電磁場(chǎng)與電磁波課后習(xí)題答案楊儒貴編著第二版

1、第八章 平面電磁波8-1 導(dǎo)出非均勻的各向同性線性媒質(zhì)中，正弦電磁場(chǎng)應(yīng)該滿足的波動(dòng)方程及亥姆霍茲方程。解 非均勻的各向同性線性媒質(zhì)中，正弦電磁場(chǎng)應(yīng)該滿足的麥克斯韋方程如下：，分別對(duì)上面兩式的兩邊再取旋度，利用矢量公式，得則相應(yīng)的亥姆霍茲方程為8-2 設(shè)真空中平面上分布的表面電流，試求空間電場(chǎng)強(qiáng)度、磁場(chǎng)強(qiáng)度及能流密度。解 平面上分布的表面電流將產(chǎn)生向和方向傳播的兩個(gè)平面波，設(shè)z > 0區(qū)域中的電場(chǎng)和磁場(chǎng)分別為，傳播方向?yàn)?；而z < 0區(qū)域中的場(chǎng)強(qiáng)為和，傳播方向?yàn)?。顯然，各個(gè)場(chǎng)分量均與邊界平行。由于表面電流的存在導(dǎo)致磁場(chǎng)強(qiáng)度在邊界上不連續(xù)，但是電場(chǎng)強(qiáng)度仍然連續(xù)。由此求得下列方程：式中。

2、考慮到；求得，獲知因此，那么，z > 0同理可得，z < 0因此，兩邊的電場(chǎng)強(qiáng)度分別為， z > 0， z < 0能流密度分別為,z > 0，z < 08-3 已知理想介質(zhì)中均勻平面波的電場(chǎng)強(qiáng)度瞬時(shí)值為 (V/m)試求磁場(chǎng)強(qiáng)度瞬時(shí)值、平面波的頻率、波長(zhǎng)、相速及能流密度。解 已知電場(chǎng)強(qiáng)度瞬時(shí)值為(V/m)可見(jiàn)這是向+x方向傳播的平面波。因此，磁場(chǎng)強(qiáng)度的瞬時(shí)值為(A/m)式中為媒質(zhì)的波阻抗。根據(jù)題意，獲知平面波的角頻率，波數(shù)。由此求出頻率：；波長(zhǎng)：相速：(m/s)能流密度：8-4 設(shè)真空中平面波的磁場(chǎng)強(qiáng)度瞬時(shí)值為(A/m)試求該平面波的頻率、波長(zhǎng)、相位常數(shù)、相速

3、、電場(chǎng)強(qiáng)度復(fù)矢量及能流密度。解 根據(jù)題意，獲知平面波的角頻率，相位常數(shù)。由此求出頻率：；波長(zhǎng)：相速：(m/s)已知磁場(chǎng)強(qiáng)度瞬時(shí)值為(A/m)可見(jiàn)這是向-y方向傳播的平面波。因此，電場(chǎng)強(qiáng)度的瞬時(shí)值為(V/m)式中為真空的波阻抗。那么，電場(chǎng)強(qiáng)度的復(fù)矢量為(V/m)能流密度矢量：8-5 當(dāng)頻率分別為10kHz與10GHz的平面波在海水中傳播時(shí)，求此平面波在海水中的波長(zhǎng)、傳播常數(shù)、相速及特性阻抗。解 當(dāng)時(shí)，故可視為良導(dǎo)體。那么相位常數(shù)：；衰減常數(shù)：波長(zhǎng)：；相速波阻抗：當(dāng)時(shí)，故可視為非理想的電介質(zhì)，則相位常數(shù)：衰減常數(shù)：波長(zhǎng)：；相速：波阻抗：8-6 推導(dǎo)式（8-3-9）。解 若媒質(zhì)的電導(dǎo)率為，則無(wú)源區(qū)中

4、的麥克斯韋方程為令，代入下述齊次亥姆霍茲方程再令，顯然為復(fù)數(shù)。設(shè)，將代入得該方程兩端對(duì)應(yīng)的實(shí)部和虛部應(yīng)該相等，即求解上述聯(lián)立方程即可求得式（8-3-9），即8-7 試證一個(gè)線極化平面波可以分解為兩個(gè)旋轉(zhuǎn)方向相反的圓極化波。證明令一個(gè)x方向的線極化平面波為那么可將上式改寫(xiě)為顯然上式右端兩項(xiàng)均為圓極化平面波，而且旋轉(zhuǎn)方向恰好相反。這就證實(shí)一個(gè)線極化平面波可以分解為兩個(gè)旋轉(zhuǎn)方向相反的圓極化波。8-8 試證一個(gè)橢圓極化平面波可以分解為兩個(gè)旋轉(zhuǎn)方向相反的圓極化平面波。證明 由教材8-4節(jié)可見(jiàn)，通過(guò)坐標(biāo)軸旋轉(zhuǎn)，任一橢圓極化平面波均可表示為令，即，那么前式可展開(kāi)為此式又可改寫(xiě)為顯然，上式代表兩個(gè)旋轉(zhuǎn)方向相反

