數(shù)字信號處理講義上海交通大學

1、Shanghai Jiao Tong UniversityShanghai Jiao Tong University 本節(jié)主要介紹FIR濾波器具有線性相位的條件及幅度特性以及零點、網(wǎng)絡結構的特點。 對于長度為N的h(n)，傳輸函數(shù)為10()()( )()( )Njj nnjjgH eh n eH eHe (7.1.1) (7.1.2) Shanghai Jiao Tong University 式中，Hg()稱為幅度特性，()稱為相位特性。，這里Hg()不同于|H(ej)|，Hg()為的實函數(shù)，可能取負值，而|H(ej)|總是正值。H(ej)線性相位是指()是的線性函數(shù)，即 ()=, 為常數(shù)

2、(7.1.3) 如果()滿足下式： ()=0-，0是起始相位 (7.1.4) 嚴格地說，此時()不具有線性相位，但以上兩種情況都滿足群時延是一個常數(shù)，即( )dd Shanghai Jiao Tong University 也稱這種情況為線性相位。；。 下面推導與證明滿足第一類線性相位的條件是：h(n)是實序列且對(N-1)/2偶對稱，即 h(n)=h(N-n-1) (7.1.5) 滿足第二類線性相位的條件是：h(n)是實序列且對(N-1)/2奇對稱，即 h(n)=-h(N-n-1) (7.1.6)Shanghai Jiao Tong University (1) 第一類線性相位條件證明：10

3、10( )( )( )(1)NnnNnnH zh n zH zh Nnz將將(7.1.5)式代入上式得式代入上式得令令m=N-n-1,則有則有11(1)(1)00(1)1( )( )( )( )()NNN mNmmmNH zh m zzh m zH zzH z(7.1.7) Shanghai Jiao Tong University 按照上式可以將H(z)表示為1(1)1(1)01111()222011( )( )()( )221( ) 2NNnNnnNNNNnnnH zH zzH zh n zzzzh nzz 將將z=e j代入上式，得到：代入上式，得到： 11()20101()( )cos

4、() 21( )( )cos() 21( )(1)2NNjjnNgnNH eeh nnNHh nnN 按照按照(7.1.2)式，幅度函數(shù)式，幅度函數(shù)Hg()和相位函數(shù)分別為和相位函數(shù)分別為(7.1.8) (7.1.9) Shanghai Jiao Tong University (2) 第二類線性相位條件證明：110011(1)(1)00(1)1( )( )(1)( )( )( )( )()NNnnnnNNN mNmnnNH zh n zh NnzH zh m zzh m zH zzH z (7.1.10) 令令m=N-n-1,則有則有 同樣可以表示為同樣可以表示為1(1)1(1)011112

5、22011( )( )()( )221( )2NNnNnnNNNNnnnH zH zzH zh n zzzzh nzz Shanghai Jiao Tong University1120112201()( )( )sin ()21( )sin ()2jNNjjz enNNjjnNH eH zjeh nnNeh nn 因此，幅度函數(shù)和相位函數(shù)分別為因此，幅度函數(shù)和相位函數(shù)分別為101( )( )sin ()21( )()22NgnNHh nnNQ (7.1.11) (7.1.12) Shanghai Jiao Tong UniversityShanghai Jiao Tong Universit

6、yShanghai Jiao Tong University 1) h(n)=h(N-n-1)，N=奇數(shù) 按照(7.1.8)式，幅度函數(shù)Hg()為101( )( )cos() 2NgnNHh nn 式中，式中，h(n)對對(N-1)/2偶對稱，余弦項也對偶對稱，余弦項也對(N-1)/2偶偶對稱，可以以對稱，可以以(N-1)/2為中心，把兩兩相等的項進行合并，為中心，把兩兩相等的項進行合并，由于由于N是奇數(shù)，故余下中間項是奇數(shù)，故余下中間項n=(N-1)/2。這樣幅度函數(shù)。這樣幅度函數(shù)表示為表示為Shanghai Jiao Tong University(3)/20(1)/20(1)/2011(

