信號(hào)與系統(tǒng)離散時(shí)間系統(tǒng)與z變換分析法(二)

1、1信號(hào)與系統(tǒng)(Signal & system)教師：徐昌彪2004-12-26電路基礎(chǔ)教學(xué)部25.9 離散時(shí)間系統(tǒng)的Z變換分析法5.9.1 零輸入響應(yīng)5.9.2 零狀態(tài)響應(yīng)5.9.3 全響應(yīng)電路基礎(chǔ)教學(xué)部2004年12月26日7時(shí)51分zi35.9.1 零輸入響應(yīng)(1)n階系統(tǒng)n ai yi = 0(k + i ) = 0對(duì)上式作Z變換，整理后得Yzi ( z ) =ni = 0i 1ai yzi (k )z i kk = 0n ai z ii = 0對(duì)Yzi(z)作Z反變換，可得yzi(k)電路基礎(chǔ)教學(xué)部2004年12月26日7時(shí)51分2z 2 7 z 3z zYzi ( z ) =

2、 2 = y45.9.1 零輸入響應(yīng)(2)例：求離散時(shí)間系統(tǒng)的零輸入響應(yīng) yzi (k )y(k + 2) 5 y(k + 1) + 6 y(k ) = 0已知yzi (0) = 2， zi (1) = 3解：作Z變換z 2 Yzi ( z ) yzi (0) yzi (1)z 1 5zYzi ( z ) yzi (0) + 6Yzi ( z ) = 0代入已知條件，有z 5z + 6 z 2 z 3因此yzi (k ) = 3 2k 3kk 0電路基礎(chǔ)教學(xué)部2004年12月26日7時(shí)51分55.9.2 零狀態(tài)響應(yīng)(1)yzs (k ) = x(k ) * h(k )Yzs ( z ) = X

3、 ( z ) H ( z )n階系統(tǒng)n m ai y(k + i ) = b j x(k + j )i =0 j =0H ( z ) =mj = 0ni = 0b j z jai z iYzs ( z ) =mj =0ni = 0b j z jai z i X ( z ) = H ( z ) X ( z )電路基礎(chǔ)教學(xué)部2004年12月26日7時(shí)51分 21 k +1k65.9.2 零狀態(tài)響應(yīng)(2)例：求離散時(shí)間系統(tǒng)的單位函數(shù)響應(yīng) h(k ) 和零狀態(tài)響應(yīng) yzs (k )y(k + 2) 5 y(k + 1) + 6 y(k ) = x(k + 2) 3 x(k )已知 x(k ) = U

4、(k )解：H ( z ) =z 2 3z 2 5z + 6Yzs ( z ) = X ( z ) H ( z ) =z z 2 3z 1 z 5z + 6作Z反變換得h(k ) = (k ) + (2 3k 2k 1 )U (k 1)yzs (k ) = (1 2 + 3 )U (k )2電路基礎(chǔ)教學(xué)部2004年12月26日7時(shí)51分i75.9.3 全響應(yīng)(1)n階系統(tǒng)n m ai y(k + i ) = b j x(k + j ) ，作Z變換i = 0 j = 0Y ( z ) =m b j z jj = 0n ai zi = 0 X ( z ) +ni = 0i 1 m j 1ai y(

5、k )z i k b j x(k )z j kk = 0 j = 0 k = 0n ai z ii = 0Y ( z ) = Yzs ( z ) + Yzi ( z )y(k ) = yzs (k ) + yzi (k )電路基礎(chǔ)教學(xué)部2004年12月26日7時(shí)51分=85.9.3 全響應(yīng)(2)系統(tǒng)函數(shù)H ( z ) =bm z m + bm 1 z m 1 + L + b1 z + b0an z n + an 1 z n 1 + L + a1 z + a0零狀態(tài)響應(yīng)零輸入響應(yīng)Yzs = X ( z ) H ( z )Yzi ( z ) =ni = 0i 1ai yzi (k )z i kk

