新人教版八年級數(shù)學(xué)下冊勾股定理知識點(diǎn)和典型例習(xí)題

1、新人教版八年級下冊勾股定理全章知識點(diǎn)和典型例習(xí)題3一、基礎(chǔ)知識點(diǎn): 1.勾股定理內(nèi)容:直角三角形兩直角邊的平方和等于斜邊的平方;表示方法:如果直角三角形的兩直角邊分別為a ,b ,斜邊為c ,那么222a b c += 勾股定理的由來:勾股定理也叫商高定理,在西方稱為畢達(dá)哥拉斯定理.我國古代把直角三角形中較短的直角邊稱為勾,較長的直角邊稱為股,斜邊稱為弦.早在三千多年前,周朝數(shù)學(xué)家商高就提出了“勾三,股四,弦五”形式的勾股定理,后來人們進(jìn)一步發(fā)現(xiàn)并證明了直角三角形的三邊關(guān)系為:兩直角邊的平方和等于斜邊的平方 2.勾股定理的證明勾股定理的證明方法很多,常見的是拼圖的方法 用拼圖的方法驗(yàn)證勾股定理

2、的思路是 圖形進(jìn)過割補(bǔ)拼接后,只要沒有重疊,沒有空隙,面積不會改變根據(jù)同一種圖形的面積不同的表示方法,列出等式,推導(dǎo)出勾股定理 常見方法如下:方法一:4EFGH S S S +=正方形正方形ABCD ,2214(2ab b a c +-=,化簡可證.方法二:四個直角三角形的面積與小正方形面積的和等于大正方形的面積.四個直角三角形的面積與小正方形面積的和為221422S ab c ab c =+=+ 大正方形面積為222(2S a b a a b b =+=+ 所以222a b c +=方法三:1(2S a b a b =+梯形,2112S 222ADE ABE S S ab c =+=+梯形,

3、化簡得證3.勾股定理的適用范圍勾股定理揭示了直角三角形三條邊之間所存在的數(shù)量關(guān)系,它只適用于直角三角形,對于銳角三角形和鈍角三角形的三邊就不具有這一特征,因而在應(yīng)用勾股定理時,必須明了所考察的對象是直角三角形4.勾股定理的應(yīng)用已知直角三角形的任意兩邊長,求第三邊在ABC 中,90C =,則22c a b =+,22b c a =-,22a c b =-知道直角三角形一邊,可得另外兩邊之間的數(shù)量關(guān)系可運(yùn)用勾股定理解決一些實(shí)際問題 5.勾股定理的逆定理如果三角形三邊長a ,b ,c 滿足222a b c +=,那么這個三角形是直角三角形,其中c 為斜邊勾股定理的逆定理是判定一個三角形是否是直角三角

4、形的一種重要方法,它通過“數(shù)轉(zhuǎn)化為形”來確定三角形的可能形狀,在運(yùn)用這一定理時,可用兩小邊的平方和22a b +與較長邊的平方2c 作比較,若它們相等時,以a ,b ,c 為三邊的三角形是直角三角形;若cb a H GFEDCBAbacbac cabcab a bcc baED CBA222a b c +<,時,以a ,b ,c 為三邊的三角形是鈍角三角形;若222a b c +>,時,以a ,b ,c 為三邊的三角形是銳角三角形;定理中a ,b ,c 及222a b c +=只是一種表現(xiàn)形式,不可認(rèn)為是唯一的,如若三角形三邊長a ,b ,c 滿足222a c b +=,那么以a

5、,b ,c 為三邊的三角形是直角三角形,但是b 為斜邊勾股定理的逆定理在用問題描述時,不能說成:當(dāng)斜邊的平方等于兩條直角邊的平方和時,這個三角形是直角三角形 6.勾股數(shù)能夠構(gòu)成直角三角形的三邊長的三個正整數(shù)稱為勾股數(shù),即222a b c +=中,a ,b ,c 為正整數(shù)時,稱a ,b ,c 為一組勾股數(shù)記住常見的勾股數(shù)可以提高解題速度,如3,4,5;6,8,10;5,12,13;7,24,25等 用含字母的代數(shù)式表示n 組勾股數(shù): 221,2,1n n n -+(2,n n 為正整數(shù);2221,22,221n n n n n +(n 為正整數(shù)2222,2,m n mn m n -+(,m n