5、的圓極化波。8-9 試證圓極化平面波的能流密度瞬時(shí)值與時(shí)間及空間無(wú)關(guān)。證明 設(shè)圓極化波電場(chǎng)強(qiáng)度的瞬時(shí)值為上式可改寫(xiě)為相應(yīng)的磁場(chǎng)強(qiáng)度為那么，能流密度瞬時(shí)值為可見(jiàn)，圓極化波的能流密度瞬時(shí)值與時(shí)間及空間無(wú)關(guān)。8-10 設(shè)真空中圓極化平面波的電場(chǎng)強(qiáng)度為(V/m)試求該平面波的頻率、波長(zhǎng)、極化旋轉(zhuǎn)方向、磁場(chǎng)強(qiáng)度以及能流密度。解 由電場(chǎng)強(qiáng)度的表示式可見(jiàn)，那么波長(zhǎng)：；頻率：因傳播方向?yàn)?x方向，z分量又導(dǎo)前y分量，因此該圓極化平面波是左旋的。磁場(chǎng)強(qiáng)度為（A/m）能流密度為（W/m2）8-11 當(dāng)平面波自第一種理想介質(zhì)向第二種理想介質(zhì)垂直投射時(shí)，若媒質(zhì)波阻抗，證明邊界處為電場(chǎng)駐波最大點(diǎn)；若，則邊界處為電場(chǎng)駐波

6、最小點(diǎn)。證明 設(shè)入射波的傳播方向?yàn)?z方向，z <0一側(cè)媒質(zhì)波阻抗為Z1，z >0一側(cè)媒質(zhì)波阻抗為Z2，那么，入射波和反射波可以分別表示為入射波：；反射波：邊界上的反射系數(shù)為由于兩種介質(zhì)均為理想介質(zhì)，和為實(shí)數(shù)，且。媒質(zhì)中合成電場(chǎng)可表示為媒質(zhì)中合成電場(chǎng)的振幅為顯然，絕對(duì)值的最大值為，而最小值為。當(dāng)時(shí)，那么在z = 0的邊界上可見(jiàn)邊界上為電場(chǎng)駐波最大點(diǎn)。當(dāng)時(shí)，那么在z = 0的邊界上可見(jiàn)邊界上為電場(chǎng)駐波最小點(diǎn)。實(shí)際上，當(dāng)時(shí)，由于邊界上反射波和入射波的相位相同，因而形成電場(chǎng)駐波的最大點(diǎn)。當(dāng)時(shí)，邊界上反射波和入射波的相位相反，因而形成電場(chǎng)駐波的最小點(diǎn)。8-12 當(dāng)均勻平面波自真空向理想介質(zhì)

7、平面邊界垂直投射時(shí)，測(cè)得駐波比為2.7，試求該理想介質(zhì)的介電常數(shù)。解 由題可知，求得。若取，則由及，求出。顯然，此結(jié)果不合理。因此，應(yīng)取，則求得。8-13 當(dāng)右旋圓極化平面波自真空沿正Z方向向位于z = 0平面的理想導(dǎo)電體平面垂直投射時(shí)，若其電場(chǎng)強(qiáng)度的振幅為E0，試求：電場(chǎng)強(qiáng)度的瞬時(shí)形式及復(fù)數(shù)形式；反射波電場(chǎng)強(qiáng)度的表示式；理想導(dǎo)電體表面的電流密度。解 由題意知，可設(shè)該右旋圓極化平面波的電場(chǎng)強(qiáng)度的復(fù)數(shù)形式為其瞬時(shí)值為反射波為，因，則。令真空中的合成磁場(chǎng)為因?yàn)?；那么合成磁?chǎng)為已知表面電流密度為式中，為理想導(dǎo)電體表面的合成磁場(chǎng)。因此，求得表面電流為。8-14 若在電磁參數(shù)，的玻璃表面鍍上一層透明的介

