高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)點撥 攻克“抽象函數(shù)與分段函數(shù)”的常規(guī)題型

1、攻克“抽象函數(shù)與分段函數(shù)”的常規(guī)題型抽象函數(shù)是沒有給出函數(shù)的具體解析式，只給出函數(shù)的抽象表達(dá)關(guān)系式，利用這些關(guān)系式解題；分段函數(shù)是將函數(shù)的定義域分成若干個子區(qū)間，不同的子區(qū)間有不同的表達(dá)式由于這兩類函數(shù)表達(dá)形式比較特殊，使得這類問題成為函數(shù)內(nèi)容的難點，而這兩類函數(shù)在函數(shù)內(nèi)容又占重要位置，本文就這兩類函數(shù)對其常見的題型歸納評析如下：一、確定解析式問題例1 已知y=f(x)滿足，其中a、b、c都是非零的常數(shù)，ab，求函數(shù)的解析式【分析】y=f(x)沒有具體結(jié)構(gòu)，條件中的a、b、c a、b、c都是已知的常數(shù)，不可用待定系數(shù)法去求解本題可用，轉(zhuǎn)化出另一個式子，采用解方程組的辦法求解【解析】，以代換x得

2、：，聯(lián)立兩式消去f()得：，【點評】從所給式子出發(fā)，看成一個變式，把x換成以后得到方程組，故視f(x)為一個未知量，解之得f(x)，稱此法為“函數(shù)方程法”求抽象函數(shù)解析式這是常用的方法例2 設(shè)f(x)是定義域為R的函數(shù)，且滿足f(x)=f(x)，當(dāng)x0，+時，求f(x)的解析式【分析】利用f(x)=f(x)求（，0）上的表達(dá)式即可【解析】f(x)=f(x)，又當(dāng)x0時，x0，由已知，則 （x0，【點評】給出某區(qū)間上的表達(dá)式，求對稱區(qū)間上的表達(dá)式時，常常應(yīng)用f(x)=f(x)或f(x)= f(x)進(jìn)行轉(zhuǎn)化二、求函數(shù)值問題例3函數(shù)f(x)定義在正整數(shù)集上，且滿足：f(1)=2002和f（1）+f（

3、2）+f（n）= f（n），則f(2002)的值為_【分析】首先根據(jù)所給的條件求出f（n）的表達(dá)式，在求值【解析】由f（1）+f（2）+f（n）= f（n），得：f（1）+f（2）+f（n1）= f（n1），兩式相減得：f（n）= f（n） f（n1）（n3），變形得：（n3），由得：，又f(1)=2002，于是有，故f(2002)=【點評】由f（n）= f（n） f（n1）（n3）推出f（n）的表達(dá)式，整個運算過程，都需要有一定的觀察分析能力，善于從式子結(jié)構(gòu)出發(fā)，向下進(jìn)行，進(jìn)而求出f(2002)例4已知函數(shù)，若f(x)=10，求x=_【分析】首先確定用那一部分的函數(shù)表達(dá)式求解x，從f(x)=

4、10可以看出，要求函數(shù)的值是正數(shù)，故不用f(x)=2x（x0）【解析】由于f(x)=100，而當(dāng)f(x)=2x（x0）時，f(x)0，于是應(yīng)用，令=10，x=3，由于x0，故x=3三、定義域與值域問題例5 已知函數(shù)y=f(2x+1)的定義域是0，1，求y=f(x)的定義域【分析】函數(shù)y=f(2x+1)的定義域是0，1，是指解析式中x的取值范圍，2x+1不是自變量，而是中間變量，f(2x+1)中的中間變量相當(dāng)于f(x)中的x，所以此題是已知x0，1，求2x+1的取值范圍【解析】函數(shù)y=f(2x+1)的定義域是0，1，0x1，12x3，函數(shù)y=f(x)的定義域是1，3【點評】若已知函數(shù)y=f(x)

5、的定義域為a，b，求y=f(g(x)的定義域，只需將g(x)代換為x，解不等式ag(x)b，求出x的集合即為y=f(g(x)的定義域；若已知y=f(g(x)的定義域為a，b，求函數(shù)y=f(x)的定義域，只要求出y= g(x) ，xa，b，的值域即為y=f(x)的定義域例6 已知函數(shù)，求其定義域和值域【分析】求分段函數(shù)的定義域只要將各段的子區(qū)間取并集；求分段函數(shù)的值域需要分段求出值域，在取并集11【解析】，由于1，1(1，+)(，1）=R，可知，定義域為R當(dāng)x1，1時，f(x) 0，1；而當(dāng)x（1，+）（，1）時，f（x）=2，因此函數(shù)的值域為：0，1 2四、函數(shù)性質(zhì)問題1、單調(diào)性例7 已知函數(shù)

6、y=f(x)的定義域為R，對任意xR，均有f(x+x)=f(x)+f(x)，且對任意x0，都有f(x)0，f(3)=3（1）證明函數(shù)y=f(x)是R上的單調(diào)減函數(shù)；（2）試求函數(shù)y=f(x)在m，n（m，nZ且mn0上的值域【分析】利用函數(shù)的單調(diào)性的定義證明；由（1）的結(jié)論可知f(m)、f(n)分別是函數(shù)y=f(x)在m，n上的最大值與最小值，故求出f(m)與f(n)即可得所求函數(shù)的值域【證明】（1）任取、，且，由題設(shè)f(x+x)=f(x)+f(x)，可知，0，f()0, ，故y=f(x)是R上的單調(diào)減函數(shù)（2）由于y=f(x)是R上的單調(diào)減函數(shù)，y=f(x)在m，n上也是單調(diào)遞減函數(shù)，y=f

