2012年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)文試題（遼寧卷解析版）

1、2012年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)文試題（遼寧卷）詳細(xì)解析注意事項(xiàng)：1本試卷分第卷(選擇題)和第卷(非選擇題)兩部分。答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫在答題卡上。2回答第卷時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑。如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標(biāo)號(hào)。寫在本試卷上無(wú)效。3.回答第卷時(shí)，將答案寫在答題卡上，寫在本試卷上無(wú)效。4.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。第卷一、選擇題：本大題共12小題，每題5分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一個(gè)是符合題目要求的。（1）已知向量a = (1,1)，b = (2,x).若a ·b = 1,則x =

2、(A) 1 (B) (C) (D)1【答案】D【解析】，故選D【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查向量的數(shù)量積，屬于容易題。（2）已知全集U=0,1,2,3,4,5,6,7,8,9，集合A=0,1,3,5,8，集合B=2,4,5,6,8，則 (A)5,8 (B)7,9 (C)0,1,3 (D)2,4,6【答案】B【解析一】因?yàn)槿疷=0,1,2,3,4,5,6,7,8,9，集合A=0,1,3,5,8，集合B=2,4,5,6,8，所以，所以7,9。故選B【解析二】 集合即為在全集U中去掉集合A和集合B中的元素，所剩的元素形成的集合，由此可快速得到答案，選B【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查集合的交集、補(bǔ)集運(yùn)算，屬于容易題。采

3、用解析二能夠更快地得到答案。（3）復(fù)數(shù)(A) (B) (C) (D) 【答案】A【解析】，故選A【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查復(fù)數(shù)代數(shù)形式的運(yùn)算，屬于容易題。復(fù)數(shù)的運(yùn)算要做到細(xì)心準(zhǔn)確。（4）在等差數(shù)列an中，已知a4+a8=16，則a2+a10=(A) 12 (B) 16 (C) 20 (D)24【答案】B【解析】，故選B【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查等差數(shù)列的通項(xiàng)公式、同時(shí)考查運(yùn)算求解能力，屬于容易題。（5）已知命題p：x1，x2R，(f(x2)f(x1)(x2x1)0，則p是(A) x1，x2R，(f(x2)f(x1)(x2x1)0 (B) x1，x2R，(f(x2)f(x1)(x2x1)0(C) x1，x2

4、R，(f(x2)f(x1)(x2x1)<0(D) x1，x2R，(f(x2)f(x1)(x2x1)<0【答案】C【解析】命題p為全稱命題，所以其否定p應(yīng)是特稱命題，又(f(x2)f(x1)(x2x1)0否定為(f(x2)f(x1)(x2x1)<0，故選C【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查含有量詞的命題的否定，屬于容易題。（6）已知，(0，)，則=(A) 1 (B) (C) (D) 1【答案】A【解析】故選A【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查三角函數(shù)中的倍角公式以及轉(zhuǎn)化思想和運(yùn)算求解能力，屬于容易題。（7）將圓x2+y2 -2x-4y+1=0平分的直線是（A）x+y-1=0 （B） x+y+3=0 （C）

5、x-y+1=0 （D）x-y+3=0【答案】C【解析】圓心坐標(biāo)為（1，2），將圓平分的直線必經(jīng)過(guò)圓心，故選C【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查直線和圓的方程，難度適中。（8）函數(shù)y=x2x的單調(diào)遞減區(qū)間為（A）（1,1 （B）（0,1 （C.）1，+） （D）（0，+）【答案】B【解析】故選B【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查利導(dǎo)數(shù)公式以及用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，屬于中檔題。（9）設(shè)變量x，y滿足則2x+3y的最大值為(A) 20 (B) 35 (C) 45 (D) 55【答案】D【解析】畫出可行域，根據(jù)圖形可知當(dāng)x=5,y=15時(shí)2x+3y最大，最大值為55，故選D【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查簡(jiǎn)單線性規(guī)劃問(wèn)題，難度適中。該類題

6、通?？梢韵茸鲌D，找到最優(yōu)解求出最值，也可以直接求出可行域的頂點(diǎn)坐標(biāo)，代入目標(biāo)函數(shù)進(jìn)行驗(yàn)證確定出最值。（10）執(zhí)行如圖所示的程序框圖，則輸出的S的值是 :(A) 4 (B) (C) (D) 1【答案】D【解析】根據(jù)程序框圖可計(jì)算得，故選D【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查程序框圖中的循環(huán)結(jié)構(gòu)、以及運(yùn)算求解能力，屬于中檔題。此類題目如果數(shù)值較少也可直接算出結(jié)果，如果數(shù)值很多需要通過(guò)計(jì)算確定出周期再根據(jù)周期確定最后的結(jié)果。此題中數(shù)值的周期為4.（11）在長(zhǎng)為12cm的線段AB上任取一點(diǎn)C. 現(xiàn)作一矩形，鄰邊長(zhǎng)分別等于線段AC,CB的長(zhǎng)，則該矩形面積大于20cm2的概率為:(A) (B) (C) (D) 【答案】C

