時域離散信號和時域離散系統(tǒng)

1、第一章 時域離散信號和時域離散系統(tǒng)1-1 引言 1-2 時域離散信號1-3 時域離散系統(tǒng)1-4 時域離散系統(tǒng)的輸入輸出描述法1-5 模擬信號數(shù)字處理方法信號與系統(tǒng)信號與系統(tǒng)1、信號：傳遞信息的函數(shù)，也是獨立變量的函數(shù)，這個變量可以是時間上的、空間位置上的等。2、連續(xù)信號：在某個時間區(qū)間，除有限間斷點外所有瞬時均有確定值。3、模擬信號是連續(xù)信號的特例。時間和幅度均連續(xù)。4、離散信號：時間上不連續(xù)，幅度連續(xù)。5、：幅度量化，時間和幅度均不連續(xù)。1.2 離散時間信號序列 離散時間信號只在離散時間上給出函數(shù)值，是時間上不連續(xù)的一個序列。它既可以是實數(shù)也可以是復數(shù)。一個離散時間信號是一個整數(shù)值變量n的函

2、數(shù)，表示為x(n)或x(n)。盡管獨立變量n不一定表示“時間”（例如，n可以表示溫度或距離），但x(n)一般被認為是時間的函數(shù)。因為離散時間信號x(n)對于非整數(shù)值n是沒有定義的，所以一個實值離散時間信號序列可以用圖形來描述，如圖1-1所示。橫軸雖為連續(xù)直線，但只在n為整數(shù)時才有意義?？v軸線段的長短代表各序列值的大小。 圖 1-1 離散時間信號x(n)的圖形表示 5 4x(5)x(4)x(3)3 2 1 0123 456nx(4)x(5) x(6)x(3)x(2)x(1)x(0)x(n)x(2)x(1) 離散時間信號常常可以對模擬信號(如語音)進行等間隔采樣而得到。例如，對于一個連續(xù)時間信號x

3、a(t)，以每秒fs=1/T個采樣的速率采樣而產(chǎn)生采樣信號，它與xa(t)的關系如下： )()(nTxnxa然而，并不是所有的離散時間信號都是這樣獲得的。一些信號可以認為是自然產(chǎn)生的離散時間序列，如每日股票市場價格、 人口統(tǒng)計數(shù)和倉庫存量等。 1.2.1 幾種常用序列幾種常用序列1 單位脈沖序列單位脈沖序列(n) 0001)(nnn 這個序列只在n=0 處有一個單位值1，其余點上皆為0， 因此也稱為“單位采樣序列”。單位采樣序列如圖1-4所示。(1-1)圖 1-4 (n)序列 1(n)453 2 1012345n 這是最常用、最重要的一種序列，它在離散時間系統(tǒng)中的作用，很類似于連續(xù)時間系統(tǒng)中的

4、單位沖激函數(shù)(t)。但是， 在連續(xù)時間系統(tǒng)中，(t)是 t=0 點脈寬趨于零，幅值趨于無限大，面積為1的信號，是極限概念的信號， 并非任何現(xiàn)實的信號。而離散時間系統(tǒng)中的(n)，卻完全是一個現(xiàn)實的序列， 它的脈沖幅度是1， 是一個有限值。 2 單位階躍序列單位階躍序列u(n) 0001)(nnnu 如圖 1-5 所示。它很類似于連續(xù)時間信號與系統(tǒng)中的單位階躍函數(shù)u(t)。 (1-2)圖 1-5 u(n)序列 54321012345nu(n)16(n)和u(n)間的關系為 ) 1()()(nunun這就是u(n)的后向差分。 而 )2() 1()()()(0nnnmnnum令n-m=k，代入此式可

5、得 nkknu)()(這里就用到了累加的概念。 (1-3)(1-4)(1-5)3矩形序列矩形序列RN(n) nNnnRN其他0101)(1-6)矩形序列RN(n)如圖1-6所示。 圖 1-6 RN(n)序列 nRN(n)110123NN1RN(n)和(n)、u(n)的關系為: )()()(NnununRN(1-7)(1-8)1() 1()()()(10NnnnmnnRNmN4實指數(shù)序列實指數(shù)序列 )()(nuanxn式中，a為實數(shù)。當|a|1時，序列是發(fā)散的。a為負數(shù)時，序列是擺動的，如圖1-7所示。 圖 1-7 指數(shù)序列(a) |a|1; (c) a=-|a| 0123451nanu(n)|

