化圓為方問題

1、化圓為方問題化圓為方是三大問題中最具魅力的， 它的產(chǎn)生很早， 在公元前五世紀(jì)后半葉的雅典，它已廣為流傳，婦孺皆知了。與該問題相聯(lián)系的第一個人是為獻身科學(xué)而放棄財產(chǎn)、 因天體學(xué)說而身陷囹圄的愛奧尼亞學(xué)派優(yōu)秀數(shù)學(xué)家阿那克薩哥拉（ Anaxagoras，公元前 500 428）。他在鐵窗里仍醉心于該問題的研究，但他獲得什么成就我們不得而知。阿那克薩哥拉的同代人希波克拉底在屢經(jīng)尺規(guī)作圖的失敗后，不無遺憾地意識到：光靠直尺和圓規(guī)是不能解決化圓為方問題的。然而，他似乎并不甘心，雖未能實現(xiàn)化圓為方， 卻獲得了化弓月形或弓月形與圓之和為方的結(jié)果，希氏研究了好幾種弓月形。第一種弓月形如圖4-2-21 所示，它是

2、由等腰直角三角形ABC的外接半圓和一條腰AC上的半圓所圍成的。 因，故有半圓，即。同減去公共部分，即得弓月形，而我們很容易作一正方形與等積，因此弓月形AECF就被化為正方形。第二種弓月形如圖 4-2-22 所示。CE、EF、FD 是以 CD 為直徑的圓的內(nèi)接正六邊形的三條鄰邊。取 AB 等于該圓半徑，分別以 AB、CE、EF、FD 為直徑作半圓。不難證明，三個弓月形 CGEM、EHFN和 FKDP與半圓 ALB?的面積之和圖 4-2-21 圖 4-2-22等于梯形 CEFD的面積。希波克拉底的這個結(jié)果給人一個印象，似乎化圓為方問題已被 解決 。因為由前面的結(jié)果，三個弓月形 CGEM、EHFN、

3、FKDP可化為正方形，于是從梯形 CEFD中減去這些正方形，所余直線形所化成的正方形，即與半圓 ALB等面積。然而，這不過是海市蜃樓而已。問題是：第二種弓月形與第一種并不一樣不能化為正方形。希波克拉底還研究了第三種弓月形。如圖 4-2-23，兩同心圓，大圓直徑的平方是小圓直徑平方的 6 倍，正六邊形 ABCDEF內(nèi)接于小圓， GH、HI 是大圓內(nèi)接正六邊形的兩鄰邊。以 J 為圓心， JG為半徑作圓弧 GKI，它與 JHI?圍成弓月形。易知弓形 GKI、GMH 和 APB是相似弓形（所對圓心角相等），故其面積圖 4-2-23之比等于底平方之比。但 GI3GH，而 GH6AB，因此弓形 GKI 2

4、（弓形GMH）+6（弓形 APB），于是得GHI弓月形 GHIK+小圓內(nèi)所有弓形，因此：GHI+正六邊形 ABCDEF弓月形 GHIK+小圓。由于等式左邊可化方，故右邊也可化方。在化圓為方的歷史上，蘇格拉底的同代人，亞典巧辯學(xué)派的辯士、安提豐（ Antiphon ）是值得注意的第二人。安提豐從圓內(nèi)接正三角形出發(fā)，在各邊上作等腰三角形， 得圓內(nèi)接正六邊形。 在正六邊形各邊上重復(fù)同樣的作法， 得圓內(nèi)接正十二邊形。繼續(xù)這個過程， 安提豐說在某個時侯我們將得到一個圓內(nèi)接正多邊形，其邊長細微到與圓周重合。 由于任一多邊形都可化方， 因此我們就能化圓為方。安提豐不過是透過 “無窮” 的迷霧看到一座空中樓閣

5、而已。他當(dāng)然沒能真正實現(xiàn)化圓為方。不過他的通過不斷倍增圓內(nèi)接正多邊形邊數(shù)來窮竭圓面積的思想對后來的希臘數(shù)學(xué)產(chǎn)生深刻的影響。它是歐多克斯窮竭法的基礎(chǔ)， 阿基米德的圓周率求法正體現(xiàn)了它的實際價值。和三等分角、 倍立方問題一樣， 要徹底解決化圓為方問題，就得使用直線和圓以外的其它曲線。由于圓面積等于圓周長為底、半徑為高的 Rt 的面積，而 Rt 又很容易化方，因而化圓為方問題就轉(zhuǎn)化為圓周求長問題。前已介紹過， 希皮亞斯利用他的割圓曲線來三等分角。 后來，梅內(nèi)克繆斯的弟弟、歐多克斯的學(xué)生迪諾斯特拉圖（ Dinostratus，公元前 4 世紀(jì)中葉）又用它來化圓為方。 如圖 4-2-24 所示，BG為一

