第五節(jié)函數(shù)展開成冪級數(shù)及其應用

1、高等數(shù)學高等數(shù)學主講教師主講教師 數(shù)學學院數(shù)學學院 魏毅強魏毅強 教授教授聯(lián)系電話聯(lián)系電話Email : Yiqiang Wei 2統(tǒng)計學第第七七章章 無窮級數(shù)無窮級數(shù) Yiqiang Wei 4v 7.1 常數(shù)項級數(shù)的概念與性質常數(shù)項級數(shù)的概念與性質v 7.2 正項級數(shù)正項級數(shù)v 7.3 任意項級數(shù)任意項級數(shù)v 7.4 冪級數(shù)冪級數(shù)v 7.5 函數(shù)展開成冪級數(shù)函數(shù)展開成冪級數(shù)及其應用及其應用v 7.6 函數(shù)的冪級數(shù)展開式的應用函數(shù)的冪級數(shù)展開式的應用v 7.7 函數(shù)項級數(shù)的一致收斂性及一致收斂級數(shù)的函數(shù)項級數(shù)的一致收斂性及一致收斂級數(shù)的 基本性質基本性質v 7.8

2、傅里葉級數(shù)傅里葉級數(shù)v 7.9 正弦級數(shù)與余弦級數(shù)正弦級數(shù)與余弦級數(shù)v 7.10 以以2l為周期的周期函數(shù)的傅里葉級數(shù)為周期的周期函數(shù)的傅里葉級數(shù)目錄目錄 Yiqiang Wei 5學習學習的基本要求和預期的基本要求和預期目標目標v 1）理解無窮級數(shù)收斂、發(fā)散的概念及，理解無窮級數(shù)和）理解無窮級數(shù)收斂、發(fā)散的概念及，理解無窮級數(shù)和的概念，掌握級數(shù)的基本性質及收斂的必要條件。的概念，掌握級數(shù)的基本性質及收斂的必要條件。v 2）熟悉幾何級數(shù)與級數(shù)的收斂性。）熟悉幾何級數(shù)與級數(shù)的收斂性。v 3）掌握正項級數(shù)的比較審斂法，掌握正項級數(shù)的比值審）掌握正項級數(shù)的比較審斂法，掌握正項級數(shù)的比值審斂法，回用根

3、式審斂法。斂法，回用根式審斂法。v 4）掌握交錯級數(shù)的萊布尼茲定理。）掌握交錯級數(shù)的萊布尼茲定理。v 5）了解級數(shù)絕對收斂和條件收斂的概念，以及絕對收斂）了解級數(shù)絕對收斂和條件收斂的概念，以及絕對收斂和收斂的關系。和收斂的關系。v 6）了解函數(shù)項級數(shù)的收斂域及和函數(shù)的概念。）了解函數(shù)項級數(shù)的收斂域及和函數(shù)的概念。v 7）理解冪級數(shù)收斂半徑的概念，掌握冪級數(shù)的收斂半徑、）理解冪級數(shù)收斂半徑的概念，掌握冪級數(shù)的收斂半徑、收斂區(qū)間及收斂域的求法。收斂區(qū)間及收斂域的求法。Yiqiang Wei 6學習學習的基本要求和預期的基本要求和預期目標目標v 8）了解冪級數(shù)在其收斂區(qū)間內的一些基本性質，會求一）了

4、解冪級數(shù)在其收斂區(qū)間內的一些基本性質，會求一些冪級數(shù)在收斂區(qū)間內的和函數(shù)，并會由此求出某些數(shù)項些冪級數(shù)在收斂區(qū)間內的和函數(shù)，并會由此求出某些數(shù)項級數(shù)的和。級數(shù)的和。v 9）了解函數(shù)展開為泰勒級數(shù)的必要條件和充分條件。）了解函數(shù)展開為泰勒級數(shù)的必要條件和充分條件。v 10）掌握的麥克勞林展開式，會用它們將一些簡單函數(shù)展）掌握的麥克勞林展開式，會用它們將一些簡單函數(shù)展開為冪級數(shù)。開為冪級數(shù)。v 11) 了解冪級數(shù)在近似計算中的簡單應用。了解冪級數(shù)在近似計算中的簡單應用。v 12）理解付氏級數(shù)的概念，狄利克雷定理，函數(shù)展開為付）理解付氏級數(shù)的概念，狄利克雷定理，函數(shù)展開為付氏級數(shù)的充分條件，會將定義

