用二分法求方程的近似解史傳奇

1、3.1.2 3.1.2 用二分法求方程的近似解用二分法求方程的近似解 長豐一中長豐一中 史傳奇史傳奇游戲：請你模仿李詠主持一下幸運(yùn)游戲：請你模仿李詠主持一下幸運(yùn)52，請同學(xué)們猜一下物品的價格請同學(xué)們猜一下物品的價格. 在一個風(fēng)雨交加的夜里，從某水庫閘房到防洪指揮在一個風(fēng)雨交加的夜里，從某水庫閘房到防洪指揮部的電話線路發(fā)生了故障這是一條部的電話線路發(fā)生了故障這是一條10 km10 km長的線路，長的線路，如何迅速查出故障所在？如何迅速查出故障所在？ 如果沿著線路一小段一小段查找，困難很多每查一個如果沿著線路一小段一小段查找，困難很多每查一個點要爬一次電線桿，點要爬一次電線桿，10km10km長，

2、大約有長，大約有200200多根電線桿呢想多根電線桿呢想一想，維修線路的工人師傅怎樣工作最合理？一想，維修線路的工人師傅怎樣工作最合理？B BA AC CD DE E 假設(shè)在區(qū)間假設(shè)在區(qū)間-1,5-1,5上，上，f(x)f(x)的圖象是一條連續(xù)的曲線，且的圖象是一條連續(xù)的曲線，且f(-1)0,f(5)0,f(5)0，即，即f(-1)f(5)0f(-1)f(5)0，我們怎樣依如上方法求得，我們怎樣依如上方法求得方程方程f(x)=0f(x)=0的一個解的一個解? ?-1 f(x)yxO12345 像像上面這種求方程近似解的方法稱為二分法上面這種求方程近似解的方法稱為二分法. .二分法的定義：二分法

3、的定義：定義：定義： 對于在區(qū)間對于在區(qū)間a,ba,b上上連續(xù)不斷連續(xù)不斷且且f(a)f(b)0f(a)f(b)0的函的函數(shù)數(shù)y=f(x),y=f(x),通過不斷地把函數(shù)通過不斷地把函數(shù)f(x)f(x)的零點所在的區(qū)間的零點所在的區(qū)間一一分為二分為二，使區(qū)間的兩個端點逐步逼近零點，進(jìn)而得到零，使區(qū)間的兩個端點逐步逼近零點，進(jìn)而得到零點近似值的方法叫做點近似值的方法叫做二分法二分法（bisectionbisection）. .【思考】【思考】(1)(1)所有的函數(shù)都有零點嗎？所有的函數(shù)都有零點嗎？(2)(2)若函數(shù)有零點，是否都可用二分法求出？若函數(shù)有零點，是否都可用二分法求出？xyoxyoxy

4、o例例1. 1. 求函數(shù)求函數(shù)f(x)=xf(x)=x3 3+2x+2x2 2-3x-6-3x-6的正數(shù)零點的正數(shù)零點( (精確度為精確度為0.1).0.1).【解題指南】【解題指南】本題考查函數(shù)零點的概念以及用二分法求函數(shù)零本題考查函數(shù)零點的概念以及用二分法求函數(shù)零點的具體步驟點的具體步驟. .求正數(shù)零點，關(guān)鍵是確定一個包含此零點的區(qū)求正數(shù)零點，關(guān)鍵是確定一個包含此零點的區(qū)間間. .【解析】【解析】確定一個包含正數(shù)零點的區(qū)間確定一個包含正數(shù)零點的區(qū)間(m(m，n)n)，且，且f(m)f(m)f(n)0.f(n)0.因為因為f(0)=-60f(0)=-60，f(1)=-60f(1)=-60f(

5、2)=40，所以可以取區(qū)間，所以可以取區(qū)間(1,2)(1,2)作作為計算的初始區(qū)間為計算的初始區(qū)間. .因為因為f(1)=-60f(1)=-60f(2)=40，所以存在，所以存在x x0 0(1, (1, 2)2)，使，使f(xf(x0 0)=0.)=0.用二分法逐步計算，列表如下：用二分法逐步計算，列表如下：端點端點( (中點中點) ) 端點或中點的端點或中點的函數(shù)值的符號函數(shù)值的符號 取值區(qū)間取值區(qū)間 f(1)0,f(1)0 f(2)0 (1,2) (1,2) f(1.5)0 f(1.5)0 f(1.75)0 (1.5,1.75) (1.5,1.75) 11+2x1.5221.5+2x1.