6、= 0n ai z ii = 0ni = 0i 1 m j 1ai y(k )z i k b j x(k )z j kk = 0 j = 0 k = 0n ai z ii = 0電路基礎(chǔ)教學(xué)部2004年12月26日7時(shí)51分y y（95.9.3 全響應(yīng)(3)例: 對(duì)如下離散時(shí)間系統(tǒng)y(k + 2) 0.7 y(k + 1) + 0.1 y(k ) = 7 x(k + 2) 2 x(k + 1)已知 x(k ) = U (k ) ， (0) = 9 ， (1) = 13.9 。（1）求全響應(yīng)（2）求零輸入響應(yīng)，零狀態(tài)響應(yīng)，并由此求全響應(yīng)解： 1）求全響應(yīng)將差分方程兩端作ZTz 2 Y ( z )

7、 y(0) y(1)z 1 0.7 zY ( z ) y(0) + 0.1Y ( z )= 7 z 2 X ( z ) x(0) x(1)z 1 2z X ( z ) x(0)代入已知，整理后得電路基礎(chǔ)教學(xué)部2004年12月26日7時(shí)51分Y ( z ) = 2105.9.3 全響應(yīng)(4)9z 3 + 4.27 z 2 8.27 z( z 0.7 z + 0.1)( z 1)作Z反變換得y(k ) = 12.5 + 7 0.5k 10.5 0.2kk 0（2）求零輸入響應(yīng)響應(yīng)，零狀態(tài)響應(yīng)，全響應(yīng)將差分方程兩端作ZTz 2 Y ( z ) y(0) y(1)z 1 0.7 zY ( z ) y(

8、0) + 0.1Y ( z )= 7 z 2 X ( z ) x(0) x(1)z 1 2z X ( z ) x(0)代入已知，整理后得電路基礎(chǔ)教學(xué)部2004年12月26日7時(shí)51分Yzi ( z ) = 27 z 2 2z zYzs ( z ) = 2 115.9.3 全響應(yīng)(5)2z 2 + 8.27 zz 0.7 z + 0.1z 0.7 z + 0.1 z 1作Z反變換得yzi (k ) = 12 0.5k 10 0.2kyzs (k ) = (12.5 5 0.5k 0.5 0.2k )U (k )y(k ) = yzi (k ) + yzs (k )= 12.5 + 7 0.5k

9、10.5 0.2k電路基礎(chǔ)教學(xué)部k 0k 02004年12月26日7時(shí)51分125.10 離散系統(tǒng)函數(shù)，系統(tǒng)穩(wěn)定性判別5.10.1 離散系統(tǒng)函數(shù)5.10.2 系統(tǒng)穩(wěn)定性判別電路基礎(chǔ)教學(xué)部2004年12月26日7時(shí)51分k2z ( z + 3)k 3135.10.1 離散系統(tǒng)函數(shù)(1)系統(tǒng)函數(shù)與單位函數(shù)響應(yīng)是Z變換對(duì)h(k ) H ( z )x(k ) = (k ) yzs (k ) = h(k )X ( z ) = 1 Yzs ( z ) = X ( z ) H ( z ) = H ( z )h(k ) H ( z )例： h(k ) = 2 U (k ) H ( z ) = ?zz 2H (

10、 z ) = 2h(k ) = ? 2 (3) U (k 3)電路基礎(chǔ)教學(xué)部2004年12月26日7時(shí)51分=145.10.1 離散系統(tǒng)函數(shù)(2)系統(tǒng)函數(shù)與差分方程an y(k + n) + an 1 y(k + n 1) + L + a1 y(k + 1) + a0 y(k )= bm x(k + m ) + bm 1 x(k + m 1) + L + b1 x(k + 1) + b0 x(k )在零狀態(tài)下對(duì)上式兩邊作Z變換后，得H ( z ) =Yzs ( z ) bm z m + bm 1 z m 1 + L + b1 z + b0X ( z ) an z n + an 1 z n 1