7、【解析】設(shè)線段AC的長(zhǎng)為cm，則線段CB的長(zhǎng)為()cm,那么矩形的面積為cm2，由，解得。又，所以該矩形面積小于32cm2的概率為，故選C【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查函數(shù)模型的應(yīng)用、不等式的解法、幾何概型的計(jì)算，以及分析問(wèn)題的能力，屬于中檔題。（12）已知P,Q為拋物線x2=2y上兩點(diǎn)，點(diǎn)P,Q的橫坐標(biāo)分別為4，2，過(guò)P,Q分別作拋物線的切線，兩切線交于點(diǎn)A，則點(diǎn)A的縱坐標(biāo)為(A) 1 (B) 3 (C) 4 (D) 8【答案】C【解析】因?yàn)辄c(diǎn)P，Q的橫坐標(biāo)分別為4，2，代人拋物線方程得P，Q的縱坐標(biāo)分別為8,2.由所以過(guò)點(diǎn)P，Q的拋物線的切線的斜率分別為4，2，所以過(guò)點(diǎn)P，Q的拋物線的切線方程分別為

8、聯(lián)立方程組解得故點(diǎn)A的縱坐標(biāo)為4【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查利用導(dǎo)數(shù)求切線方程的方法，直線的方程、兩條直線的交點(diǎn)的求法，屬于中檔題。曲線在切點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)即為切線的斜率，從而把點(diǎn)的坐標(biāo)與直線的斜率聯(lián)系到一起，這是寫出切線方程的關(guān)鍵。第卷本卷包括必考題和選考題兩部分。第13題第21題為必考題，每個(gè)試題考生都必須做答。第22題第24題為選考題，考生根據(jù)要求做答。二、填空題：本大題共4小題，每小題5分。（13）一個(gè)幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積為_.【答案】12+【解析】由三視圖可知該幾何體為一個(gè)長(zhǎng)方體和一個(gè)等高的圓柱的組合體，其中長(zhǎng)方體的長(zhǎng)、寬、高分別為4、3、1，圓柱的底面直徑為2，高位1，所以該

9、幾何體的體積為【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查幾何體的三視圖、柱體的體積公式，考查空間想象能力、運(yùn)算求解能力，屬于容易題。本題解決的關(guān)鍵是根據(jù)三視圖還原出幾何體，確定幾何體的形狀，然后再根據(jù)幾何體的形狀計(jì)算出體積。（14）已知等比數(shù)列an為遞增數(shù)列.若a1>0,且2（a n+a n+2）=5a n+1 ,則數(shù)列an的公比q = _.【答案】2【解析】因?yàn)閿?shù)列為遞增數(shù)列，且【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查等比數(shù)列的通項(xiàng)公式，轉(zhuǎn)化思想和邏輯推理能力，屬于中檔題。（15）已知雙曲線x2 y2 =1,點(diǎn)F1,F2為其兩個(gè)焦點(diǎn)，點(diǎn)P為雙曲線上一點(diǎn)，若P F1P F2,則P F1+P F2的值為_.【答案】【解析】由雙曲線

10、的方程可知【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查雙曲線的定義、標(biāo)準(zhǔn)方程以及轉(zhuǎn)化思想和運(yùn)算求解能力，難度適中。解題時(shí)要充分利用雙曲線的定義和勾股定理，實(shí)現(xiàn)差積和的轉(zhuǎn)化。（16）已知點(diǎn)P，A，B，C，D是球O表面上的點(diǎn)，PA平面ABCD，四邊形ABCD是邊長(zhǎng)為2正方形。若PA=2,則OAB的面積為_.【答案】【解析】點(diǎn)【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查組合體的位置關(guān)系、抽象概括能力、空間想象能力、運(yùn)算求解能力以及轉(zhuǎn)化思想，該題靈活性較強(qiáng)，難度較大。該題若直接利用三棱錐來(lái)考慮不宜入手，注意到條件中的垂直關(guān)系，把三棱錐轉(zhuǎn)化為長(zhǎng)方體來(lái)考慮就容易多了。三、解答題：解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟。（17）(本小題滿分12分)在中，

11、角A、B、C的對(duì)邊分別為a，b，c。角A，B，C成等差數(shù)列。 ()求的值； ()邊a，b，c成等比數(shù)列，求的值?！敬鸢概c解析】【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查三角形的正弦定理、余弦定理、三角形內(nèi)角和定理及等差、等比數(shù)列的定義，考查轉(zhuǎn)化思想和運(yùn)算求解能力，屬于容易題。第二小題既可以利用正弦定理把邊的關(guān)系轉(zhuǎn)化為角的關(guān)系，也可以利用余弦定理得到邊之間的關(guān)系，再來(lái)求最后的結(jié)果。（18）(本小題滿分12分)如圖，直三棱柱，AA=1，點(diǎn)M，N分別為和的中點(diǎn)。 ()證明：平面; ()求三棱錐的體積。（椎體體積公式V=Sh,其中S為地面面積，h為高）【答案與解析】【點(diǎn)評(píng)】本題以三棱柱為載體主要考查空間中的線面平行的判定、

