線性方程組習(xí)題參考答案

1、第三章 線性方程組習(xí)題參考答案P154,1. 用消元法解下來線性方程組.(1)解: 方程組的解是 k為任意數(shù)(2) 解： 出現(xiàn)了（0,0,0,0,0,-1），無解(3) 解： 有唯一解: x1=-8, x2=3, x3=6, x4=0(4) 解： 得解：(5) 解：出現(xiàn)了（0,0,0,0,-1），無解(6) 解：一般解為 2. 把向量表成向量1，2，3，4的線性組合.(1) 解：設(shè)=x11+ x22+ x33+ x44，則 (2) 解：設(shè)=x11+ x22+ x33+ x44，則 即=1-33. 證明：如果向量組1，2，, r線性無關(guān)， 而向量組1，2，, r， 線性相關(guān)，則可由向量組1，2，

2、, r線性表出.證明：設(shè)k1, k2, ,k r, l不全為0，使若l=0, 則k1, ,k r也不全為0，而與1，2，, r線性無關(guān)矛盾. 所以l¹0，即線性表出.4. 設(shè)i=(ai1,ai2,ain), i=1,2,n, 證明如果|aij|¹0, 則1，2，, n線性無關(guān).證明：設(shè)x11+x22+xnn=0，則因?yàn)橄禂?shù)行列式，故上面方程組只有零解，于是1,2,n線性無關(guān)。5. 設(shè)t1,t2,tr是互不相同的數(shù)(r£n)，證明i=(1, ti, ti2,tin-1), i=1,2,r線性無關(guān). 證明：添加tr+1,tn, 使t1, t2,tr , tr+1,tn

3、兩兩不同, 得向量組i=(1, tt, tt2,ttn-1) i=1,2,.,n.由于1,2,n的分量作成一個Vandermonder行列式且不等于0，由上一題，1,2,r,n線性無關(guān)，于是它的任一部分組線性無關(guān)6. 假設(shè)1, 2，3線性無關(guān)，證明1=2+3，2=3+1，3=1+2線性無關(guān).證：設(shè)1=2+3，2=3+1，3=1+2，若x11+x22+x33=0，則即(x2+x3)1+(x3+x1)2+(x1+x2)3=0由于1, 2, 3線性無關(guān)得：，該齊次線性方程組只有零解.x1, x2, x3全為0，即1, 2, 3線性無關(guān)。注：無論向量組1,2,3,4線性無關(guān)或相關(guān)，1+2, 2+3,

4、3+4, 4+1,線性相關(guān).7. 設(shè)向量組A: 1,2, s的秩為r, 證明向量組A的任意r個線性無關(guān)的向量組都構(gòu)成它的一個極大線性無關(guān)組.證明：設(shè)向量組A: 1,2, s 任一線性無關(guān)向量組B: j1, j2, jr任取A中的一個向量，由于R(A)=r, 所以A中任意r+1個向量線性相關(guān)，有j1,jr, 線性相關(guān)，由條件知 B線性無關(guān)，由臨界定理，可以由B線性表示，故B是極大無關(guān)組。8. 設(shè)向量組(I): 1,2, s的秩為r, j1, j2, jr是(I)中的r個向量，使得(I)中每個向量都可以被它們線性表出，證明j1, j2, jr是(I)的極大無關(guān)組.證明：設(shè)向量組(I)1,2,s，R

5、(A)=r; (II): j1, j2, jr是已給向量組，取(I)的極大無關(guān)組(III) k1,k2,kr, 由條件, (III)可由(II)線性表出, 于是r=R(III)£R(II) £r. 于是R(II)=r, 即j1, j2, jr線性無關(guān), 所以是(I)的極大無關(guān)組.9. 證明一個向量組的任何一個線性無關(guān)組都可以擴(kuò)充成為一個極大無關(guān)組.證明：設(shè)A是一個n維向量組，A1是它的一個線性無關(guān)組，1° 逐個檢查A中的向量2° a、若可以由向量組A1線性表示，則去掉，檢查下一個b、若不可以由向量組A1線性表示，則添加到A1中將A1擴(kuò)充為A2，回到檢查第