6、a|1anu(n)|a|10123451nanu(n)01n12 34 5a |a| 5 正弦型序列正弦型序列x(n)=A sin(n0+) (1-10)式中: A為幅度; 為起始相位; 0為數(shù)字域的頻率，它反映了序列變化的速率。 0=0.1時, x(n)序列如圖1-8所示，該序列值每20個重復一次循環(huán)。 圖 1-8 正弦序列(0=0.1) sin(n0)11no 6 復指數(shù)序列復指數(shù)序列 序列值為復數(shù)的序列稱為復指數(shù)序列。 復指數(shù)序列的每個值具有實部和虛部兩部分。 復指數(shù)序列是最常用的一種復序列： njAenx)(0)(1-11a)或或 njAenx0)(1-11b)式中，0是復正弦的數(shù)字域

7、頻率。 對第一種表示，序列的實部、虛部分別為 njAnAnjnAnx0000sincos)sin(cos)(如果用極坐標表示，則 njnxjAeenxnx0)(arg| )(|)(因此有： nnxAnx0)(arg| )(|1.2.2 序列的運算序列的運算 1 序列的移位序列的移位 如圖1-1所示的序列x(n)，其移位序列w(n)為 )()(mnxnw 當m為正時，則x(n-m)是指序列x(n)逐項依次延時（右移）m位而給出的一個新序列; 當m為負時，x(n-m)是指依次超前（左移）m位。圖1-2顯示了x(n)序列的延時序列w(n)=x(n-2), 即m=2時的情況。 圖 1-2 圖1-1序列

8、x(n)的延時 n87654320112354w(n) x(n2) 2 序列的翻褶序列的翻褶 如果序列為x(n), 則x(-n)是以n=0的縱軸為對稱軸將序列x(n)加以翻褶。x(n)及x(-n)如圖1-3(a)、(b)所示。 圖 1-3 序列的翻褶(a) x(n)序列； (b) x(-n)序列 nnx(n)654 32 10123 45x( n)5 4321 012345 6(a)(b) 3 序列的和序列的和 兩序列的和是指同序號n的序列值逐項對應相加而構成的一個新序列。 和序列z(n)可表示為 )()()(nynxnz 4 序列的乘積序列的乘積 兩序列相乘是指同序號n的序列值逐項對應相乘。

9、 乘積序列f(n)可表示為 )()()(nynxnf 5 序列的標乘序列的標乘 序列x(n)的標乘是指x(n)的每個序列值乘以常數(shù)c。標乘序列f(n)可表示為 )()(ncxnf 6 累加累加設某序列為x(n)，則x(n)的累加序列y(n)定義為 nkkxny)()(它表示y(n)在某一個n0上的值y(n0)等于在這一個n0上的x(n0)值與n0以前所有n上的x(n)之和。 7 差分運算差分運算前向差分 x(n)=x(n+1)-x(n)后向差分 x(n)=x(n)-x(n-1)由此得出x(n)=x(n-1) 8、 序列的周期性 如果對所有n存在一個最小的正整數(shù)N，滿足 )()(Nnxnx(1-

10、12)則稱序列x(n)是周期性序列，周期為N。 現(xiàn)在討論上述正弦序列的周期性。 由于 )sin()(0nAnx則 )sin()sin()(000nNANnANnx若N0=2k, 當k為正整數(shù)時，則 )()(Nnxnx 這時的正弦序列就是周期性序列，其周期滿足N=2k/0（N，k必須為整數(shù)）?？煞謳追N情況討論如下。 （1） 當2/0為正整數(shù)時，周期為2/0，見圖1-8。 （2） 當2/0不是整數(shù)，而是一個有理數(shù)時（有理數(shù)可表示成分數(shù)），則 kN02式中，k, N為互素的整數(shù)，則 為最小正整數(shù)， 序列的周期為N。 NkkNk02 （3）當2/0是無理數(shù)時，則任何k皆不能使N取正整數(shù)。 這時，正弦序

