1.2第講函數(shù)的連續(xù)性ppt課件

1、高等院校非數(shù)學類本科數(shù)學課程腳本編寫、教案制作：劉楚中 彭亞新 鄧愛珍 劉開宇 孟益民 第三章 函數(shù)的極限與連續(xù)性本章學習要求： 了解函數(shù)極限的概念，知道運用“和 “X ”語言描 述函數(shù)的極限。 理解極限與左右極限的關系。熟練掌握極限的四則運算法則 以及運用左右極限計算分段函數(shù)在分段點處的極限。 理解無窮小量的定義。理解函數(shù)極限與無窮小量間的關系。 掌握無窮小量的比較，能熟練運用等價無窮小量計算相應的 函數(shù)極限。了解無窮大量的概念及其與無窮小量的關系。 理解極限存在準則。能較好運用極限存在準則和兩個重要極 限求相應的函數(shù)極限。 理解函數(shù)在一點連續(xù)以及在區(qū)間上連續(xù)的概念，會判斷函數(shù) 間斷點的類型

2、。了解基本初等函數(shù)和初等函數(shù)的連續(xù)性以及 閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質介值定理、最值定理）。 理解冪級數(shù)的基本概念。掌握冪級數(shù)的收斂判別法。第三章 函數(shù)的極限與連續(xù)性第七、八節(jié) 函數(shù)的連續(xù)性及其性質一、連續(xù)函數(shù)的概念一、連續(xù)函數(shù)的概念二. 函數(shù)的間斷點連續(xù)函數(shù)的運算 及其基本性質 四.初等函數(shù)的連續(xù)性一、連續(xù)函數(shù)的概念極限形式增量形式設 f (x) 在 U(x0) 內有定義, 假設)()(lim0 0 xfxfxx則稱函數(shù) f (x) 在點 x0 處是連續(xù)的.1.函數(shù)連續(xù)性的定義 (極限形式) 可減弱：x0 為聚點 函數(shù)的連續(xù)性是一個局部性的概念, 是逐點定義的.是整個鄰域函數(shù) f (x ) 在點

3、x0 處連續(xù), 應該滿足以下三點：(1) f (x) 在 U(x0) 內有定義；(包括在點 x0 處有定義). )( ) 3(0 xfa (極限值等于函數(shù)在點 x0 處的函數(shù)值) )(lim )2(0；存在axfxx) )( , ( 0有極限時xfxx 函數(shù) y = x2 在點 x = 0 處是否連續(xù) ? 0lim20 xx 函數(shù) y = x2 在點 x = 0 處連續(xù).又且0020 xxxy y = x 2 在 U(0) 內有定義,例1解 函數(shù)的連續(xù)性是通過極限定義的, 當然可以 運用 語言描述它.2.連續(xù)性的 語言形式設函數(shù) f (x) 在 U(x0) 內有定義. , 假設 , 當 | x

4、 x0 | 時, 有則稱函數(shù) f (x) 在點 x0 處是連續(xù)的.| f (x) f (x0) | 0,11limsgnlim00 xxx1) 1(limsgnlim00 xxxsgn x|x=0=sgn 0 = 0故符號函數(shù) y = sgn x 在點 x = 0 處不連續(xù).0,x = 0,1,x 1, 但由于) 1 (1)(lim1fxfx例4解5.函數(shù)在區(qū)間上的連續(xù)性設函數(shù) f (x) 在開區(qū)間 (a, b) 內有定義.假設 x0(a, b), f (x) 在點 x0 處連續(xù),則稱 f (x) 在開區(qū)間 (a, b) 內連續(xù), 記為f (x)C( (a, b) ).假設 f (x)C( (

5、a, b) ), 且 f (x) 在 x = a 處右連續(xù), 在端點 x = b 處左連續(xù), 則稱函數(shù)f (x) 在閉區(qū)間 a, b 上連續(xù), 記為f (x)C( a, b ).對半開閉區(qū)間和無窮區(qū)間可類似定義連續(xù)性一般地, 如果函數(shù) f (x) 在區(qū)間 I上連續(xù), 則記為 f (x) C( I ) .例5介紹李普希茨(Lipschitz)連續(xù)性、 赫爾德(hlder)連續(xù)性. . , )( ,| | )()(| , 212121上是李普希茨連續(xù)的在則稱成立有使得如果存在常數(shù)baxfxxLxfxfbaxxL . | | )()(| ,2121稱為李普希茨條件其中xxLxfxf . ).,()(

6、 , , )( 反之不真則上是李普希茨連續(xù)的在如果baCxfbaxf : , )( 上滿足赫爾德條件在區(qū)間如果函數(shù)baxf, | | )()(|212121baxxxxLxfxf , )( , 10 , ,上在區(qū)間則稱為常數(shù)其中baxfL .是赫爾德連續(xù)的 . , 1 , 即為李普希茨連續(xù)時稱為赫爾德指數(shù) . ).,()( , , )( 反之不真則上是赫爾德連續(xù)的在如果baCxfbaxf . , 赫爾德條件是非線性的李普希茨條件是線性的 . , ;請自己完成的證明連續(xù)性赫爾德連續(xù)性連續(xù)性由李普希茨連續(xù)性例例).0( )(031xxxf二. 函數(shù)的間斷點 通常將函數(shù)的不連續(xù)點叫做函數(shù)的間斷點.函

