由“用圖象法解二元一次方程組”引發(fā)的思考

1、由“用圖象法解二元一次方程組”引發(fā)的思考筆者有幸拜讀了數(shù)學(xué)教學(xué)2005 年第 12 期所刊登的研教一課，受益多課一 文，文中提到：“這時(shí)老師只能自言其說：“兩個(gè)一次函數(shù)圖象的交點(diǎn)，還可以表示由這兩個(gè)一 次函數(shù)的關(guān)系式組成的方程組的解”然后老師出示以下例題：y = 2x 5例 利用圖象解方程組y = x +1老師做示范，先把該題的解題過程在黑板上演示一遍，然后讓學(xué)生模仿做書上的解 方程的練習(xí)題我在學(xué)生中間巡視，發(fā)現(xiàn)很多同學(xué)還是用代入法或加減法來解方程組，并沒有用圖 象法”對(duì)文中的徒弟在教學(xué)“用圖象法解二元一次方程組”過程中遇到的困境，筆者深有 同感和共鳴，并想借此擬談筆者在這個(gè)教學(xué)內(nèi)容的實(shí)施過程

2、中的一些困惑和教學(xué)心得1例題教學(xué)引出的問題yx 2 y = 23例 1 用作圖象的方法解方程組2x y = 221解：由 x 2 y = 2 可得 y =x +1，12-2 -11 2 3x由2x y = 2 可得 y = 2x 2 ，-11-2-3在同一直角坐標(biāo)系內(nèi)作出一次函數(shù) y = 2 x +1的圖象l1 和 y = 2x 2 的圖象l2 ，如圖，觀察圖象，得l1 ，l2 的交點(diǎn)為 P(2,2) x 2 y = 2的解是x = 2所以方程組y = 22x y = 2正當(dāng)筆者在板書解答過程時(shí)，突然，一位學(xué)生提出問題：如果在直角坐標(biāo)系內(nèi)作出x =1.9x =1.9的兩個(gè)一次函數(shù)圖象有誤差時(shí)，

3、若圖象的交點(diǎn)是 ，那么 是這個(gè)方程y = 2.2y = 2.2x =1.9組的解嗎？筆者一驚，馬上給以答復(fù)：“ 不是這個(gè)方程組的解，但是可以看作y = 2.2是這個(gè)方程組的近似解”當(dāng)筆者口中的“近似解”三個(gè)字一落音，教室里忽然很寂靜， 隨后立刻又騷動(dòng)起來了，大家似乎在思索著：方程組還有近似解的？學(xué)生 A 站了起來,x = 2.8x = 2.8他說:“如果作出的兩個(gè)一次函數(shù)圖象的交點(diǎn)是y = 2.6,那么y = 2.6也是這個(gè)方程組近似解嗎?”此時(shí)課堂里一片沸騰，并展開了討論x = 3.5筆者被學(xué)生的問題堵住了，接著學(xué)生就會(huì)想“ 也是這個(gè)方程組近似解”等y = 2類似的問題，此時(shí)，教學(xué)經(jīng)驗(yàn)告訴筆

4、者，必須給學(xué)生一個(gè)明確的答復(fù)，否則將會(huì)嚴(yán)重挫 傷學(xué)生學(xué)習(xí)的積極性由于課前自己對(duì)這個(gè)問題未作充分的思考，只好勉強(qiáng)給學(xué)生一個(gè) 解釋：“假如在近似解的近似范圍內(nèi)的話，可以看成是近似解”筆者這樣一解釋可捅出 一個(gè)大問題了，學(xué)生 B 馬上接應(yīng)：“老師，近似范圍怎樣確定呀？”這下筆者真正被學(xué) 生問題難住了，被學(xué)生晾在了講臺(tái)上2問題的思索筆者常與同行們談起這堂的經(jīng)歷，想獲取例 1 教學(xué)上的幫助，也得到一些的收獲同 時(shí)，大家對(duì)教材中選取例 1 的作用和目的，存在著與教材設(shè)計(jì)的意圖有不同的看法 2.1 例 1 的設(shè)計(jì)不符合學(xué)生的認(rèn)知水平由本節(jié)課教材內(nèi)容的編排上可以看出，例 1 設(shè)計(jì)目的是：（1）讓學(xué)生進(jìn)一步體會(huì)