6、割圓曲線， 迪諾斯特拉圖獲得如下結(jié)果：圖 4-2-24 圖 4-2-25迪氏的證明如下：假設(shè)，則，其中 AK?要么大于 AG，要么小于 AG。（i）假設(shè)（圖 4-2-24），以 A 為圓心、 AK 為半徑作圓弧 KFL，交割圓曲線于 F，交 AB 于 L。連 AF 并延長，交于 E。作 FHAD 于 H。由假設(shè)，:，因此得。又由割圓曲線的性質(zhì)，:，因，這是不可能的。故AK 不能大于 AG。（ii）假設(shè)（圖 4-2-25）。以 A 為圓心， AK 為半徑作圓弧。過?K 作 KFAD，交割圓曲線于F，連 AF，分別交兩圓弧于M、E。則與（ i）一樣可證。由割圓曲線的性質(zhì)，。因此，這是不可能的。故A

7、K 也不能小于 AG。因此命題得證。于是我們求得之長，從而求得整個圓周之長。?這樣，化圓為方問題被解決。與希皮亞斯割圓曲線相類似， 阿基米德螺線不但可以用來三等分角， 也可以用來化圓為方。 不過，后者也是阿基米德自己完成的。 如圖 4-2-26，螺線的極點為 O，第一圈終于點 A。以 O 為圓心，a 為半徑作圓，則圓周長等于 OA。這樣，阿基米德輕易解決化圓為方問題。圖 4-2-26 圖 4-2-27稍遲于阿基米德的阿波羅尼斯用圓柱螺線解決了化圓為方問題， 如圖 4-2-27 所示。設(shè)圓 O 是一直圓柱之底面， A 是螺旋線之起始點。螺旋線在其上任一點 P 處的切線交底所在平面于 T。則 PT

8、在底平面上的投影 BT 與 AB 相等。因此，當(dāng) P 點恰好為 A 點所在母線上離 A 最近的點時， TB 與圓周長相等。 ?從而化圓為方問題得以解決。在阿波羅尼斯之后，機械師卡普斯（ Carpus）也解過化圓為方問題。他所用的“雙重運動曲線”今已失傳，據(jù)數(shù)學(xué)史家唐內(nèi)里（ P.Tannery,18431904）推測，它是擺線，亦即卡普斯是通過將圓沿直線滾動一周獲得圓周長的 （圖 4-2-28）。圖 4-2-28 圖 4-2-29文藝復(fù)興時期，意大利著名藝術(shù)大師達·芬奇（L.de Vinci,14521519）為化圓為方問題所吸引，并獲巧妙方法。如圖4-2-29，設(shè)圓半徑為 R，以圓為

9、底作高為 的圓柱，然后將圓柱在平面上滾動一周，得矩形。 ?將矩形化方，即完成化圓為方。以上我們看到， 希臘人很早就意識到 （但未能證明） 三大難題不能以尺規(guī)在有限步驟內(nèi)完成。 但它們看似如此簡單， 以至希臘人未能抵制誘惑； 他們不斷尋求尺規(guī)以外的方法，結(jié)果導(dǎo)致圓錐曲線、割圓曲線、蚌線、蔓葉線和螺線等高次曲線和超越曲線的相繼發(fā)現(xiàn)。 三大難題使一代又一代希臘數(shù)學(xué)家顯示了非凡的聰明才智，并深刻影響了希臘幾何的整個發(fā)展過程。三大難題的魅力并未隨希臘文明的淪亡而消失。 事實上，從希臘以后特別是歐洲文藝復(fù)興時期以來直到本世紀(jì)，對于它們的研究從停止過。1837 年，年輕的法國數(shù)學(xué)家萬采爾（，18141848

10、）證明了三等分角和倍立方尺規(guī)作圖之不可能性。1882 年，德國數(shù)學(xué)家林德曼（ C.Lindemann,18521938）證明了的超越性，從而證明了化圓為方的尺規(guī)作圖之不可能性。以后數(shù)學(xué)家們又還建立了兩條一般定理：定理 1 任何可用尺規(guī)由已知單位長度作出的量必為代數(shù)數(shù)；定理 2 若一有理系數(shù)三次方程沒有有理根， 則它的根不可能用尺規(guī)由一給定單位長度作出?；蛟S你會說， 迷戀于這三大難題的人至此總該死心塌地了。 然而，事實完全不是這樣。許許多多人依然故我，樂此不疲。一方面，一些人受希臘人以及后世的韋達、帕斯卡、笛卡爾、牛頓等名家的啟示，并且也受三大難題魅力驅(qū)使，繼續(xù)探求尺規(guī)以外的解法。如本世紀(jì)又有人