6、>m ,n 為正整數(shù)7.勾股定理的應(yīng)用勾股定理能夠幫助我們解決直角三角形中的邊長的計算或直角三角形中線段之間的關(guān)系的證明問題.在使用勾股定理時,必須把握直角三角形的前提條件,了解直角三角形中,斜邊和直角邊各是什么,以便運(yùn)用勾股定理進(jìn)行計算,應(yīng)設(shè)法添加輔助線(通常作垂線,構(gòu)造直角三角形,以便正確使用勾股定理進(jìn)行求解. 8.勾股定理逆定理的應(yīng)用勾股定理的逆定理能幫助我們通過三角形三邊之間的數(shù)量關(guān)系判斷一個三角形是否是直角三角形,在具體推算過程中,應(yīng)用兩短邊的平方和與最長邊的平方進(jìn)行比較,切不可不加思考的用兩邊的平方和與第三邊的平方比較而得到錯誤的結(jié)論. 9.勾股定理及其逆定理的應(yīng)用 勾股定理

7、及其逆定理在解決一些實(shí)際問題或具體的幾何問題中,是密不可分的一個整體.通常既要通過逆定理判定一個三角形是直角三角形,又要用勾股定理求出邊的長度,二者相輔相成,完成對問題的解決.常見圖形:ABC30°D C BA ADB C10、互逆命題的概念如果一個命題的題設(shè)和結(jié)論分別是另一個命題的結(jié)論和題設(shè),這樣的兩個命題叫做互逆命題。如果把其中一個叫做原命題,那么另一個叫做它的逆命題。 二、經(jīng)典例題精講題型一:直接考查勾股定理 例1.在ABC 中,90C =.已知6AC =,8BC =.求AB 的長已知17AB =,15AC =,求BC 的長分析:直接應(yīng)用勾股定理222a b c +=解:221

8、0AB AC BC =+=C BDA 228BC AB AC =-= 題型二:利用勾股定理測量長度例題1 如果梯子的底端離建筑物9米,那么15米長的梯子可以到達(dá)建筑物的高度是多少米?解析:這是一道大家熟知的典型的“知二求一”的題。把實(shí)物模型轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)模型后,.已知斜邊長和一條直角邊長,求另外一條直角邊的長度,可以直接利用勾股定理!根據(jù)勾股定理AC 2+BC 2=AB 2, 即AC 2+92=152,所以AC 2=144,所以AC=12.例題2 如圖(8,水池中離岸邊D 點(diǎn)1.5米的C 處,直立長著一根蘆葦,出水部分B C 的長是0.5米,把蘆葦拉到岸邊,它的頂端B 恰好落到D 點(diǎn),并求水池的深

9、度AC.解析:同例題1一樣,先將實(shí)物模型轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)模型,如圖2. 由題意可知ACD 中,ACD=90°,在Rt ACD 中,只知道CD=1.5,這是典型的利用勾股定理“知二求一”的類型。標(biāo)準(zhǔn)解題步驟如下(僅供參考: 解:如圖2,根據(jù)勾股定理,AC 2+CD 2=AD 2設(shè)水深A(yù)C= x 米,那么AD=AB=AC+CB=x +0.5 x 2+1.52=( x +0.52解之得x =2. 故水深為2米.題型三:勾股定理和逆定理并用 例題3 如圖3,正方形ABCD 中,E 是BC 邊上的中點(diǎn),F 是AB 上一點(diǎn),且AB FB 41=那么DEF 是直角三角形嗎?為什么? 解析:這道題把很多條

10、件都隱藏了,乍一看有點(diǎn)摸不著頭腦。仔細(xì)讀題會意可以發(fā)現(xiàn)規(guī)律,沒有任何條件,我們也可以開創(chuàng)條件,由AB FB 41=可以設(shè)AB =4a ,那么BE=CE=2 a ,AF=3 a ,BF= a ,那么在Rt AFD 、Rt BEF 和 Rt CDE 中,分別利用勾股定理求出DF,EF 和DE 的長,反過來再利用勾股定理逆定理去判斷DEF 是否是直角三角形。詳細(xì)解題步驟如下:解:設(shè)正方形ABCD的邊長為4a,則BE=CE=2a,AF=3a,BF=a在RtCDE中,DE2=CD2+CE2=(4a2+(2a2=20 a2同理EF2=5a2, DF2=25a2在DEF中,EF2+ DE2=5a2+ 20a

11、2=25a2=DF2DEF是直角三角形,且DEF=90°.注:本題利用了四次勾股定理,是掌握勾股定理的必練習(xí)題。題型四:利用勾股定理求線段長度例題4 如圖4,已知長方形ABCD中AB=8cm,BC=10cm,在邊CD上取一點(diǎn)E,將ADE折疊使點(diǎn)D恰好落在BC邊上的點(diǎn)F,求CE的長. 解析:解題之前先弄清楚折疊中的不變量。合理設(shè)元是關(guān)鍵。詳細(xì)解題過程如下:解:根據(jù)題意得RtADERtAEFAFE=90°, AF=10cm, EF=DE設(shè)CE=x cm,則DE=EF=CD-CE=8-x在RtABF中由勾股定理得:AB2+BF2=AF2,即82+BF2=102,BF=6cmCF=