7、 )()2 ( )cos() 2211( )()2 ()cos22( )( )cosNgnNgnNgnNNHhh nnNNHhhmnHa nn令令m=(N-1)/2-n,則有則有(7.1.13) 1(0)()211( )2 (),1,2,3,22NahNNa nhn n(7.1.14) 式中式中 Shanghai Jiao Tong University 按照(7.1.13)式，由于式中cosn項對=0,2皆為偶對稱，因此幅度特性的特點是對=0,2是偶對稱的。 2) h(n)=h(N-n-1)，N=偶數(shù) 推導情況和前面N=奇數(shù)相似，不同點是由于N=偶數(shù)，Hg()中沒有單獨項，相等的項合并成N/

8、2項。101201( )( )cos() 212 ( )cos ()2NgnNnNHh nnNh nnShanghai Jiao Tong University 3) h(n)=-h(N-n-1)，N=奇數(shù) 將(7.1.11)式重寫如下：令令m=N/2-n,則有則有/21/211( )2 ()cos ()221( )( )cos ()2( )2 (),1,2,)22NgmNgnNHhmmHb nnNNb nhn n(7.1.15) (7.1.16)101( )( )sin ()2NgnNHh nnShanghai Jiao Tong University 4) h(n)=-h(N-n-1)，N

9、=偶數(shù) 類似上面3)情況，推導如下： 令令m=(N-1)/2-n，則有，則有(1)/21( )( )sin11( )2 (),1,2,22NgnHc nnNNc nhn n(7.1.17) (7.1.18) 1120011( )( )sin ()2 ( )sin)22NNgnnNNHh nnh nn令令m=N/2-n,則有則有Shanghai Jiao Tong University/21/211( )2 ()sin ()221( )( )sin ()2( )2 (),1,2,3,22NgmNgnNHhmmHd nnNNd nhn n(7.1.19) (7.1.20)Shanghai Jiao

10、 Tong University 第一類和第二類線性相位的系統(tǒng)函數(shù)分別滿足(7.1.7)式和(7.1.10)式，綜合起來用下式表示：(1)1( )()NH zzH z (7.1.21) 圖圖7.1.1 線性相位線性相位FIR濾波器零點分布濾波器零點分布 Shanghai Jiao Tong University 設N為偶數(shù)，則有11120021122(1)00( )( )( )( )( )( )(1)( )(1)NNNnnnNnmnNNnN mnmH zh n zh n zh n zH zh n zh Nmzh nh Nn 令令m=N-n-1，則有，則有Shanghai Jiao Tong U

11、niversity12(1)0(1) 121(1)20( )( )( )( )(1)2NnN nnNNnN nnH zh n zzNH zh n zzhz (7.1.22)如果如果N為奇數(shù)，則將中間項為奇數(shù)，則將中間項h(N-1)/2單獨列出，單獨列出， (7.1.23) Shanghai Jiao Tong University圖圖7.1.2 第一類線性相位網(wǎng)絡結構第一類線性相位網(wǎng)絡結構x(n)y(n)z1z1z1z1z1z1z1h(0)h(1)h(2)h(N/21)x(n)y(n)z1z1z1z1z1z1h(0)h(1)h(2)h(N1)/2)N 偶數(shù)N 奇數(shù)Shanghai Jiao T

12、ong University圖圖7.1.3 第二類線性相位網(wǎng)絡結構第二類線性相位網(wǎng)絡結構x(n)y(n)z1z1z1z1z1z1z1h(0)h(1)h(2)h(N/21)x(n)y(n)z1z1z1z1z1z1h(0)h(1)h(2)h(N1)/2)N 偶數(shù)N 奇數(shù)111111111Shanghai Jiao Tong University 設希望設計的濾波器傳輸函數(shù)為Hd(ej)，hd(n)是與其對應的單位脈沖響應，因此 ()( )1( )()2jjddnjj nddHeh n eh nHeedShanghai Jiao Tong University 相應的單位取樣響應hd(n)為,()0