7、數(shù) f (x ) 在點 x0 處連續(xù), 應該滿足以下三點：(1) f (x) 在 U(x0) 內有定義; (包括在點 x0 處有定義). )( ) 3(0 xfa (極限值等于函數(shù)在點 x0 處的函數(shù)值) ; )(lim )2(0存在axfxx) )( , ( 0有極限時xfxx (1) f (x) 在 x0 處無定義. )(lim (2)0不存在axfxx1.函數(shù)間斷點的定義滿足下述三個條件中的任何一個, 則稱函數(shù) f (x)若函數(shù) f (x) 在)(U0 x內有定義, 且在點 x0 處 . )( ,)( lim (3)00 xfaaxfxx但在點 x0 處間斷, 點 x0 稱為函數(shù) f (

8、x) 的一個間斷點：(1) f (x)在 x0 處無定義, 但 f (x) 在)(U0 x內有定義.(2)中至少有一個不存在.)(lim )(lim00 xfxfxxxx與(3)存在, 但不相等.)(lim )(lim00 xfxfxxxx與(4)但 a f (x0 ).,)(lim)(lim00axfxfxxxx2.函數(shù)間斷點的分類 函數(shù)的間斷點第一類間斷點第二類間斷點跳躍可去無窮振蕩其它(1) 第一類間斷點假設 x0 為函數(shù) f (x) 的一個間斷點, 且f (x) 的第一類間斷點., )(lim )(lim00存在與xfxfxxxx則稱 x0 為函數(shù)討論函數(shù) f (x)=x +1 x 0

9、sinx x 00 21x在 x = 0 處的連續(xù)性.yxO121)(xfy y = sinxyx+1 由圖可知, 函數(shù)在 點 x0 處間斷.例6 21)0(f)(lim 0 xfx)(lim0 xfx)(lim)(lim 00 xfxfxx故 x = 0 是 f (x) 的第一類間斷點. 將左、右極限存在但不相等的間斷點, 稱為函數(shù)的跳躍型間斷點.) 0 )( 處有定義在xxf1) 1(lim0 xx0sinlim0 xx解討論. 1 11)(2處的連續(xù)性在xxxxf函數(shù)在 x =1 無定義,2) 1(lim11lim 121xxxxx而故 x =1 為函數(shù)的第一類間斷點. x =1 為函數(shù)

10、的間斷點為函數(shù)的間斷點.yxO11P(1,2)y x + 1 進一步分析該間斷點的特點.例7解補充定義211lim|211xxyxx則函數(shù) f *(x) 在 x =1 連續(xù).f * (x) =1 112xxx2 x = 1 即定義分析211lim 21xxx由于這種間斷點稱為可去間斷點.處函數(shù)值后, 可得到一個新的連續(xù)函數(shù) , 故將在且相等, 即極限存在, 經(jīng)過補充定義間斷點這個間斷點的特點是該處的左、右極限存 補充定義f * (x) =)(lim0 xfxx, x = x0 , )(0 xxxf 跳躍型間斷點 可去間斷點 第一類間斷點 左右極限存在 極限不相等 極限相等、補充定義(2) 第二

11、類間斷點 凡不屬于第一類的間斷點, 稱為函數(shù)的第二類間斷點.這算定義嗎？即左右極限至少有一個不存在的點即左右極限至少有一個不存在的點.討論函數(shù). 0 1)(處的連續(xù)性在xxxfxyOxy1在 x = 0 無定義,xxf1)(x = 0為函數(shù)的間斷點,1lim)(lim 00 xxfxx又故 x = 0為函數(shù)的第二類間斷點.xxf1)()(lim 0 xfx所以稱它為無窮間斷點.由于例8解. 0 1sin)( 處的連續(xù)性在討論函數(shù)xxxf在 x = 0 處無定義,xxf1sin)(. 0 為函數(shù)的間斷點x又xxfxx1sinlim)(lim00不存在,故 x = 0 為函數(shù)的第二類間斷點. 看看

12、該函數(shù)的圖形.例9解O11xy 1sinxy . 1sin)( 0 的振蕩型間斷點為稱xxfx 無窮型間斷點 其它間斷點 第二類間斷點左右極限至少有一個不存在左右極限至少有一個為無窮 振蕩型間斷點 左右極限至少有一個振蕩 連續(xù)函數(shù)的運算 及其基本性質 的極限存在、函數(shù)時設當 )( )( , 0 xgxfxx , )(lim0axfxx, )(lim0bxgxx那么baxgxfxgxfxxxxxx)(lim)(lim)()(lim000baxgxfxgxfxxxxxx)(lim)(lim)()(lim000)0( )(lim)(lim)()(lim000bbaxgxfxgxfxxxxxx的極限存

