中考數(shù)學專題目復習探索問題目

1、.中考數(shù)學專題復習5：探索性問題、綜合問題精講：探索性問題是指命題中缺少一定的條件或無明確的結論，需要經(jīng)過推斷，補充并加以證明的題型探索性問題一般有三種類型：（1）條件探索型問題；（2）結論探索型問題；（3）探索存在型問題條件探索型問題是指所給問題中結論明確，需要完備條件的題目；結論探索型問題是指題目中結論不確定，不唯一，或題目結論需要類比，引申推廣，或題目給出特例，要通過歸納總結出一般結論；探索存在型問題是指在一定的前提下，需探索發(fā)現(xiàn)某種數(shù)學關系是否存在的題目 探索型問題具有較強的綜合性，因而解決此類問題用到了所學過的整個初中數(shù)學知識經(jīng)常用到的知識是：一元一次方程、平面直角坐標系、一次函數(shù)與

2、二次函數(shù)解析式的求法（圖象及其性質）、直角三角形的性質、四邊形（特殊）的性質、相似三角形、解直角三角形等其中用幾何圖形的某些特殊性質：勾股定理、相似三角形對應線段成比例等來構造方程是解決問題的主要手段和途徑因此復習中既要重視基礎知識的復習，又要加強變式訓練和數(shù)學思想方法的研究，切實提高分析問題、解決問題的能力、典型例題剖析【例1】（2005，臨沂）如圖261，已知拋物線的頂點為A(O，1)，矩形CDEF的頂點C、F在拋物線上，D、E在軸上，CF交y軸于點B(0，2)，且其面積為8(1)求此拋物線的解析式；(2)如圖262，若P點為拋物線上不同于A的一點，連結PB并延長交拋物線于點Q，過點P、Q

3、分別作軸的垂線，垂足分別為S、R求證：PBPS；判斷SBR的形狀；試探索在線段SR上是否存在點M，使得以點P、S、M為頂點的三角形和以點Q、R、M為頂點的三角形相似，若存在，請找出M點的位置；若不存在，請說明理由解：方法一：B點坐標為(0，2)，OB2，矩形CDEF面積為8，CF=4.C點坐標為(一2，2)F點坐標為(2，2)。設拋物線的解析式為其過三點A(0，1)，C(-22)，F(xiàn)(2，2)。得 解得此拋物線的解析式為 方法二：B點坐標為(0，2)，OB2，矩形CDEF面積為8， CF=4.C點坐標為(一2，2)。 根據(jù)題意可設拋物線解析式為。其過點A(0，1)和C(-22) 解得此拋物線解

4、析式為(2)解：過點B作BN，垂足為NP點在拋物線y=+l上可設P點坐標為PS，OBNS2，BN。PN=PSNS= 在RtPNB中PB2PBPS 根據(jù)同理可知BQQR。，又 ，同理SBPB . SBR為直角三角形 方法一：設，由知PSPBb，。假設存在點M且MS，別MR 。若使PSMMRQ，則有。即。 SR2M為SR的中點. 若使PSMQRM，則有。M點即為原點O。綜上所述，當點M為SR的中點時PSMMRQ；當點M為原點時，PSMMRQ 方法二：若以P、S、M為頂點的三角形與以Q、M、R為頂點三角形相似，有PSMMRQ和PSMQRM兩種情況。 當PSMMRQ時SPMRMQ，SMPRQM 由直角

5、三角形兩銳角互余性質知PMS+QMR90°。 取PQ中點為N連結MN則MNPQ= MN為直角梯形SRQP的中位線,點M為SR的中點 當PSMQRM時，。又，即M點與O點重合。點M為原點O。綜上所述，當點M為SR的中點時，PSMMRQ；當點M為原點時，PSMQRM。 點撥：通過對圖形的觀察可以看出C、F是一對關于y軸的對稱點，所以（1）的關鍵是求出其中一個點的坐標就可以應用三點式或 y=ax2+c型即可而對于點 P既然在拋物線上，所以就可以得到它的坐標為（a，a2+1）這樣再過點B作BNPS得出的幾何圖形求出PB 、PS的大小最后一問的關鍵是要找出PSM與MRQ相似的條件【例2】探究規(guī)

