分式的概念和性質(zhì)(基礎(chǔ))+答案

1、分式的概念和性質(zhì)（基礎(chǔ)）【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1.理解分式的概念，能求出使分式有意義、分式無(wú)意義、分式值為0 的條件.2掌握分式的基本性質(zhì)，并能利用分式的基本性質(zhì)將分式恒等變形，進(jìn)而進(jìn)行條件計(jì)算.【要點(diǎn)梳理】【高清課堂403986分式的概念和性質(zhì)知識(shí)要點(diǎn)】要點(diǎn)一、分式的概念一般地，如果A、 B 表示兩個(gè)整式，并且B 中含有字母，那么式子A 叫做分式 . 其中 AB叫做分子， B 叫做分母 .要點(diǎn)詮釋：（ 1）分式的形式和分?jǐn)?shù)類似，但它們是有區(qū)別的 . 分?jǐn)?shù)是整式，不是分式，分式是兩個(gè)整式相除的商式 . 分式的分母中含有字母；分?jǐn)?shù)的分子、分母中都不含字母.（ 2）分式與分?jǐn)?shù)是相互聯(lián)系的：由于分式中的字母可

2、以表示不同的數(shù)，所以分式比分?jǐn)?shù)更具有一般性；分?jǐn)?shù)是分式中字母取特定值后的特殊情況.（ 3）分母中的“字母”是表示不同數(shù)的“字母”，但表示圓周率，是一個(gè)常數(shù)，不是字母，如 a 是整式而不能當(dāng)作分式 .（ 4）分母中含有字母是分式的一個(gè)重要標(biāo)志，判斷一個(gè)代數(shù)式是否是分式不能先化簡(jiǎn)，如x2 y 是分式，與 xy 有區(qū)別， xy 是整式，即只看形式，x不能看化簡(jiǎn)的結(jié)果 .要點(diǎn)二、分式有意義，無(wú)意義或等于零的條件1.分式有意義的條件：分母不等于零.2.分式無(wú)意義的條件：分母等于零.3.分式的值為零的條件：分子等于零且分母不等于零.要點(diǎn)詮釋：（ 1）分式有無(wú)意義與分母有關(guān)但與分子無(wú)關(guān)，分式要明確其是否有意

3、義，就必須分析、討論分母中所含字母不能取哪些值，以避免分母的值為零.（ 2）本章中如果沒(méi)有特殊說(shuō)明， 所遇到的分式都是有意義的， 也就是說(shuō)分式中分母的值不等于零 .（ 3）必須在分式有意義的前提下，才能討論分式的值.要點(diǎn)三、分式的基本性質(zhì)分式的分子與分母同乘( 或除以 ) 一個(gè)不等于0 的整式，分式的值不變，這個(gè)性質(zhì)叫做分式的基本性質(zhì)，用式子表示是：AAM ，A A M （其中 M是不等于零的整式） .BBMBBM要點(diǎn)詮釋：（ 1）基本性質(zhì)中的A、 B、 M 表示的是整式 . 其中 B 0 是已知條件中隱含著的條件，一般在解題過(guò)程中不另強(qiáng)調(diào)； M 0 是在解題過(guò)程中另外附加的條件， 在運(yùn)用分式

4、的基本性質(zhì)時(shí)， 必須重點(diǎn)強(qiáng)調(diào) M0 這個(gè)前提條件 .（ 2）在應(yīng)用分式的基本性質(zhì)進(jìn)行分式變形時(shí)，雖然分式的值不變，但分式中字母的取值圍有可能發(fā)生變化 . 例如：，在變形后， 字母 x 的取值圍變大了 .要點(diǎn)四、分式的變號(hào)法則對(duì)于分式中的分子、分母與分式本身的符號(hào)，改變其中任何兩個(gè)，分式的值不變； 改變其中任何一個(gè)或三個(gè)，分式成為原分式的相反數(shù).要點(diǎn)詮釋： 根據(jù)分式的基本性質(zhì)有bb ， bb . 根據(jù)有理數(shù)除法的符號(hào)法則有aa aabbb . 分式 a 與a 互為相反數(shù) . 分式的符號(hào)法則在以后關(guān)于分式的運(yùn)算中起著aaabb重要的作用 .要點(diǎn)五、分式的約分，最簡(jiǎn)分式與分?jǐn)?shù)的約分類似，利用分式的基

