高階微分方程的 解法及應(yīng)用

1、高階微分方程的高階微分方程的 解法及應(yīng)用解法及應(yīng)用二、高階微分方程的應(yīng)用二、高階微分方程的應(yīng)用 一、兩類高階微分方程的解法一、兩類高階微分方程的解法 第七章第七章(2) 三、練習(xí)三、練習(xí) 1. 可降階微分方程的解法可降階微分方程的解法 降階法降階法)(dd22xfxy )dd,(dd22xyxfxy 令令xyxpdd)( ),(ddpxfxp )dd,(dd22xyyfxy 令令xyypdd)( ),(ddpyfypp 逐次積分求解逐次積分求解 常系數(shù)情形常系數(shù)情形齊次齊次非齊次非齊次代數(shù)法代數(shù)法* 歐拉方程歐拉方程yx 2yxp yq )(xf tDextdd, 令令 qpDDD )1(y)

2、(tef 練習(xí)題練習(xí)題: P353 題題 2 ; 3 (6) , (7) ; 4(2)； 8求以求以xxeCeCy221 為通解的微分方程為通解的微分方程 .提示提示: 由通解式可知特征方程的根為由通解式可知特征方程的根為,2,121 rr故特征方程為故特征方程為,0)2)(1( rr0232 rr即即因此微分方程為因此微分方程為023 yyy求下列微分方程的通解求下列微分方程的通解, 01)6(2 yyy.2sin52)7(xyyy 提示提示: (6) 令令, )(ypy 則方程變?yōu)閯t方程變?yōu)?01dd2 pyppyyypppd1d2 即即P353 題題2P353 題題3xyyy2sin52

3、)7( ,212,1ir 齊次方程通解齊次方程通解:)2sin2cos(21xCxCeYx 令非齊次方程特解為令非齊次方程特解為xBxAy2sin2cos* 代入方程可得代入方程可得174171, BA思思 考考若若 (7) 中非齊次項改為中非齊次項改為,sin2x提示提示:,sin22cos12xx xBxAy2sin2cos* 故故D 原方程通解為原方程通解為xx2sin2cos174171 )2sin2cos(21xCxCeyx 特解設(shè)法有何變化特解設(shè)法有何變化 ?02 yay,00 xy10 xy提示提示: 令令),(xpy 則方程變?yōu)閯t方程變?yōu)?ddpaxp 積分得積分得,11Cxa

4、p 利用利用100 xxyp11 C得得再解再解,11ddxaxy 并利用并利用,00 xy定常數(shù)定常數(shù).2C思考思考若問題改為求解若問題改為求解0321 yy,00 xy10 xy則求解過程中得則求解過程中得,112xp 問開方時問開方時正負(fù)號如何確定正負(fù)號如何確定?P354 題題4(2)222, )(zyxrrfu 在在 r 0內(nèi)內(nèi)滿足拉普拉斯方程滿足拉普拉斯方程, 0222222 zuyuxu)(rf其中其中二階可導(dǎo)二階可導(dǎo), 且且,1)1()1( ff試將方程化為以試將方程化為以 r 為自變?yōu)樽宰兞康某Ｎ⒎址匠塘康某Ｎ⒎址匠?, 并求并求 f (r) .提示提示:rxrfxu)( 22

5、22)(rxrfxu )(rf r132rx 利用對稱性利用對稱性, 0)(2)( rfrrf即即0)(2)(2 rfrrfr( 歐拉方程歐拉方程 )原方程可化為原方程可化為0)(2)(2 rfrrfr,lnrt 令令1)1()1( ff.12)(rrf ,ddtD 記記則原方程化為則原方程化為 02)1( fDDD02 fDD即即通解通解: teCCrf 21)(rCC121 利用初始條件得特解利用初始條件得特解: 例例1 求解下列方程求解下列方程即即方程的解為方程的解為，1lnlnlnCxp 1. ； 2. 0 yyxyyy 3解解 1. 此方程不含變量此方程不含變量 ，故令變換，故令變換

