高中物理競賽輔導教程 運動學

1、運動學§2.1質(zhì)點運動學的基本概念圖2-1-1211、參照物和參照系要準確確定質(zhì)點的位置及其變化，必須事先選取另一個假定不動的物體作參照，這個被選的物體叫做參照物。為了定量地描述物體的運動需要在參照物上建立坐標，構(gòu)成坐標系。通常選用直角坐標系Oxyz，有時也采用極坐標系。平面直角坐標系一般有三種，一種是兩軸沿水平豎直方向，另一是兩軸沿平行與垂直斜面方向，第三是兩軸沿曲線的切線和法線方向（我們常把這種坐標稱為自然坐標）。212、位矢 位移和路程在直角坐標系中，質(zhì)點的位置可用三個坐標x，y，z表示，當質(zhì)點運動時，它的坐標是時間的函數(shù)x=X（t） y=Y（t） z=Z（t）這就是質(zhì)點的運動

2、方程。質(zhì)點的位置也可用從坐標原點O指向質(zhì)點P（x、y、z）的有向線段來表示。如圖2-1-1所示, 也是描述質(zhì)點在空間中位置的物理量。的長度為質(zhì)點到原點之間的距離，的方向由余弦、決定,它們之間滿足當質(zhì)點運動時,其位矢的大小和方向也隨時間而變,可表示為=(t)。在直角坐標系中,設(shè)14用心 愛心 專心高中物理競賽力學教程 第二講 運動學分別為、沿方向、和單位矢量，則可表示為 O2圖2-1-2位矢與坐標原點的選擇有關(guān)。研究質(zhì)點的運動，不僅要知道它的位置，還必須知道它的位置的變化情況，如果質(zhì)點從空間一點運動到另一點，相應的位矢由1變到2，其改變量為稱為質(zhì)點的位移，如圖2-1-2所示，位移是矢量，它是從初

3、始位置指向終止位置的一個有向線段。它描寫在一定時間內(nèi)質(zhì)點位置變動的大小和方向。它與坐標原點的選擇無關(guān)。213、速度平均速度 質(zhì)點在一段時間內(nèi)通過的位移和所用的時間之比叫做這段時間內(nèi)的平均速度平均速度是矢量，其方向為與的方向相同。平均速度的大小，與所取的時間間隔有關(guān)，因此須指明是哪一段時間（或哪一段位移）的平均速度。瞬時速度 當為無限小量，即趨于零時，成為t時刻的瞬時速度，簡稱速度 瞬時速度是矢量，其方向在軌跡的切線方向。瞬時速度的大小稱為速率。速率是標量。214、加速度平均加速度 質(zhì)點在時間內(nèi)，速度變化量為，則與的比值為這段時間內(nèi)的平均加速度平均加速度是矢量，其方向為的方向。瞬時加速度 當為無

4、限小量，即趨于零時，與的比值稱為此時刻的瞬時加速度，簡稱加速度加速度是矢量，其方向就是當趨于零時，速度增量的極限方向。215、勻變速直線運動加速度不隨時間t變化的直線運動稱為勻變速直線運動。若與同方向，則為勻加速直線運動；若與反方向，則為勻減速直線運動。勻變速直線運動的規(guī)律為： Ost12t1t2圖2-1-3Ovt圖2-1-4勻變速直線運動的規(guī)律也可以用圖像描述。其位移時間圖像（st圖）和速度時間圖像（vt圖）分別如圖2-1-3和圖2-1-4所示。從(st)圖像可得出：(1)任意一段時間內(nèi)的位移。(2)平均速度，在（）的時間內(nèi)的平均速度的大小，是通過圖線上點1、點2的割線的斜率。(3)瞬時速度

5、，圖線上某點的切線的斜率值，等于該時刻的速度值。從st圖像可得出：從(vt)圖像可得出：(1)任意時刻的速度。(2)任意一段時間內(nèi)的位移，時間內(nèi)的位移等于vt圖線，時刻與橫軸所圍的“面積”。這一結(jié)論對非勻變速直線運動同樣成立。(3)加速度，vt圖線的斜率等于加速度的值。若為非勻變速直線運動，則vt圖線任一點切線的斜率即為該時刻的瞬時加速度的大小。§2.2 運動的合成與分解相對運動221、運動的合成與分解(1)矢量的合成與分解矢量的合成與分解的基本方法是平行四邊形法則，即兩分量構(gòu)成平行四邊形的兩鄰邊，合矢量為該平行四邊形與兩分量共點的對角線。由平行四邊形法則又衍生出三角形法則，多個矢量