5、本性質(zhì)，約去分子和分母的公因式，不改變分式的值，這樣的分式變形叫做分式的約分. 如果一個(gè)分式的分子與分母沒(méi)有相同的因式（ 1 除外），那么這個(gè)分式叫做最簡(jiǎn)分式 .要點(diǎn)詮釋：（ 1）約分的實(shí)質(zhì)是將一個(gè)分式化成最簡(jiǎn)分式，即約分后，分式的分子與分母再?zèng)]有公因式 .（ 2）約分的關(guān)鍵是確定分式的分子與分母的公因式. 分子、分母的公因式是分子、分母的系數(shù)的最大公約數(shù)與相同因式最低次冪的積；當(dāng)分式的分子、分母中含有多項(xiàng)式時(shí)，要先將其分解因式，使之轉(zhuǎn)化為分子與分母是不能再分解的因式積的形式，然后再進(jìn)行約分.要點(diǎn)六、分式的通分與分?jǐn)?shù)的通分類似，利用分式的基本性質(zhì)，使分式的分子和分母同乘適當(dāng)?shù)恼?，不改變分式?/p>

6、值，把分母不同的分式化成相同分母的分式，這樣的分式變形叫做分式的通分.要點(diǎn)詮釋：（1）通分的關(guān)鍵是確定各分式的最簡(jiǎn)公分母： 一般取各分母所有因式的最高次冪的積作為公分母 .（ 2）如果各分母都是單項(xiàng)式， 那么最簡(jiǎn)公分母就是各系數(shù)的最小公倍數(shù)與相同字母的最高次冪的乘積； 如果各分母都是多項(xiàng)式， 就要先把它們分解因式，然后再找最簡(jiǎn)公分母.（ 3）約分和通分恰好是相反的兩種變形，約分是對(duì)一個(gè)分式而言， 而通分則是針對(duì)多個(gè)分式而言 .【典型例題】類型一、分式的概念1、下列式子中，哪些是整式？哪些是分式？2 ， x ， m 1 ， 3x2 ， 5 ， a2，2 a3ma3【思路點(diǎn)撥】 x ， 5 ，2雖

7、具有分式的形式，但分母不含字母，其中5 的分母中表示33一個(gè)常數(shù)，因此這三個(gè)式子都不是分式【答案與解析】解：整式：x ，2，5 ， 3 x2 ，分式：2 ， m1 ， a233ama【總結(jié)升華】 判斷分式的依據(jù)是看分母中是否含有字母，如果含有字母則是分式，如果不含有字母則不是分式類型二、分式有意義，分式值為02、下列各式中，m 取何值時(shí)，分式有意義？（ 1）m；（ 2）1；（3）3mm| m |m2229【答案與解析】解：（ 1）由 m20得 m2，故當(dāng) m2 時(shí)分式m有意義m 2（ 2）由 | m |2 0得 m2 ，故當(dāng) m2 時(shí)分式1有意義| m |2（ 3）由 m29(m29)0 ，即

8、無(wú)論 m 取何值時(shí)m29 均不為零， 故當(dāng) m 為任意實(shí)數(shù)時(shí)分式3m都有意義m29【總結(jié)升華】 首先求出使分母等于零的字母的值，然后讓未知數(shù)不等于這些值， 便可使分式有意義這是解答這類問(wèn)題的通用方法舉一反三：【變式 1】在什么情況下，下列分式?jīng)]有意義?（ 1）3x；（ 2） x 1；（ 3） x 2 x(x7)x2x22【答案】解：分式?jīng)]有意義的條件是分式的分母等于0（ 1）由 x( x7) 0 ，得 x0 或 x7 ，當(dāng) x0或 x7 時(shí)，原分式?jīng)]有意義（ 2）由 x20 ，得x0 ，當(dāng) x0時(shí)，原分式?jīng)]有意義（ 3）由 x2 0 得， x22 0 ，即 x22 0 ，當(dāng) x 取一切實(shí)數(shù)，原