5、在上的函數(shù)展開為付氏級數(shù)，氏級數(shù)的充分條件，會將定義在上的函數(shù)展開為付氏級數(shù)，會將定義在上的函數(shù)展開為正弦和余弦級數(shù)，會寫出付氏會將定義在上的函數(shù)展開為正弦和余弦級數(shù)，會寫出付氏級數(shù)和函數(shù)的表達式。級數(shù)和函數(shù)的表達式。Yiqiang Wei 77.5.2 泰勒級數(shù)泰勒級數(shù)7.5.4 函數(shù)冪級數(shù)展開式的應用函數(shù)冪級數(shù)展開式的應用7.5 函數(shù)展開成冪級數(shù)函數(shù)展開成冪級數(shù)及其應用及其應用7.5.3 函數(shù)展開成冪級數(shù)函數(shù)展開成冪級數(shù)7.5.5 歐拉公式歐拉公式 7.5.1 問題的提出問題的提出Yiqiang Wei 8 本節(jié)討論的問題是：給定函數(shù)本節(jié)討論的問題是：給定函數(shù)f(x)，要考慮是否能找到，要

6、考慮是否能找到這樣一個冪級數(shù)，它在某區(qū)間內收斂，且其和恰好就是給這樣一個冪級數(shù)，它在某區(qū)間內收斂，且其和恰好就是給定的函數(shù)定的函數(shù) f(x) 如果能找到這樣的冪級數(shù)，我們就說，函如果能找到這樣的冪級數(shù)，我們就說，函數(shù)數(shù)f(x)在該區(qū)間內能展開成冪級數(shù)在該區(qū)間內能展開成冪級數(shù)7.5 函數(shù)展開成冪級數(shù)函數(shù)展開成冪級數(shù)及其應用及其應用7.5.1 問題的提出問題的提出Yiqiang Wei 97.5 函數(shù)展開成冪級數(shù)函數(shù)展開成冪級數(shù)及其應用及其應用定理定理5.1(泰勒泰勒Taylor中值定理中值定理) 泰勒泰勒 英國英國數(shù)學家數(shù)學家. 16851731如果函數(shù)如果函數(shù)f(x)在含有在含有x0的某個開區(qū)

7、間的某個開區(qū)間(a, b)內具內具有直到有直到(n1)的階導數(shù)，則當?shù)碾A導數(shù)，則當x 在在(a, b)內時，內時，f(x)可以表示為可以表示為(xx0)的一個的一個n次多項式與一個次多項式與一個余項余項Rn(x)之和：之和：)()()(xRxPxfnnnnnxxxfnxxxfxfxP)(!1)()()(00)(000泰勒多項式泰勒多項式10)1()()!1(1)(nnnxxfnxR這里這里 是是x0與與x 之間的某個值之間的某個值泰勒余項泰勒余項Yiqiang Wei 107.5.2 泰勒級數(shù)泰勒級數(shù)7.5 函數(shù)展開成冪級數(shù)函數(shù)展開成冪級數(shù)及其應用及其應用 注：注：只要函數(shù)有導數(shù)就會有泰勒級數(shù)

8、，只要函數(shù)有導數(shù)就會有泰勒級數(shù)，除了除了xx0外，外，f(x)的的泰勒級數(shù)是否收斂泰勒級數(shù)是否收斂? 如果收斂，它是否一定收斂于如果收斂，它是否一定收斂于f(x)? 定義定義5.1 如果如果 f(x) 在點在點 x0 的某鄰域內具有的某鄰域內具有任意任意階導數(shù)階導數(shù) f (x)，f (x)， ，f (n)(x )， ，則記則記稱稱這一級數(shù)為這一級數(shù)為 f(x) 在點在點 x0 的的泰勒泰勒級數(shù)級數(shù)。特別，當。特別，當x0=0時，時，稱為稱為麥克勞林級數(shù)麥克勞林級數(shù)，其系數(shù)稱為，其系數(shù)稱為泰勒（泰勒（麥克勞林）系麥克勞林）系數(shù)數(shù)nnxxxfnxxxfxf)(!1)()(00)(000nnxfnx

9、ff)0(!1)0()0()(Yiqiang Wei 117.5 函數(shù)展開成冪級數(shù)函數(shù)展開成冪級數(shù)及其應用及其應用由數(shù)學歸納法由數(shù)學歸納法例例5.1 設函設函數(shù)數(shù) 證明證明 f(x) 任意階可導，任意階可導，并且并且 f(n)(0)=0，進一步有麥克勞林級數(shù)和為進一步有麥克勞林級數(shù)和為S(x)=0.0, 00,)(21xxexfx0, 00,2)(213xxexxfx0, 00,)()()(21)(xxexpxqxfxn一般地，一般地， 其中其中p(x),q(x)為多項式為多項式進一步有麥克勞林級數(shù)為進一步有麥克勞林級數(shù)為0)0(!1)0()0()(nnxfnxffYiqiang Wei 12