6、 ，則，則 yyp ，0 ppx，xxppd1d1 方程為方程為即即所以，方程的通解為所以，方程的通解為，xCxy1dd 21lnCxCy 方程變形為方程變形為即有即有0)1dd(2 pypp2. 此方程中不含變量此方程中不含變量 ，作變換，作變換 ，則，則xyp ，yppxydddd22 ，ppypp 3dd由由 ，0 pCy 得方程的解為得方程的解為 解得解得即即分離變量后，再兩邊積分得分離變量后，再兩邊積分得從而得方程的通解從而得方程的通解xCCye)sin(21 ，01dd2 pyp，1arctanCyp ，)tan(1Cyy ，21ln| )sin(|lnCxCy 由由例例2 求解下

7、面的初值問題求解下面的初值問題方程化為方程化為 0101113xxyyyy，解解 令令 ，則，則yp ，yppxydddd22 ，1dd3 yppy分離變量，兩邊積分，得分離變量，兩邊積分，得解得解得， yyppd1d3，1221Cyp 由條件得由條件得 ，01 yp，yyxy21dd 11 C解得解得 ，即得即得分離變量，得分離變量，得，xyyydd12 兩邊積分，得兩邊積分，得，221Cxy 22xxy 由條件由條件 ，11 xy得得 ，12 C由此得方程的特解為由此得方程的特解為xxCxCy sincos21特征根特征根 :,2, 1ir 2, xxyy,00 xy,00 xy提示提示:

8、,2時時當(dāng)當(dāng) x故通解為故通解為)(sin2 xxxy2,04 xyy滿足條件滿足條件2 x在在解滿足解滿足xyy ,00 xy00 xy處連續(xù)且可微的解處連續(xù)且可微的解.設(shè)特解設(shè)特解 :,BAxy 代入方程定代入方程定 A, B, 得得xy , 0, 000 xxyy利用利用得得2 x由由處的銜接條件可知處的銜接條件可知,2時時當(dāng)當(dāng) x04 yy,122 xy12 xy解滿足解滿足故所求解為故所求解為 y,sinxx 2221,2cos)1(2sin xxx2 xxCxCy2cos2sin21 其通解其通解:定解問題的解定解問題的解:2221,2cos)1(2sin xxxy,)(二階導(dǎo)數(shù)連

9、續(xù)二階導(dǎo)數(shù)連續(xù)設(shè)設(shè)xf且滿足方程且滿足方程 xtdtftxxxf0)()(sin)(. )(xf求求提示提示: ,)()(sin)(00 xxtdtfttdtfxxxf則則xxfcos)( )(sin)(xfxxf xtdtf0)()(xfx )(xfx 問題化為解初值問題問題化為解初值問題: :xxfxfsin)()( ,0)0( f1)0( f兩邊再次求導(dǎo)，得兩邊再次求導(dǎo)，得兩邊求導(dǎo)，兩邊求導(dǎo)，對應(yīng)的齊次方程的對應(yīng)的齊次方程的通解是通解是設(shè)非齊次方程的特解是設(shè)非齊次方程的特解是xCxCYsincos21 ，)sincos(*xbxaxy xxxxfsin21cos21)( 代入方程，得代入

10、方程，得 ， 21 a0 bxxxCxCycos21sincos21 由初始條件，得由初始條件，得 ， 01 C212 C從而從而即原方程的通解為即原方程的通解為思考思考: : 設(shè)設(shè), 0)0(,d)()(0 xxuuxxex?)(x 如何求如何求提示提示: : 對積分換元對積分換元 , ,uxt 令令則有則有 xxttex0d)()( )()(xexx 解初值問題解初值問題: : xexx )()( ,0)0( 1)0( 答案答案: :xxexex 41)12(41)( 二階線性二階線性非齊次非齊次的解的解. 設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù)),()( 在在xyy,)()(, 0的的函函數(shù)數(shù)是是xyyyxxy