11、+ L + a1 z + a0電路基礎(chǔ)教學(xué)部2004年12月26日7時(shí)51分2z + 1 2z + 1解： H ( z ) = 2 =+155.10.1 離散系統(tǒng)函數(shù)(3)例：求系統(tǒng) y(k + 2) + 3 y(k + 1) + 2 y(k ) = 2 x(k + 1) + x(k ) 的單位沖激響應(yīng)h(k ) 。z + 3z + 2 ( z + 1)( z + 2)= 1 3z + 1 z + 2得 h(k ) = (1)k 1 + 3 (2)k 1 U (k 1)電路基礎(chǔ)教學(xué)部2004年12月26日7時(shí)51分3 2= 2165.10.1 離散系統(tǒng)函數(shù)(4)例: 試列寫出描述離散時(shí)間系統(tǒng)的

12、差分方程已知 h(k ) = 2 (k ) + (3k 2k )U (k 1)解：H ( z ) = 2 +z 3 z 22z 2 9z + 12z 5z + 6因此y(k + 2) 5 y(k + 1) + 6 y(k ) = 2 x(k + 2) 9 x(k + 1) + 12 x(k )電路基礎(chǔ)教學(xué)部2004年12月26日7時(shí)51分0tt0t175.10.1 離散系統(tǒng)函數(shù)(5)H(z)的極點(diǎn)分布與h(k)的響應(yīng)模式j(luò)系統(tǒng)不穩(wěn)定0系統(tǒng)臨界穩(wěn)定不穩(wěn)定(單極點(diǎn)重極點(diǎn))系統(tǒng)不穩(wěn)定0t 00tt系統(tǒng)穩(wěn)定00t00tt系統(tǒng)不穩(wěn)定系統(tǒng)不穩(wěn)定零點(diǎn)對(duì)響應(yīng)模式無影響，只影響響應(yīng)的幅度與相位電路基礎(chǔ)教學(xué)部20

13、04年12月26日7時(shí)51分185.10.2 系統(tǒng)穩(wěn)定性判別(1)穩(wěn)定系統(tǒng)的含義對(duì)于有界的激勵(lì)產(chǎn)生有界的響應(yīng)的系統(tǒng)稱為穩(wěn)定系統(tǒng)。系統(tǒng)穩(wěn)定性穩(wěn)定系統(tǒng)：H(z)的極點(diǎn)全部位于z平面單位圓內(nèi)。不穩(wěn)定系統(tǒng)：H(z)的極點(diǎn)至少有一個(gè)位于z平面單位圓外，或在單位圓上有重極點(diǎn)。臨界穩(wěn)定系統(tǒng)：H(z) 的極點(diǎn)位單位圓上，且為單極點(diǎn)。系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件H(z)的極點(diǎn)全部位于z平面單位圓內(nèi)電路基礎(chǔ)教學(xué)部2004年12月26日7時(shí)51分D195.10.2 系統(tǒng)穩(wěn)定性判別(2)穩(wěn)定系統(tǒng)性判別 H ( z ) =裘利判別法N ( z )D( z )若系統(tǒng)的特征方程為： ( z ) = an z n + an 1 z n

14、 1 + L + a1 z + a0 = 0則特征方程的根全部位于z平面單位圓內(nèi)的充要條件是D(1)0(-1)nD(-1)0裘利表（裘利陣列）中奇數(shù)行的第一個(gè)元素大于最后一個(gè)元素的絕對(duì)值。對(duì)于二階系統(tǒng)，系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件：a2|a0|、D(1)0、D(-1)0電路基礎(chǔ)教學(xué)部2004年12月26日7時(shí)51分205.10.2 系統(tǒng)穩(wěn)定性判別(3)裘利表（裘利陣列） D( z ) = an z n + an 1 z n 1 + L + a1 z + a0 = 0第1行 an第2行 a0第3行 bn 1第4行 b0第5行 cn 2第6行 c0M直到2n-3行an 1 L a2a1 L an 2bn 2