8、質(zhì)以消除紅外線的反射，紅外線的波長(zhǎng)為0.75mm，試求：該介質(zhì)膜的介電常數(shù)及厚度；當(dāng)波長(zhǎng)為0.42mm的紫外線照射該鍍膜玻璃時(shí)，反射功率與入射功率之比。解 為了消除紅外線反射，介質(zhì)膜的介電常數(shù)應(yīng)使其波阻抗Z2滿足下述關(guān)系式式中Z0為真空波阻抗，Z1為玻璃的波阻抗。已知，那么，介質(zhì)膜的介電常數(shù)應(yīng)滿足下式介質(zhì)膜的厚度應(yīng)等于該紅外線在其內(nèi)傳播時(shí)的波長(zhǎng)的四分之一。已知紅外線的波長(zhǎng)，那么介質(zhì)膜的厚度應(yīng)為已知紫外線的波長(zhǎng)，則其在介質(zhì)膜中的波長(zhǎng)為，相位常數(shù)為，那么對(duì)于波長(zhǎng)的紫外線，邊界上的輸入波阻抗為那么，邊界上的總反射系數(shù)為 功率之比等于場(chǎng)強(qiáng)振幅的平方比，故反射功率與入射功率之比為。8-15 設(shè)某種多層媒

9、質(zhì)由三種媒質(zhì)組成，當(dāng)平面波自第一種媒質(zhì)沿正Z方向向多層媒質(zhì)邊界正投射時(shí)，如習(xí)題圖8-15所示。若R12為媒質(zhì)與媒質(zhì)形成的邊界反射系數(shù)，R23為媒質(zhì)與媒質(zhì)形成的邊界反射系數(shù)，試以反射系數(shù)R12及R23表示z = 0處的總反射系數(shù)。e1 m1 Xde2 m2 e3 m3 0Z習(xí)題圖8-15解 依題意知，其中、分別為三種媒質(zhì)的波阻抗；則可得，；那么，在處的輸入波阻抗為已知總反射系數(shù)為，將與代入，求得。e1 m1 Xde2 m2 e3 m3 0ZHES習(xí)題圖8-168-16 已知平面波的電場(chǎng)強(qiáng)度為向三層介質(zhì)邊界正投射，如習(xí)題圖8-16所示。已知三種介質(zhì)的參數(shù)為，中間介質(zhì)夾層厚度，試求各區(qū)域中電場(chǎng)強(qiáng)度及

10、磁場(chǎng)強(qiáng)度。解 由題意知，波數(shù)，波長(zhǎng)。在媒質(zhì)中的波長(zhǎng)為，可見(jiàn)。那么，處的輸入波阻抗為故處總的反射系數(shù)為，透射系數(shù)為；已知入射波電場(chǎng)強(qiáng)度為，那么在的區(qū)域中，反射波電場(chǎng)強(qiáng)度為。相應(yīng)的磁場(chǎng)強(qiáng)度為，在的區(qū)域中，可令入射波和反射波的電場(chǎng)強(qiáng)度和磁場(chǎng)強(qiáng)度分別為，在z > d的區(qū)域中，可令入射波的強(qiáng)度和磁場(chǎng)強(qiáng)度分別為，根據(jù)z = 0和z = d的邊界上電場(chǎng)強(qiáng)度和磁場(chǎng)強(qiáng)度的切向分量必須連續(xù)的邊界條件，可得下列方程：即式中。代入上述方程組，求得那么，各區(qū)域中的電場(chǎng)強(qiáng)度和磁場(chǎng)強(qiáng)度分別如下：，8-17 試證式（8-7-14）。證明 已知均勻平面波表示式為，式中代入無(wú)源區(qū)中的麥克斯韋方程考慮到式中顯然，上式可改寫(xiě)為

11、因此求得同理可證第二方程。對(duì)于散度方程，考慮到可見(jiàn)，求得。同理可證第四方程。8-18 已知平面波的電場(chǎng)強(qiáng)度為試求： 傳播常數(shù)k； 極化特性； 是否是TEM波？解 已知平面波的表示式為，由題獲知可見(jiàn)，即傳播常數(shù)為yxzEy+EzExk習(xí)題圖8-18傳播方向位于yz平面，如習(xí)題圖8-18所示。Ey分量與Ez分量構(gòu)成線極化波，它和相位不同振幅不等的Ex分量合成后,構(gòu)成橢圓極化波。由于Ex分量相位導(dǎo)前，因此形成右旋橢圓極化波。因，故為T(mén)EM波。8-19 當(dāng)以及e 和m 均不等時(shí)，試求垂直極化平面波斜投射時(shí)的布魯斯特角和臨界角。解 已知， 當(dāng)時(shí)，要使，發(fā)生無(wú)反射，則應(yīng)滿足可見(jiàn)，布魯斯特角。當(dāng)時(shí)，發(fā)生全反