11、內(nèi)具有連續(xù)二階導(dǎo)內(nèi)具有連續(xù)二階導(dǎo)(1) 試將試將 xx( y) 所滿足的微分方程所滿足的微分方程 變換為變換為 yy(x) 所滿足的微分方程所滿足的微分方程 ;(2) 求變換后的微分方程滿足初始條件求變換后的微分方程滿足初始條件 0)dd)(sin(dd322 yxxyyx, 0)0( y數(shù)數(shù), 且且23)0( y解解: ,1ddyyx , 1dd yxy即即上式兩端對上式兩端對 x 求導(dǎo)求導(dǎo), 得得: (1) 由反函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式知由反函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式知03考研考研0)(dddd222 yyxyxy222)(ddddyyxyyx 3)(yy 代入原微分方程得代入原微分方程得 xyysin (2)

12、 方程方程的對應(yīng)齊次方程的通解為的對應(yīng)齊次方程的通解為 xxeCeCY 21設(shè)設(shè)的特解為的特解為 ,sincosxBxAy 代入代入得得 A0,21 B,sin21xy 故故從而得從而得的通解的通解: xeCeCyxxsin2121 由初始條件由初始條件 ,23)0(, 0)0( yy得得1,121 CC故所求初值問題的解為故所求初值問題的解為 xeeyxxsin21 解解xxCCCy2321ee ，0223 rrr例例6 求解方程求解方程 )4(e2 xxyyy方程的解為方程的解為, 01 r, 12 r. 23 r對方程對方程 ，設(shè)方程有解，設(shè)方程有解xxyyye2 ，xbaxxye)(*

13、1 代入方程，得代入方程，得，xxxbaaxee)386( 方程對應(yīng)的特征方程為方程對應(yīng)的特征方程為所以齊次方程的通解為所以齊次方程的通解為xxxye)9461(2*1 最后考慮方程最后考慮方程,42xyyy ，)(*2dcxxy 比較系數(shù)，得比較系數(shù)，得 ,61 a,94 b代入方程，得代入方程，得, 1 dc. 2*2xxy 即即從而方程的通解為從而方程的通解為xxxxCxCCyxx 222321e)9461(e 即即假設(shè)方程有解假設(shè)方程有解1 . 建立數(shù)學(xué)模型建立數(shù)學(xué)模型 列微分方程問題列微分方程問題建立微分方程建立微分方程 ( 共性共性 )利用物理規(guī)律利用物理規(guī)律利用幾何關(guān)系利用幾何關(guān)

14、系確定定解條件確定定解條件 ( 個性個性 )初始條件初始條件邊界條件邊界條件可能還要銜接條件可能還要銜接條件2 . 解微分方程問題解微分方程問題3 . 分析解所包含的實際意義分析解所包含的實際意義 解解 欲向宇宙發(fā)射一顆人造衛(wèi)星欲向宇宙發(fā)射一顆人造衛(wèi)星, 為使其擺脫地球為使其擺脫地球 引力引力, 初始速度應(yīng)不小于第二宇宙速度初始速度應(yīng)不小于第二宇宙速度, 試計算此速度試計算此速度.設(shè)人造地球衛(wèi)星質(zhì)量為設(shè)人造地球衛(wèi)星質(zhì)量為 m , 地球質(zhì)量為地球質(zhì)量為 M , 衛(wèi)星衛(wèi)星的質(zhì)心到地心的距離為的質(zhì)心到地心的距離為 h , 由牛頓第二定律得由牛頓第二定律得: 222ddhmMGthm 00dd,vth

15、Rht ,0v為為(G 為引力系數(shù)為引力系數(shù))則有初值問題則有初值問題: 222ddhMGth 又設(shè)衛(wèi)星的初速度又設(shè)衛(wèi)星的初速度，51063 R已知地球半徑已知地球半徑),(ddhvth 設(shè)設(shè),dddd22hvvth 則則代入原方程代入原方程, 得得2ddhMGhvv hhMGvvdd2 兩邊積分得兩邊積分得ChMGv 221利用初始條件利用初始條件, 得得RMGvC 2021因此因此 RhMGvv112121202 221limvhRMGv12120 注意到注意到 為使為使,0 v應(yīng)滿足應(yīng)滿足0vRMGv20 因為當(dāng)因為當(dāng)h = R (在地面上在地面上) 時時, 引力引力 = 重力重力, )

