2018--中考?jí)狠S題2.1--由比例線段產(chǎn)生的函數(shù)關(guān)系問(wèn)題

1、2.1 由比例線段產(chǎn)生的函數(shù)關(guān)系問(wèn)題例1 2017年呼和浩特市中考第25題已知拋物線yx2(2m1)xm21經(jīng)過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)，且當(dāng)0時(shí)，y隨x的增大而減小。（自己作圖）（1）求拋物線的解析式，并寫(xiě)出y < 0時(shí)，對(duì)應(yīng)x的取值范圍；（2）設(shè)點(diǎn)A是該拋物線上位于x軸下方的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)A作x軸的平行線交拋物線于另一點(diǎn)D，再作ABx軸于點(diǎn)B， DCx軸于點(diǎn)C. 當(dāng)BC1時(shí)，直接寫(xiě)出矩形ABCD的周長(zhǎng)；設(shè)動(dòng)點(diǎn)A的坐標(biāo)為(a, b)，將矩形ABCD的周長(zhǎng)L表示為a的函數(shù)并寫(xiě)出自變量的取值范圍，判斷周長(zhǎng)是否存在最大值，如果存在，求出這個(gè)最大值，并求出此時(shí)點(diǎn)A的坐標(biāo)；如果不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由例2 2018年

2、上海市靜安區(qū)中考模擬第24題已知O的半徑為3，P與O相切于點(diǎn)A，經(jīng)過(guò)點(diǎn)A的直線與O、P分別交于點(diǎn)B、C，cosBAO設(shè)P的半徑為x，線段OC的長(zhǎng)為y（1）求AB的長(zhǎng)；（2）如圖1，當(dāng)P與O外切時(shí)，求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式，并寫(xiě)出函數(shù)的定義域；（3）當(dāng)OCAOPC時(shí)，求P的半徑圖1例3 2017年寧波市中考第26題如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)A的坐標(biāo)為(0,4)，點(diǎn)B的坐標(biāo)為(4,0)，點(diǎn)C的坐標(biāo)為(4,0)，點(diǎn)P在射線AB上運(yùn)動(dòng)，連結(jié)CP與y軸交于點(diǎn)D，連結(jié)BD過(guò)P、D、B三點(diǎn)作Q，與y軸的另一個(gè)交點(diǎn)為E，延長(zhǎng)DQ交Q于F，連結(jié)EF、BF（1）求直線AB的函數(shù)解析式；（2）當(dāng)點(diǎn)

3、P在線段AB（不包括A、B兩點(diǎn)）上時(shí)求證：BDEADP；設(shè)DEx，DFy，請(qǐng)求出y關(guān)于x的函數(shù)解析式；（3）請(qǐng)你探究：點(diǎn)P在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，是否存在以B、D、F為頂點(diǎn)的直角三角形，滿足兩條直角邊之比為21？如果存在，求出此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)；如果不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由 例4 2018年上海市徐匯區(qū)中考模擬第25題在RtABC中，C90°，AC6，B的半徑長(zhǎng)為1，B交邊CB于點(diǎn)P，點(diǎn)O是邊AB上的動(dòng)點(diǎn)（1）如圖1，將B繞點(diǎn)P旋轉(zhuǎn)180°得到M，請(qǐng)判斷M與直線AB的位置關(guān)系；（2）如圖2，在（1）的條件下，當(dāng)OMP是等腰三角形時(shí)，求OA的長(zhǎng)； （3）如圖3，點(diǎn)N是邊BC上的動(dòng)點(diǎn)，如果以NB為

4、半徑的N和以O(shè)A為半徑的O外切，設(shè)NBy，OAx，求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式及定義域圖1 圖2 圖32.1 由比例線段產(chǎn)生的函數(shù)關(guān)系問(wèn)題答案例1 2017年呼和浩特市中考第25題已知拋物線yx2(2m1)xm21經(jīng)過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)，且當(dāng)0時(shí)，y隨x的增大而減小。（1）求拋物線的解析式，并寫(xiě)出y < 0時(shí)，對(duì)應(yīng)x的取值范圍；（2）設(shè)點(diǎn)A是該拋物線上位于x軸下方的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)A作x軸的平行線交拋物線于另一點(diǎn)D，再作ABx軸于點(diǎn)B， DCx軸于點(diǎn)C. 當(dāng)BC1時(shí)，直接寫(xiě)出矩形ABCD的周長(zhǎng)；設(shè)動(dòng)點(diǎn)A的坐標(biāo)為(a, b)，將矩形ABCD的周長(zhǎng)L表示為a的函數(shù)并寫(xiě)出自變量的取值范圍，判斷周長(zhǎng)是否存在最大值