12、BC-BF=10-6=4(cm在RtECF中由勾股定理可得:EF2=CE2+CF2,即(8-x 2=x2+4264-16x+x2=2+16x=3(cm,即CE=3 cm注:本題接下來還可以折痕的長度和求重疊部分的面積。題型五:利用勾股定理逆定理判斷垂直 例題5 如圖5,王師傅想要檢測桌子的表面AD邊是否垂直與AB邊和CD邊,他測得AD=80cm,AB=60cm,BD=100cm,AD邊與AB邊垂直嗎?怎樣去驗(yàn)證AD邊與CD邊是否垂直?解析:由于實(shí)物一般比較大,長度不容易用直尺來方便測量。我們通常截取部分長度來驗(yàn)證。如圖4,矩形ABCD 表示桌面形狀,在AB 上截取AM=12cm,在AD 上截取

13、AN=9cm(想想為什么要設(shè)為這兩個長度?,連結(jié)MN ,測量MN 的長度。如果MN=15,則AM 2+AN 2=MN 2,所以AD 邊與AB 邊垂直;如果MN=a 15,則92+122=81+144=225, a 2225,即92+122 a 2,所以A 不是直角。利用勾股定理解決實(shí)際問題 例題6 有一個傳感器控制的燈,安裝在門上方,離地高4.5米的墻上,任何東西只要移至5米以內(nèi),燈就自動打開,一個身高1.5米的學(xué)生,要走到離門多遠(yuǎn)的地方燈剛好打開?解析:首先要弄清楚人走過去,是頭先距離燈5米還是腳先距離燈5米,可想而知應(yīng)該是頭先距離燈5米。轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)模型,如圖6 所示,A 點(diǎn)表示控制燈,BM

14、 表示人的高度,BC MN,BC AN 當(dāng)頭(B 點(diǎn)距離A 有5米時,求BC 的長度。已知AN=4.5米,所以AC=3米,由勾股定理,可計算BC=4米.即使要走到離門4米的時候燈剛好打開。題型六:旋轉(zhuǎn)問題:例1、如圖,ABC 是直角三角形,BC 是斜邊,將ABP 繞點(diǎn)A 逆時針旋轉(zhuǎn)后,能與AC P 重合,若AP=3,求PP 的長。變式1:如圖,P 是等邊三角形ABC 內(nèi)一點(diǎn),PA=2,PB=23,PC=4,求ABC 的邊長. 分析:利用旋轉(zhuǎn)變換,將BPA 繞點(diǎn)B 逆時針選擇60°,將三條線段集中到同一個三角形中, 根據(jù)它們的數(shù)量關(guān)系,由勾股定理可知這是一個直角三角形.變式2、如圖,A

15、BC 為等腰直角三角形,BAC=90°,E 、F 是BC 上的點(diǎn),且EAF=45°, 試探究222BE CF EF 、間的關(guān)系,并說明理由.題型七:關(guān)于翻折問題例1、如圖,矩形紙片ABCD 的邊AB=10cm ,BC=6cm ,E 為BC 上一點(diǎn),將矩形紙片沿AE 折疊,點(diǎn)B 恰好落在CD 邊上的點(diǎn)G 處,求BE 的長.變式:如圖,AD 是ABC 的中線,ADC=45°,把ADC 沿直線AD 翻折,點(diǎn)C 落在點(diǎn)C 的位置,BC=4,求BC 的長. 題型八:關(guān)于勾股定理在實(shí)際中的應(yīng)用:例 1、如圖，公路 MN 和公路 PQ 在 P 點(diǎn)處交匯，點(diǎn) A 處有一所中學(xué)，A

16、P=160 米，點(diǎn) A 到公路 MN 的距離為 80 米，假使拖拉機(jī)行駛時，周圍 100 米以內(nèi)會受到噪音影響，那么拖拉機(jī)在公路 MN 上沿 PN 方向行駛時，學(xué)校是否會受到影響，請說明理由；如果受到影響，已知拖拉機(jī)的速度是 18 千米/ 小時，那么學(xué)校受到影響的時間為多少？ 題型九：關(guān)于最短性問題 例 5、如右圖 119，壁虎在一座底面半徑為 2 米，高為 4 米的油罐的下底邊沿 A 處， 它發(fā)現(xiàn)在自己的正上方油罐上邊緣的 B 處有一只害蟲， 便決定捕捉這只害蟲， 為了不引起害蟲的注意，它故意不走直線，而是繞著油罐，沿一條螺旋路線，從 背后對害蟲進(jìn)行突然襲擊結(jié)果，壁虎的偷襲得到成功，獲得了一