10、7.5 函數(shù)展開成冪級數(shù)函數(shù)展開成冪級數(shù)及其應用及其應用定義定義4.2 設函數(shù)設函數(shù) f(x) 在在 x0 的某鄰域具有任意階導數(shù)的某鄰域具有任意階導數(shù)，如果所，如果所導出的級數(shù)在區(qū)間導出的級數(shù)在區(qū)間 I I 上仍然收斂與上仍然收斂與 f(x)，則稱，則稱函數(shù)可展開成函數(shù)可展開成為泰勒級數(shù)為泰勒級數(shù) 。 Ixxfxxxfnnnn),()(!1100)(注注: : 區(qū)間區(qū)間 I I 不一定是泰勒級數(shù)的收斂域不一定是泰勒級數(shù)的收斂域, , 同樣也不一定是函同樣也不一定是函數(shù)數(shù) f(x) 導函數(shù)存在區(qū)域，更不是導函數(shù)存在區(qū)域，更不是函數(shù)函數(shù) f(x) 定義域，它是使定義域，它是使級級數(shù)的和函數(shù)數(shù)的和

11、函數(shù) s(x) 就等于就等于 f(x) 的區(qū)域。的區(qū)域。Yiqiang Wei 137.5 函數(shù)展開成冪級數(shù)函數(shù)展開成冪級數(shù)及其應用及其應用 注：注：唯一性指明不論什么方法展開其結果是一樣的。唯一性指明不論什么方法展開其結果是一樣的。 定理定理5.2 如果如果 f(x) 在點在點 x0 的某鄰域內具有的某鄰域內具有任意任意階導數(shù)，階導數(shù)，則則 f(x) 在點在點 x0 的某鄰域內的某鄰域內可展開成為泰勒級數(shù)的充分必要條可展開成為泰勒級數(shù)的充分必要條件是件是 f(x) 的泰勒公式中的余項趨于零，即的泰勒公式中的余項趨于零，即0)(!1)(lim)(lim000nknnnnxxxfkxfxR定理定

12、理5.3 如果如果 f(x) 在點在點 x0 的某鄰域內的某鄰域內可展開成為泰勒級數(shù)，可展開成為泰勒級數(shù)，則展開式是唯一的，即則展開式是唯一的，即 x 的的 n 次冪項系數(shù)為次冪項系數(shù)為, 3 , 2 , 1 , 0),(!10)(nxfnannYiqiang Wei 147.5 函數(shù)展開成冪級數(shù)函數(shù)展開成冪級數(shù)及其應用及其應用7.5.3 函數(shù)展開成冪級數(shù)函數(shù)展開成冪級數(shù)冪冪級數(shù)級數(shù)直接展開法直接展開法如果極限為零，則函數(shù)在如果極限為零，則函數(shù)在(-R, R)內可展開為泰勒內可展開為泰勒級數(shù)級數(shù) 。第一步，求出第一步，求出 f(x) 的各階導數(shù)：的各階導數(shù)：f(n)(x)；第二步，計算各階導數(shù)

13、在第二步，計算各階導數(shù)在 x0 的值：的值：f(n)(x0)；nnnxxxfn)( )(!1000)(第三步，寫出泰勒級數(shù)：第三步，寫出泰勒級數(shù)： ；并求出收斂；并求出收斂半徑半徑R；第四步，考察余項在第四步，考察余項在(-R, R)內的極限：內的極限：10)1()()!1()(lim)(limnnnnnxxnfxR 是是x0與與x 之間的某個值之間的某個值Yiqiang Wei 157.5 函數(shù)展開成冪級數(shù)函數(shù)展開成冪級數(shù)及其應用及其應用例例5.2 求下列函數(shù)的冪級數(shù)展開求下列函數(shù)的冪級數(shù)展開0,)(0 xexfx0,sin)(0 xxxf)(,!1! 31! 21132xxnxxxenx)