16、sm81. 9(22 ggmhmMG即即,2gRMG 故故代入代入即得即得81. 910632250 gRv) s(m102 .113 這說明第二宇宙速度為這說明第二宇宙速度為 skm2 .11求質(zhì)點的運動規(guī)求質(zhì)點的運動規(guī)上的力上的力 F 所作的功與經(jīng)過的時間所作的功與經(jīng)過的時間 t 成正比成正比 ( 比例系數(shù)比例系數(shù),00vs初初始始速速度度為為初初始始位位移移為為).(tss 律提示提示:,d0tksFss 由題設(shè)由題設(shè)兩邊對兩邊對 s 求導(dǎo)得求導(dǎo)得:stkFdd 牛頓第二定律牛頓第二定律stktsmdddd22 mktsts 22ddddtdd 2ddtsmk2 2ddts12 Ctmk

17、 為為 k), 開方如何定開方如何定 + ?已知一質(zhì)量為已知一質(zhì)量為 m 的質(zhì)點作直線運動的質(zhì)點作直線運動, 作用在質(zhì)點作用在質(zhì)點另一端離釘子另一端離釘子 12 m , 如不計釘子對鏈條所產(chǎn)生的摩擦如不計釘子對鏈條所產(chǎn)生的摩擦 力力, 求鏈條滑下來所需的時間求鏈條滑下來所需的時間 .解解 建立坐標(biāo)系如圖建立坐標(biāo)系如圖. 設(shè)在時刻設(shè)在時刻 t , 鏈條較長一段鏈條較長一段xox下垂下垂 x m ,又設(shè)鏈條線密度為常數(shù)又設(shè)鏈條線密度為常數(shù),此時鏈條受力此時鏈條受力 Fgx gx )20( gx )10(2 由牛頓第二定律由牛頓第二定律, 得得22dd20tx gx )10(2 ,120 tx0dd

18、0 ttxgxgtx 10dd22101 . 021 . 01 tgtgeCeCx由初始條件得由初始條件得,121 CC故定解問題的解為故定解問題的解為解得解得24)10(1021 . 0 xxetg),1(舍舍去去另另一一根根左左端端 當(dāng)當(dāng) x = 20 m 時時,(s)625ln(10 gt微分方程通解微分方程通解: 101 . 01 . 0 tgtgeex思考思考: 若摩擦力為鏈條若摩擦力為鏈條 1 m 長的重量長的重量 , 定解問題的定解問題的數(shù)學(xué)模型是什么數(shù)學(xué)模型是什么 ?xox不考慮摩擦力時的數(shù)學(xué)模型為不考慮摩擦力時的數(shù)學(xué)模型為g 1(s)322419ln10 gt22dd20tx

19、 gx )10(2 ,120 tx0dd0 ttx22dd20tx gx )10(2 ,120 tx0dd0 ttx此時鏈條滑下來此時鏈條滑下來所需時間為所需時間為yoy從船上向海中沉放某種探測儀器從船上向海中沉放某種探測儀器, 按探測按探測要求要求, 需確定儀器的下沉深度需確定儀器的下沉深度 y 與下沉速度與下沉速度 v 之間的函之間的函數(shù)關(guān)系數(shù)關(guān)系. 設(shè)儀器在重力作用下從海平面由靜止開始下沉設(shè)儀器在重力作用下從海平面由靜止開始下沉, 在下沉過程中還受到阻力和浮力作用在下沉過程中還受到阻力和浮力作用, 設(shè)儀器質(zhì)量為設(shè)儀器質(zhì)量為 m,體積為體積為B , 海水比重為海水比重為 ,儀器所受阻力與下