5、二 元一次方程與一次函數(shù)的對(duì)應(yīng)關(guān)系；（2）讓學(xué)生掌握用圖形法解二元一次方程組的過程 和步驟而且，隨堂練習(xí)和課后習(xí)題 7.1 各自都只有安排一個(gè)與例 1 內(nèi)容完全一致的習(xí) 題，這更加突出了例 1 在本節(jié)課上的重要地位然而，在課堂的教學(xué)實(shí)踐中，筆者了解 到在練習(xí)、作業(yè)中，幾乎所有的學(xué)生都沒有按“圖象法”的步驟來求解，而是先運(yùn)用加 減消元法或代入消元法解得二元一次方程組的解，再畫出相應(yīng)的兩個(gè)一次函數(shù)圖象，根 據(jù)求得的解標(biāo)出兩直線交點(diǎn)的坐標(biāo) “圖象法”圖有虛名，學(xué)生把“圖象法”拒之于門外必有其特殊性的原因，一方面是嫌棄它求解過程的煩 瑣，畫圖的精確度要求高；更重要的一方面是對(duì)用“圖象法”求得的方程組的

6、解的正確x =1.9x 2 y = 2性產(chǎn)生懷疑，就如“y = 2.2是方程組2x y = 2的解嗎？”這種困惑導(dǎo)致學(xué)生棄用“圖象法”，避開這種不必要的錯(cuò)誤2.2 用“圖象法”求方程組的“準(zhǔn)確解”還是“近似解” 綜觀小學(xué)、初中、高中對(duì)方程組的求解，都是求其“準(zhǔn)確解”學(xué)生對(duì)方程組的解 的認(rèn)識(shí)已經(jīng)形成了一種特有的認(rèn)識(shí)模式，即方程組的解是指能使方程組中各個(gè)方程左右 兩邊的值相等的未知數(shù)的值，評(píng)價(jià)解方程組正確與否也是如此定義的從例 1 的要求：“用作圖象的方法解方程組”及例題的解答的過程來看，是求方程 組的“準(zhǔn)確解”而新課標(biāo)在第 34 頁中指出：“能根據(jù)一次函數(shù)的圖象求二元一次 方程組的近似解”因此，

7、“圖象法”更適合于求方程組的近似解那么，對(duì)二元一次方 程組的近似解作怎樣的解釋和定義呢？“近似解”的近似范圍又怎樣確定呢？顯然，教 材在對(duì)此問題的設(shè)計(jì)和解決是不吻合新課標(biāo)中的要求的，沒有充分體現(xiàn)出“圖象法” 的數(shù)學(xué)意義和思想，對(duì)教師的教和學(xué)生的學(xué)起不到一個(gè)很好的引領(lǐng)的作用同時(shí)，筆者 對(duì)新課標(biāo)中 “能根據(jù)一次函數(shù)的圖象求二元一次方程組的近似解”的指導(dǎo)思想和 要求也持保留的態(tài)度2.3“教教材”還是“用教材” 教材是教師和學(xué)生實(shí)施課程標(biāo)準(zhǔn)的重要依據(jù),而數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)的設(shè)置為教師“用教材”留下了創(chuàng)造空間教材是指教科書、教學(xué)參考資料等書面的東西，而且所載的信息 是有限的，甚至可能存在一些與學(xué)生學(xué)情不完全一