14、(,)!12(1) 1(! 51! 31sin1253xxnxxxxnn0,)1 ()(0 xxxf) 11(,!) 1() 1() 1(! 3)2)(1(! 2) 1(1)1 (32xxnnxxxxnn特別特別) 11(,1112xxxxxnYiqiang Wei 167.5 函數(shù)展開成冪級數(shù)函數(shù)展開成冪級數(shù)及其應用及其應用冪冪級數(shù)級數(shù)間接展開法間接展開法間接展開法是指：利用一些已知函數(shù)的冪級數(shù)展開式及間接展開法是指：利用一些已知函數(shù)的冪級數(shù)展開式及其冪級數(shù)的運算其冪級數(shù)的運算( (如四則運算、逐項求導求積、變量替換如四則運算、逐項求導求積、變量替換與恒等變形等），將所給函數(shù)展開成為冪級數(shù)，

15、包括收與恒等變形等），將所給函數(shù)展開成為冪級數(shù)，包括收斂域。斂域。間接法成立的依據(jù)是展開式的唯一性。間接法成立的依據(jù)是展開式的唯一性。間接法中常常使用下列函數(shù)的展開式作為已知：間接法中常常使用下列函數(shù)的展開式作為已知：x11xexsin)1 (xYiqiang Wei 177.5 函數(shù)展開成冪級數(shù)函數(shù)展開成冪級數(shù)及其應用及其應用例例5.3 求下列函數(shù)的冪級數(shù)展開求下列函數(shù)的冪級數(shù)展開0,cos)(0 xxxf)(,)!2(1) 1(cos02xxnxnnn0),1ln()(0 xxxf) 11(,1) 1()1ln(11xxnxnnn0,arctan)(0 xxxf) 11(,121) 1(a

16、rctan1121xxnxnnn0),21ln()(02xxxxf3,231)(02xxxxf4,sin)(0 xxxfYiqiang Wei 187.5 函數(shù)展開成冪級數(shù)函數(shù)展開成冪級數(shù)及其應用及其應用7.5.4 函數(shù)冪級數(shù)展開式的應用函數(shù)冪級數(shù)展開式的應用兩類問題兩類問題：給定項數(shù)給定項數(shù),求近似值并估計精度求近似值并估計精度; 給出精度給出精度,確定項數(shù)確定項數(shù). 關鍵關鍵是是通過估計余項通過估計余項, 確定精度或項數(shù)確定精度或項數(shù)。近似計算近似計算nkknnaaA111nkknar誤差誤差Yiqiang Wei 197.5 函數(shù)展開成冪級數(shù)函數(shù)展開成冪級數(shù)及其應用及其應用例例5.4 計

17、算下列函數(shù)的近似值計算下列函數(shù)的近似值sin90, 誤差不超過誤差不超過10-3ln2, 誤差不超過誤差不超過10-4e, 誤差不超過誤差不超過10-5Yiqiang Wei 207.5 函數(shù)展開成冪級數(shù)函數(shù)展開成冪級數(shù)及其應用及其應用計算計算數(shù)項級數(shù)的和數(shù)項級數(shù)的和1.1.利用級數(shù)和的定義求和利用級數(shù)和的定義求和常用的方法有：常用的方法有：直接法直接法，拆項法拆項法，遞推法遞推法2. 阿貝爾法阿貝爾法(構造冪級數(shù)法構造冪級數(shù)法)010limnnnxnnxaa)(lim10 xSaxnn0)(nnnxaxS(逐項積分、逐項求導逐項積分、逐項求導)Yiqiang Wei 217.5 函數(shù)展開成冪

18、級數(shù)函數(shù)展開成冪級數(shù)及其應用及其應用例例5.5 計算下列數(shù)項級數(shù)的和計算下列數(shù)項級數(shù)的和1212nnn12!2nnnn1221arctannnYiqiang Wei 227.5 函數(shù)展開成冪級數(shù)函數(shù)展開成冪級數(shù)及其應用及其應用計算定積分計算定積分第一步，將被積函數(shù)展開冪級數(shù)第一步，將被積函數(shù)展開冪級數(shù)第二步，對冪級數(shù)逐項求積第二步，對冪級數(shù)逐項求積第三步，計算數(shù)項級數(shù)的和第三步，計算數(shù)項級數(shù)的和10sindxxx(精確到精確到10-4)例例5.6 求求下列定積分的值下列定積分的值.Yiqiang Wei 237.5 函數(shù)展開成冪級數(shù)函數(shù)展開成冪級數(shù)及其應用及其應用7.5.5 歐拉公式歐拉公式v