11、列不是周期性的。 這和連續(xù)信號是不一樣的。 同樣，指數(shù)為純虛數(shù)的復指數(shù)序列的周期性與正弦序列的情況相同。 下面，我們來進一步討論，如果一個正弦型序列是由一個連續(xù)信號采樣而得到的，那么，采樣時間間隔T和連續(xù)正弦信號的周期之間應該是什么關系才能使所得到的采樣序列仍然是周期序列呢？ 設連續(xù)正弦信號xa(t)為 )sin()(0tAtxa這一信號的頻率為f0，角頻率0=2f0，信號的周期為T0=1/f0=2/0。 如果對連續(xù)周期信號xa(t)進行采樣，其采樣時間間隔為T， 采樣后信號以x(n)表示，則有 )sin(| )()(0nTAtxnxnTt如果令0為數(shù)字域頻率，滿足 ssfffT000021式

12、中, fs是采樣頻率?？梢钥闯觯?是一個相對頻率，它是連續(xù)正弦信號的頻率f0對采樣頻率fs的相對頻率乘以2，或說是連續(xù)正弦信號的角頻率0對采樣頻率fs的相對頻率。用0代替0T， 可得 )sin()(0nAnx這就是我們上面討論的正弦型序列。 下面我們來看2/0與T及T0的關系，從而討論上面所述正弦型序列的周期性的條件意味著什么？ TTTfTfT000001212122這表明，若要2/0為整數(shù)，就表示連續(xù)正弦信號的周期T0應為采樣時間間隔T的整數(shù)倍；若要2/0為有理數(shù)，就表示T0與T是互為互素的整數(shù)，且有 TTkN002(1-13)式中，k和N皆為正整數(shù)，從而有 0kTNT 即N個采樣間隔應等于

13、k個連續(xù)正弦信號的周期。 9、 用單位采樣序列來表示任意序列 用單位采樣序列來表示任意序列對分析線性時不變系統(tǒng)（下面即將討論）是很有用的。 設x(m)是一個序列值的集合，其中的任意一個值x(n)可以表示成單位采樣序列的移位加權和，即 )()()(mnmxnxm(1-14)由于 nmnmmn01)(則 mnmnxmnmx其他0)()()(因此，式（1-14）成立，這種表達式提供了一種信號分析工具。 10、序列的能量 序列x(n)的能量E定義為序列各采樣樣本的平方和， 即 nnxE2| )(|(1-15)1.3時域離散系統(tǒng) 一個離散時間系統(tǒng)是將輸入序列變換成輸出序列的一種運算。若以T來表示這種運算

14、，則一個離散時間系統(tǒng)可由圖1-15來表示，即： )()(nxTny(1-37)離散時間系統(tǒng)中最重要、 最常用的是“線性時不變系統(tǒng)”。 圖 1-15 離散時間系統(tǒng) T x(n)y(n)1.3.1 線性系統(tǒng) 滿足疊加原理的系統(tǒng)稱為線性系統(tǒng)，即若某一輸入是由N個信號的加權和組成，則輸出就是系統(tǒng)對這幾個信號中每一個的響應的同樣加權和組成。 如果系統(tǒng)在x(n)和x2(n)單獨輸入時的輸出分別為y1(n)和y2(n) 即: )()()()(2211nxTnynxTny那么當且僅當式（1-38a）和式（1-38b）成立時，該系統(tǒng)是線性的 )()()()()()(212121nynynxTnxTnxnxT（1

15、-38a）和 )()()(naynxaTnaxT（1-38b）式中,a為任意常數(shù)。上述第一個性質稱為可加性，第二個稱為齊次性或比例性。這兩個性質合在一起就成為疊加原理，寫成 )()()()()()(221122112211nyanyanxTanxTanxanxaT（1-39）式(1-39)對任意常數(shù)a1和a2都成立。該式還可推廣到多個輸入的疊加， 即 kkkkkkkkknxanxTanxaT)()()(（1-40）式中, yk(n)就是系統(tǒng)對輸入xk(n)的響應。 在證明一個系統(tǒng)是線性系統(tǒng)時，必須證明此系統(tǒng)同時滿足可加性和比例性，而且信號以及任何比例常數(shù)都可以是復數(shù)。 例例1-1 以下系統(tǒng)是否