6、1個向量，重復(fù)1°、2°若干步后（有限步后，任意n+1個n維向量也相關(guān)，必含停止），得到A1,A2 ,Ak, 而Ak不能再擴(kuò)大，于是Ak是一個極大無關(guān)組，且A1ÍAk.10. 設(shè)1=(1,-1,2,4), 2=(0,3,1,2), 3=(3,0,7,14), 4=(1,2,2,0), 5=(2,1,5,6).(1) 證明1, 2線性無關(guān).(2) 把1, 2擴(kuò)充成一個極大無關(guān)組.解(1)：1與2的分量不成比例，故1與2線性無關(guān)(2)：解法1. 考慮1, 2, 3, 31+2 =3 , 去掉3.考慮1, 2,4,取它們的后三個分量，增加一個分量后仍然線性無關(guān)。即1,

7、2,4線性無關(guān).再考慮1, 2,4,5, 因?yàn)榉至啃辛惺? 即5=1+2+4, 所以它的極大線性無關(guān)組是1, 2,4.解法2. 由下式可知: 1, 2,4為極大無關(guān)組.11. 用消元法求下列向量組的極大無關(guān)組和秩.(1) 1=(6,4,1,-1,2), 2=(1,0,2,3,-4), 3=(1,4,-9,-16,22), 4=(7,1,0,-1,3).解：R(1, 2, 3, 4, 5)=3，且2, 3, 4為一個極大無關(guān)組. R(A)=3(2) 1=(1,-1,2,4), 2=(0,3,1,2), 3=(3,0,7,14), 4=(1, -1,2,0).解：R(1, 2, 3, 4)=3,

8、1, 2, 4是極大無關(guān)組.12. 如果向量組(I)可由向量組(II)線性表出，則R(I)£R(II).證： 設(shè)為分別為、的極大無關(guān)組，則有,(表示兩個向量組等價), 所以可由線性表出.設(shè)含r個向量，含t個向量，因?yàn)榫€性無關(guān)，且可由線性表出，所以rt，即秩(I)秩(II)13已知 1,2,n是一組n維向量，可被它們線性表出，證明1,2,n線性無關(guān).證明：設(shè)i1,i2,ir為1,2,n的極大線性無關(guān)組, 則有可由i1,i2,ir線性表出，因?yàn)閱挝幌蛄拷M線性無關(guān)，由（定理2推論），得n rn，故r=n, 即i1,i2, ir為1,2, n本身，即證得1,2, 線性無關(guān)14設(shè)1,2,n是一

9、組n維向量，證明1,2,n線性無關(guān)的充要條件是任意n維向量可以被它們線性表出.證明： 必要性. 設(shè)1,2,n線性無關(guān)，對任意一個n維向量，由于n維空間的n+1個向量線性相關(guān)，所以1,2,n，線性相關(guān)，所以可由1,2,n線性表出.充分性. 由13題可得.15. 證明方程組對任何b1,b2,bn都有解的充要條件是系數(shù)行列式|aij|¹0.證明：“”若系數(shù)行列式|aij|0，則由Cramer法則，對任何常數(shù)b1,b2,bn有唯一解?！啊?，則原方程組為其中2, 3,n為A的列向量組， 對任何都有解。依次讓，則得可由1, 2,n線性表出，從而1, 2,n線性無關(guān)，即R (A)=n，由定理5，|

10、A|0.16. 已知1, 2, r (I)與1,r, r+1,s(II)有相同的秩，證明這兩個向量組等價.證明：對向量組1, 2, r (I)及1,r, r+1,s(II)，有R(I)=R(II)=t，設(shè)i1, i2, it(III)為(I)的極大無關(guān)組; 則由于i1, i2,it線性無關(guān)，且為(II)部分組，由R(II)=t得，(III)也是(II)的極大無關(guān)組. 所以(III)(II), 而(III) (I), 由等價的傳遞性得(I)與(II)等價. 17證明, 若1=2+r，2=1+3+r, r=1+r-1, 則b1，b2，,br與a1,a2,ar有相同的秩.證明： 1=2+r，2=1+