13、,j acjdceHe(7.2.1)1sin()( )2()ccj aj ncdnah needna(7.2.2) 為了構造一個長度為為了構造一個長度為N的線性相位濾波器，只有將的線性相位濾波器，只有將hd(n)截取一段，并保證截取的一段對截取一段，并保證截取的一段對(N-1)/2對稱。設對稱。設截取的一段用截取的一段用h(n)表示，即表示，即 h(n)=hd(n)RN(n) (7.2.3)Shanghai Jiao Tong University 我們實際實現(xiàn)的濾波器的單位取樣響應為h(n),長度為N，其系統(tǒng)函數(shù)為H(z)，10( )( )NnnH zh n z圖圖7.2.1 理想低通的單位

14、脈沖響應及矩形窗理想低通的單位脈沖響應及矩形窗Shanghai Jiao Tong University 以上就是用窗函數(shù)法設計FIR濾波器的思路。另外，我們知道Hd(e j)是一個以2為周期的函數(shù)，可以展為傅氏級數(shù)，即()( )jj nddnHeh n e對對(7.2.3)式進行傅里葉變換，根據(jù)復卷積定理，得到：式進行傅里葉變換，根據(jù)復卷積定理，得到：(1()()()2jjjdNH eHeRed (7.2.4) 式中，式中，Hd(e j)和和RN(e j)分別是分別是hd(n)和和RN(n)的傅里葉變換，即的傅里葉變換，即111(1)200sin(/2()( )( )sin(/2)NNjNj

15、j nj njaNNNnnNReRn eeeRe(7.2.5) Shanghai Jiao Tong Universitysin(/21( ),sin(/2)2NNNRRN()稱為矩形窗的幅度函數(shù)稱為矩形窗的幅度函數(shù)；將；將Ha(ej)寫成下式：寫成下式：()( )jj addHeHe按照按照(7.2.1)式，理想低通濾波器的幅度特性式，理想低通濾波器的幅度特性Hd()為為1,( )0,cdcH將將Hd(e j)和和RN(e j)代入代入(7.2.4)式，得到：式，得到：()1()( )()21( )()2jj ajadNj adNH eHeRedeHRd Shanghai Jiao Tong

16、 University 將H(ej)寫成下式： ()( )1( )( )()2jj adNH eHeHHRd(7.2.6)Shanghai Jiao Tong University 圖圖7.2.2 矩形窗對理想低通矩形窗對理想低通 幅度特性的影響幅度特性的影響 Shanghai Jiao Tong University 通過以上分析可知，對hd(n)加矩形窗處理后，： (1)在理想特性不連續(xù)點=c附近形成過渡帶。過渡帶的寬度，近似等于RN()主瓣寬度，即4/N。 (2)通帶內增加了波動，最大的峰值在c-2/N處。阻帶內產(chǎn)生了余振，最大的負峰在c+2/N處。 在主瓣附近，按照(7.2.5)式，R

17、N()可近似為 sin(/2)sin( )/2NNxRNxShanghai Jiao Tong University 下面介紹幾種常用的窗函數(shù)。設 h(n)=hd(n)w(n) 式中w(n)表示窗函數(shù)。 wR(n)=RN(n) 前面已分析過，按照(7.2.5)式，其頻率響應為1(1)2sin(/2)()sin(/2)jNjRNWeeShanghai Jiao Tong University 21,0(1)12( )212,(1)112BrnnNNnnNnNN(7.2.8) 其頻率響應為其頻率響應為 1()22sin()4()2 sin(/2)NjjBrNNWee(7.2.9) Shanghai