12、射。那么，由求得臨界角。顯然，只有時(shí)才會(huì)發(fā)生全發(fā)射。當(dāng)e 和m 均不等時(shí)，要使，發(fā)生無(wú)反射，則由求得布魯斯特角。當(dāng)時(shí)，發(fā)生全反射。那么，由求得臨界角。8-20 當(dāng)平面波向理想介質(zhì)邊界斜投射時(shí)，試證布魯斯特角與相應(yīng)的折射角之和為。證明 考慮到大多數(shù)介質(zhì)的磁導(dǎo)率相同，此時(shí)只有平行極化波才可能發(fā)生全反射和無(wú)反射。已知平行極化波的反射系數(shù)為又由折射定律，對(duì)平行極化波而言要使，則，即，解得，因，可見(jiàn)8-21 當(dāng)平面波自空氣向無(wú)限大的介質(zhì)平面斜投射時(shí)，若平面波的電場(chǎng)強(qiáng)度振幅為1(V/m)，入射角為60°，介質(zhì)的電磁參數(shù)為，試求對(duì)于水平和垂直兩種極化平面波形成的反射波及折射波的電場(chǎng)振幅。解 對(duì)于平

13、行極化波，因，可見(jiàn)，故此時(shí)發(fā)生無(wú)反射，即折射波的電場(chǎng)振幅為1(V/m)。對(duì)于垂直極化波故反射波和折射波的電場(chǎng)振幅均為0.5(V/m)。8-22 已知天線罩的相對(duì)介電常數(shù)，為消除頻率為3GHz的平面波的反射，試求：介質(zhì)層的厚度；若頻率提高10%時(shí)產(chǎn)生的最大駐波比。（天線罩兩側(cè)的媒質(zhì)可以當(dāng)作空氣）解 由于，則在天線罩中該平面波的波長(zhǎng)為m又由于天線罩兩側(cè)媒質(zhì)的波阻抗相等，故其厚度應(yīng)取半波長(zhǎng)的整數(shù)倍，即厚度為式中。若頻率提高10%，對(duì)應(yīng)的波長(zhǎng)為m，則在天線罩中該平面波的波長(zhǎng)為m。那么，天線罩表面的輸入波阻抗為式中。求得反射系數(shù)為最大駐波比為。8-23 當(dāng)均勻平面波由空氣向位于平面的理想導(dǎo)電體表面斜投射

14、時(shí)，已知入射波電場(chǎng)強(qiáng)度 (V/m)試求：平面波的頻率；入射角；反射波的電場(chǎng)強(qiáng)度和磁場(chǎng)強(qiáng)度；空氣中的合成場(chǎng)及能流密度矢量。解 由入射波的電場(chǎng)強(qiáng)度表示式可知因此波數(shù)：；波長(zhǎng)：頻率：；入射角：入射波的磁場(chǎng)強(qiáng)度為由于入射方向位于xz平面，電場(chǎng)方向垂直于入射面，因此，入射波為垂直極化波。已知垂直極化波在理想導(dǎo)電體表面上的反射系數(shù)，則反射波的電場(chǎng)強(qiáng)度和磁場(chǎng)強(qiáng)度分別為合成波的電場(chǎng)強(qiáng)度和磁場(chǎng)強(qiáng)度分別為能流密度矢量。8-24 已知區(qū)域?yàn)槔硐雽?dǎo)電體，區(qū)域?yàn)榭諝?，若入射波的磁?chǎng)強(qiáng)度為 (A/m)試求：平面波的頻率；入射角；離開(kāi)導(dǎo)體表面1m處的合成波電場(chǎng)強(qiáng)度及能流密度。解 由入射波的磁場(chǎng)強(qiáng)度表示式獲知，可見(jiàn)，則頻率：