9、分式都有意義，即沒(méi)有x 值能使分式?jīng)]有意義【變式 2】當(dāng) x 為何值時(shí)，下列各式的值為0（ 1） 2x 1 ；（ 2） x2x ；（ 3） x 2 3x2x21x24【答案】解：（ 1）由 2x1 0 得 x1，2當(dāng) x1 時(shí)， 3x 23(1)20，22當(dāng) x1時(shí)，分式2x1 的值為 023x2（ 2）由 x2x0 得 x0 或 x1 ，當(dāng) x0 時(shí)， x21 0 10 ，當(dāng) x1 時(shí)， x2 1( 1)21 0，當(dāng) x0 時(shí)，分式 x2x 的值為 0x21（ 3）由 x20得 x2，當(dāng) x2 時(shí)， x24( 2)24 0 ，在分式有意義的前提下，分式x2 的值永不為 0x24類型三、分式的

10、基本性質(zhì)3、不改變分式的值，將下列分式的分子、分母中的系數(shù)化為整數(shù)1x10.2xy（2） 3y（ 1）；4 0.02 x0.5 y1x12y3【思路點(diǎn)撥】 將（ 1）式中分子、分母同乘50，（ 2）式的分子、分母同乘12 即可【答案與解析】解：（ 1）0.2xy(0.2 xy)5010 x50 y 0.02 x 0.5 y (0.02 x0.5 y)50x25y1 x1 y1 x1 y124x 3 y .（2） 34341x111126x 4 y2yxy323【總結(jié)升華】 利用分式的基本性質(zhì)，分式的分子與分母同乘(或除以 )一個(gè)不等于0 的整式，分式的值不變 .舉一反三：【變式 1】如果把分式

11、2x中的 x, y 都擴(kuò)大3 倍，那么分式的值（）3x2 yA 擴(kuò)大3倍 B不變C縮小 3倍D擴(kuò)大2倍【答案】 B；【變式 2】填寫下列等式中未知的分子或分母（ 1） xyx2y2； （2）(b a)(c b)?xy?(ac)(ab)(b c)a c【答案】 ( x y) 2 ；1；解：（ 1）先觀察分子，等式左邊分式的分子為xy ，而等式的右邊分式的分子為x2y2 ，由于 (x y)( xy)x2y2 ，即將等式左邊分式的分子乘以xy ，因而分母也要乘以x y ，所以在？處應(yīng)填上( x y)2 （ 2）先觀察分母，等式左邊的分母為(a c)( a b)(bc) ，等式右邊的分母為 ac ，根

12、據(jù)分式的性質(zhì)可知應(yīng)將等式左邊分式的分子、分母同時(shí)除以(a b)(bc) ，因?yàn)?b a)(c b)( ab)(bc) 1，所以在？處填上 14、 不改變分式的值，使下列分式的分子和分母不含“”號(hào)（ 1）2a ；（ 2）4x ；（ 3） 3m ；（ 4）2b b5yn3c【答案與解析】解：（ 1）2a2a（ 2）4x4x（ 3） 3m3m（ 4）2b2b bb5 y5 ynn3c3c【總結(jié)升華】 在分子、分母、分式本身中，只有任意兩個(gè)同時(shí)改變符號(hào)時(shí)，才能保證分式的值不變一般地，在分式運(yùn)算的最后結(jié)果中，習(xí)慣于只保留一個(gè)負(fù)號(hào)，寫在分式的前面類型四、分式的約分、通分5、 將下列各式約分：（ 1） 4a

13、x2 ；（ 2） 15 xn 2 y4；（3） a1 ；（ 4） 16mm312x33xn y3a21m2m20【答案與解析】4ax24x2g aa解：（ 1）4x2g3x3x12x3（ 2）15xn 2 y43xn y3g5x2 y5x2y 3xn y33xn y31g（ 3） a1a111a21 (a1)(a 1)a（ 4） 16m m3m(m4)( m4)m24m m2m 20( m5)(m4)m5【總結(jié)升華】 當(dāng)分子、分母都是單項(xiàng)式時(shí)，分子、分母的公因式即是分子、分母的字母系數(shù)的最大公約數(shù)與分子、分母的相同因式最低次冪的乘積舉一反三：【高清課堂403986分式的概念和性質(zhì)例 6（ 2）