6、752由于由于|1.75-1.687 5|=0.062 50.1.|1.75-1.687 5|=0.062 50.1.函數(shù)的正零點的近似值為函數(shù)的正零點的近似值為1.687 5.1.687 5.端點端點( (中點中點) ) 端點或中點的端點或中點的函數(shù)值的符號函數(shù)值的符號 取值區(qū)間取值區(qū)間 f(1.625)0 f(1.625)0 (1.625,1.75) (1.625,1.75) f(1.687 5)0 f(1.687 5)0 (1.687 5,1.75) (1.687 5,1.75) 31.5+1.75x21.62541.625+1.75x21.687 5給定精確度給定精確度 , ,用二分法

7、求函數(shù)用二分法求函數(shù)f(x)f(x)的零點近似值的步驟如下：的零點近似值的步驟如下：1.1.確定區(qū)間確定區(qū)間 ，驗證，驗證 ，給定精確度，給定精確度 ；, a b( )( )0f af b2.2.求區(qū)間（求區(qū)間（a,ba,b）的中點）的中點c c；3.3.計算計算( )f c（1 1）若）若 ，則，則c c就是函數(shù)的零點；就是函數(shù)的零點；( )0f c（2 2）若）若 , ,則令則令b=c(b=c(此時零點此時零點x x0 0(a,c)(a,c)；( )( )0f af c（3 3）若）若 , ,則令則令a=ca=c（此時零點（此時零點x x0 0(c,b).(c,b).( )( )0f cf

8、 b即若即若 ，則得到零點近似值，則得到零點近似值a(a(或或b b）；）；ab4.4.判斷是否達(dá)到精確度判斷是否達(dá)到精確度 ：否則重復(fù)步驟否則重復(fù)步驟2 24 4例例2. 2. 求函數(shù)求函數(shù)f(x)=lnx+2x-6f(x)=lnx+2x-6在區(qū)間（在區(qū)間（2 2，3 3）內(nèi)的零點）內(nèi)的零點（精確度為（精確度為0.010.01）. .解：解：畫出畫出y=lnxy=lnx及及y=6-2xy=6-2x的圖象，觀察圖象得，的圖象，觀察圖象得，方程方程lnx=6-2xlnx=6-2x有唯一解，記為有唯一解，記為x x1 1，且這個解，且這個解在區(qū)間（在區(qū)間（2 2，3 3）內(nèi)）內(nèi)y=y=2x+62x

9、+6y=lnxy=lnx6 6O Ox x1 1 2 2 3 3 4 4y y根所在區(qū)間根所在區(qū)間區(qū)間端點函數(shù)值符號區(qū)間端點函數(shù)值符號中點值中點值中點函數(shù)值符號中點函數(shù)值符號（2 2，3 3）f(2)0f(2)02.52.5f(2.5)0f(2.5)0（2.52.5，3 3）f(2.5)0f(2.5)0f(3)02.752.75f(2.75)0f(2.75)0（2.52.5，2.752.75）f(2.5)0f(2.5)0f(2.75)02.6252.625f(2.625)0f(2.625)0（2.52.5，2.6252.625）f(2.5)0f(2.5)02.562 52.562 5f(2.5