15、根據(jù)傳播方向與分界面的關(guān)系，得入射角 。入射波的磁場(chǎng)強(qiáng)度可分解為兩個(gè)分量，即式中對(duì)應(yīng)的電場(chǎng)強(qiáng)度為已知傳播方向位于xy平面，因此為平行極化波，它在理想導(dǎo)電體邊界上的反射系數(shù)，故反射波的電場(chǎng)強(qiáng)度和磁場(chǎng)強(qiáng)度分別為因?yàn)闉榇怪睒O化波，它在理想導(dǎo)電體邊界上的反射系數(shù)，故反射波的電場(chǎng)強(qiáng)度和磁場(chǎng)強(qiáng)度分別為那么，合成波的電場(chǎng)強(qiáng)度和磁場(chǎng)強(qiáng)度分別為離開(kāi)導(dǎo)體表面1m處的合成波電場(chǎng)強(qiáng)度磁場(chǎng)強(qiáng)度分別為能流密度為d習(xí)題圖8-25q ¢q tq i8-25 當(dāng)平面波向位于空氣中厚度為d的無(wú)限大介質(zhì)層斜投射時(shí)，若介質(zhì)層的介電常數(shù)為e，入射角為，試求介質(zhì)中以及空氣中的折射角。解 平面波在邊界上滿足相位匹配條件，即而由于

16、第一種介質(zhì)和第三種介質(zhì)均為空氣，相位常數(shù)，可見(jiàn)空氣中的折射角，如圖8-25所示。由，求得介質(zhì)層中折射角為e r習(xí)題圖8-261328-26 當(dāng)平面波向等腰直角玻璃棱鏡的底邊垂直投射時(shí)，如習(xí)題圖8-26所示。若玻璃的相對(duì)介電常數(shù)，試求反射功率與入射功率之比。解 當(dāng)該平面波進(jìn)入玻璃棱鏡后，在邊界2上的入射角為但是在此邊界上發(fā)生全反射的臨界角為可見(jiàn)，因此在邊界2上發(fā)生全反射。同樣在邊界3上也將發(fā)生全反射，所以到達(dá)穩(wěn)態(tài)后，沒(méi)有能量越過(guò)邊界2和3。因此，可以認(rèn)為反射功率等于入射功率。e r1 m0 de r2 m0 e r3 m0 W rW iW t習(xí)題圖8-278-27 已知均勻平面波的頻率，向多層媒

17、質(zhì)垂直投射，如習(xí)題圖8-27所示。該多層媒質(zhì)的參數(shù)為；，中間夾層厚度。試求： 第一媒質(zhì)中反射功率與入射功率之比， 第三媒質(zhì)中透射功率與入射功率之比。解 已知頻率，則在媒質(zhì)2中的波長(zhǎng)為可見(jiàn)，媒質(zhì)2的厚度恰為半波長(zhǎng)。那么，在媒質(zhì)1與媒質(zhì)2的邊界處的輸入波阻抗為在此邊界上的總反射系數(shù)為反射功率與入射功率之比為由于媒質(zhì)2是無(wú)耗的，因此根據(jù)能量守恒定律，可以推知到達(dá)媒質(zhì)3的透射功率應(yīng)等于入射功率與反射功率之差，即。zxyEixEiyErxEryd習(xí)題圖8-288-28 若在無(wú)限大的理想導(dǎo)電體表面涂復(fù)一層厚度的理想介質(zhì)。已知左旋圓極化波的電場(chǎng)振幅為2(V/m)，頻率，介質(zhì)層的，當(dāng)該圓極化波自空氣向該多層媒

18、質(zhì)表面正投射時(shí)，試求離介質(zhì)表面50cm處的合成波電場(chǎng)強(qiáng)度振幅、磁場(chǎng)強(qiáng)度振幅及能流密度矢量。解 根據(jù)題意，建立的坐標(biāo)如習(xí)題圖8-28所示。因頻率，則波長(zhǎng)，相位常數(shù)所以，左旋圓極化波的電場(chǎng)強(qiáng)度可表示為磁場(chǎng)強(qiáng)度為該平面波在介質(zhì)中的波長(zhǎng)為。可見(jiàn)介質(zhì)厚度。又知媒質(zhì)3為理想導(dǎo)電體，其波阻抗為零。因此介質(zhì)表面處(z = -d)的輸入波阻抗為總反射系數(shù)為反射波：，合成場(chǎng)為能流密度為將代入以上各式，得電場(chǎng)強(qiáng)度的振幅為零，磁場(chǎng)強(qiáng)度的振幅為，能流密度矢量為零。qiqrqte1 m1e2 m2 ZXE tE rE i習(xí)題圖8-298-29 當(dāng)右旋圓極化平面波以入射角自媒質(zhì)向媒質(zhì)斜投射時(shí)，如習(xí)題圖8-29所示。若兩種媒質(zhì)的電