11、成功地發(fā)明所謂“角線”來三等分角，從而給三大難題的歷史添上新的一頁； 另一方面， 確有一些人抵制不住誘惑， 繼續(xù)盲目地尋求三大難題的尺規(guī)作圖法， 成為三大難題歷史上新的失敗者。 在美國，一些數(shù)學(xué)雜志社每年總要收到許多三等分角或化圓為方的稿件， 且在報紙上常見到“某某人成功解決三等分角問題”之類的新聞。在我國，情況頗相類似。 1938 年，汪聯(lián)松在北平晨報發(fā)表文章，聲稱自己苦心研究 14 載終于解決三等分角問題； 1946 年，吳佑之在四川省立科學(xué)館的科學(xué)月刊上發(fā)表了一個錯誤的三等分角尺規(guī)作圖法； 1948 年，上海大陸報刊登了一則楊嘉如解決三等分角的新聞解放后， 盲目的嘗試者仍有增無減，三等分

12、角問題的稿件源源不絕。 中國數(shù)學(xué)雜志 （數(shù)學(xué)通報 的前身）編委會不得不在第一卷第三期（ 1952 年 8 月）刊登如下啟事：本會截至現(xiàn)在為止，收到關(guān)于“三等分角”問題的稿件是相當(dāng)多的，可見目前尚有很多人去追求這個古老的問題。這個幾何三大問題之一的問題，若許用圓規(guī)直尺以外的器械或曲線去作圖，早在紀(jì)元前就已解決了；如果只限用圓規(guī)、直尺（就是初等幾何的方法），到十九世紀(jì)的時候已經(jīng)證實不能作圖（參閱科學(xué)通報第三卷第六期華羅庚同志的三分角問題一文）。所以這個問題現(xiàn)在實是不成問題的問題了。有些人因為見它的表面很簡單，總不相信不能作圖；也有人以為“目前雖不能，將來說不定還可能”；所以便為它的表面簡單而迷惑，

13、為將來的可能而醉心。這種研究精神，用再其他事物上是很可欽佩的，但用在這個問題上，卻是徒勞無功的事。希望這些人放棄這個企圖吧！我們對于以上的投稿者都一一答覆了，今特在這里作一個總聲明，請讀者以后再勿投這類的稿件來，以免浪費人力物力。然而，關(guān)于三等分角的稿件仍然源源而來。為此，數(shù)學(xué)通報不得不在 1953 年 1-2 月號再次刊登上述啟事。然而，讓編委會始料不及的是，三等分角的稿件還是源源而來。于是，編委會又在數(shù)學(xué)通報1957 年1 月號刊出題為“再告企圖用規(guī)尺三等分角的同志”的啟事：用規(guī)尺三等分任意角”這一個不成問題的問題，本通報已經(jīng)登過幾次啟事說明這是一個已經(jīng)證明“不能”的問題，忠告一些同志不要

14、浪費寶貴的精神企圖“能”了。啟事登了以后，“三等分角”的稿件還是源源而來，我們雖然對每一稿都作了答復(fù)， 但認(rèn)為對這樣的問題彼此白費了許多精力和時間，殊不只值得。就來稿的情況看：有些同志是不知道這個問題已經(jīng)證明“不可能”了；也有人明知道了而偏不相信；還有人想了一個方法，他自己認(rèn)為是對的，但是不會證；更有人對于他想的方法并沒有信心， 認(rèn)為是“十不離九” ，萬一不對的話，也是近似的；等等。這樣，我們敢大膽地說一句話：這些同志還沒有徹底了解前人對于這個問題的證明。現(xiàn)在我們再一次奉勸企圖用規(guī)尺三等分任意角的同志細讀前任的證明。這樣的證明，數(shù)學(xué)界公認(rèn)為是對的已經(jīng)多年了，如果還有人懷疑，就請先把它駁倒了再研究三等分法，幸勿先想方法，不管前人研究的成果，而自尋苦惱。因此，我們愿意和企圖用規(guī)尺三等分任意角的同志相約：如來稿系前人的證明加以辯難，我們一定參加討論；如來稿沒有駁倒前人證明的文章，僅說方法如何如何， 恕我們不付審查。特此鄭重聲明。關(guān)于前述的證明，中文書籍如蘇聯(lián)數(shù)學(xué)家烏茲科夫等所著“代數(shù)”（丁壽田譯），德人韋柏著“數(shù)學(xué)全書”第二冊（鄭太樸譯），日人林鶴一著“初等幾何學(xué)作圖不能問題”（仁誠等譯）中均載之，請查閱。在沒有看或沒有看懂以前，不必妄想打破記錄！至于“近似”的問題，我們以