7、(x)的最大值為f(m)，最小值為f(n)，f(n)=f1+(n1)=f(1)+f(n1)=2f(1)+f(n2)=nf(1),同理f(m)= m f(1)f(3)=3，f(3)=3 f(1) =3，f(1)=1，f(m)=m，f(n)=n，故函數(shù)y=f(x)在m，n上的值域為n ，m【點評】：對于抽象函數(shù)，往往通過研究函數(shù)的單調(diào)性確定其最值和值域；對抽象函數(shù)關(guān)系式中的變元取適當(dāng)?shù)闹?，求所需關(guān)系式或值，是解決抽象函數(shù)問題的常用技巧1axyO例8 若函數(shù)f(x)=|xa|在(，1)內(nèi)是減函數(shù)，求實數(shù)a的取值范圍【分析】本題采用數(shù)形結(jié)合的方法形象直觀容易求a的取值范圍【解析】f(x)=|xa|=，

8、作出函數(shù)的圖象，由于(，a)內(nèi)是減函數(shù)，而在(，1)內(nèi)也是減函數(shù)，故(，1)是(，a)的子區(qū)間因此a12、奇偶性例9 設(shè)f(x)是定義在R上的函數(shù)，滿足f(x+2)=f(x)，且x0，2時，（1）求x2，0時，f(x)的表達(dá)式；（2）求f(9)和f(9)的值；（3）證明f(x)是奇函數(shù)【分析】這是一個分段函數(shù)問題，首先求出函數(shù)的表達(dá)式，然后在利用定義證明函數(shù)是奇函數(shù)【解析】（1）x2，0時，x+20，2，f(x)=f(x+2)=2(x+2)(x+2)，即x2，0時，（2）f(x+2)=f(x)，f(x+4)=f(x+2)= f(x)，f(x)是以4為周期的周期函數(shù)f(9)=f(1)=1，f(9

9、)= f(1)=1，(3)，又f(x)+f(x)=，f(x)+f(x)=0，（x2,2），f(x)在2,2上為奇函數(shù)若x4k2,4k+2，kZ，則x4k2, 4k +2，,f(x)= f(x4k)，f(x)= f(x+4k)，且x4k與x+4k2，2又x+4k=（x4k），f（x+4k）=f(x4k), f(x)=f(x)，f(x)為奇函數(shù)3、周期性例10設(shè)f(x) 定義在R上的偶函數(shù)，其圖象關(guān)于直線x=1對稱，對任意、都有，且f(1)=a0（1）求、；（2）證明f(x)是周期函數(shù)【分析】偶函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對稱，由函數(shù)圖象關(guān)于直線x=1對稱，可以判定函數(shù)f(x)是周期函數(shù)【解析】（1）由，、

10、，知，x0，1，又f(1)=a0，（2）依題意設(shè)y=f(x)關(guān)于直線x=1對稱，f(x)= f(1+1x)，f(x)= f(2x)，又f(x) =f(x)，f(x)= f(x+2)，函數(shù)f(x)是R上的周期函數(shù)，且2是它的一個周期五、反函數(shù)問題例11 已知定義域為的函數(shù)f(x)，對任意x、y恒有f(xy)=f(x)+f(y)（1）求證：當(dāng)x時，；（2）若x1時，恒有，求證：f(x)必有反函數(shù)；（3）設(shè)是f(x)的反函數(shù)，求證：在其定義域內(nèi)恒有證明：（1），則有f(1)= f(1)+f(1) ,有f(1)=0，（2），且時，由，得，知f(x)在上為單調(diào)遞減函數(shù)f(x)必有反函數(shù)（3）設(shè)，即例12

11、 已知函數(shù)，其定義域為（1）若f(x)在其定義域內(nèi)有反函數(shù)，求t的取值范圍；（2）在（1）的條件下，求反函數(shù)解：（1）f(x)在時其對稱軸為x=t當(dāng)時，f(x)在其定義域內(nèi)為增函數(shù)，所以此時f(x)有反函數(shù)；同理，當(dāng)時，f(x)在其定義域內(nèi)也有反函數(shù)；當(dāng)時，f(x)圖象在的一段比在的一段更靠近對稱軸那么要使得f(x)在定義域內(nèi)有反函數(shù)，應(yīng)有則得，解得；當(dāng)時，同理應(yīng)有，解得；當(dāng)時f(x)顯然不存在反函數(shù)有以上討論可知，f(x)在其定義域內(nèi)有反函數(shù)的t的范圍為：（2）由，得當(dāng)時知，此時反函數(shù)為，其中當(dāng)時，此時反函數(shù)為，其中當(dāng)時，反函數(shù)為六、相關(guān)不等式問題例12 設(shè)函數(shù)是定義在R上的增函數(shù)，且f(x

12、)0，對于任意、都有（1） 求證：f(x)0；（2） 求證：；（3）若f(1)=2，解不等式f(3x) 4f(x)【分析】由于函數(shù)具有本例中f(x)的條件與結(jié)構(gòu)，因而在求解過程中應(yīng)以指數(shù)函數(shù)（a0且a1）為模型類比求解【解析】（1）令，則，f(t) 0,f(t) 0，即f(x) 0，（2），又f(x) 0，（3）f(1)=2，2f(x)= f(1) f(x)= f(1+x)，4 f(x)=22 f(x)= f(1)f(1+x)= f(2+x)，f(3x) 4f(x)，即f(3x) f(2+x)又f(x)是定義域R上的增函數(shù)，3x2+x，x1，故不等式f(3x) 4f(x)的解集為x|x1【點評】在解有關(guān)抽象函數(shù)問題時，可以根據(jù)題中的抽象函數(shù)關(guān)系式的特例，即具體函數(shù)，類比求解，這樣可以使解題方向明確例13 已知函數(shù)f(x)的定義域為（0，+）且在其上為增函數(shù)，滿足f