11、3+r, r=1+r-1, 即向量組b1，b2，,br可由向量組a1,a2,ar線性表出.又x= b1+b2+br=(r-1)(a1+a2+ar), , 即i可以1, 2, ,r線性表示, 這兩個向量組等價，秩必相同.18計算下列矩陣的秩. R(A)=4. R(A)=3. R(A)=3. R(A)=5.19. 討論當(dāng)，a,b取什么值時下列方程組有解并求解.(1) 解=；當(dāng)1時，有唯一解。當(dāng)=-2時，三個方程解相加，得0=3（無解）。當(dāng)=1時，變?yōu)橐粋€方程x1+x2+x3=1即x1=1-x2-x3. x2 x3任取。(2) 解：系數(shù)解列式。而0且1時，有唯一解：（用Cramer法則）。而當(dāng)=0時

12、為無解.當(dāng)=1時為(3) 解：系數(shù)行列式.當(dāng)b0且a1時，有唯一解。若b=0,無解.若a=1, 化為 若b¹1/2, 則方程組無解. 若b=1/2, 此時化為20. 求下列齊次線性方程組的一個基礎(chǔ)解系并用它表示出全部解.解：(1) 即為自由未知量. 令= 得：(2)即為基本，為自由未知量。令，得。即基礎(chǔ)解系為和(4) 即令21. 用基礎(chǔ)解系表示出第一題(1),(4),(6)題中線性方程組的全部解.解: (1) 其導(dǎo)出組的基礎(chǔ)解系為h=(1,1,0,1,-2), 特解為h 0=(1,0,0,0,-2). 其全部解為： (4) 基礎(chǔ)解系為h1=(3,0,19,0,17,0), h2=(0

13、,-13,0,-20,0,17), 其全部解為：x=(x1,x2,x3,x4,x5,x6)=k1h1+k2h 2=(3k1,-13k2,19k1,-20k2,17k1,17k2), k為任意數(shù).(6) 其導(dǎo)出組的基礎(chǔ)解系為h=(5/6,-7/6,5/6,1), 特解為h 0=(1/6,1/6,1/6,0). 其全部解為：x=(x1,x2,x3,x4)=kh+h 0=(5k+1,-7k+1,5k+1,k), k為任意數(shù).22. a, b取什么值時，線性方程組有解，在有解的情形，求出一般解.解： 由于方程組有解R(A)=R(), 故有解a=0, b=2.此時，x1,x2為基礎(chǔ)未知量, x3,x4,

14、xr為自由未知量. 特解為h 0=(-2,3,0,0,0).依次取（x3,x4.x5）=(1,0,0) 1=(1,-2,1,0,0)（x3,x4.x5）=(0,1,0) 得導(dǎo)出組的基礎(chǔ)解系為 2=(1,-2,0,1,0)（x3,x4.x5）=(0,0,1) 3=(5,-6,0,0,1)通解為 h 0+k11+k22+k33 (k1,k2,k3為任意常數(shù)。 23. 解： 因?yàn)镽(A)=4, R()=5. R()=4.故由有解判別定理，方程組有解R(A)=R() 有解時，即,矩陣化為最簡階梯 特解0=(a1+a2+a3+a4, a2+a3+a4, a3+a4,0)。導(dǎo)出組基礎(chǔ)系（只有一個自由求知數(shù)

15、x5=1）為=（1，1，1，1，1）。所以方程組的通解為0+k。k為任意的數(shù)。24. 證明：與基礎(chǔ)解系等價的線性無關(guān)的向量組也是基礎(chǔ)解系.證明：設(shè)是某齊次方程組的基礎(chǔ)解系，而是方程組的線性無關(guān)解向量組，且與等價。由于等價且都線性無關(guān)，必有s = t. 由傳遞性，方程的任一解可由線性表示，也可由線性表示。也是基礎(chǔ)解系。25. 設(shè)n元齊次線性方程組系數(shù)矩陣的秩為r, 證明方程組的任意n-r個線性無關(guān)的解都是一個基礎(chǔ)解系.證明: 設(shè)系數(shù)矩陣為A, 由于R(A)=r, 故基礎(chǔ)解系含有n-r個向量1，2，n-r（r <n ）. 設(shè)1，2, , n-r是任意n-r個線性無關(guān)的解向量，對于任意一個解a