10、62 5)0f(2.562 5)0（2.531 252.531 25，2.562 52.562 5）f(2.5)0f(2.5)0f(2.562 5)0（2.52.5，2.562 52.562 5）f(2.531 25)0f(2.531 25)0f(2.562 5)0f(2.531 25)0f(2.531 25)0f(2.539 062 5)0f(2.531 25)0f(2.531 25)0f(2.546 875)0（2.531 252.531 25，2.539 062 52.539 062 5）f(2.546 875)0f(2.546 875)0f(2.531 25)0,f(2.531 25)

11、0f(2.539 062 5)0列出下表：列出下表：由于由于2.539 062 52.531 250.007 812 50.01所以，可以將所以，可以將2.531 25x作為函數(shù)作為函數(shù)( )ln26f xxx零點的近似值，也即方程零點的近似值，也即方程ln260 xx的近似根的近似根. .注意精確度注意精確度2.2.二分法求函數(shù)零點步驟的記憶口訣二分法求函數(shù)零點步驟的記憶口訣定區(qū)間，找中點；中值計算兩邊看定區(qū)間，找中點；中值計算兩邊看. .同號丟，異號算，零點落在異號間同號丟，異號算，零點落在異號間. .重復(fù)做，何時止，精確度來把關(guān)口重復(fù)做，何時止，精確度來把關(guān)口. . 對二分法概念的理解對

12、二分法概念的理解【技法點撥】【技法點撥】運(yùn)用二分法求函數(shù)零點需具備的二個條件運(yùn)用二分法求函數(shù)零點需具備的二個條件(1)(1)函數(shù)圖象在零點附近連續(xù)不斷函數(shù)圖象在零點附近連續(xù)不斷. .(2)(2)在該零點左右函數(shù)值異號在該零點左右函數(shù)值異號. .【典例訓(xùn)練】【典例訓(xùn)練】1.1.下列圖象與下列圖象與x x軸均有交點，其中不能用二分法求函數(shù)零點的軸均有交點，其中不能用二分法求函數(shù)零點的是是( )( )2.2.下面關(guān)于二分法的敘述，正確的是下面關(guān)于二分法的敘述，正確的是( )( )(A)(A)用二分法可求所有函數(shù)零點的近似值用二分法可求所有函數(shù)零點的近似值(B)(B)用二分法求方程的近似解時，可以精確

13、到小數(shù)點后的任一位用二分法求方程的近似解時，可以精確到小數(shù)點后的任一位(C)(C)二分法無規(guī)律可循二分法無規(guī)律可循(D)(D)只有在求函數(shù)零點時才用二分法只有在求函數(shù)零點時才用二分法 用二分法求函數(shù)的零點用二分法求函數(shù)的零點【技法點撥】【技法點撥】1.1.用二分法求函數(shù)零點的近似值應(yīng)遵循的原則用二分法求函數(shù)零點的近似值應(yīng)遵循的原則(1)(1)需依據(jù)圖象估計零點所在的初始區(qū)間需依據(jù)圖象估計零點所在的初始區(qū)間m,nm,n( (一般采用估計一般采用估計值的方法完成值的方法完成).).(2)(2)取區(qū)間端點的平均數(shù)取區(qū)間端點的平均數(shù)c c，計算，計算f(c)f(c)，確定有解區(qū)間是，確定有解區(qū)間是m,

14、cm,c還是還是c,nc,n，逐步縮小區(qū)間的，逐步縮小區(qū)間的“長度長度”，直到區(qū)間的兩個端點，直到區(qū)間的兩個端點符合精確度要求，終止計算，得到函數(shù)零點的近似值符合精確度要求，終止計算，得到函數(shù)零點的近似值. .【典例訓(xùn)練】【典例訓(xùn)練】1.1.函數(shù)函數(shù)f(x)=xf(x)=x3 3+x+x2 2-2x-2-2x-2在區(qū)間在區(qū)間1,21,2的一個零點是的一個零點是_(_(精精確度為確度為0.1).0.1).2.2.求函數(shù)求函數(shù)f(x)=xf(x)=x3 3-3x-3x2 2-9x+1-9x+1的一個負(fù)零點的一個負(fù)零點( (精確度為精確度為0.01).0.01). 用二分法求方程的近似解用二分法求方