6、的合成又可推導出多邊形法則。同一直線上的矢量的合成與分解可以簡化為代數(shù)運算，由此，不在同一直線上的矢量的合成與分解一般通過正交分解法進行運算，即把各個矢量向互相垂直的坐標軸投影，先在各軸上進行代數(shù)運算之后，再進行矢量運算。(2)運動的合成和分解運動的合成與分解是矢量的合成與分解的一種。運動的合成與分解一般包括位移、速度、加速度等的合成與分解。運動的合成與分解的特點主要有：運動的合成與分解總是與力的作用相對應的；各個分運動有互不相干的性質(zhì)，即各個方向上的運動與其他方向的運動存在與否無關(guān)，這與力的獨立作用原理是對應的；位移等物理量是在一段時間內(nèi)才可完成的，故他們的合成與分解要講究等時性，即各個運動

7、要取相同時間內(nèi)的位移；瞬時速度等物理量是指某一時刻的，故它們的合成分解要講究瞬時性，即必須取同一時刻的速度。兩直線運動的合成不一定就是直線運動，這一點同學們可以證明。如：兩勻速直線運動的合成仍為勻速直線運動；兩初速為零（同一時刻）的勻加速直線運動的合成仍為初速為零的勻加速直線運動；在同一直線上的一個勻速運動和一個初速為零的勻變速運動的合運動是一個初速不為零的勻變速直線運動，如：豎上拋與豎下拋運動；不在同一直線上的一個勻速運動與一個初速為零的勻加速直線運動的合成是一個曲線運動，如：斜拋運動。222、相對運動任何物體的運動都是相對于一定的參照系而言的，相對于不同的參照系，同一物體的運動往往具有不同

8、的特征、不同的運動學量。通常將相對觀察者靜止的參照系稱為靜止參照系；將相對觀察者運動的參照系稱為運動參照系。物體相對靜止參照系的運動稱為絕對運動，相應的速度和加速度分別稱為絕對速度和絕對加速度；物體相對運動參照系的運動稱為相對運動，相應的速度和加速度分別稱為相對速度和相對加速度；而運動參照系相對靜止參照系的運動稱為牽連運動，相應的速度和加速度分別稱為牽連速度和牽連加速度。絕對運動、相對運動、牽連運動的速度關(guān)系是：絕對速度等于相對速度和牽連速度的矢量和。這一結(jié)論對運動參照系是相對于靜止參照系作平動還是轉(zhuǎn)動都成立。當運動參照系相對靜止參照系作平動時，加速度也存在同樣的關(guān)系：當運動參照系相對靜止參照

9、系作轉(zhuǎn)動時，這一關(guān)系不成立。如果有一輛平板火車正在行駛，速度為（腳標“火地”表示火車相對地面，下同）。有一個大膽的駕駛員駕駛著一輛小汽車在火車上行駛，相對火車的速度為，那么很明顯，汽車相對地面的速度為：（注意：和不一定在一條直線上）如果汽車中有一只小狗，以相對汽車為的速度在奔跑，那么小狗相對地面的速度就是從以上二式中可看到，上列相對運動的式子要遵守以下幾條原則：合速度的前腳標與第一個分速度的前腳標相同。合速度的后腳標和最后一個分速度的后腳標相同。前面一個分速度的后腳標和相鄰的后面一個分速度的前腳標相同。所有分速度都用矢量合成法相加。速度的前后腳標對調(diào)，改變符號。以上求相對速度的式子也同樣適用于

