Mathematica導(dǎo)數(shù)、積分、方程等的數(shù)值計(jì)算

1、精品文檔第4章導(dǎo)數(shù)、積分、方程等的數(shù)值計(jì)算在上一章的符號(hào)運(yùn)算中已經(jīng)指出，有些數(shù)學(xué)問題的解可以用一個(gè)解析式（數(shù)學(xué)公式）精確地表示出來，而另一些問題則不能。遇到這種情況時(shí)，人們常會(huì)轉(zhuǎn)而去求它的近似數(shù)值解，所謂近似數(shù)值解是指按照某種逼近思路，推導(dǎo)出相應(yīng)的迭代公式，當(dāng)給定一個(gè)適當(dāng)?shù)某跏贾担ɑ蚍Q初始點(diǎn)）后，由迭代公式就可產(chǎn)生一系列的近似解（點(diǎn)），從而一步一步的去逼近原問題的精確解（點(diǎn)）。在迭代過程中所有的計(jì)算（按迭代公式）都是對(duì)具體數(shù)值進(jìn)行的，或者說計(jì)算的主要對(duì)象是具體的數(shù)值（主要是實(shí)數(shù)）004.1 函數(shù)值與導(dǎo)數(shù)值的計(jì)算4.1.1 函數(shù)值的計(jì)算在Mathematica系統(tǒng)里，計(jì)算函數(shù)值的過程同數(shù)學(xué)里的情

2、況基本相似？Note：先定義函數(shù)表達(dá)式，再作變量替換。4.1.2 導(dǎo)數(shù)值的計(jì)算Note：先定義函數(shù)表達(dá)式，再求導(dǎo)函數(shù)，最后作變量替換。4.2 定積分與重積分的數(shù)值計(jì)算4.2.1 定積分的數(shù)值計(jì)算在Mathematica系統(tǒng)中為我們提供的對(duì)定積分進(jìn)行近似數(shù)值計(jì)算的函數(shù)是NIntegrate,它的調(diào)用格式如下：NIntegratef（x）,x,a,b式中f（x）為被積分函數(shù)，x為積分變量啟為積分下限，b為積分上限，有時(shí)a可取到-oo,b可取到+OO?4.2.2 重積分的數(shù)值計(jì)算1 .矩形區(qū)域G:a&x&b,c&y&d上的二重積分/-didy,可將它轉(zhuǎn)化為二次定積分如下:G“，rbrbZ=/(八了)

3、dwdy=|口dyldrJrJ仃juj/對(duì)此VLithrnKilica系統(tǒng)給出的iJAj用函數(shù)格式如下：Nln1egrHle_/(i.),km1,y,1Note:先又ty積分，再對(duì)x積分2 .一般(有界)區(qū)域G上的二重積分(*先對(duì)積分,再對(duì)口(*先對(duì)h積分,再對(duì)：:積分* )，積分* )NIntegratefx,y,x,x1,x2,y,y1x,y2xOrNIntegratefx,y,y,y1,y2,x,x1y,x2yZhouer3 .一般區(qū)域上的多重積分精品文檔1例6已知上半球體X2+/+，三,內(nèi)某韓物質(zhì)的密發(fā)分布函數(shù)為H=1一試求此半球的總質(zhì)量對(duì)(設(shè)=3)口由重積分的物理意義知Qftar上，

4、,y力;r=3;ct=14-;h1=0;s2=Sqrtr*yl=-Sqrtr*r-a:*jfjy2-ylxl=-r;x2-+r;33=Integrate.upIs,aIj;j4=IntegrateIb3,?yfyL,_y21ij5=Integrate54*11#2打：M=Nj5j二120.1664.3 方程的近似根對(duì)于一般的高次代數(shù)方程與般的超越方程，由于不存在精確的求根公式,因而不能利用符號(hào)運(yùn)算求解，可供選擇的另一途徑便是去求它的近似數(shù)值解口我們在高等數(shù)學(xué)里學(xué)過的近似求根方法有對(duì)分法、割線法與切線法等，其中切線法又稱牛頓法，由于它具有較高的逼近精度與較快的收斂速度，常為人們所采用，它的迭代公