16、，則向量組1，2n-ra可由基礎(chǔ)解系1，2，n-r線性表出，由定理2知，1，2, , n-r, a線性相關(guān)，而1，2, , n-r 線性無關(guān)，所以a可由1，2, , n-r 線性表出，所以1，2, , n-r是基礎(chǔ)解系.26. 證明：如果1，2，t是一線性方程組的解，那么u11+u22+utt也是解，其中u1+u2+ut=1.證明：設(shè)為方程組的解，即必有 ，那么代入方程組得 (由已知條件) 是方程的解。 此題反過來也成立，即 若為非齊次方程的解，且也是解，則必有.27.多項(xiàng)式時有公共根？解：f(x)和g(x)有公共根等價于f(x)和g(x)有非常數(shù)的公因式，即結(jié)式R(f,g)=0. 當(dāng)28.

17、解下列聯(lián)立方程.解: (1) =(-1)3+1 直接展開方程相加=324-963+96-64=32（4-33+2+3-2）=32(2-1)(2-3+2)=32(-1)2（+1）（-2）有4個解是1=2=1，3=2，4=-1。用=1代入在方程組得用y=2代入在方程組得用=-1代入在方程組得即得到三組解 補(bǔ)充題1. 設(shè)向量b可由a1,a2，,ar線性表示，證明，表示法唯一的充要條件是a1,a2，,ar線性無關(guān)。證明：由條件，設(shè)b=k1a1+k2a2+krar. (1)必要性：（反證）若a1,a2，,ar線性相關(guān)，且其中有一個向量為0,不妨假設(shè)a1=0，則存在另一個表達(dá)式b=(k1+1)a1+k2a

18、2+krar.與表示法唯一矛盾.若a1,a2，,ar中不含0向量，則至少存在一個ai,不妨假設(shè)a1可由其余的向量線性表示，存在P中的數(shù)b2,br,使得a1=b2a2+brar,代入(1),得b=k1a1+k2a2+krar=(k2+b2)a2+(kr+br)ar. (2)由于a1¹0, 則b2,br不全為零，于是(1)與(2)是兩個不同的表達(dá)式，與條件矛盾，所以必有a1,a2，,ar線性無關(guān).充分性：設(shè)a1,a2，,ar線性無關(guān)，若b=k1a1+k2a2+krar=c1a1+c2a2+crar,則(k1-b1)a1+(k2-b2)a2+(kr-br)ar=0, 由a1,a2，,ar線

19、性無關(guān)可得(k1-b1)= (k2-b2)= =(kr-br)=0, 即ki=bi,i=1,2,.,r.2. 設(shè)a1,a2，,ar是一組線性無關(guān)的向量，證明，b1,b2,br線性無關(guān)的充要條件是證明：必要性：（反證）若，則齊次線性方程組 (3) 有非零解. 設(shè)是一組非零解. 則由于不全為零，與b1,b2,br線性無關(guān)矛盾.充分性：（反證）設(shè)b1,b2,br線性相關(guān)，則存在不全為零的數(shù)使得 考慮到由a1,a2，,ar線性無關(guān)得上式的系數(shù)全為零，即,也就是說，線性方程組(3)有非零解，從而系數(shù)行列式等于零，與條件矛盾.3. 證明(其中)線性相關(guān)的充要條件是至少有一個是的線性組合.證明：必要性：設(shè)相

20、關(guān)，則存在不全為零的數(shù)使得. 若ks¹0, 則as可以用前面的向量線性表示，否則考慮ks-1, 從右邊考察，第一個非零系數(shù)，則該系數(shù)所對應(yīng)的向量可以用其前面的向量線性表示.充分性：若某一個是的線性組合，則線性相關(guān)，于是由線性相關(guān)的性質(zhì)知相關(guān).4. 已知兩個向量組有相同的秩，且其中一個可由另一個線性表示，證明：這兩個向量組等價.證明：證法1o不妨假設(shè)這是兩個線性無關(guān)的向量組，否則取它們的極大無關(guān)組討論即可. 由于R(A)=R(B), 可設(shè)設(shè)兩個向量組分別為A: a1, a2, ,as; B: b1, b2, ,bs. 且向量組A可以由向量組B線性表出.作新的向量組C: a1, a2,