19、復數(shù)項級數(shù)：復數(shù)項級數(shù)： 設有復數(shù)項級數(shù)設有復數(shù)項級數(shù)(u1 + iv1 )+ (u2 + iv2 )+ +(un + ivn )+ 其中其中un ，vn （n=1，2，3，）為實常數(shù)或實函數(shù)如果）為實常數(shù)或實函數(shù)如果實部所成的級數(shù)實部所成的級數(shù)u1 + u2 + + un + 收斂于和收斂于和u，并且虛部所成的級數(shù)，并且虛部所成的級數(shù)v1 + v2 + + vn + 收斂于和收斂于和v，就說復數(shù)項級數(shù)收斂且和為，就說復數(shù)項級數(shù)收斂且和為u+ivYiqiang Wei 247.5 函數(shù)展開成冪級數(shù)函數(shù)展開成冪級數(shù)及其應用及其應用v 絕對收斂：絕對收斂： 如果級1n(un + ivn )的各項的

20、模所構成的級數(shù)收斂，則稱級數(shù)1n(un + ivn )絕對收斂v復變量指數(shù)函數(shù)：復變量指數(shù)函數(shù)：考察復數(shù)項級數(shù)考察復數(shù)項級數(shù),! 212nzzzenz, ,! ! ! 2 21 12 2 n nz zz zz zn n此級數(shù)在復平面上是絕對收斂的，在此級數(shù)在復平面上是絕對收斂的，在x軸上它表示指數(shù)函數(shù)軸上它表示指數(shù)函數(shù)ex ，在復平面上我們用它來定義復變量指數(shù)函數(shù)，記為在復平面上我們用它來定義復變量指數(shù)函數(shù)，記為ez 即即Yiqiang Wei 257.5 函數(shù)展開成冪級數(shù)函數(shù)展開成冪級數(shù)及其應用及其應用v 歐拉公式歐拉公式：當當x = 0時，時，z = i y ，于是，于是njxjxnjxj

21、xe)(!1)(! 2112)!12()1(! 31()!2()1(! 211(12322 nxxxjnxxnnnnxjxsincos xcosxsinYiqiang Wei 267.5 函數(shù)展開成冪級數(shù)函數(shù)展開成冪級數(shù)及其應用及其應用xjxejxsincos jeexeexjxjxjxjx2sin2cosxjxejxsincos 又又揭示了三角函數(shù)和復變數(shù)指數(shù)函數(shù)之間的一種關系揭示了三角函數(shù)和復變數(shù)指數(shù)函數(shù)之間的一種關系. .歐拉公式歐拉公式)sin(cosyjyeeexjyxzYiqiang Wei 277.5 函數(shù)展開成冪級數(shù)函數(shù)展開成冪級數(shù)及其應用及其應用一、 將下列函數(shù)展開成x的冪級

22、數(shù),并求展開式成立的區(qū)間:1、xa；2、)1ln()1(xx ;3、xarcsin；4、3)1(1xx .二、 將函數(shù)3)(xxf 展開成)1( x的冪級數(shù),并求展開式成立的區(qū)間 .三、 將函數(shù)231)(2 xxxf展開成)4( x的冪級數(shù) .四、 將 級 數(shù) 11211)!12(2)1(nnnnnx的 和 函 數(shù) 展 開 成)1( x的冪級數(shù) .7.5.6 練習練習Yiqiang Wei 28五、利用函數(shù)的冪級數(shù)展開式求下列各數(shù)的近似值:1、3ln(精確到0001. 0)；2、2cos(精確到0001. 0).六 、 利 用 被 積 函 數(shù) 的 冪 級 數(shù) 展 開 式 求 定 積 分 5 .

23、 00arctandxxx(精確到001. 0)的近似值 .七、將函數(shù)xexcos展開成的冪級數(shù)的冪級數(shù)x.7.5 函數(shù)展開成冪級數(shù)函數(shù)展開成冪級數(shù)及其應用及其應用Yiqiang Wei 29一、一、1 1、)(!)(ln0 xxnannn； 2 2、)11()1()1(111 xxnnxnnn； 3 3、)11()2()12() !()!2(21122 xxnnnxnn； 4 4、)1 , 1(112 nnxn. .二、二、 )1(231x 022)21(2)2)(1(3) !()!2()1(nnnnxnnnn)20( x. .7.5 函數(shù)展開成冪級數(shù)函數(shù)展開成冪級數(shù)及其應用及其應用參考答案參考答案Yiqiang Wei 30五、1、1.0986；2、0.9994.六、0.487.七、),(!4cos2cos02 nnxnxnxe .(提示:xjxjxeexe)4sin4(cos2