13、在、函數(shù)時設當 )( )( , 0 xgxfxx , )(lim0axfxx, )(lim0bxgxx那么baxgxfxgxfxxxxxx)(lim)(lim)()(lim000baxgxfxgxfxxxxxx)(lim)(lim)()(lim000)0( )(lim)(lim)()(lim000bbaxgxfxgxfxxxxxx, )( )( 0處連續(xù)在點、設函數(shù)xxgxf)(0 xf)(0 xg0)()()()(00 xxxgxfxgxf0)()()()(00 xxxgxfxgxf) 0)( ( )()()()(0000 xgxgxfxgxfxx現(xiàn)在怎么說?1.連續(xù)函數(shù)的四則運算 設函數(shù)

14、f (x)、 g(x), fi (x) 在點 x0 處連續(xù), , )()(lim00 xfxfxx那么) , , 2 , 1 ( )()(lim00nxfxfiixx即, )()(lim00 xgxgxx )()()()(lim 000 xgxfxgxfxx 有限個在點 x0 處連續(xù)函數(shù)的和仍是一個 在點 x0 處連續(xù)的函數(shù). 即 )()()( )()()(lim 00201210 xfxfxfxfxfxfnnxx)()()()(lim 000 xgxfxgxfxx(2) 有限個在點 x0 處連續(xù)的函數(shù)之積仍是一個在點 x0 處的連續(xù)函數(shù). 即)()()()()()(lim 00201210

15、xfxfxfxfxfxfnnxx0)( )()()(lim)(lim)()(lim 000000 xgxgxfxgxfxgxfxxxxxx(3) 兩個在點 x0 處連續(xù)函數(shù)的商, 當分母不為 零時, 仍是一個在點 x0 處連續(xù)函數(shù). 即2.幾個重要定理 這些定理與極限中的定理類似xyy = f (x)y = | f (x) |O假設 f (x) 在區(qū)間 I 上連續(xù), 那么 | f (x) | 仍在 I 上連續(xù). x0I , 由 f (x) 在 x0 的連續(xù)性: , 當| x x0 | 時, 有| f ( x) f (x0) | 此時, 由絕對值不等式得 | | f (x) | | f (x0)

16、| | | f (x) f (x0) | 0, (或 f (x0) 0, 使當 xU(x0, )時, 有 f (x) 0 (或 f (x) 0, 使當 xU(x0 , ) 時, 有假設 f (x0) 0, 推論推論Oxy y = f 1(x) 的圖形只是 y = f (x) 的圖形繞直線 y = x 翻轉 180 而成, 故單調性、連續(xù)性仍保持.從幾何上看:x = f 1(y) 與 y = f (x)的圖形相同,連續(xù)性保持. 從而, 單調性、)(1yfx)(xfy )(1xfy設函數(shù) y = f (x) 在區(qū)間 I 上嚴格單調增加(減少) 且連續(xù), 則其反函數(shù))(1yfx在相應的區(qū)間 I* =

17、 y | y = f (x) , xI 上嚴格單調增加 (減少) 且連續(xù).(反函數(shù)連續(xù)性定理)xy2211O增加單調 ) 1 , 1 (arcsinCxy22xy11O增加單調 ) 2 ,2 (sinCxy例11討論復合函數(shù)的連續(xù)性假設 y = f (u) 在 u0 處連續(xù),那么 , 當 | u u0| 時, 有 | f (u) f (u0) | 再假設 u = (x) , 且在 x0 處連續(xù), 即.lim00uuxx, )()(lim00 xxxx亦即| u u0 | = | (x) (x0) | 故 對上面的 , , 當 | x x0| 時, 有那么 , 當 | x x0| 時, | u

18、u0 | = | (x) (x0) | 且有假設可以構成復合函數(shù)）| f (u) f (u0) | f ( (x) f ( (x0) ) | 0. 時, 冪指函數(shù) g(x)h(x) 也是連續(xù)函數(shù).當 g(x) 與 h(x) 均為連續(xù)函數(shù), 且 g(x) 0eeexxxxxx1111lim1111lim(3)1 (eeexxxxxx1sin1lim100)sin1 (lim)1 (2)(1)1) , 5( 5)52(lim2cos20baxxxx例15四.初等函數(shù)的連續(xù)性 基本初等函數(shù)在其定義域內是連續(xù)的. 初等函數(shù)在其有定義的區(qū)間內連續(xù). 注意兩者的區(qū)別！求xxxxarctan)2ln(lim21xxxxarctan)2ln(lim2141arctan) 12ln(12 連續(xù)性給極限運算帶來很大方便.例16解, )2(2lim)( 2的連續(xù)性討論函數(shù)nnnnxxxf. 0 ,x其中有時當 , 210 x. 4)2(222nnnnnxx有時當