10、求相對位移和相對加速度。相對運動有著非常廣泛的應用，許多問題通過它的運用可大為簡化，以下舉兩個例子。60º30ºvB=20m/svA=10m/s圖2-2-1例 如圖2-2-1所示，在同一鉛垂面上向圖示的兩個方向以的初速度拋出A、B兩個質(zhì)點，問1s后A、B相距多遠？這道題可以取一個初速度為零，當A、B拋出時開始以加速度g向下運動的參考系。在這個參考系中，A、B二個質(zhì)點都做勻速直線運動，而且方向互相垂直，它們之間的距離m在空間某一點O，向三維空間的各個方向以相同的速度射出很多個小球，球ts之后這些小球中離得最遠的二個小球之間的距離是多少（假設(shè)ts之內(nèi)所有小球都未與其它物體碰撞）

11、？這道題初看是一個比較復雜的問題，要考慮向各個方向射出的小球的情況。但如果我們?nèi)∫粋€在小球射出的同時開始自O(shè)點自由下落的參考系，所有小球就都始終在以O(shè)點為球心的球面上，球的半徑是，那么離得最遠的兩個小球之間的距離自然就是球的直徑2。§2.3拋體運動231、曲線運動的基本知識PQO1R1O2a1a2b1b2圖2-3-1 軌跡為曲線的運動叫曲線運動。它一定是一個變速運動。圖2-3-1表示一質(zhì)點作曲線運動，它經(jīng)過P點時，在P點兩旁的軌跡上取兩點，過三點可作一圓，當這兩點無限趨近于P點時，則圓亦趨近于一個定圓，我們把這個圓叫P點的曲率圓，曲率圓的半徑叫P點的曲率半徑，曲率圓的圓心叫

12、P點的曲率中心，曲率半徑的倒數(shù)叫P點的曲率。如圖2-3-1，亦可做出Q點的曲率圓。曲率半徑大，曲率小，表示曲線彎曲較緩，曲率半徑小，曲率大，表示曲線彎曲厲害。直線可認為是曲率半徑為無窮大的曲線。AVAVBV1VBV2CVB圖2-3-2質(zhì)點做曲線運動的瞬時速度的方向總是沿該點的切線方向。如圖2-3-2所示，質(zhì)點在t時間內(nèi)沿曲線由A點運動到B點，速度由V變化到VB，則其速度增量為兩者之矢量差，=VBV，這個速度增量又可分解成兩個分量：在VB上取一段AC等于V，則V分解成V和V，其中V表示質(zhì)點由A運動到B的速度方向上的增量，V表示速度大小上的增量。法向加速度a表示質(zhì)點作曲線運動時速度方向改變的快慢，

13、其大小為在A點的曲率圓的向心加速度：其方向指向A點的曲率中心。切向加速度表示質(zhì)點作曲線運動時速度大小改變的快慢，方向亦沿切線方向，其大小為總加速度a方法向加速度和切向加速度的矢量和。232、拋物運動是曲線運動的一個重要特例物體以一定的初速度拋出后，若忽略空氣阻力，且物體的運動在地球表面附近，它的運動高度遠遠小于地球半徑，則在運動過程中，其加速度恒為豎直向下的重力加速度。因此，拋體運動是一種加速度恒定的曲線運動。根據(jù)運動的疊加原理，拋體運動可看成是由兩個直線運動疊加而成。常用的處理方法是:將拋體運動分解為水平方向的勻速直線運動和豎直方向的勻變速直線運動。如圖2-3-3。取拋物軌跡所在平面為平面，

14、拋出點為坐標原點，水平方向為x軸，豎直方向為y軸。則拋體運動的規(guī)律為：其軌跡方程為這是開口向下的拋物線方程。在拋出點和落地點在同一水平面上的情況下，飛行時間T，射程R和射高H分別為 拋體運動具有對稱性，上升時間和下降時間（拋出點與落地點在同一水平面上）相等（一般地，從某一高度上升到最高點和從最高點下降到同一高度的時間相等）；上升和下降時經(jīng)過同一高度時速度大小相等，速度方向與水平方向的夾角大小相等。下面介紹一種特殊的拋體運動平拋運動：質(zhì)點只在重力作用下，且具有水平方向的初速度的運動叫平拋運動。它可以看成水平方向上的勻速運動（速度為v0）與豎直方向上的自由落體運動的合成。xyOV0gVVxVy圖2