16、為線性系統(tǒng)： y(n)=2x(n)+3很容易證明這個系統(tǒng)不是線性的， 因為此系統(tǒng)不滿足疊加原理。 3)()( 2)()(22112211nxanxanxanxaT2122112211221133)()( 23)(23)(2)()(aanxanxanxanxanyanya證證 很明顯， 在一般情況下 )()()()(22112211nyanyanxanxaT所以此系統(tǒng)不滿足疊加性， 故不是線性系統(tǒng)。 同樣可以證明， 都是線性系統(tǒng)和792sin)()()(nnxnymxnym1.3.2 時不變系統(tǒng)時不變系統(tǒng) 系統(tǒng)的運算關系T在整個運算過程中不隨時間（也即不隨序列的延遲）而變化，這種系統(tǒng)稱為時不變系

17、統(tǒng)（或稱移不變系統(tǒng)）。這個性質可用以下關系表達：若輸入x(n)的輸出為y(n)， 則將輸入序列移動任意位后， 其輸出序列除了跟著移位外， 數(shù)值應該保持不變，即若Tx(n)=y(n)則 Tx(n-m)=y(n-m) （m為任意整數(shù)） (1-41)滿足以上關系的系統(tǒng)就稱為時不變系統(tǒng)。 例例1-2 證明 792sin)()(nnxny79(2sin)()(792sin)()(mnmnxmnynmnxmnxT不是時不變系統(tǒng)。 證證 由于二者不相等，故不是時不變系統(tǒng)。 同時具有線性和時不變性的離散時間系統(tǒng)稱為線性時不變（LTI）離散時間系統(tǒng)，簡稱LTI系統(tǒng)。除非特殊說明，本書都是研究LTI系統(tǒng)。 1.3

18、.3 單位脈沖響應與系統(tǒng)的輸入輸出關系單位脈沖響應與系統(tǒng)的輸入輸出關系 線性時不變系統(tǒng)可用它的單位脈沖響應來表征。 單位脈沖響應是指輸入為單位脈沖序列時系統(tǒng)的輸出。一般用h(n)表示單位脈沖響應，即h(n)=T(n)有了h(n)我們就可以得到此線性時不變系統(tǒng)對任意輸入的輸出。 下面討論這個問題： 設系統(tǒng)輸入序列為x(n)，輸出序列為y(n)。從式（1-14）已經(jīng)知道，任一序列x(n)可以寫成(n)的移位加權和， 即 mmnmxnx)()()(則系統(tǒng)的輸出為 mmnmxTnxTny)()()()(由于系統(tǒng)是線性的， 可利用疊加原理式（1-40）， 則 mmmnTmxmnmxT)()()()(又由

19、于系統(tǒng)的時不變性，式（1-41）對移位的單位脈沖的響應就是單位脈沖響應的移位。 )()(mnhmnT因此 mnhnxmnhmxny)()()()()(（1-42） 如圖1-16所示。上式稱為序列x(n)與h(n)的離散卷積，為了同以后的圓周卷積相區(qū)別，離散卷積也稱為“線性卷積”或“直接卷積”或簡稱“卷積”，并以“*”表示之。 圖 1-16 線性時不變系統(tǒng) h(n)x(n)y(n) x(n) h(n)*圖 1-17 離散卷積 x(m)012311/23/2mh(m)m10121h(0 m)m12012n0 翻褶圖 1-17 離散卷積 h(1 m)m120123n10左移h(1 m)mn10右移1

20、2013y(n)n120134561/23/235/23/2 （1） 翻褶：先在啞變量坐標m上作出x(m)和h(m)， 將h(m)以m=0 的垂直軸為對稱軸翻褶成h(-m)。 （2） 移位：將h(-m)移位n，即得h(n-m)。當n為正整數(shù)時， 右移n位; 當n為負整數(shù)時，左移n位。 （3） 相乘：再將h(n-m)和x(m)的相同m值的對應點值相乘。 （4） 相加：把以上所有對應點的乘積累加起來， 即得y(n)值。 依上法，取n=, -2, -1, 0, 1, 2, 各值，即可得全部y(n)值。 由式（1-42）不難看出，卷積與兩序列的先后次序無關。證證 令n-m=m代入式（1-42）， 然后