20、沉速度成正儀器所受阻力與下沉速度成正 比比 , 比例系數(shù)為比例系數(shù)為 k ( k 0 ) , 試建立試建立 y 與與 v 所滿足的微分所滿足的微分方程方程, 并求出函數(shù)關(guān)系式并求出函數(shù)關(guān)系式 y = y (v) . 提示提示: 建立坐標(biāo)系如圖建立坐標(biāo)系如圖.質(zhì)量質(zhì)量 m體積體積 B由牛頓第二定律由牛頓第二定律 B 22ddtymvk 重力重力浮力浮力 阻力阻力mg tvtydddd22 tyyvdddd yvvdd 注意注意: 95考研考研 BgmvkBgmkBgmmvkmy ln)(2vkBgmyvvm dd初始條件為初始條件為00 yv用分離變量法解上述初值問題得用分離變量法解上述初值問題

21、得yoy質(zhì)量質(zhì)量 m體積體積 B得得課內(nèi)練習(xí)題：課內(nèi)練習(xí)題：解解 1. 特征方程為特征方程為xxCCy2521e)( 解得解得 ，由此得到方程的通解，由此得到方程的通解2521 rr，0252042 rr1. ； 025204 yyy3. xxyycos4 xxyy2e2 2. ；則則xCCy221e 2. 特征方程為特征方程為 ，022 rr由于由于 為單根，故可設(shè)方程的特解為為單根，故可設(shè)方程的特解為2 ，xbaxxy2*e)( ，xbxbaaxy22*e)22(2 ，xbaxbaaxy22*e42)48(4 因而齊次方程的通解為因而齊次方程的通解為代入方程后，比較系數(shù)得代入方程后，比較系

22、數(shù)得所以所以因而方程的通解為因而方程的通解為，2141 baxxy2*e)2(41 xxxCCy2221e)2(41e 代入到原方程，得代入到原方程，得，xdcxxbaxysin)(cos)(* 3. 特征方程為特征方程為 ，解得，解得 ，所以齊，所以齊042 ri22, 1 r次方次方程的通解為程的通解為xCxCy2sin2cos21 注意到注意到 不是特征方程的根，故方程的特不是特征方程的根，故方程的特ii 解可解可設(shè)為設(shè)為，xxxadcxxcbaxcossin)233(cos)223( 比較系數(shù)，得比較系數(shù)，得故原方程的通解為故原方程的通解為xxxxCxCysin92cos312sin2

23、cos21 920031 dcba，1求解下列微分方程：求解下列微分方程：1) ；xyyxln 2) 22yyy 3求解下列微分方程：求解下列微分方程：2求下面初值問題的解：求下面初值問題的解： ，211e|2|0lnlnxxyyxyyyyx1) ；023 yyy4) ；xxyyy2sin32 2) ；04 yy3) ；043)4( yyy5) xxyyyx22sine44 4設(shè)設(shè) 為連續(xù)函數(shù)為連續(xù)函數(shù), 且滿足方程且滿足方程)(xf，xxttftxxf02d)()(e)(求求 )(xf5已知光滑曲線已知光滑曲線 過原點和點過原點和點 ，任取曲線上的點，任取曲線上的點l)3 , 2( ，過，過 作兩坐標(biāo)軸的平行線作兩坐標(biāo)軸的平行線 和和 與與 軸及軸及),(yxPPPAPB PAx曲線所圍成的面積等于曲線所圍成的面積等于 與與 軸及曲線圍成的面積的軸及曲線圍成的面積的2倍倍, 求求PBy曲線的方程曲線的方程6一長度為一長度為 的均勻鏈條放置在一個水平面無摩擦力的的均勻鏈條放置在一個水平面無摩擦力的a桌面上桌面上, 滑動開始時滑動開始時, 鏈條在桌邊掛下來的長度為鏈條在桌邊掛下來的長度為 問鏈問鏈條條b全部滑離桌面需要多少時間全部滑離桌面需要多少時間?)()(xfyxy 有特有特,1xy 解解而對應(yīng)齊次方程有解而對應(yīng)齊次方程有解,2xy 及及求求)(, )(xfx 微分方程的通解微