18、 Jiao Tong University1211222( )0.51cos()( )1()( )( )2()( )0.5( )0.25()12()( )1HnNNjjRNRjHnHnRRNNjjRHnnnRnNWeFT RnWeWeFT WnWWNWeWeN當當N1時，時，N-1N， 22( )0.5( )0.25()()HnRRRWWWWNNShanghai Jiao Tong University圖圖7.2.3 漢寧窗的幅度特性漢寧窗的幅度特性Shanghai Jiao Tong University 2( )0.540.46cos()( )1HmNnnRnN(7.2.11)其頻域函數(shù)其

19、頻域函數(shù)WHm (e j)為為22()()11()0.54()0.23()0.23()22( )0.54()0.23()0.23()11jjjjNNHmRRRjHmRRRWeWeWeWeWWeWWNN其幅度函數(shù)其幅度函數(shù)WHm()為為當當N1時，可近似表示為時，可近似表示為22( )0.54( )0.23()0.23()BlRRRnWWWNNShanghai Jiao Tong University 24( )0.420.5cos0.08cos( )11BlNnnnRnNN(7.2.13) 其頻域函數(shù)為其頻域函數(shù)為22()()11R22()()11()0.42()0.25()()0.04()(

20、)jjjjNNBlRRjjNNRRWeWeWeWeWeWe其幅度函數(shù)為其幅度函數(shù)為22( )0.42( )0.25()()11440.04()()11BlRRRRRWWWWNNWWNN(7.2.14) Shanghai Jiao Tong University圖圖7.2.4 常用的窗函數(shù)常用的窗函數(shù)Shanghai Jiao Tong University 圖圖7.2.5 常用窗函數(shù)的幅度特性常用窗函數(shù)的幅度特性(a)矩形窗；矩形窗；(b)巴特利特窗巴特利特窗(三角形窗三角形窗)；(c)漢寧窗；漢寧窗；(d)哈明窗；哈明窗；(e)布萊克曼窗布萊克曼窗 Shanghai Jiao Tong Un

21、iversity 圖圖7.2.6 理想低通加窗后的幅度特性理想低通加窗后的幅度特性(N=51,c=0.5) (a)矩形窗；矩形窗；(b)巴特利特窗巴特利特窗(三角形窗三角形窗)；(c)漢寧窗；漢寧窗； (d)哈明窗；哈明窗；(e)布萊克曼窗布萊克曼窗Shanghai Jiao Tong University 002201( )( ),01( )21(1)11( )1( ) )! 2kkkInnNInNxIxk 式中式中 I0(x)是零階第一類修正貝塞爾函數(shù)，可用下面級數(shù)計是零階第一類修正貝塞爾函數(shù)，可用下面級數(shù)計算：算：Shanghai Jiao Tong University 一般I0(x)

22、取1525項，便可以滿足精度要求。參數(shù)可以控制窗的形狀。一般加大，主瓣加寬，旁瓣幅度減小，典型數(shù)據(jù)為4，如有，再在該點附近找出局部極值點，并用該點代替原來的點。 (3)利用和第二步相同的方法，把各頻率處使|E()|的點作為新的局部極值點，從而又得到一組新的交錯點組。Shanghai Jiao Tong University 在7.1節(jié)，我們已推導出線性相位的四種情況，它們的幅度特性Hg()分別如下式： 000(1) ( )(1),1( )( )cos,2(2) ( )(1),1( )( )cos(),22(3) ( )(1),1( )( )sin,2(4) ( )(1),1( )( )cos() ,22MgnMgn iMgnMgnh nh NnNNHa nn Mh nh NnNNHb nnMh nh NnNNHc nn Mh nh NnNNHd nnM 奇數(shù)奇數(shù) 奇數(shù)奇數(shù) 偶數(shù)偶數(shù) 偶數(shù)偶數(shù) Shanghai Jiao Tong University 經(jīng)過推導可把Hg()統(tǒng)一表示為 Hg()=Q()P() (7.4.13) 式中，P()是系數(shù)不同的余弦組合式，Q()