17、頓美餐請問 壁虎至少要爬行多少路程才能捕到害蟲?（ 取 3.14，結(jié)果保留 1 位小數(shù)，可以用 計算器計算）變式：如圖為一棱長為 3cm 的正方體，把所有面都分為 9 個小正方 形，其邊長都是 1cm，假設(shè)一只螞蟻每秒爬行 2cm，則它從下地面 A 點(diǎn)沿表面爬行至右側(cè)面的 B 點(diǎn)， 最少要花幾秒鐘？ 三、課后訓(xùn)練： 一、填空題 1如圖(1，在高 2 米，坡角為 30°的樓梯表面鋪地毯，地毯的長至少需_米 D C D B E O 第 3 題圖 圖(1 2種盛飲料的圓柱形杯（如圖） ，測得內(nèi)部底面半徑為 2.5 ，高為 12 ，吸管放進(jìn)杯里，杯口外面至少要露 出 4.6 ，問吸管要做 。

18、 3已知：如圖，ABC 中，C = 90° ，點(diǎn) O 為ABC 的三條角平分線的交點(diǎn)，ODBC，OEAC，OFAB， 點(diǎn) D 、 E 、 F 分別是垂足，且 BC = 8cm ， CA = 6cm ，則點(diǎn) O 到三邊 AB ， AC 和 BC 的距離分別等 于 cm 4在一棵樹的 10 米高處有兩只猴子，一只猴子爬下樹走到離樹 20 米處的池塘的 A 處。另一只爬到樹頂 D 后 直接躍到 A 處，距離以直線計算，如果兩只猴子所經(jīng)過的距離相等，則這棵樹高_(dá)米。 A 20 5.如圖是一個三級臺階，它的每一級的長寬和高分別為 20dm、3dm、 3 2 2dm，A 和 B 是這個臺階兩個相

19、對的端點(diǎn)，A 點(diǎn)有一只螞蟻，想到 B 點(diǎn)去吃可口的食物，則螞蟻沿著臺階面爬到 B 點(diǎn)最短路程是_. 二、選擇題 B 1已知一個 Rt的兩邊長分別為 3 和 4，則第三邊長的平方是（ ） A、25 B、14 C、7 D、7 或 25 2Rt一直角邊的長為 11，另兩邊為自然數(shù)，則 Rt的周長為（ ） A、121 B、120 C、132 D、不能確定 3如果 Rt兩直角邊的比為 512，則斜邊上的高與斜邊的比為（ ） A、6013 B、512 C、1213 D、60169 4已知 RtABC 中，C=90°，若 a+b=14cm，c=10cm，則 RtABC 的面積是（ ） 2 2 2

20、2 A、24cm B、36cm C、48cm D、60cm 5等腰三角形底邊上的高為 8，周長為 32，則三角形的面積為（ ） A、56 B、48 C、40 D、32 C A 第 4 題圖 A F B 6 6某市在舊城改造中，計劃在市內(nèi)一塊如圖所示的三角形空地上種植草皮以美化環(huán)境，已知這種草皮每平方米 E D A 售價 a 元，則購買這種草皮至少需要（ ） A、450a 元 B、225a 元 C、150a 元 D、300a 元 20m 150° 30m B 第 7 題圖 第 6 題圖 F C 7已知，如圖長方形 ABCD 中，AB=3cm，AD=9cm，將此長方形折疊，使點(diǎn) B 與點(diǎn)

21、 D 重合，折痕為 EF，則ABE 的面積為（ ） 2 2 2 2 A、6cm B、8cm C、10cm D、12cm B 8在ABC 中，AB=15，AC=13，高 AD=12，則ABC 的周長為 C A42 B32 C42 或 32 D37 或 33 9. 如圖，正方形網(wǎng)格中的ABC，若小方格邊長為 1，則ABC 是 （ ） A （A）直角三角形 (B銳角三角形 (C鈍角三角形 (D以上答案都不對 三、計算 1、如圖，A、B 是筆直公路 l 同側(cè)的兩個村莊，且兩個村莊到直路的距離分別是 300m 和 500m，兩村莊之間的距 2 2 離為 d(已知 d =400000m ，現(xiàn)要在公路上建一汽車?？空?，使兩村到?？空镜木嚯x之和最小。問最小是多少？ B A l 2、如圖 1-3-11，有一塊塑料矩形模板 ABCD，長為 10cm，寬為 4cm，將你手中足夠大的直角三角板 PHF 的直角 頂點(diǎn) P 落在 AD 邊上（不與 A、D 重合） ，在 AD 上適