLSSedfxyxyxyj( )( )( )112 式中：Cxy()是Sxy()的實部，稱為同相譜或共譜；x