5、式是”與(興廣在Mathemadca系統(tǒng)里為我們提供的調(diào)用函數(shù)是FMlRml,其調(diào)用格式是FindRooijytx)=0/#式中/(*)=0為給定的求根方程并為未知量，和為選定的初始點(diǎn)，即迭代公式中超的初值,。的選取可以有多種方法，我們用具體例子說明如下獸牛頓迭代法的幾何解釋在X0處作曲線的切線，切線方程為y=f(Xo)+f(Xo)(X-Xo).令y=0,可得切線與x軸f(Xn)的交點(diǎn)橫坐標(biāo)Xi=Xo-，,這就是牛頓法的迭代公式.因此，牛頓法又稱切線法”.f(Xo)X分析法（零點(diǎn)存在定理）圖形法隨機(jī)生點(diǎn)法例1求方程COSX-X=0的實(shí)根為了得到一個(gè)初始點(diǎn)我們可以先采用分析方法二令/（與）=CO

6、S工易知/（4）在區(qū)間（-+8）上連續(xù)可微，而且/（0）0,/（1）0.由八災(zāi)）在區(qū)間0,1上的連續(xù)性知，在0上必有一點(diǎn)卻使f（&）=o,不妨將檢取為0,1的中點(diǎn)，即須=0.5,有FindRootCosx-4=0/5二|4fo.739085【例2】求方程r-5*+1=0的一個(gè)實(shí)根口這是一個(gè)5次代數(shù)方程，很可能有5個(gè)實(shí)根,為了找到一個(gè)初始點(diǎn)榆,我們還可采用圖形法如下I令y=-5/+1,利用PMt函數(shù)畫出這條平面曲線,觀察此曲線同Ox軸的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)片的大致位置便是一個(gè)初始點(diǎn)（弧的縱坐標(biāo)址均為0,如圖4-2Q）所示?；蛘吡钜?/,%=5工-1,利用Plot函數(shù)畫出這兩條平面曲線,在它們的交點(diǎn)皿處，

7、M的橫坐標(biāo)須的大致位置便是一個(gè)初始點(diǎn)Plot5-5*K1/，-%4打或巴血%55*#-lJxt-4,4|【例3】求方程組的一個(gè)實(shí)根力sina-cosy=0.1利用畫圖法找此例的初始點(diǎn)有一些麻煩,我們將使用第3種辦法，即隨機(jī)生點(diǎn)法來得到函數(shù)Randomll（*生成一個(gè)。與I之間的隨機(jī)數(shù)*）函數(shù)RandcmRe&*B*生成一個(gè)以與5之間的隨機(jī)數(shù)*）觀察所給方程組知，在口與。與的范圍內(nèi)很可能存在實(shí)根，故不妨取卻=Rnndom加二RandonJ,則有:FindRootIx+y=J,Sin-Co&#=0.11JH,Rflndam口I,Iy.Random口I=14fo.856I86,yf0.143832（

8、4.4 常微分方程數(shù)值解在利用符號(hào)運(yùn)算尋求常微分方程的解（含通解與待解）時(shí),為了保證初等函數(shù)形式解的存在,必須常常將微分方程的類型限制在線性常系數(shù)的狹窄范圍內(nèi)口對(duì)于求解一般的變系數(shù)線性方程以及更為廣泛的非線性方程.則必須采用近似求解，特別是近似數(shù)值求解的辦法。常見的近似數(shù)值求解方法有歐拉折線法、阿當(dāng)姆斯法、龍格-庫塔法與吉爾法等。其中由于龍格-庫塔法的精度較好，計(jì)算量適中，常為人們采用口近似數(shù)值求解的最大優(yōu)點(diǎn)是不受方程類型的限制，即可以求任何形狀微分方程的解（當(dāng)然要假定解的存在），但是求出的解只能是數(shù)值的（即數(shù)據(jù)形式的）解函數(shù)由在M時(shí)em疝恒系統(tǒng)里為我們提供有求微分方程數(shù)值待解的函數(shù)NDSoIvb,它的蠲用格式如下：IWSoWH微分方程,初始條件|,未知函數(shù)自變量范圍HNDSoivKI微分方程組，初始條件未知函數(shù)1,未知函數(shù)2,1J自變量篦國口【例1J求方程y=C3+Binj在區(qū)間0.20上滿足條件r（0）=1的特解口In11；=it=NDSalvcIyr%=-Cosx+Sinyl=11劉Outl=|,fIn度qxJatingFunciiMiHO.,2。I,H求得的未知函數(shù)y是一個(gè)在區(qū)間以鬼1上具有內(nèi)插特征的數(shù)據(jù)形式的函數(shù)，為了能夠直觀地看到武式）的形狀，不妨利用Pkt函數(shù)將它的圖