5、，如果存在，求出這個(gè)最大值，并求出此時(shí)點(diǎn)A的坐標(biāo)；如果不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由動(dòng)感體驗(yàn)請(qǐng)打開(kāi)幾何畫(huà)板文件名“15呼和浩特25”，拖動(dòng)點(diǎn)A在x軸下方的拋物線上運(yùn)動(dòng)，觀察L隨a變化的圖像，可以體驗(yàn)到，有兩個(gè)時(shí)刻，L取得最大值，這兩個(gè)時(shí)刻的點(diǎn)A關(guān)于拋物線的對(duì)稱軸對(duì)稱思路點(diǎn)撥1先用含a的式子表示線段AB、AD的長(zhǎng)，再把L表示為a的函數(shù)關(guān)系式2點(diǎn)A與點(diǎn)D關(guān)于拋物線的對(duì)稱軸對(duì)稱，根據(jù)對(duì)稱性，點(diǎn)A的位置存在兩個(gè)情況滿分解答（1）因?yàn)閽佄锞€yx2(2m1)xm21經(jīng)過(guò)原點(diǎn)，所以m210解得m±1。如圖1，當(dāng)m1時(shí)，拋物線yx2x的對(duì)稱軸在y軸左側(cè)，不符合當(dāng)x0時(shí)，y隨x的增大而減小。當(dāng)m1時(shí)，拋物線yx2

6、3x符合條件。圖1 圖2 圖3（2）當(dāng)BC1時(shí)，矩形ABCD的周長(zhǎng)為6。如圖2，拋物線yx23x的對(duì)稱軸為直線，如果點(diǎn)A在對(duì)稱軸的左側(cè)，那么。解得。所以AD32a。當(dāng)xa時(shí)，yx23xa23a。所以AB3aa2。所以L矩形ABCD的周長(zhǎng)2(ABAD)2(3aa232a)。因此當(dāng)時(shí)，L的最大值為。此時(shí)點(diǎn)A的坐標(biāo)為。如圖3，根據(jù)對(duì)稱性，點(diǎn)A的坐標(biāo)也可以是?？键c(diǎn)伸展第（2）題的思路是：如圖2，拋物線的對(duì)稱軸是直線，當(dāng)BC1時(shí)，點(diǎn)B的坐標(biāo)為(1, 0)，此時(shí)點(diǎn)A的橫坐標(biāo)為1，可以求得AB2。第（2）題中，L隨a變化的圖像如圖4所示。圖4例2 2018年上海市靜安區(qū)中考模擬第24題圖1已知O的半徑為3，

7、P與O相切于點(diǎn)A，經(jīng)過(guò)點(diǎn)A的直線與O、P分別交于點(diǎn)B、C，cosBAO設(shè)P的半徑為x，線段OC的長(zhǎng)為y（1）求AB的長(zhǎng)；（2）如圖1，當(dāng)P與O外切時(shí)，求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式，并寫(xiě)出函數(shù)的定義域；（3）當(dāng)OCAOPC時(shí)，求P的半徑 動(dòng)感體驗(yàn)請(qǐng)打開(kāi)幾何畫(huà)板文件名“14靜安24”，拖動(dòng)圓心P運(yùn)動(dòng)，可以體驗(yàn)到，OAB與PAC保持相似，OCA的大小保持不變兩圓外切和內(nèi)切，各存在一次OPCOCA從圖像中可以體驗(yàn)到，當(dāng)兩圓外切時(shí)，y隨x的增大而增大思路點(diǎn)撥1第（1）題求弦AB的長(zhǎng)，自然想到垂徑定理或三線合一2第（2）題構(gòu)造直角三角形，使得y成為斜邊長(zhǎng)，再用勾股定理3第（3）題兩圓外切可以直接用第（2）的結(jié)

8、論，兩圓內(nèi)切再具體分析4不論兩圓外切還是內(nèi)切，兩個(gè)等腰OAB與PAC相似滿分解答（1）如圖2，作OEAB，垂足為E，由垂徑定理，得AB2AE在RtAOE中，cosBAO，AO3，所以AE1所以AB2（2）如圖2，作CHAP，垂足為H由OABPAC，得所以所以在RtACH中，由cosCAH，得所以，在RtOCH中，由OC2OH2CH2，得整理，得定義域?yàn)閤0圖2 圖3（3）如圖3，當(dāng)P與O外切時(shí)，如果OCAOPC，那么OCAOPC因此所以解方程，得此時(shí)P的半徑為如圖4，圖5，當(dāng)P與O內(nèi)切時(shí)，同樣的OABPAC，如圖5，圖6，如果OCAOPC，那么ACOAPC所以因此解方程，得此時(shí)P的半徑為圖4

9、圖5 圖6考點(diǎn)伸展第（3）題也可以這樣思考：如圖4，圖5，圖6，當(dāng)OCAOPC時(shí)，3個(gè)等腰三角形OAB、PAC、CAO都相似，每個(gè)三角形的三邊比是332這樣，CAO的三邊長(zhǎng)為、3PAC的三邊長(zhǎng)為、例3 2017年寧波市中考第26題如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)A的坐標(biāo)為(0,4)，點(diǎn)B的坐標(biāo)為(4,0)，點(diǎn)C的坐標(biāo)為(4,0)，點(diǎn)P在射線AB上運(yùn)動(dòng)，連結(jié)CP與y軸交于點(diǎn)D，連結(jié)BD過(guò)P、D、B三點(diǎn)作Q，與y軸的另一個(gè)交點(diǎn)為E，延長(zhǎng)DQ交Q于F，連結(jié)EF、BF（1）求直線AB的函數(shù)解析式；（2）當(dāng)點(diǎn)P在線段AB（不包括A、B兩點(diǎn)）上時(shí)求證：BDEADP；設(shè)DEx，DFy，請(qǐng)求出y關(guān)