8、致的教學(xué)內(nèi)容但是，教學(xué)內(nèi)容的范 圍是靈活的、廣泛的，可以是課內(nèi)的，也可以是課外的，只要適合學(xué)生的認(rèn)識(shí)規(guī)律，從 學(xué)生的實(shí)際出發(fā)的有關(guān)內(nèi)容都可以作為學(xué)習(xí)內(nèi)容因此，教師應(yīng)認(rèn)真研究學(xué)生實(shí)際學(xué)情， 明確學(xué)生應(yīng)達(dá)到的知識(shí)要求與能力要求，再全方位解讀教材，多角度分析教材，才能使教材發(fā)揮最佳的教學(xué)價(jià)值 從教者的角度反思這個(gè)問題，教師備課時(shí)忽略了學(xué)生的實(shí)際情況，對(duì)“圖象法”一味執(zhí)行“教教材”，從而導(dǎo)致了教師的教和學(xué)生的學(xué)形成了兩條“平行線”，沒有交會(huì)融 合，碰撞拓展假如教師對(duì)于教學(xué)中具體素材（包括“圖象法”發(fā)生的背景、例題、練 習(xí)）都可以根據(jù)學(xué)生的學(xué)習(xí)心理特征、知識(shí)基礎(chǔ)，融入自己的科學(xué)精神和智慧，從知識(shí) 維度、

9、認(rèn)知心理和發(fā)展水平、實(shí)際使用效果等方面對(duì)教材內(nèi)容進(jìn)行教學(xué)重組和整和，選 擇更好的內(nèi)容對(duì)教材深加工，設(shè)計(jì)出適合學(xué)生的活生生的教材內(nèi)容，就可能不會(huì)出現(xiàn)案 例中課堂教學(xué)現(xiàn)象了2.4 對(duì)“圖象法”導(dǎo)學(xué)的一種設(shè)想利用“圖象法” 求二元一次方程組的近似解，重要的不是解的本身，重要的是方 法，是求解的思路，包括解的精確度以及如何達(dá)到方程組的解等，這些對(duì)于學(xué)生來說都 是有價(jià)值的數(shù)學(xué)設(shè)想一：“圖象法”求解方程組時(shí)，當(dāng)求得兩直線交點(diǎn)的坐標(biāo)是否是方程組的準(zhǔn)確 解時(shí)，可以引導(dǎo)學(xué)生對(duì)所得未知數(shù)的值進(jìn)行檢驗(yàn)，如果不適合方程組，讓學(xué)生分析其原 因，不斷調(diào)整作圖的準(zhǔn)確度在尋找方程組解的過程中，引導(dǎo)學(xué)生借助“逼近”的方法 逐步

10、獲得近似解，促進(jìn)學(xué)生對(duì)方程組解的理解，發(fā)展學(xué)生的估算意識(shí)和能力，體會(huì)逼近 思想在數(shù)學(xué)解題中的運(yùn)用，激發(fā)學(xué)生探求精確解的欲望設(shè)想二：削弱“圖象法”的求解過程，突出“圖象法”求解的直觀性，體現(xiàn)數(shù)形結(jié) 合的思想可以設(shè)計(jì)下列的問題來替換例 1，如：1、 如圖，一次函數(shù) y = 5 x 與 y = 2x 1 的交點(diǎn)坐標(biāo)是 (2,3) ，寫出方程組x + y = 5的解2x y =12、 如圖，兩直線l1 ，l2的交點(diǎn) P 坐標(biāo)為（1，3），點(diǎn) A 坐標(biāo)為（0，1），點(diǎn) B 坐標(biāo)為（0，4），你知道交點(diǎn) P 的坐標(biāo)可以看成是怎樣的方程組的解嗎？yy54B33P1 A-125x1x第1 題第2 題3、有一組數(shù)同時(shí)適合方程 x + y = 2 和 x + y = 5 嗎？一次函數(shù) y = 2 x ，= 5 x的圖象之間有何關(guān)系，你能從中“悟”出些什么？