14、】【變式】通分： （ 1）b，a；（ 2）x，14ac2b2c2x2x2 1（ 3）3與 ab ；（ 4）1 ，4x，22a2 b ab 2cx 2 x24x 2【答案】解：（ 1）最簡(jiǎn)公分母為4ab2c ，bb g b2b3aa g 2a2a24ac4ab2c4ab2，2b2c4ab2c2 c4ab c（ 2）xx，11，2x22( x1)x21( x1)(x1)最簡(jiǎn)公分母為 2( x1)(x1)，xx g( x1)x2x2x22( x1)( x1)2( x1)(x1)1122x212( x1)(x1)2( x1)(x1)（ 3）最簡(jiǎn)公分母是2a2b2c 33 g bc3bc，ab(ab)

15、g 2a2a22ab2a2b2a2b g bc2a222222b cab cab c g 2a2a b c（ 4）最簡(jiǎn)公分母是 ( x2)( x2)，1x 2x 2 ，4x4 x，22( x 2)2x 4 x 2 (x 2)( x 2)x24x24 x24 x 2 ( x 2)( x 2)x24【鞏固練習(xí)】一. 選擇題1在代數(shù)式 2 x, 1 , 3 , 2 xy 2 ,x34, 2x25 , x22 中，分式共有 () 3x32x3A.2 個(gè)B.3 個(gè)C.4 個(gè)D.5 個(gè)2使分式x值為 0 的 x 值是（）x5D x 5A 0B 5C 53. 下列判斷錯(cuò)誤 的是（）A當(dāng) x2時(shí)，分式x1 有

16、意義33x2B當(dāng) ab 時(shí)，分式ab有意義2b2aC當(dāng) x1時(shí)，分式2x 1 值為 024xD當(dāng) xy 時(shí)，分式 x2y2有意義yx4 x 為任何實(shí)數(shù)時(shí)，下列分式中一定有意義的是（)A x21B x 1C x 1D x 1xx21x1x215如果把分式x2 y 中的 x 和 y 都擴(kuò)大10 倍，那么分式的值（）xyA擴(kuò)大 10 倍B縮小 10 倍C是原來(lái)的 2D不變36下列各式中，正確的是（）A amaB ab0bmbabC ab 1 b 1Dxyx1ac1c1x2y2y二. 填空題7當(dāng) x _時(shí)，分式2x無(wú)意義63x8. 若分式6的值為正數(shù)，則x 滿足 _ 7x9（ 1） x11x（2） (

17、)5xy 2.x2()3x3x2 y10（ 1）1( )（2） 1 x( )x y x2y 2y 2 4 y211. 分式1與x的最簡(jiǎn)公分母是 _.2 26ab34a bc12. 化簡(jiǎn)分式：（ 1）三. 解答題xyx29( y_；（2）9 6x_x)3x213. 當(dāng) x 為何值時(shí)，下列分式有意義?（ 1） x1 ；（ 2） x 10 ；（ 3） x1 ；（ 4） x21 x 24x 1x21x2114已知分式y(tǒng)a , 當(dāng) y 3 時(shí)無(wú)意義，當(dāng)y 2 時(shí)分式的值為0，yb求當(dāng) y 7 時(shí)分式的值15不改變分式的值，使分子、分母中次數(shù)最高的項(xiàng)的系數(shù)都化為正數(shù)x2b（ 1） x2 y（ 2）a2a（

18、3） 1x x2（ 4）3m m21x2x1 m2【答案與解析】一. 選擇題1. 【答案】 B；【解析】 1,3, 2x25是分式.xx42x2. 【答案】 A；【解析】 x 0且 x 5 0 .3. 【答案】 B；【解析】 ab ，ab有意義 .a2b24. 【答案】 D；【解析】無(wú)論 x 為何值， x2 1都大于零 .5. 【答案】 D；【解析】 10x20 y10( x2 y)x2 y .10x10 y10( xy)xy6. 【答案】 D；【解析】利用分式的基本性質(zhì)來(lái)判斷.二. 填空題7. 【答案】 2；【解析】由題意， 3x 6 0, x 2 .8. 【答案】 x 7 ；【解析】由題意 7x0, x7 .9.【答案】（ 1） 2x ；（2） 5 y ；10.【答案】（ 1） xy ；（ 2） xy2x y2 ；【解析】 1x(x1)(2 y)xy2xy 2 .y24 y24y 211. 【答案】 12a2b3c ；【解析】最簡(jiǎn)公分母就是各系數(shù)的最小公倍數(shù)與相同字母的最高次冪的乘