6、律：如圖264所示，已知：直線mn，A、B為直線n上兩點，C、P為直線m上兩點 （1）請寫出圖264中，面積相等的各對三角形； （2）如果A、B、C為三個定點，點P在m上移動，那么，無論P點移動到任何位置，總有_與ABC的面積相等理由是：_. 解決問題：如圖 265所示，五邊形 ABCDE是張大爺十年前承包的一塊土地的示意圖，經(jīng)過多年開墾荒地，現(xiàn)已變成如圖266所示的形狀，但承包土地與開墾荒地的分界小路（266中折線CDE）還保留著；張大爺想過E點修一條直路，直路修好后，要保持直路左邊的土地面積與承包時的一樣多，右邊的土地面積與開墾的荒地面積一樣多請你用有關的幾何知識，按張大爺?shù)囊笤O計出修路

7、方案（不計分界小路與直路的占地面積） （1）寫出設計方案并畫出相應的圖形； （2）說明方案設計理由解：探究規(guī)律：（l）ABC和ABP，AOC和 BOP、CPA和CPB （2）ABP；因為平行線間的距離相等，所以無論點P在m上移動到任何位置，總有ABP與ABC同底等高，因此，它們的面積總相等 解決問題：畫法如圖267所示 連接EC，過點D作DFEC，交CM于點F，連接EF，EF即為所求直路位置 設EF交CD于點H，由上面得到的結論可知： SECF=SECD，SHCF=SEDH，所以S五邊形ABCDE=S五邊形ABCFE，S五邊形EDCMN=S四邊形EFMN 點撥：本題是探索規(guī)律題，因此在做題時要

8、從前邊問題中總結出規(guī)律，后邊的問題要用前邊的結論去一做，所以要連接EC，過D作DFEC，再運用同底等高的三角形的面積相等【例3】（2005，成都模擬，12分）如圖268所示，已知拋物線的頂點為M（2，4），且過點A(1,5)，連結AM交x軸于點B求這條拋物線的解析式；求點 B的坐標；設點P（x，y）是拋物線在x軸下方、頂點 M左方一段上的動點，連結 PO，以P為頂點、PQ為腰的等腰三角形的另一頂點Q在x軸上，過Q作x軸的垂線交直線AM于點R，連結PR設面 PQR的面積為S求S與x之間的函數(shù)解析式；在上述動點P（x，y）中，是否存在使SPQR=2的點？若存在，求點P的坐標；若不存在，說明理由解：

9、（1）因為拋物線的頂點為M（2，4）所以可設拋物線的解析式為y=（x2）2 4因為這條拋物線過點A（1，5）所以5=a(12)24解得a=1所以所求拋物線的解析式為y=（x2）2 4 （2）設直線AM的解析式為y=kx+ b因為A（1，5）, M（2，4）所以，解得 k=3，b=2所以直線AM的解析式為 y=3x2當y=0時，得x= ，即AM與x軸的交點B（,0）（3）顯然，拋物線y=x24x過原點(0，0當動點P（x，y）使POQ是以P為頂點、PO為腰且另一頂點Q在x軸上的等腰三角形時，由對稱性有點 Q（2x，0）因為動點P在x軸下方、頂點M左方，所以0x2因為當點Q與B（，0）重合時，PQ

10、R不存在，所以x，所以動點P（x，y）應滿足條件為0x2且x，因為QR與x軸垂直且與直線AM交于點R，所以R點的坐標為（2x，6x+2） 如圖269所示，作P HOR于H，則PH= 而S=PQR的面積=QR·P H= 下面分兩種情形討論：當點Q在點B左方時，即0x時，當R在 x軸上方，所以6x20所以S=（6x2）x=3x2+x；當點Q在點B右方時，即x2時點R在x軸下方，所以6x20所以S=（6x2）x=3x2x； 即S與x之間的函數(shù)解析式可表示為（4）當S=2時，應有3x2+x =2，即3x2 x+ 2=0，顯然0，此方程無解或有3x2x =2，即3x2 x2=0，解得x1 =1

11、，x2當x=l時，y= x24x=3，即拋物線上的點P（1，3）可使SPQR=2；當x=0時，不符合條件，應舍去所以存在動點P，使SPQR=2，此時P點坐標為(1,3)點撥：此題是一道綜合性較強的探究性問題，對于第（1）問我們可以采用頂點式求得此拋物線，而（2）中的點B是直線 AM與x軸的交點，所以只要利用待定系數(shù)法就可以求出直線AM，從而得出與x軸的交點B(3)問中注意的是Q點所處位置的不同得出的S與x之間的關系也隨之發(fā)生變化（4）可以先假設存在從而得出結論、綜合鞏固練習：（100分 90分鐘） 1 觀察圖2610中）至中小黑點的擺放規(guī)律，并按照這樣的規(guī)律繼續(xù)擺放記第n個圖中小黑點的個數(shù)為y