15、-3-4速度：采用水平豎直方向的直角坐標可得： ，其合速度的大小為，其合速度的方向為（設(shè)水平方向夾角為），可見，當時，即表示速度趨近于自由落體的速度。位移：仍按上述坐標就有，。仿上面討論也可得到同樣結(jié)論，當時間很長時，平拋運動趨近于自由落體運動。加速度：采用水平和豎直方向直角坐標系有,，用自然坐標進行分解，如圖2-3-4其法向加速度為，切向加速度為，為速度與水平向方的夾角，將速度在水平與豎直方向的坐標系中分解可知：由此可知，其法向加速度和切向加速度分別為：由上兩式可以看出，隨著時間的推移，法向加速度逐漸變小趨近于零，切向加速度趨近于定值g，這表示越來越接近豎直下拋運動。在生活中也很容易看到，平

16、拋物體的遠處時就接近豎直下落了。運動的軌跡方程：ABCsh圖2-3-5從方程可以看出，此圖線是拋物線，過原點，且越大，圖線張開程度大，即射程大。根據(jù)運動的獨立性，經(jīng)常把斜拋運動分解成水平方向勻速直線運動和豎直方向上的豎直上拋運動來處理，但有時也可以用其它的分解分法。拋體運動另一種常用的分解方法是：分解沿方向的速度為的勻速直線運動和沿豎直方向的自由落體運動二個分運動。如圖2-3-5所示，從A點以的初速度拋出一個小球，在離A點水平距離為s處有一堵高度為h的墻BC，要求小球能越過B點。問小球以怎樣的角度拋出，才能使最小？將斜拋運動看成是方向的勻速直線運動和另一個自由落體運動的合運動，如圖2-3-6所

17、示。ABChD圖2-3-6在位移三角形ADB在用正弦定理 軌跡：由直角坐標的位移公式消去時間參數(shù)t便可得到直角坐標系中的平拋運由式中第一個等式可得 將式代入式中第二個等式當有極大值1時，即時，有極小值。因為，所以當小球越過墻頂時，y方向的位移為零，由式可得式代入式：我們還可用另一種處理方法以AB方向作為x軸（圖2-3-7）這樣一取，小球在x、y方向上做的都是勻變速運動了，和g都要正交分解到x、y方向上去。小球運動的方程為ABCxyg圖2-3-7當最大，即時，有極小值 §2.4質(zhì)點的圓周運動xyOPR圖2-4-1剛體平面平行運動與定軸轉(zhuǎn)動241、質(zhì)點的圓周運動(1)勻速圓周運

18、動如圖2-4-1所示，質(zhì)點P在半徑為R的圓周上運動時，它的位置可用角度表示（習慣上以逆時針轉(zhuǎn)角正，順時針轉(zhuǎn)角為負），轉(zhuǎn)動的快慢用角速度表示：質(zhì)點P的速度方向在圓的切線方向，大小為（或v）為常量的圓周運動稱為勻速圓周運動。這里的“勻速”是指勻角速度或勻速率，速度的方向時刻在變。因此，勻速圓周運動的質(zhì)點具有加速度，其加速度沿半徑指向圓心，稱為向心加速度（法向加速度）。向心加速度只改變速度的方向，不改變速度的大小。(2)變速圓周運動 （或v）隨時間變化的圓周運動，稱為變速圓周運動，描述角速度變化快慢的物理量為角加速度質(zhì)點作變速圓周運動時，速度的大小和方向都在變化。將速度增量分解為與平行的分量和垂直的

19、分量，如圖2-4-2。相當于勻速圓周運動個的,的大小為PR圖2-4-2=V1V2V1圖242PR質(zhì)點P的加速度為其中就是切向加速度和法向加速度。為常量的圓周運動，稱為勻變速圓周運動，類似于變速直線運動的規(guī)律，有OAR圖2-4-3(3)圓周運動也可以分解為二個互相垂直方向上的分運動。參看圖2-4-3一個質(zhì)點A在t=0時刻從x正方向開始沿圓周逆時針方向做勻速圓周運動，在x方向上在y方向上： ABSAS（a）        （b） 圖2-4-4從x和y方向上的位移、速度和加速度時間t表達的參數(shù)方程可以看出：勻速圓周運動可以分為兩個