15、 L b1b1 L bn 2cn 3 L c0c1 L cn 2M Ma1an 1b0bn 1a0anbn1 =bn 2 =Mcn 2 =cn 3 =ana0ana0bn1b0bn1b0a0ana1an1b0bn1b1bn 2M電路基礎(chǔ)教學(xué)部2004年12月26日7時(shí)51分s + 1 | z | 1z =s 1s =z 1215.10.2 系統(tǒng)穩(wěn)定性判別(4)雙線性變換判別法D( z ) = an z n + an 1 z n 1 + L + a1 z + a0 = 0令 z = ，則 | z | 1 Re( s) 0s 1 D( z ) = 0從而 反之亦然，即 D( z ) | s +1

16、= 0 Re( s) 0 D( s) = 0 Re( s) 0 D( s) | z +1 = 0 | z | a0 |= 2D(1) = 6 0D(1) = 10 0系統(tǒng)穩(wěn)定(3) D( z ) = 2z 2 + 2z 1 = 0D(1) = 1 0(1)n D(1) = (1)n (2 + 2 3 + 4 4 + 1) 0系統(tǒng)不穩(wěn)定第1行第2行第3行第4行21362405342243504 12 263第5行 27 30 615第6行15 6 30 27M電路基礎(chǔ)教學(xué)部MM2004年12月26日7時(shí)51分245.10.2 系統(tǒng)穩(wěn)定性判別(7)例：離散系統(tǒng)的特征方程如下D( z ) = z 2

17、 + z + (2 K 1) = 0試確定為使系統(tǒng)穩(wěn)定的常數(shù)K的取值范圍。解：為使系統(tǒng)穩(wěn)定，必須a2 = 1 | a0 |=| 2 K 1 |D(1) = 1 + 1 + 2 K 1 0D(1) = 1 1 + 2 K 1 0即 0 K 0.5K 0.5因此 0.5 K 04 4 K 02 K 1 0因此 0.5 K 1電路基礎(chǔ)教學(xué)部2004年12月26日7時(shí)51分jkTjkT265.11 離散系統(tǒng)的頻率響應(yīng)特性(1)定義H ( z ) z = e jT = H (e jT ) =| H (e jT ) | e j ( )為離散系統(tǒng)的頻率特性| H (e jT ) | 為幅頻特性 ( ) 為相

18、頻特性(z)x(k ) = eyzs (k ) = x(k ) * h(k ) = n= H(z)在單位圓上收斂yzs (k ) = e jkT H (e jT )=| H (e jT ) | e jkT + ( )x(n)h(k n) =| H (e jT ) | e jkT + ( )由此表明：當(dāng)一個(gè)無時(shí)限復(fù)指數(shù)信號(hào) e作用于線性系統(tǒng)時(shí)，其零狀態(tài)響應(yīng)仍為同頻率的指數(shù)信號(hào)，其幅度擴(kuò)大為原來的| H (e jT ) | 倍，相位增加了 ( ) 。電路基礎(chǔ)教學(xué)部2004年12月26日7時(shí)51分k275.11 離散系統(tǒng)的頻率響應(yīng)特性(2)H (e jT ) =| H (e jT ) | e j (

19、 )x(k ) = ejkT(z)yzs (k ) = e jkT H (e jT )=| H (e jT ) | e j kT + ( )x(k ) = Ayzs (k ) = AH (1)x(k ) = A cos( 0 kT + ? )yzs (k ) = A | H (e jT ) | cos0 kT + ? + ( )x(k ) = A sin( 0 kT + ? )yzs (k ) = A | H (e j0T ) | sin0 kT + ? + (0 )條件1：H(z)在單位圓上收斂x(k ) = ayzs (k ) = H (a )a k條件2：a在H(z)的收斂域內(nèi)電路基礎(chǔ)教學(xué)部2004年12月26日7時(shí)51分e jT 1解：H (e jT ) = jT =2