21、再將m換成m， 即得 )()()()()(nxnhmnxmhnyn(1-43)因此 )()()()()(nxnhnhnxny1.3.4 線性時不變系統(tǒng)的性質線性時不變系統(tǒng)的性質 1 交換律交換律由于卷積與兩卷積序列的次序無關， 即卷積服從交換律， 故)()()()()(nxnhnhnxny這就是說，如果把單位脈沖響應h(n)改作為輸入，而把輸入x(n)改作為系統(tǒng)單位脈沖響應，則輸出y(n)不變。 (1-44)2 結合律結合律可以證明卷積運算服從結合律，即 )()()()()()()()()()()()(21122121nhnhnxnhnhnxnhnhnxnhnhnx 這就是說，兩個線性時不變系

22、統(tǒng)級聯(lián)后仍構成一個線性時不變系統(tǒng)，其單位脈沖響應為兩系統(tǒng)單位脈沖響應的卷積，且線性時不變系統(tǒng)的單位脈沖響應與它們的級聯(lián)次序無關，如圖1-18所示。 (1-45)3 分配律分配律卷積也服從加法分配律： )()()()()()()(2121nhnxnhnxnhnhnx(1-46) 也就是說，兩個線性時不變系統(tǒng)的并聯(lián)等效系統(tǒng)的單位脈沖響應等于兩系統(tǒng)各自單位脈沖響應之和, 如圖1-19所示。 以上三個性質，交換律前面已經(jīng)證明了，另外兩個性質由卷積的定義可以很容易加以證明。 圖 1-18 具有相同單位脈沖響應的三個線性時不變系統(tǒng) h1(n)h2(n)h2(n)h1(n)h1(n) h2(n)x(n)x(

23、n)x(n)y(n)y(n)y(n)*圖1-19 線性時不變系統(tǒng)的并聯(lián)組合及其等效系統(tǒng) h1(n)h2(n)h1(n)h2(n)y(n)x(n)x(n)y(n)1.3.5 因果系統(tǒng) 所謂因果系統(tǒng)，就是系統(tǒng)此時的輸出y(n)只取決于此時， 以及此時以前的輸入，即x(n), x(n-1), x(n-2), 。如果系統(tǒng)的輸出y(n)還取決于x(n+1), x(n+2), ，也即系統(tǒng)的輸出還取決于未來的輸入，這樣在時間上就違背了因果關系，因而是非因果系統(tǒng)， 也即不現(xiàn)實的系統(tǒng)。根據(jù)上述定義，可以知道，y(n)=nx(n)的系統(tǒng)是一個因果系統(tǒng)，而y(n)=x(n+2)+ax(n)的系統(tǒng)是非因果系統(tǒng)。 從式

24、（1-43）卷積公式，我們可以看到線性時不變系統(tǒng)是因果系統(tǒng)的充分必要條件是 h(n)=0 n0 (1-47) 依照此定義，我們將n0，x(n)=0 的序列稱為因果序列，表示這個因果序列可以作為一個因果系統(tǒng)的單位脈沖響應。 我們知道，許多重要的網(wǎng)絡，如頻率特性為理想矩形的理想低通濾波器以及理想微分器等都是非因果的不可實現(xiàn)的系統(tǒng)。 但是數(shù)字信號處理往往是非實時的，即使是實時處理，也允許有很大延時。這是對于某一個輸出y(n)來說，已有大量的“未來”輸入x(n+1), x(n+2), ，記錄在存儲器中可以被調(diào)用，因而可以很接近于實現(xiàn)這些非因果系統(tǒng)。也就是說，可以用具有很大延時的因果系統(tǒng)去逼近非因果系統(tǒng)。這個概念在以后講有限長單位脈沖響應濾波器設計時要常用到，這也是數(shù)字系統(tǒng)優(yōu)于模擬系統(tǒng)的特點之一。因