12、解答下列問題： 填下表： 當n=8時，y=_； 根據(jù)上表中的數(shù)據(jù)，把n作為橫坐標，把y作為縱坐標，在圖2611的平面直角坐標系中描出相應的各點（n，y），其中1n5； 請你猜一猜上述各點會在某一函數(shù)的圖象上嗎？如果在某一函數(shù)的圖象上，請寫出該函數(shù)的解析式2（5分）圖2612是某同學在沙灘上用石子擺成的小房子觀察圖形的變化規(guī)律，寫出第n個小房子用了_塊石子 3(10分)已知RtABC中，AC=5，BC=12，ACB =90°，P是AB邊上的動點（與點A、B不重合），Q是BC邊上的動點（與點B、C不重合） 如圖2613所示，當PQA C，且Q為BC的中點時，求線段CP的長； 當PQ與AC

13、不平行時，CPQ可能為直角三角形嗎？若有可能，請求出線段CQ的長的取值范圍，若不可能，請說明理由4如圖2614所示，在直角坐標系中，以A（1，1），B（1，1），C（1，1），D（1，l）為頂點的正方形，設正方形在直線：y=x及動直線：y=x+2a（la1）上方部分的面積為S（例如當a取某個值時，S為圖中陰影部分的面積），試分別求出當a=0，a=1時，相應的S的值5（10分）如圖2615所示，DE是ABC的中位線，B90，AFB C在射線A F上是否存在點M，使MEC與A DE相似？若存在，請先確定點M，再證明這兩個三角形相似；若不存在，請說明理由 6如圖2616所示，在正方形ABCD中，AB

14、=1，是以點B為圓心AB長為半徑的圓的一段弧點E是邊AD上的任意一點（點E與點A、D不重合），過E作AC所在圓的切線，交邊DC于點F石為切點 當 DEF45時，求證點G為線段EF的中點； 設AE=x， FC=y，求y關于x的函數(shù)解析式；并寫出函數(shù)的定義域； 圖2617所示，將DEF沿直線EF翻折后得 D1EF，當EF=時，討論AD1D與ED1F是否相似，如果相似，請加以證明；如果不相似，只要求寫出結論，不要求寫出理由。（圖2618為備用圖）7（10分）取一張矩形的紙進行折疊，具體操作過程如下： 第一步：先把矩形ABCD對折，折痕為MN，如圖 2619（1）所示； 第二步：再把B點疊在折痕線MN

15、上，折痕為AE，點B在MN上的對應點B，得 RtABE，如圖2619（2）所示； 第三步：沿EB線折疊得折痕EF，如圖2619所示；利用展開圖 2619（4）所示探究： （l）AEF是什么三角形？證明你的結論 （2）對于任一矩形，按照上述方法是否都能折出這種三角形？請說明理由8（10分）某校研究性學習小組在研究有關二次函數(shù)及其圖象性質的問題時，發(fā)現(xiàn)了兩個重要結論一是發(fā)現(xiàn)拋物線y=ax2+2x+3(a0)，當實數(shù)a變化時，它的頂點都在某條直線上；二是發(fā)現(xiàn)當實數(shù)a變化時，若把拋物線y=ax2+2x+3(a0)的頂點的橫坐標減少，縱坐標增加，得到A點的坐標；若把頂點的 橫坐標增加，縱坐標增加，得到B點的坐標，則A、B兩點一定仍在拋物線y=ax2+2x+3(a0)上 請你協(xié)助探求出實數(shù)a變化時，拋物線y=ax2+2x+3(a0)的頂點所在直線的解析式； 問題中的直線上有一個點不是該拋物線的頂點，你能找出它來嗎？并說明理由； 在他們第二個發(fā)現(xiàn)的啟發(fā)下，運用“一般特殊一般”的思想，你還能發(fā)現(xiàn)什么？你能用數(shù)學語言將你的猜想表述出來嗎？你的猜想能成立嗎？若能成立，請說明理由。9已知二次函數(shù)的圖象過A（3，0），B（1，0）兩點 當這個二次函數(shù)的圖象又過