21、,as; b1, b2, ,bs. 由于向量組A可由向量組B線性表出，所以向量組C可由B線性表出，而顯然，向量組B可由向量組C線性表出，所以向量組B與C等價. 所以R(B)=R(C). 且C中任意s個線性無關(guān)的向量都是其極大無關(guān)組，于是取其極大無關(guān)組為A, 則A與C等價，從而A與B等價.證法2o不妨假設(shè)這兩個向量組都線性無關(guān)，事實(shí)上，否則可取它們的極大無關(guān)組代替. 由R(A)=R(B), 所以可設(shè)兩個向量組含有相同個數(shù)的線性無關(guān)的向量.設(shè)向量組A: ; B: 是兩個線性無關(guān)的向量組， 且可由線性表示，即，設(shè)是線性方程組Ax=0的任一個解，其中，A為上式右端的矩陣，則有由于線性無關(guān)知，得齊次線性

22、方程組Ax=0只有零解，所以系數(shù)行列式不等于0, A可逆，所以可由線性表示.5. 假設(shè)向量組A: 的秩為r, 在其中任取m個向量B: ，證明.證明：因?yàn)?È,寫成A=BÈC, 取向量組B的極大無關(guān)組B1, 則R(B)=R(B1)且向量組A可以由向量組B1和C線性表出，R(A)£R(B1ÈC) £R(B1)+s-m =R(B)+s-m. 得證. 6. 設(shè)向量組；, 的秩分別為r1, r2, r3, 證明max r1, r2 £ r3£ r1+ r2.證明：(1) 左邊的不等式成立是因?yàn)橄蛄拷M和都可以由向量組, 線性表出.(2)

23、 右邊的不等式成立是因?yàn)橄蛄拷M, 可由向量組的極大無關(guān)組和的極大無關(guān)組線性表出，而這兩個極大無關(guān)組所含向量的個數(shù)分別為r1, r2，所以r3£ r1+ r2.7. 線性方程組 的系數(shù)矩陣為，這Mi為矩陣A劃去第i列后剩下的(n-1)´(n-1)行列式.證明: (1) (M1, -M2, (-1)n-1Mn)是方程組的一個解.(2) 如果R(A)=n-1, 則方程組的解全是(M1, -M2, (-1)n-1Mn)的倍數(shù).證明：令，D的第n行元素的代數(shù)余子式記為An1,An2,Ann, 則(M1, -M2, (-1)n-1Mn)=(-1)n+1(An1, An2 , Ann).

24、且ai1An1+ai2An2+ainAnn=0, i=1,1,n-1. 即(1)成立。(2) 如果R(A)=n-1，則A必有一個n-1階子式非零，A共有n個n-1階子式M1, M2, Mn，所以至少有一個Mi¹0, 于是(M1, -M2, (-1)n-1Mn)是一個非零解. 另一方面，由于系數(shù)矩陣的秩為n-1, 所以基礎(chǔ)解系含有一個解向量，得(M1, -M2, (-1)n-1Mn)為基礎(chǔ)解系，所以，任一個解都可由(M1, -M2, (-1)n-1Mn)線性表出，即為其倍數(shù).8. 設(shè)，證明如果線性方程組 (1)的解都是方程的解，那么b可由向量組線性表出.證明：要證明存在 即非齊次線性方

25、程組 (2)是否有解的問題.若，則顯然可由線性表出.若，考慮到(1)的解都是的解，所以作齊次線性方程組 (3)則，(1)與(3)同解. 令(1)的系數(shù)矩陣為A, (3)的系數(shù)矩陣為，則. 于是得(2)的系數(shù)矩陣與增廣矩陣的秩相等，從而(2)有解. 結(jié)論得證. 9. 設(shè)是它的導(dǎo)出組的一個基礎(chǔ)解系，令 證明線性方程組的任一個解，且 證明：由于，所以，其中10. 設(shè)是一個實(shí)數(shù)域上的矩陣，證明：(1) 如果(2) 如果證明：(1) |A|¹0的充要條件是齊次線性方程組Ax=0只有零解，所以只需證明其任一個解均為零即可.設(shè)是該齊次線性方程組的任一個解，則設(shè)max|ki| i=1,2,n.=kt, 于是