15、程的近似解【技法點撥】【技法點撥】用二分法求方程的近似解的思路和方法用二分法求方程的近似解的思路和方法(1)(1)根據(jù)函數(shù)的零點與相應(yīng)方程解的關(guān)系，求函數(shù)的零點與求根據(jù)函數(shù)的零點與相應(yīng)方程解的關(guān)系，求函數(shù)的零點與求相應(yīng)方程的解是等價的，所以求方程相應(yīng)方程的解是等價的，所以求方程f(x)=0f(x)=0的近似解，可按照的近似解，可按照用二分法求函數(shù)零點近似值的步驟求解用二分法求函數(shù)零點近似值的步驟求解. .(2)(2)對于求形如對于求形如f(x)=g(x)f(x)=g(x)的方程的近似解，可以通過移項轉(zhuǎn)化的方程的近似解，可以通過移項轉(zhuǎn)化成求函數(shù)成求函數(shù)F(x)=f(x)-g(x)F(x)=f(x

16、)-g(x)的零點的近似值，然后按照用二分法的零點的近似值，然后按照用二分法求函數(shù)零點的近似值的步驟求解求函數(shù)零點的近似值的步驟求解. .【典例訓(xùn)練】【典例訓(xùn)練】1.1.利用計算器，算出自變量和函數(shù)值的對應(yīng)值如下表：利用計算器，算出自變量和函數(shù)值的對應(yīng)值如下表： x x1.01.01.41.41.81.82.22.22.62.63.03.0y=2y=2x x2.02.02.6392.6393.4283.4284.5954.5956.0636.0638.08.0y=xy=x2 21.01.01.961.963.243.244.844.846.766.769.09.0那么方程那么方程2 2x x=

17、x=x2 2的一個根所在區(qū)間為的一個根所在區(qū)間為( )( )(A)(0.6,1.0) (B)(1.4,1.8)(A)(0.6,1.0) (B)(1.4,1.8)(C)(1.8,2.2) (D)(2.6,3.0)(C)(1.8,2.2) (D)(2.6,3.0)2.2.求方程求方程x x2 2=2x+1=2x+1的一個近似解的一個近似解( (精確度為精確度為0.1).0.1).1.1.二分法求函數(shù)的零點的近似值適合于二分法求函數(shù)的零點的近似值適合于( )( )(A)(A)零點兩側(cè)函數(shù)值符號相反零點兩側(cè)函數(shù)值符號相反(B)(B)零點兩側(cè)函數(shù)值符號相同零點兩側(cè)函數(shù)值符號相同(C)(C)都適合都適合(

18、D)(D)都不適合都不適合A A2.2.下列函數(shù)不能用二分法求零點的是下列函數(shù)不能用二分法求零點的是( )( )(A)f(x)=3x-2 (B)f(x)=log(A)f(x)=3x-2 (B)f(x)=log2 2x+2x-9x+2x-9(C)f(x)=(2x-3)(C)f(x)=(2x-3)2 2 (D)f(x)=3 (D)f(x)=3x x-3-33.3.用二分法求函數(shù)用二分法求函數(shù)f(x)f(x)的一個正實數(shù)零點時，經(jīng)計算的一個正實數(shù)零點時，經(jīng)計算f(0.64)0f(0.64)0f(0.72)0，f(0.68)0f(0.68)0,f(0.74)0,則函數(shù)的一則函數(shù)的一個精確度為個精確度為0.10.1的正實數(shù)零點的近似值為的正實數(shù)零點的近似值為( )( )(A)0.64 (B)0.74 (C)0.7 (D)0.6(A)0.64 (B)0.74 (C)0.7 (D)0.6C CC C4.4.用二分法求函數(shù)用二分法求函數(shù)y=f(x)y=f(