10、于x的函數(shù)解析式；（3）請(qǐng)你探究：點(diǎn)P在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，是否存在以B、D、F為頂點(diǎn)的直角三角形，滿足兩條直角邊之比為21？如果存在，求出此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)；如果不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由 圖1 動(dòng)感體驗(yàn)請(qǐng)打開(kāi)幾何畫(huà)板文件名“13寧波26”，拖動(dòng)點(diǎn)P在射線AB上運(yùn)動(dòng)，可以體驗(yàn)到，DEF保持等腰直角三角形的形狀，y是x的一次函數(shù)觀察BDBF的度量值，可以體驗(yàn)到，BDBF可以等于2，也可以等于0.5請(qǐng)打開(kāi)超級(jí)畫(huà)板文件名“13寧波26”，拖動(dòng)點(diǎn)P在射線AB上運(yùn)動(dòng)，可以體驗(yàn)到，DEF保持等腰直角三角形的形狀觀察BDBF的度量值，可以體驗(yàn)到，BDBF可以等于2，也可以等于0.5答案（1）直線AB的函數(shù)解析式為yx4（2）

11、如圖2，BDECDEADP；如圖3，ADPDEPDPE，如圖4，BDEDBPA，因?yàn)镈EPDBP，所以DPEA45°所以DFEDPE45°因此DEF是等腰直角三角形于是得到圖2 圖3 圖4（3）如圖5，當(dāng)BDBF21時(shí)，P(2,2)思路如下：由DMBBNF，知設(shè)OD2m，F(xiàn)Nm，由DEEF，可得2m24m解得因此再由直線CD與直線AB求得交點(diǎn)P(2,2)如圖6，當(dāng)BDBF12時(shí)，P(8,4)思路同上圖5 圖6例4 2018年上海市徐匯區(qū)中考模擬第25題在RtABC中，C90°，AC6，B的半徑長(zhǎng)為1，B交邊CB于點(diǎn)P，點(diǎn)O是邊AB上的動(dòng)點(diǎn)（1）如圖1，將B繞點(diǎn)P旋

12、轉(zhuǎn)180°得到M，請(qǐng)判斷M與直線AB的位置關(guān)系；（2）如圖2，在（1）的條件下，當(dāng)OMP是等腰三角形時(shí)，求OA的長(zhǎng)； （3）如圖3，點(diǎn)N是邊BC上的動(dòng)點(diǎn)，如果以NB為半徑的N和以O(shè)A為半徑的O外切，設(shè)NBy，OAx，求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式及定義域圖1 圖2 圖3動(dòng)感體驗(yàn)請(qǐng)打開(kāi)幾何畫(huà)板文件名“12徐匯25”，拖動(dòng)點(diǎn)O在AB上運(yùn)動(dòng)，觀察OMP的三個(gè)頂點(diǎn)與對(duì)邊的垂直平分線的位置關(guān)系，可以體驗(yàn)到，點(diǎn)O和點(diǎn)P可以落在對(duì)邊的垂直平分線上，點(diǎn)M不能請(qǐng)打開(kāi)超級(jí)畫(huà)板文件名“12徐匯25”， 分別點(diǎn)擊“等腰”按鈕的左部和中部，觀察三個(gè)角度的大小，可得兩種等腰的情形點(diǎn)擊“相切”按鈕，可得y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系

13、思路點(diǎn)撥1B的三角比反復(fù)用到，注意對(duì)應(yīng)關(guān)系，防止錯(cuò)亂2分三種情況探究等腰OMP，各種情況都有各自特殊的位置關(guān)系，用幾何說(shuō)理的方法比較簡(jiǎn)單3探求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式，作OBN的邊OB上的高，把OBN分割為兩個(gè)具有公共直角邊的直角三角形滿分解答（1） 在RtABC中，AC6，所以AB10，BC8過(guò)點(diǎn)M作MDAB，垂足為D在RtBMD中，BM2，所以因此MDMP，M與直線AB相離 圖4（2）如圖4，MOMDMP，因此不存在MOMP的情況如圖5，當(dāng)PMPO時(shí)，又因?yàn)镻BPO，因此BOM是直角三角形在RtBOM中，BM2，所以此時(shí)如圖6，當(dāng)OMOP時(shí)，設(shè)底邊MP對(duì)應(yīng)的高為OE在RtBOE中，BE，所以此時(shí)圖5 圖6（3）如圖7，過(guò)點(diǎn)N作