20、互相垂直方向上的簡諧運動，它們的相位相差242、剛體的平面平行運動剛體平面平行運動的特征是，剛體上的任意質(zhì)點都作平行于一個固定平面的運動。如圓柱沿斜面的滾動，即為平面平行運動。可取剛體上任意平行于固定平面的截面作為研究對象。剛體的平面平行運動，常有兩種研究方法：一種是看成隨基點（截面上任意一點都可作為基點）的平動和繞基點的轉(zhuǎn)動的合運動；另一種是選取截面上的瞬時轉(zhuǎn)動中心S（簡稱瞬心）為基點。瞬心即指某瞬間截面上速度為零的點。這樣，剛體的平面平行運動看成僅作繞瞬心的轉(zhuǎn)動。確定瞬心的方法有兩種：如圖2-4-4(a)所示，若已知截面上兩點的速度，則與兩速度方向垂直的直線的交點即為瞬心?；蛉鐖D2-4-4

21、(b)所示，已知截面轉(zhuǎn)動的角速度及截面上某一點A的速度，則在與速度垂直的直線上，與A點距離為的點即為瞬心。注意，瞬心的速度為零，加速度不一定為零。243、剛體的定軸轉(zhuǎn)動剛體運動時，剛體上或其延展部分有一根不動直線，該直線稱為定軸，剛體繞這一軸轉(zhuǎn)動。剛體作定軸轉(zhuǎn)動時，其上各點都在與軸垂直的平面內(nèi)作圓周運動，各點作圓周運動的半徑不同，在某一時刻，剛體上所有各點的角位移、角速度和角加速度都是相同的。而各點的線位移、線速度和線加速度則隨各點離開轉(zhuǎn)軸的垂直距離不同而不同。244、一些求曲率半徑的特殊方法先看橢圓曲線，要求其兩頂點處的曲率半徑。介紹以下兩種方法：(1)將橢圓看成是半徑R=A（設(shè)AB）的圓在

22、平面上的投影，圓平面和平面的夾角滿足關(guān)系式（如圖2-4-5）xypQ如圖2-4-5設(shè)一個質(zhì)點以速率v在圓上做勻速圓周運動，則向心加速度，從上圖中可以看出，當頂點的投影在橢圓的長軸（x軸）上的P點時，其速率和加速度分別為： ， 當質(zhì)點的投影在橢圓的短軸（y軸）上的Q點時，其速率和加速度分別為：QPABxy圖2-4-6 。因此橢圓曲線在P、Q的曲率半徑分別為： (2)將橢圓看成是二個簡諧運動的合成，可以把橢圓的參數(shù)方程（設(shè)AB）（如圖2-4-6） 可改寫為 即可進一步寫出x，y二個方程的速度v和加速度a：那么在長軸端點P處（）的曲率半徑：在短軸端點Q處（）的曲率半徑再把拋物線y=Ax，要求其任意一

23、點的曲率半徑（如圖2-4-7）因為拋物線可以寫作參數(shù)方程其中，這樣就可以導出 對任意一個t值： v=xy圖2-4-7a=acos=a所以這一點的曲率半徑將t=代入，可得 因為，所以拋物線y=Ax上任意一點的曲率半徑§25幾種速度的特殊求法251、相關(guān)的速度AB圖2-5-1當繩端在做既不沿繩方向，又不垂直于繩方向的運動時，一般要將繩端的運動分解為沿繩方向和垂直于繩方向二個分運動。如圖2-5-1所示的情況，繩AB拉著物體m在水平面上運動，A端以速度v做勻速運動，問m做什么運動？有的同學會將繩的速度v分解成豎直分速度vsina和水平分速度vcosa，以為木塊的速度(u<v)這是錯誤的。因為實際上木塊并沒有一個向上的分速度。應該將繩端B實際上的水平速度分解成沿繩方向的分速v=和垂直于繩的分速v=，v使繩子縮短，所以v=v，v使繩子圍繞滑輪轉(zhuǎn)動。因此，而且隨著a