12、棱錐體積的計(jì)算，考查空間想象能力、推理論證能力、運(yùn)算求解能力，難度適中。第一小題可以通過(guò)線線平行來(lái)證明線面平行，也可通過(guò)面面平行來(lái)證明；第二小題求體積根據(jù)條件選擇合適的底面是關(guān)鍵，也可以采用割補(bǔ)發(fā)來(lái)球體積。（19）(本小題滿分12分)電視傳媒公司為了了解某地區(qū)電視觀眾對(duì)某類體育節(jié)目的收視情況，隨機(jī)抽取了100名觀眾進(jìn)行調(diào)查，其中女性有55名。下面是根據(jù)調(diào)查結(jié)果繪制的觀眾日均收看該體育節(jié)目時(shí)間的頻率分布直方圖；將日均收看該體育節(jié)目時(shí)間不低于40分鐘的觀眾稱為“體育迷”，已知“體育迷”中有10名女性。 ()根據(jù)已知條件完成下面的列聯(lián)表，并據(jù)此資料你是否認(rèn)為“體育迷”與性別有關(guān)？非體育迷體育迷合計(jì)男

13、女合計(jì) ()將日均收看該體育項(xiàng)目不低于50分鐘的觀眾稱為“超級(jí)體育迷”，已知“超級(jí)體育迷”中有2名女性，若從“超級(jí)體育迷”中任意選取2人，求至少有1名女性觀眾的概率。附【答案與解析】【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查統(tǒng)計(jì)中的頻率分布直方圖、獨(dú)立性檢驗(yàn)、古典概型，考查分析解決問(wèn)題的能力、運(yùn)算求解能力，難度適中。準(zhǔn)確讀取頻率分布直方圖中的數(shù)據(jù)是解題的關(guān)鍵。求概率時(shí)列舉基本事件一定要做到不重不漏，此處極容易出錯(cuò)。（20）(本小題滿分12分)如圖，動(dòng)圓,1<t<3,與橢圓：相交于A，B，C，D四點(diǎn)，點(diǎn)分別為的左，右頂點(diǎn)。 ()當(dāng)t為何值時(shí)，矩形ABCD的面積取得最大值？并求出其最大面積； ()求直線AA

14、1與直線A2B交點(diǎn)M的軌跡方程?！敬鸢概c解析】【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查直線、圓、橢圓的方程，橢圓的幾何性質(zhì)，軌跡方程的求法，考查函數(shù)方程思想、轉(zhuǎn)化思想、數(shù)形結(jié)合思想、運(yùn)算求解能力和推理論證能力，難度較大。（21）(本小題滿分12分)設(shè)，證明： ()當(dāng)x1時(shí)， （ ） ()當(dāng)時(shí)，【答案與解析】【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查導(dǎo)數(shù)公式，以及利用導(dǎo)數(shù)，通過(guò)函數(shù)的單調(diào)性與最值來(lái)證明不等式，考查轉(zhuǎn)化思想、推理論證能力、運(yùn)算能力、應(yīng)用所學(xué)知識(shí)解決問(wèn)題的能力，難度較大。請(qǐng)考生在第22、23、24三題中任選一題做答，如果多做，則按所做的第一題記分。做答時(shí)用2B鉛筆在答題卡上把所選題目對(duì)應(yīng)題號(hào)下方的方框涂黑。(22)(本小題滿

15、分10分)選修41：幾何證明選講 如圖，O和相交于兩點(diǎn)，過(guò)A作兩圓的切線分別交兩圓于C，D兩點(diǎn)，連接DB并延長(zhǎng)交O于點(diǎn)E。證明 ()； () ?！敬鸢概c解析】【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查圓的切線的性質(zhì)、三角形相似的判斷與性質(zhì)，考查推理論證能力和數(shù)形結(jié)合思想，重在考查對(duì)平面幾何基礎(chǔ)知識(shí)、基本方法的掌握，難度較小。(23)(本小題滿分10分)選修44：坐標(biāo)系與參數(shù)方程 在直角坐標(biāo)中，圓，圓。 ()在以O(shè)為極點(diǎn)，x軸正半軸為極軸的極坐標(biāo)系中，分別寫出圓的極坐標(biāo)方程，并求出圓的交點(diǎn)坐標(biāo)(用極坐標(biāo)表示)； ()求圓的公共弦的參數(shù)方程?！敬鸢概c解析】【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查點(diǎn)的極坐標(biāo)表示、圓的極坐標(biāo)方程、參數(shù)方程的表示及參數(shù)方程與一般方程的轉(zhuǎn)換、解方程組的知識(shí)，難度較小。本題要注意圓的圓心為半徑為，圓的圓心為半徑為，從而寫出它們的極坐標(biāo)方程；對(duì)于兩圓的公共弦，可以先求出其代數(shù)形式，